Kaluza-Klein teorisi - Kaluza–Klein theory

Standart Modelin Ötesinde
Çarpışan protonların hadron jetlerine ve elektronlara bozunmasıyla üretilen bir Higgs bozonunu tasvir eden Simüle Edilmiş Büyük Hadron Çarpıştırıcısı CMS parçacık detektörü verileri
Standart Model
Kanıt
teoriler
süpersimetri
kuantum yerçekimi
deneyler
v T e

Gelen fiziği , Kaluza-Klein kuramı ( KK teorisi ) bir klasik olan birleşik alan teorisi ve yerçekimi ve elektromanyetizma bir fikri etrafında inşa beşinci boyutun ortak 4D ötesinde yer ve zaman ve önemli bir öncül olarak kabul sicim teorisi . Gunnar Nordström'ün daha önce benzer bir fikri vardı. Ancak bu durumda, elektromanyetik vektör potansiyeline Newton'un yerçekimi potansiyelini temsil eden ve Maxwell denklemlerini beş boyutta yazan beşinci bir bileşen eklendi.

Beş boyutlu (5D) teori üç adımda geliştirildi. Orijinal hipotez , sonuçlarını 1919'da Einstein'a gönderen ve 1921'de yayınlayan Theodor Kaluza'dan geldi. Kaluza , 15 bileşenli bir metrik tensör ile genel göreliliğin 5D'ye tamamen klasik bir uzantısını sundu . On bileşen 4D uzay-zaman metriği ile tanımlanır, dört bileşen elektromanyetik vektör potansiyeli ile ve bir bileşen bazen " radyon " veya "dilaton" olarak adlandırılan tanımlanamayan bir skaler alana sahip bir bileşendir. Buna uygun olarak, 5D Einstein denklemleri 4D Einstein alan denklemlerini , elektromanyetik alan için Maxwell denklemlerini ve skaler alan için bir denklemi verir. Kaluza ayrıca, beş boyutlu metriğin hiçbir bileşeninin beşinci boyuta bağlı olmadığını belirten "silindir koşulu" hipotezini ortaya koydu. Bu varsayım olmadan, alanların türevlerini beşinci koordinata göre içeren terimler tanıtılır. Bu ekstra serbestlik derecesi, tamamen değişken 5B göreliliğin alan denklemlerinin karmaşıklık içinde muazzam bir şekilde büyüdüğü şekildedir. Standart 4D fiziği, silindir durumunu ve buna karşılık gelen daha basit matematiği ortaya koyuyor gibi görünüyor.

1926'da Oskar Klein , Kaluza'nın klasik beş boyutlu teorisine, Heisenberg ve Schrödinger'in son zamanlardaki keşifleriyle uyumlu olması için bir kuantum yorumu verdi. Klein, silindir durumunu açıklamak için beşinci boyutun kıvrılmış ve mikroskobik olduğu hipotezini ortaya koydu. Klein, ekstra beşinci boyutun geometrisinin bir daire şeklini alabileceğini öne sürdü.10 ^-30  cm . Klein ayrıca düzgün bir şekilde normalleştirilmiş 5D metrik sağlayarak klasik teoriye katkıda bulundu. Einstein ve Princeton'daki meslektaşları tarafından 1930'larda Kaluza alan teorisi üzerinde çalışmalar devam etti.

1940'larda klasik teori tamamlandı ve skaler alanı içeren tam alan denklemleri üç bağımsız araştırma grubu tarafından elde edildi: Thiry, Fransa'da Lichnerowicz altındaki tezi üzerinde çalışıyor; Pauli ve Fierz'den kritik girdilerle Almanya'da Jordan, Ludwig ve Müller; ve Scherrer İsviçre'de yalnız çalışıyor. Jordan'ın çalışması Brans-Dicke'nin skaler-tensör teorisine yol açtı ; Brans ve Dicke görünüşe göre Thiry veya Scherrer'den habersizdiler. Silindir koşulu altındaki tam Kaluza denklemleri oldukça karmaşıktır ve çoğu İngilizce inceleme ve Thiry'nin İngilizce çevirileri bazı hatalar içerir. Kaluza denklemlerinin tamamı için eğrilik tensörleri , 2015 yılında tensör cebir yazılımı kullanılarak değerlendirildi ve Ferrari ve Coquereaux & Esposito-Farese'nin sonuçları doğrulandı. Enerji-momentum kaynağı terimlerinin 5D kovaryant formu Williams tarafından ele alınmıştır.

