Canavar ay ışığı - Monstrous moonshine

sicim teorisi
Temel nesneler
Sicim kozmik sicim zar D-zar
pertürbatif teori
bozonik Süper sicim ( Tip I , Tip II , Heterotik )
Pertürbatif olmayan sonuçlar
S-dualitesi T-ikiliği U-ikiliği M-teorisi F-teorisi AdS/CFT yazışmaları
fenomenoloji
fenomenoloji kozmoloji Manzara
Matematik
ayna simetrisi canavarca ay ışığı
Ilgili kavramlar her şeyin teorisi konformal alan teorisi kuantum yerçekimi süpersimetri süper yerçekimi Twistor sicim teorisi N = 4 süpersimetrik Yang-Mills teorisi Kaluza-Klein teorisi çoklu evren Holografik ilke
teorisyenler Aganagiç Arkani-Hamed atiye Bankalar Berenstein Busso balta sağ Dijkgraaf Distler douglas duff ferrara Fischler Friedan kapılar Gliozzi Gopakumar Yeşil yeşil Brüt Gubser Gukov Guth Hanson harvey Hořava Horowitz gibbons Kaçru Kaku Kalloş Kaluza kapustin Klebanov Knizhnik Kontseviç Klein Linde maldacena Mandelstam marolf Martinek Minwalla Moore motl mukhi Myers nanopulos Nastase Nekrasov Neveu Nielsen van Nieuwenhuizen Novikov zeytin Ooguri Örüt Polçinski Polyakov Rajaraman Ramon Randall Randjbar-Daemi Rocek Rohm Sagnotti şarlatan Schwarz Seiberg You are Şenker kuşatma gümüşştayn Oğul Staudacher Steinhardt strominger sundrum Susskind 't Toynak Townsend Trivedi Turok Vafa Venedik Verlinde Verlinde Wess tanık evet Yoneya Zamolodchikov Zamolodchikov Zaslow Zümino Zwiebach
Tarih Sözlük
v T e

Gelen matematik , canavar kaçak içki veya kaçak içki teorisi arasında beklenmedik bir bağlantı canavar grubu M ve modüler fonksiyonlar özellikle, J fonksiyonu . Terim, 1979'da John Conway ve Simon P. Norton tarafından icat edildi .

Canavarca moonshine'ın arkasında yatanın , 1988'de Igor Frenkel , James Lepowsky ve Arne Meurman tarafından oluşturulan ve canavar grubuna simetrik olan moonshine modülü (veya canavar tepe cebiri) adı verilen bir tepe operatörü cebiri olduğu biliniyor . Bu köşe operatörü cebiri, genellikle iki boyutlu bir konformal alan teorisinin altında yatan ve fiziğin iki matematiksel alan arasında bir köprü oluşturmasına izin veren bir yapı olarak yorumlanır . Conway ve Norton tarafından yapılan varsayımlar tarafından kanıtlanmış edildi Richard Borcherds kullanarak 1992 yılında kaçak içki modülü için no-hayalet teoremini gelen sicim teorisi ve teorisini köşe operatör cebirleri ve genelleştirilmiş Kac-Moody cebirlerini .

Tarih

1978 yılında , John McKay bulundu ilk birkaç terim Fourier genişleme normalize ait J değişmez (dizi A014708 içinde OEIS ),

${\displaystyle J(\tau )={\frac {1}{q}}+196884{q}+21493760{q}^{2}+864299970{q}^{3}+20245856256{q}^{4 }+\cdots }$