Kaluza hipotezi

Kaluza, 1921 tarihli makalesinde klasik beş boyutlu teorinin tüm unsurlarını oluşturdu: metrik, alan denklemleri, hareket denklemleri, gerilim-enerji tensörü ve silindir durumu. Hiçbir serbest parametre olmadan , genel göreliliği yalnızca beş boyuta genişletir. Latin endekslerinin beş boyuta yayıldığı beş boyutlu metriğin bir biçimini varsaymakla işe başlanır . Yunan endekslerinin uzay ve zamanın olağan dört boyutunu kapsadığı dört boyutlu uzay-zaman metriğini de tanıtalım ; elektromanyetik vektör potansiyeli ile tanımlanan bir 4-vektör ; ve bir skaler alan . Ardından, 5D metriği, skaler alan beşinci köşegende olacak şekilde, 4D metriği elektromanyetik vektör potansiyeli ile çerçevelenecek şekilde ayrıştırın. Bu şu şekilde görselleştirilebilir: ${\ Displaystyle {\widetilde {g}}_{ab}}$${\displaystyle {g}_{\mu\nu }}$${\görüntüleme stili A^{\mu }}$${\görüntüleme stili\phi }$

${\displaystyle {\widetilde {g}}_{ab}\equiv {\başlangıç{bmatrix}g_{\mu \nu }+\phi ^{2}A_{\mu }A_{\nu }&\phi ^ {2}A_{\mu }\\\phi ^{2}A_{\nu }&\phi ^{2}\end{bmatrix}}}$.

daha net yazılabilir

${\displaystyle {\widetilde {g}}_{\mu \nu }\equiv g_{\mu \nu }+\phi ^{2}A_{\mu }A_{\nu },\qquad {\widetilde { g}}_{5\nu }\equiv {\widetilde {g}}_{\nu 5}\equiv \phi ^{2}A_{\nu },\qquad {\widetilde {g}}_{55 }\eşdeğer \fi ^{2}}$

burada indeks , ilk dört koordinat 0, 1, 2 ve 3 ile indekslenmiş olsa bile, geleneksel olarak beşinci koordinatı gösterir. ${\görüntüleme stili 5}$

${\displaystyle {\widetilde {g}}^{ab}\equiv {\başlangıç{bmatrix}g^{\mu \nu }&-A^{\mu }\\-A^{\nu }&g_{\ alpha \beta }A^{\alpha }A^{\beta }+{1 \over \phi ^{2}}\end{bmatrix}}}$.

Bu ayrıştırma oldukça geneldir ve tüm terimler boyutsuzdur. Kaluza daha sonra standart genel görelilik mekanizmasını bu metriğe uygular . Alan denklemleri beş boyutlu Einstein denklemlerinden ve hareket denklemleri beş boyutlu jeodezik hipotezden elde edilir. Ortaya çıkan alan denklemleri hem genel görelilik hem de elektrodinamik denklemlerini sağlar; hareket denklemleri dört boyutlu jeodezik denklemi ve Lorentz kuvvet yasasını sağlar ve elektrik yükünün beşinci boyutta hareketle tanımlandığı bulunur.

Metrik için hipotez, değişmez bir beş boyutlu uzunluk elemanı anlamına gelir : ${\displaystyle \operatöradı {d} \!s}$

${\displaystyle \operatöradı {d} \!s^{2}\equiv {\widetilde {g}}_{ab}\operatöradı {d} \!x^{a}\operatöradı {d} \!x^{ b}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }\operatöradı {d} \!x^{\nu }+\phi ^{2}\left(A_{\nu }\operatöradı {d} \ !x^{\nu }+\operatöradı {d} \!x^{5}\sağ)^{2}}$

Kaluza hipotezinden alan denklemleri

5 boyutlu teorinin alan denklemleri, skaler alanı göz ardı ettikleri için Kaluza veya Klein tarafından hiçbir zaman yeterince sağlanamadı. Kaluza'nın orijinal olarak teorisi için bir gerilim-enerji tensörü sağlamasına ve Thiry'nin tezine bir gerilim-enerji tensörü dahil etmesine rağmen, tam Kaluza alan denklemleri genellikle vakum alan denklemlerini elde eden Thiry'ye atfedilir. Ancak Gonner tarafından açıklandığı gibi, 1940'larda ve daha önce birkaç bağımsız grup alan denklemleri üzerinde çalıştı. Thiry, belki de en çok Applequist, Chodos ve Freund tarafından inceleme kitaplarında İngilizce bir çeviri sağlandığı için bilinir. Applequist et al. ayrıca Kaluza'nın makalesinin İngilizce çevirisini de sağladı. Ürdün belgelerinin İngilizce çevirileri yoktur. Skaler alan da dahil olmak üzere ilk doğru İngilizce Kaluza alan denklemleri Williams tarafından sağlandı.

5D alan denklemlerini elde etmek için 5D bağlantılar 5D metrikten hesaplanır ve 5D Ricci tensörü 5D bağlantılardan hesaplanır. ${\ Displaystyle {\widetilde {\Gama }}_{bc}^{a}}$${\ Displaystyle {\widetilde {g}}_{ab}}$${\ Displaystyle {\widetilde {R}}_{ab}}$

Thiry ve diğer yazarların klasik sonuçları, silindir durumunu varsayar:

${\displaystyle {\partial {\widetilde {g}}_{ab} \over \partial x^{5}}=0}$.

Bu varsayım olmadan, alan denklemleri çok daha karmaşık hale gelir ve çeşitli yeni alanlarla tanımlanabilen çok daha fazla serbestlik derecesi sağlar. Paul Wesson ve meslektaşları, Kaluza'nın aksi halde elle bir stres-enerji tensörü eklediği madde alanlarıyla tanımlanabilecek ekstra terimler elde etmek için silindir koşulunun gevşemesini izlediler.

Beşinci boyutu yalnızca dinamiklerini reddetmek için çağırmak, orijinal Kaluza hipotezine bir itiraz olmuştur. Ancak Thiry, Lorentz kuvvet yasasının 5 boyutlu bir jeodezik açısından yorumlanmasının, silindir durumundan bağımsız olarak beşinci bir boyut için güçlü bir şekilde harekete geçtiğini savundu. Bu nedenle çoğu yazar, alan denklemlerinin türetilmesinde silindir koşulunu kullanmıştır. Ayrıca, vakum denklemleri tipik olarak aşağıdakiler için varsayılır:

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{ab}=0}$

nerede

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{ab}\equiv \partial _{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{c}-\partial _{b}{\widetilde {\ Gama }}_{ca}^{c}+{\widetilde {\Gamma }}_{cd}^{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{d}-{\widetilde {\ Gama }}_{bd}^{c}{\widetilde {\Gama }}_{ac}^{d}}$

ve

${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{bc}^{a}\equiv {1 \over 2}{\widetilde {g}}^{ad}\left(\partial _{b}{\widetilde) {g}}_{dc}+\partial _{c}{\widetilde {g}}_{db}-\partial _{d}{\widetilde {g}}_{bc}\right)}$

Thiry ve Jordan'ın grubu tarafından bu şekilde elde edilen vakum alan denklemleri aşağıdaki gibidir.