ile ve τ olarak yarım-oranı olarak ifade edilebilir , doğrusal kombinasyonları arasında boyutları arasında indirgenemez temsilleri canavar grubunun M (dizi A001379 olarak OEIS küçük negatif olmayan katsayılı). Let = 1, 196883, 21296876, 842609326, 18538750076, 19360062527, 293553734298, ... o zaman, ${\displaystyle {q}=e^{2\pi i\tau }}$ ${\görüntüleme stili r_{n}}$${\görüntüleme stili r_{n}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}1&=r_{1}\\196884&=r_{1}+r_{2}\\21493760&=r_{1}+r_{2}+r_{3}\\864299970&= 2r_{1}+2r_{2}+r_{3}+r_{4}\\20245856256&=3r_{1}+3r_{2}+r_{3}+2r_{4}+r_{5}\\& =2r_{1}+3r_{2}+2r_{3}+r_{4}+r_{6}\\333202640600&=5r_{1}+5r_{2}+2r_{3}+3r_{4}+2r_ {5}+r_{7}\\&=4r_{1}+5r_{2}+3r_{3}+2r_{4}+r_{5}+r_{6}+r_{7}\\\end {hizalı}}}$

(Arasında birkaç lineer bir ilişki olabilir yana gibi , temsil birden fazla şekilde olabilir.) McKay doğal olarak oluşan bir sonsuz boyutlu olduğu kanıt olarak inceledi kademeli temsil ait M olan, kademeli boyutu ile verilir J katsayıları ve düşük ağırlıklı parçaları yukarıdaki gibi indirgenemez temsillere ayrışır. O bilgi sonra John G. Thompson , bu gözlem, Thompson kademeli boyutu sadece kademeli olduğu ileri izleme ve kimlik elemanı , aşikar olmayan elemanları kademeli izleri g arasında M , örneğin bir temsili yanı ilginç olabilir. ${\görüntüleme stili r_{n}}$${\displaystyle r_{1}-r_{3}+r_{4}+r_{5}-r_{6}=0}$

Conway ve Norton hemen McKay-Thompson serisi olarak bilinen bu gibi kademeli izleri, alt dereceden terimleri hesaplanan T _g , ve bunların tüm açılımları olduğu ortaya çıktı bulunan Hauptmoduln . Diğer bir deyişle, eğer G _g bir alt grubudur SL ₂ ( R ) düzeltmeleri T _g , daha sonra bölüm bir üst yarısı bir kompleks düzlemde ile G _g a, küre çıkarıldı noktaları sonlu sayıda, ve bundan başka, T _g üreten alanı arasında meromorfik fonksiyonları bu küre üzerinde.

Kendi hesaplamalarına dayanarak, Conway ve Norton Hauptmoduln listesini üretilen ve bir sonsuz boyutlu kademeli temsil varlığını conjectured M dereceli izleri, T _g olan açılımları kendi listesinde tam fonksiyonların.

1980'de, A. Oliver L. Atkin , Paul Fong ve Stephen D. Smith, çok sayıda J katsayısını M'nin temsillerine ayrıştırarak, böyle dereceli bir gösterimin var olduğuna dair güçlü hesaplama kanıtları ürettiler . Igor Frenkel , James Lepowsky ve Arne Meurman tarafından , McKay-Thompson varsayımına etkili bir çözüm sağlayan , moonshine modülü olarak adlandırılan , derecelendirilmiş boyutu J olan dereceli bir temsil açıkça oluşturulmuştur ve ayrıca, Conway-Norton varsayımını kısmen çözen M'nin bir involüsyonunun merkezileştiricisi . Ayrıca, Moonshine Modülü olarak adlandırılan oluşturdukları vektör uzayının , otomorfizm grubu tam olarak M olan bir köşe operatörü cebirinin ek yapısına sahip olduğunu gösterdiler . ${\görüntüleme stili V^{\doğal }}$

Borcherds, 1992'de Moonshine Modülü için Conway-Norton varsayımını kanıtladı . Bu varsayımın çözümü için kısmen 1998'de Fields Madalyası kazandı .

canavar modülü

Frenkel–Lepowsky–Meurman yapımı iki ana araçla başlar:

1. Sıra n olan bir çift kafes L için bir kafes tepe operatörü cebirinin inşası V _L . Fiziksel olarak, bu bir torus R ⁿ / L üzerinde sıkıştırılmış bir bozonik sicim için kiral cebirdir . Bu aşağı yukarı tanımlanabilir tensör ürünün bir grubu, halka içinde , L osilatör temsili ile n, (a izomorfik kendisi boyutları polinom halka içinde sayılabilir sonsuz sayıda jeneratör ). Söz konusu durum için, L , 24. sıraya sahip olan Sülük kafesi olarak ayarlanır .
2. Orbifold yapı. Fiziksel terimlerle, bu, bir orbifold bölümü üzerinde yayılan bozonik bir diziyi tanımlar . Frenkel-Lepowsky-Meurman'ın inşası, orbifoldların konformal alan teorisinde ilk kez ortaya çıkmasıydı . Bağlı -1 involüsyon arasında sülük kafes , bir karışıklık olduğu saat arasında V _L ve indirgenemez h -twisted V _L bir involisyon kaldırma devralır Modül, h . Moonshine Modülü elde etmek için, tek bir alan sabit nokta altuzaya bir saat doğrudan toplamı V _L ve bükülmüş modülü .

Frenkel, Lepowsky ve Meurman daha sonra bir köşe operatörü cebiri olarak moonshine modülünün otomorfizm grubunun M olduğunu gösterdi . Ayrıca 2 ¹⁺²⁴ alt grubunda yer alan elementlerin dereceli izlerini de belirlemişlerdir . Co ₁ , Conway ve Norton ( Frenkel, Lepowsky & Meurman (1988) ) tarafından tahmin edilen fonksiyonlarla eşleşir .

Borçluların kanıtı

Richard Borcherds'in Conway ve Norton varsayımının kanıtı aşağıdaki ana adımlara ayrılabilir:

1. Biri , değişmez bir çift doğrusal biçimli, M'nin otomorfizmalarla bir eylemi ve en düşük yedi derecenin homojen uzaylarının indirgenemez M- temsillerine bilinen ayrışmasıyla bir tepe operatörü cebiri V ile başlar . Bu, Frenkel–Lepowsky–Meurman'ın Moonshine Modülü'nün inşası ve analizi tarafından sağlandı.
2. Canavar Lie cebiri olarak adlandırılan bir Lie cebiri , bir nicemleme işlevi kullanılarak V'den oluşturulur. Bu, otomorfizmlerle canavar eylemiyle genelleştirilmiş bir Kac-Moody Lie cebiridir . Kullanılması Goddard-Thorn "hayır-hayalet" teoremini gelen sicim teorisi , kök çokluklar katsayıları olduğu tespit edilmiştir J .${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$
3. Jeneratörler ve ilişkiler tarafından genelleştirilmiş bir Kac-Moody Lie cebiri oluşturmak için Koike–Norton–Zagier sonsuz çarpım özdeşliği kullanılır. Kimlik aslında kullanılarak kanıtlanmıştır Hecke operatörleri uygulanan J verim polinomlar J .
4. Kök çoklukları, bir ya da iki Lie cebiri izomorfik olduğu buluntular, ve özellikle de karşılaştırarak Weyl payda formülü için tam Koike-Norton Zagier kimliktir.${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$
5. Kullanılması Lie cebiri homoloji ve Adams operasyonları , bükülmüş payda kimlik her bir eleman için verilir. Bu kimlikler McKay-Thompson serisi ile ilgili T _g Koike-Norton Zagier kimlik ile ilişkili olduğu kadar aynı şekilde J .
6. Bükülmüş payda kimlikler katsayıları üzerinde yineleme ba˘gıntıları ima T _g ve Koike yayınlanmamış çalışmaları Conway ve Norton'un aday fonksiyonları bu yineleme ilişkileri tatmin olduğunu gösterdi. Bu ilişkiler, yalnızca ilk yedi terimin Conway ve Norton tarafından verilen işlevlerle uyuşup uyuşmadığının kontrol edilmesi gerektiği kadar güçlüdür. En düşük terimler, ilk adımda verilen en düşük yedi dereceli homojen uzayın ayrıştırılmasıyla verilir.

Böylece ispat tamamlanmış olur ( Borcherds (1992) ). Borcherds daha sonra "Ay ışığı varsayımını kanıtladığımda çok heyecanlıydım" ve "Bazen bazı ilaçları aldığınızda hissettiğiniz duygunun bu olup olmadığını merak ediyorum. Aslında bilmiyorum, çünkü test etmedim. bu teorim." ( Roberts 2009 , s. 361)

Daha yeni çalışmalar, ispatın son adımlarını basitleştirdi ve netleştirdi. Jurisich ( Jurisich (1998) , Jurisich, Lepowsky & Wilson (1995) ), Monster Lie cebrinin olağan üçgensel ayrışmasını gl ₂ ve iki serbest Lie cebri toplamına ayrıştırma ile değiştirerek homoloji hesaplamasının önemli ölçüde kısaltılabileceğini buldu. . Cummins ve Gannon, özyineleme bağıntılarının otomatik olarak McKay Thompson serilerinin Hauptmoduln olduğunu veya en fazla 3 terimden sonra sona erdiğini, böylece son adımda hesaplama ihtiyacını ortadan kaldırdığını gösterdi.

genelleştirilmiş ay ışığı

Conway ve Norton, 1979 tarihli makalelerinde, belki de kaçak içkinin canavarla sınırlı olmadığını, ancak benzer fenomenlerin diğer gruplar için de bulunabileceğini öne sürdüler. Conway ve Norton'un iddiaları çok spesifik olmasa da, 1980'de Larissa Queen tarafından yapılan hesaplamalar, sporadik grupların indirgenemez temsillerinin boyutlarının basit kombinasyonlarından birçok Hauptmoduln'un açılımlarının inşa edilebileceğini kuvvetle önerdi . Özellikle, McKay-Thompson serisinin katsayılarını aşağıdaki durumlarda Canavarın alt bölümlerinin temsillerine ayrıştırdı:

• T _2B ve T _4A , Conway grubunun Co ₀ temsillerine dönüştürülür
• Suzuki grubu _3.2'nin temsillerine T _3B ve T _6B . Suz
• Thompson grubunun temsillerine T _3C Th = F ₃
• T _5A , Harada–Norton grubunun temsillerine dönüştürülür HN = F ₅
• Hall–Janko grup 2'nin temsillerine T _5B ve T _10D . HJ
• T _7A , Held grubunun temsillerine dönüştürülür He = F ₇
• T _7B ve T _14C , 2'nin temsillerine dönüştürülür. A ₇
• T _11A , Mathieu grup 2'nin temsillerine dönüştürülür . M ₁₂

Queen, kimlik-olmayan öğelerin izlerinin ayrıca Hauptmoduln'un q- genişlemelerini verdiğini, bunların bir kısmının Canavar'daki McKay–Thompson serisi olmadığını keşfetti. 1987'de Norton, Genelleştirilmiş Moonshine varsayımını formüle etmek için Queen'in sonuçlarını kendi hesaplamalarıyla birleştirdi. Bu varsayım , canavarın her g öğesine , dereceli bir vektör uzayı V ( g ) ve her bir değiş tokuş eden öğe çiftine ( g , h ) bir holomorfik fonksiyon f ( g , h , τ) atayan bir kuralın olduğunu ileri sürer. ilgili üst yarı düzlem , ki burada:

1. Her V ( g ) kademeli bir yansıtmalı gösterimidir merkezleme bölgesinin g olarak M .
2. Her f ( g , h , τ) ya sabit bir fonksiyondur ya da bir Hauptmodul'dür.
3. Her f ( g , h , τ) aynı anda altında değişmeyen bir konjügasyon ve g ve h de M skaler belirsizliği kadar.
4. Her için ( g , h ), bir asansör olup h a lineer transformasyon ile V ( g ), bir genişleme böyle f ( g , h , τ) derecelendirilmiş izi ile verilir.
5. Herhangi biri için , ile orantılıdır .${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \operatöradı {SL} _{2}(\mathbf {Z} )}$${\displaystyle f\sol(g,h,{\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\sağ)}$${\displaystyle f\sol(g^{a}h^{c},g^{b}h^{d},\tau \sağ)}$
6. f ( g , h , τ) J ile orantılıdır, ancak ve ancak g = h = 1 ise.