için alan denklemi elde edilir ${\görüntüleme stili\phi }$

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{55}=0\Rightarrow \Box \phi ={1 \over 4}\phi ^{3}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta } }$

nerede , nerede ve nerede standart bir 4D kovaryant türevidir. Elektromanyetik alanın skaler alan için bir kaynak olduğunu gösterir. Elektromanyetik alan kısıtlanmadan skaler alanın bir sabite ayarlanamayacağını unutmayın. Kaluza ve Klein'ın daha önceki tedavileri, skaler alanın yeterli bir tanımına sahip değildi ve skaler alanın sabit olduğunu varsayarak elektromanyetik alan üzerindeki zımni kısıtlamayı fark etmedi. ${\displaystyle F_{\alpha \beta }\eşdeğer \partial _{\alpha }A_{\beta}-\partial _{\beta}A_{\alpha }}$${\displaystyle \Box \eşdeğer g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }}$${\displaystyle \nabla _{\mu }}$

için alan denklemi elde edilir ${\ Displaystyle A^{\nu }}$

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{5\alpha }=0={1 \over 2}g^{\beta \mu }\nabla _{\mu }\left(\phi ^{3}F_ {\alpha \beta }\sağ)}$

Skaler alan sabit ise vakum Maxwell denklemleri şeklindedir.

4D Ricci tensörü için alan denklemi şuradan elde edilir: ${\displaystyle R_{\mu\nu }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widetilde {R}}_{\mu \nu }-{1 \over 2}{\widetilde {g}}_{\mu \nu }{\widetilde {R} }&=0\Rightarrow \\R_{\mu \nu }-{1 \over 2}g_{\mu \nu }R&={1 \over 2}\phi ^{2}\left(g^{\ alpha \beta }F_{\mu \alpha }F_{\nu \beta }-{1 \over 4}g_{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\sağ) +{1 \over \phi }\left(\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\phi -g_{\mu \nu }\Box \phi \sağ)\end{hizalı}}}$

standart 4D Ricci skaler nerede . ${\görüntüleme stili R}$

Bu denklem, elektromanyetik stres-enerji tensörünün kesin biçiminin , 4D denklemlerinde bir kaynak olarak 5D vakum denklemlerinden ortaya çıktığı "Kaluza mucizesi" olarak adlandırılan olağanüstü sonucu gösterir : boşluktan alan. Bu ilişki, kesin tanımlamaya izin verir. bir elektromanyetik vektör potansiyeline sahiptir. bu nedenle, alan, bir dönüşüm sabit ile yeniden olçeklendirilmiş gereken şekilde . ${\görüntüleme stili A^{\mu }}$${\görüntüleme stili k}$${\ Displaystyle A^{\mu }\rightarrow kA^{\mu }}$

Yukarıdaki bağıntı, sahip olmamız gerektiğini gösteriyor.

${\displaystyle {k^{2} \over 2}={8\pi G \over c^{4}}{1 \over \mu _{0}}={2G \overc^{2}}{ 4\pi \epsilon _{0}}}$

nerede olduğunu yerçekimi sabiti ve bir boş alan geçirgenliği . Kaluza teorisinde yerçekimi sabiti, metrikteki bir elektromanyetik bağlantı sabiti olarak anlaşılabilir. Skaler alan için bir stres-enerji tensörü de vardır. Skaler alan, elektromanyetik stres enerjisinin uzay-zaman eğriliğine bağlanmasını modüle etme açısından değişken bir yerçekimi sabiti gibi davranır. Metrikteki işareti, elektromanyetik enerji yoğunluklarının pozitif olması için 4D teorisine uygun olarak sabitlenir. Genellikle beşinci koordinatın metrikteki imzasında boşluk gibi olduğu varsayılır. ${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili \mu _{0}}$${\displaystyle \fi ^{2}}$

Maddenin varlığında, 5D vakum durumu varsayılamaz. Gerçekten de Kaluza bunu varsaymadı. Tam alan denklemleri, 5D Einstein tensörünün değerlendirilmesini gerektirir

${\displaystyle {\widetilde {G}}_{ab}\eşdeğer {\widetilde {R}}_{ab}-{1 \over 2}{\widetilde {g}}_{ab}{\widetilde {R }}}$

yukarıdaki elektromanyetik stres-enerji tensörünün geri kazanılmasında görüldüğü gibi. 5D eğrilik tensörleri karmaşıktır ve İngilizce dilindeki incelemelerin çoğu , İngilizce çevirisinde olduğu gibi ya da içinde hatalar içerir. Tensör cebir yazılımı kullanılarak değerlendirilen, silindir koşulu altında eksiksiz bir 5D eğrilik tensörü seti için bakınız. ${\ Displaystyle {\widetilde {G}}_{ab}}$${\ Displaystyle {\widetilde {R}}_{ab}}$

Kaluza hipotezinden hareket denklemleri

Hareket denklemleri, 5 hız cinsinden beş boyutlu jeodezik hipotezden elde edilir : ${\displaystyle {\widetilde {U}}^{a}\equiv dx^{a}/ds}$

${\displaystyle {\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {\nabla }}_{b}{\widetilde {U}}^{a}={d{\widetilde {U}}^{a } \over ds}+{\widetilde {\Gamma }}_{bc}^{a}{\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {U}}^{c}=0}$

Bu denklem çeşitli şekillerde yeniden biçimlendirilebilir ve Kaluza, Pauli, Gross & Perry, Gegenberg & Kunstatter ve Wesson & Ponce de Leon gibi yazarlar tarafından çeşitli şekillerde incelenmiştir, ancak onu normale döndürmek öğreticidir. 4 boyutlu kısmi uzunluğu 5 boyutlu uzunluk elemanı ile ilgilidir, yukarıda verildiği gibi: ${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}\equiv g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}$${\görüntüleme stili ds}$

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}d\tau ^{2}+\phi ^{2}\left(kA_{\nu }dx^{\nu }+dx^{5}\right )^{2}}$

Daha sonra 4 hızın uzay-zaman bileşenleri için 5B jeodezik denklem yazılabilir,

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}&U^{\nu }\eşdeğer {dx^{\nu } \d\tau }\\&{dU^{\nu } \d\tau }+{\widetilde üzerinde {\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\mu }U^{\alpha }U^{\beta}+2{\widetilde {\Gamma }}_{5\alpha }^{\mu } U^{\alpha }U^{5}+{\widetilde {\Gamma }}_{55}^{\mu }\left(U^{5}\sağ)^{2}+U^{\mu }{d \over d\tau }\ln \left({cd\tau \over ds}\sağ)=0\end{hizalı}}}$

İkinci dereceden terimi , 4D jeodezik denklemi ve bazı elektromanyetik terimleri sağlar: ${\ Displaystyle U^{\nu }}$

${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\mu }=\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }+{1 \over 2}g^{\mu \nu }k^{2}\phi ^{2}\left(A_{\alpha }F_{\beta \nu }+A_{\beta }F_{\alpha \nu }-A_{\alpha }A_{ \beta }\partial _{\nu }\ln \phi ^{2}\sağ)}$

Terimi doğrusal sağlar Lorentz kuvveti yasası : ${\ Displaystyle U^{\nu }}$

${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{5\alpha }^{\mu }={1 \over 2}g^{\mu \nu }k\phi ^{2}\left(F_{\ alpha \nu }-A_{\alpha }\partial _{\nu }\ln \phi ^{2}\sağ)}$

Bu, "Kaluza mucizesi"nin bir başka ifadesidir. Einstein denklemlerinde elektromanyetik stres-enerji sağlayan 5D metrik için aynı hipotez, 4D jeodezik denklemle birlikte hareket denkleminde Lorentz kuvvet yasasını da sağlar. Yine de Lorentz kuvvet yasasına uygunluk, elektrik yükü ile beşinci boyut boyunca 5 hızın bileşenini tanımlamamızı gerektirir:

${\displaystyle kU^{5}=k{\frac {dx^{5}}{d\tau }}\rightarrow {q \mc}}}$

parçacık kütlesi ve parçacık elektrik yükü nerede . Böylece elektrik yükü, beşinci boyut boyunca hareket olarak anlaşılır. Lorentz kuvvet yasasının 5 boyutta bir jeodezik olarak anlaşılabilmesi, Kaluza için estetik açıdan hoş olmayan silindir koşulunun varlığında bile 5 boyutlu hipotezi düşünmek için birincil motivasyondu. ${\görüntüleme stili m}$${\görüntüleme stili q}$