Bu, Conway-Norton varsayımının bir genellemesidir, çünkü Borcherds teoremi, g'nin özdeşliğe ayarlandığı durumla ilgilidir .

Conway-Norton varsayımı gibi, Generalized Moonshine'ın da 1988'de Dixon-Ginsparg-Harvey tarafından önerilen fizikte bir yorumu vardır ( Dixon, Ginsparg & Harvey (1989) ). V ( g ) vektör uzaylarını , canavar simetrili bir konformal alan teorisinin bükülmüş sektörleri olarak yorumladılar ve f ( g , h , τ ) fonksiyonlarını , bükülmüş sınır koşulları boyunca yapıştırılarak bir torus oluşturduğu cins bir bölüm fonksiyonları olarak yorumladılar. . Matematiksel dilinde, bükülmüş alanları indirgenemez bükülmüş modülleri ve bölüm işlevleri olan izomorfizm tip ile tarif edilir ana canavar demetleri ile eliptik eğri atanır Monodromy bir birlikte esas bir 1-döngüleri yani elemanları gidip bir çift.

Modüler ay ışığı

1990'ların başında, grup teorisyeni AJE Ryba , canavarın karakter tablosunun bölümleri ile belirli alt grupların Brauer karakterleri arasında dikkate değer benzerlikler keşfetti . Özellikle, bir element için g asal düzen içinde p canavar içinde, sipariş bir unsuru birçok indirgenemez karakter kp k inci gücü olan g sırası bir elemanı için Brauer karakterlerin basit kombinasyonları olan k içinde merkezleyeni içinde g . Bu, canavarca ay ışığına benzer bir fenomenin sayısal kanıtıydı, ancak olumlu özellikteki temsiller için. Özellikle, Ryba 1994'te canavarın düzenindeki her bir p asal faktörü için , sonlu F _p alanı üzerinde dereceli bir tepe cebrinin var olduğunu ve dereceli bir p elemanının merkezileştiricisinin eylemiyle g , dereceli Brauer olduğu tahmininde bulundu. herhangi bir p- düzenli otomorfizmin h karakteri, gh için McKay-Thompson serisine eşittir ( Ryba (1996) ).

1996 yılında, Borcherds ve Ryba ilgili bir ifade olarak varsayım yeniden yorumlayan Tate kohomolojisi bir öz ikili ayrılmaz formun . Bu integral formun var olduğu bilinmiyordu, ancak Z [1/2] üzerinde kendinden çiftli bir form oluşturdular , bu da onların p tek asal sayılarıyla çalışmasına izin verdi . Asal düzenin bir öğesi için Tate kohomolojisi, doğal olarak F _p üzerinde bir süper tepe cebirinin yapısına sahiptir ve sorunu, dereceli Brauer süper izini McKay-Thompson serisiyle eşitleyen kolay bir adıma ve aşağıdakileri gösteren zor bir adıma böldüler. Tate kohomolojisinin garip bir derecede yok olduğu. Leech kafesinden kaybolan bir sonucu aktararak küçük tek asal sayılar için yok olan ifadeyi kanıtladılar ( Borcherds & Ryba (1996) ). 1998'de Borcherds, Hodge teorisinin bir kombinasyonunu ve hayaletsiz teoreminin ayrılmaz bir iyileştirmesini kullanarak, kalan tek asal sayılar için kaybolmanın geçerli olduğunu gösterdi ( Borcherds (1998) , Borcherds (1999) ). ${\görüntüleme stili V^{\doğal }}$

2. dereceden durum, 2'den fazla adic halkalı bir formun varlığını , yani 2'ye bölünmeyen bir yapıyı gerektirir ve bunun o sırada var olduğu bilinmiyordu. Geriye, Ryba'nın varsayımının bileşik düzen öğelerinin Tate kohomolojisine nasıl genellenmesi gerektiği ve genelleştirilmiş ay ışığı ve diğer ay ışığı fenomenleriyle herhangi bir bağlantının doğası gibi yanıtlanmamış birçok soru kaldı. ${\görüntüleme stili V^{\doğal }}$