Yine de bir sorun var: ikinci dereceden terim ${\görüntüleme stili U^{5}}$

${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{55}^{\mu }=-{1 \over 2}g^{\mu \alpha }\partial _{\alpha }\phi ^{2}}$

Skaler alanda gradyan yoksa, ikinci dereceden terim kaybolur. Ama aksi halde yukarıdaki ifade şu anlama gelir: ${\görüntüleme stili U^{5}}$

${\displaystyle U^{5}\sim c{q/m \over G^{\frac {1}{2}}}}$

Temel parçacıklar için, . İkinci dereceden terim , belki de deneyime aykırı olarak denkleme hakim olmalıdır. Kaluza'nın gördüğü şekliyle 5 boyutlu teorinin ana eksikliği buydu ve orijinal makalesinde bunu biraz tartışıyor. ${\ Displaystyle U^{5}>{\rm {10}}^{20}c}$${\görüntüleme stili U^{5}}$

Hareket denklemi , silindir koşulu altında özellikle basittir. Kovaryant 5-hız için yazılmış jeodezik denklemin alternatif formuyla başlayın: ${\görüntüleme stili U^{5}}$

${\displaystyle {d{\widetilde {U}}_{a} \over ds}={1 \over 2}{\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {U}}^{c}{ \partial {\widetilde {g}}_{bc} \over \kısmi x^{a}}}$

Bu, silindir koşulu altında 5 boyutlu hareketin bir sabiti olduğu anlamına gelir : ${\ Displaystyle {\widetilde {U}}_{5}}$

${\displaystyle {\widetilde {U}}_{5}={\widetilde {g}}_{5a}{\widetilde {U}}^{a}=\phi ^{2}{cd\tau \over ds}\left(kA_{\nu }U^{\nu }+U^{5}\sağ)={\rm {sabit}}}$

Madde stres-enerji tensörü için Kaluza'nın hipotezi

Kaluza , formun 5D madde stres tensörünü önerdi${\ Displaystyle {\widetilde {T}}_{M}^{ab}}$

${\displaystyle {\widetilde {T}}_{M}^{ab}=\rho {dx^{a} \ds üzerinde}{dx^{b} \ds}}}$

nerede yoğunluk ve uzunluk elemanı yukarıda tanımlandığı gibidir. ${\görüntüleme stili \rho }$${\görüntüleme stili ds}$

Ardından, uzay-zaman bileşeni tipik bir "toz" stres enerjisi tensörü verir:

${\displaystyle {\widetilde {T}}_{M}^{\mu \nu }=\rho {dx^{\mu } \ ds üzerinden {dx^{\nu } \ ds}}}$

Karışık bileşen, Maxwell denklemleri için 4 akımlı bir kaynak sağlar:

${\displaystyle {\widetilde {T}}_{M}^{5\mu }=\rho {dx^{\mu } \üzerinde ds}{dx^{5} \ds}=\rho U^{ \mu }{q \over kmc}}$

Beş boyutlu metrik, elektromanyetik vektör potansiyeli tarafından çerçevelenen 4 boyutlu metriği içerdiği gibi, 5 boyutlu stres-enerji tensörü, vektör 4 akımı tarafından çerçevelenen 4 boyutlu stres-enerji tensörünü içerir.

Klein'ın kuantum yorumu

Kaluza'nın orijinal hipotezi tamamen klasikti ve genel göreliliğin genişletilmiş keşifleriydi. Klein'ın katkıları sırasında, Heisenberg, Schrödinger ve de Broglie'nin keşifleri çok dikkat çekiyordu. Klein'ın Nature makalesi, beşinci boyutun kapalı ve periyodik olduğunu ve beşinci boyuttaki hareketle elektrik yükünün tanımlanmasının , atomun Bohr modelindeki bir çekirdeğin etrafındaki elektronlar gibi, dalga boyunun duran dalgaları olarak yorumlanabileceğini öne sürdü . Elektrik yükünün nicemlenmesi, beşinci boyutlu momentumun tamsayı katları cinsinden daha iyi anlaşılabilir. Elektrik yükü açısından önceki Kaluza sonucunu ve momentum için bir de Broglie ilişkisini birleştiren Klein, bu tür dalgaların 0. modu için bir ifade elde etti: ${\görüntüleme stili \lambda ^{5}}$${\görüntüleme stili U^{5}}$${\displaystyle p^{5}=h/\lambda ^{5}}$