Kuantum yerçekimi ile varsayılan ilişki

2007'de E. Witten , AdS/CFT yazışmasının (2+1) boyutlu anti de Sitter uzayındaki saf kuantum yerçekimi ile aşırı holomorfik CFT'ler arasında bir ikilik sağladığını öne sürdü. 2+1 boyutlarında saf yerçekimi yerel serbestlik derecesine sahip değildir, ancak kozmolojik sabit negatif olduğunda, BTZ kara delik çözümlerinin varlığından dolayı teoride önemsiz olmayan içerik vardır . G. Höhn tarafından tanıtılan Extremal CFT'ler, düşük enerjide Virasoro birincil alanlarının eksikliği ile ayırt edilir ve moonshine modülü bir örnektir.

Witten'in önerisine göre ( Witten (2007) ), maksimum negatif kozmolojik sabite sahip AdS uzayındaki yerçekimi, merkezi yükü c=24 olan bir holomorfik CFT'ye göre AdS/CFT ikilisidir ve CFT'nin bölme fonksiyonu tam olarak j-744'tür , yani, moonshine modülünün dereceli karakteri. Frenkel-Lepowsky-Meurman'ın moonshine modülünün merkezi yükü 24 ve j-744 karakteri olan benzersiz holomorfik VOA olduğu varsayımını varsayarak , Witten maksimum negatif kozmolojik sabite sahip saf yerçekiminin canavar CFT'ye ikili olduğu sonucuna vardı. Witten'ın önerisinin bir kısmı, Virasoro birincil alanlarının kara delik yaratan operatörlere göre ikili olması ve bir tutarlılık kontrolü olarak, büyük kütle limitinde, belirli bir kara delik kütlesi için Bekenstein-Hawking yarı - klasik entropi tahmininin aşağıdakilerle uyuştuğunu buldu. moonshine modülünde karşılık gelen Virasoro birincil çokluğunun logaritması. Düşük kütle rejiminde, entropide küçük bir kuantum düzeltmesi vardır, örneğin, en düşük enerjili birincil alanlar ln(196883) ~ 12.19 verir, Bekenstein-Hawking tahmini ise 4π ~ 12.57 verir.

Daha sonraki çalışmalar Witten'ın önerisini geliştirdi. Witten, daha büyük kozmolojik sabite sahip ekstrem CFT'lerin, minimal duruma çok benzeyen canavar simetrisine sahip olabileceğini tahmin etmişti, ancak bu, Gaiotto ve Höhn'ün bağımsız çalışmasıyla çabucak reddedildi. Witten ve Maloney tarafından yapılan çalışma ( Maloney & Witten (2007) ), karmaşık eyerlerin bazı ince özellikleri olumlu sonuçlanmadıkça, saf kuantum yerçekiminin bölme işleviyle ilgili bazı tutarlılık kontrollerini karşılamayabileceğini öne sürdü. Bununla birlikte, Li-Song-Strominger ( Li, Song & Strominger (2008) ), Manschot tarafından 2007'de önerilen bir kiral kuantum yerçekimi teorisinin, canavar CFT'nin kiral kısmına ikili olurken, daha iyi kararlılık özelliklerine sahip olabileceğini öne sürmüşlerdir. canavar tepe cebiri. Duncan-Frenkel ( Duncan ve Frenkel (2009) ) , küresel simit-izogeni geometrileri üzerinde düzenli bir toplam ile 2+1 boyutlu yerçekimi bölme fonksiyonları olarak McKay-Thompson serisini üretmek için Rademacher toplamlarını kullanarak bu ikilik için ek kanıtlar üretti . Ayrıca, canavarın unsurları tarafından parametrelendirilen, genelleştirilmiş ay ışığı ve yerçekimi anlık toplamları ile bir bağlantı olduğunu öne süren bir bükülmüş kiral yerçekimi teorileri ailesinin varlığını tahmin ettiler. Şu anda, bu fikirlerin tümü, kısmen, 3 boyutlu kuantum kütleçekiminin kesin bir matematiksel temele sahip olmaması nedeniyle, hala oldukça spekülatiftir.

Mathieu kaçak içki

2010'da Tohru Eguchi , Hirosi Ooguri ve Yuji Tachikawa, bir K3 yüzeyinin eliptik cinsinin N = (4,4) süperkonformal cebir karakterlerine ayrıştırılabileceğini gözlemlediler , öyle ki masif durumların çokluğu basit kombinasyonlar gibi görünüyor. Mathieu grubu M24'ün indirgenemez temsilleri . Bu, M24 simetrisini taşıyan K3 hedefli bir sigma modeli uyumlu alan teorisi olduğunu gösterir. Bununla birlikte, Mukai-Kondo sınıflandırmasına göre, hiçbir olan güvenilir işlem herhangi bir K3 yüzeyi üzerinde bu grubun simplektik automorphisms ve Gaberdiel-Hohenegger-VOLPATO çalışmalarından herhangi K3 sigma modeli konformal alan teorisi üzerinde sadık işlem yoktur, bu yüzden alttaki Hilbert uzayında bir hareketin ortaya çıkışı hala bir gizemdir.

McKay-Thompson serisine benzeterek, Cheng hem çokluk fonksiyonlarının hem de M24'ün önemsiz olmayan öğelerinin dereceli izlerinin sahte modüler formlar oluşturduğunu öne sürdü . 2012'de Gannon, çoklukların ilki dışında hepsinin M24 temsillerinin negatif olmayan integral kombinasyonları olduğunu kanıtladı ve Gaberdiel-Persson-Ronellenfitsch-Volpato, genelleştirilmiş ay ışığı fonksiyonlarının tüm analoglarını hesapladı, bu da bazı analogların holomorfik bir konformal alan analogu olduğunu kuvvetle ileri sürdü. Mathieu moonshine'ın arkasında teori yatıyor. Yine 2012'de, Cheng, Duncan ve Harvey , sahte modüler form ailelerinin Niemeier kafeslerine bağlı göründüğü bir umbral moonshine fenomeninin sayısal kanıtlarını topladılar . A ₁ ²⁴ kafesinin özel durumu Mathieu Moonshine'ı verir, ancak genel olarak fenomenin geometri açısından henüz bir yorumu yoktur.

terimin kökeni

"Canavarca kaçak içki" terimi , 1970'lerin sonlarında John McKay tarafından (yani 196884) katsayısının , canavar grubunun en küçük sadık karmaşık temsilinin derecesinden (yani 196883) tam olarak bir fazla olduğunu söyleyen Conway tarafından icat edildi. ), bunun " moonshine " olduğunu (deli veya aptalca bir fikir olması anlamında ) yanıtladı . Bu nedenle, terim yalnızca canavar grubu M'yi ifade etmekle kalmaz ; aynı zamanda M ile modüler fonksiyonlar teorisi arasındaki karmaşık ilişkinin algılanan çılgınlığına da atıfta bulunur . ${\görüntüleme stili {q}}$

İlgili gözlemler

Canavar grubu 1970'lerde matematikçiler Jean-Pierre Serre , Andrew Ogg ve John G. Thompson tarafından araştırıldı ; Çalışmaya katılan bölüm arasında hiperbolik düzlemine göre alt SL ₂ ( R ), özellikle de, normalleştirici Γ ₀ ( p ) ⁺ ve Hecke uyum alt grubu y ₀ ( s SL) (2, R ). Hiperbolik düzlemin bölümünün Γ ₀ ( p ) ^{+ ile} alınmasından kaynaklanan Riemann yüzeyinin , ancak ve ancak p 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ise sıfır cinsine sahip olduğunu buldular. , 31, 41, 47, 59 veya 71. Ogg daha sonra canavar grubunu duyduğunda ve bunların tam olarak M boyutunun ana faktörleri olduğunu fark ettiğinde , herkese bir şişe Jack Daniel's viski sunan bir makale yayınladı. bu gerçeği açıklayabilir ( Ogg (1974) ).

Notlar

Kaynaklar

Dış bağlantılar

• Moonshine Bibliyography at the Wayback Machine (5 Aralık 2006'da arşivlendi)