${\displaystyle mU^{5}={cq \over G^{\frac {1}{2}}}={h \over \lambda ^{5}}\quad \Rightarrow \quad \lambda ^{5} \sim {hG^{\frac {1}{2}} \over cq}}$

Planck sabiti nerede . Klein cm'yi buldu ve dolayısıyla bu küçük değerde silindir durumu için bir açıklama buldu . ${\görüntüleme stili h}$${\displaystyle \lambda ^{5}\sim {\rm {10}}^{-30}}$

Aynı yıl Klein'ın Zeitschrift für Physik makalesi, Schroedinger ve de Broglie'nin tekniklerini açıkça kullanan daha ayrıntılı bir tedavi verdi. Yukarıda açıklanan Kaluza'nın klasik teorisinin çoğunu özetledi ve ardından Klein'ın kuantum yorumuna geçti. Klein, kapalı, kompakt beşinci boyutta rezonansa giren beşinci boyutlu dalgalar cinsinden bir genişleme kullanarak Schroedinger benzeri bir dalga denklemini çözdü.

Kuantum alan teorisi yorumu

Grup teorisi yorumu

1926'da Oskar Klein, dördüncü uzaysal boyutun çok küçük bir yarıçapa sahip bir daire içinde kıvrıldığını , böylece bu eksen boyunca kısa bir mesafe hareket eden bir parçacığın başladığı yere dönmesini önerdi . Bir parçacığın başlangıç ​​konumuna ulaşmadan önce kat edebileceği mesafeye boyutun boyutu denir. Bu ekstra boyut kompakt bir kümedir ve bu kompakt boyutun yapısına sıkıştırma denir .

Modern geometride, ekstra beşinci boyut daire grubu U(1) olarak anlaşılabilir , çünkü elektromanyetizma esasen U(1) ayar grubu ile bir fiber demeti , daire demeti üzerinde bir ayar teorisi olarak formüle edilebilir . Kaluza-Klein teorisinde bu grup ayar simetrisinin dairesel kompakt boyutların simetrisi olduğunu öne sürer. Bu geometrik yorum anlaşıldıktan sonra, U (1)'i genel bir Lie grubu ile değiştirmek nispeten kolaydır . Bu tür genellemelere genellikle Yang-Mills teorileri denir . Bir ayrım yapılırsa, o zaman Yang-Mills teorileri düz bir uzay-zaman üzerinde gerçekleşirken, Kaluza-Klein daha genel bir eğri uzay-zaman durumunu ele alır. Kaluza-Klein teorisinin temel uzayının dört boyutlu uzay-zaman olması gerekmez; herhangi bir ( sözde ) Riemann manifoldu , hatta bir süpersimetrik manifold veya orbifold veya hatta değişmeli olmayan bir uzay olabilir .

Yapı kabaca şu şekilde özetlenebilir. Biri , bir M manifoldu üzerinde G ayar grubu ile bir ana fiber demeti P dikkate alınarak başlar. Demet üzerinde bir bağlantı ve taban manifoldu üzerinde bir metrik ve her bir fiberin tanjantı üzerinde bir değişmez mastar metriği verildiğinde, bir demet oluşturulabilir. tüm pakette tanımlanan metrik . Bu demet metriğinin skaler eğriliği hesaplandığında , bunun her fiberde sabit olduğu bulunur: bu "Kaluza mucizesidir". Açıkça bir silindir koşulu dayatmak veya kompaktlaştırmak zorunda değildi: varsayıma göre, gösterge grubu zaten kompakttır. Daha sonra, bu skaler eğrilik Lagrange yoğunluğu olarak alınır ve bundan yola çıkarak bir bütün olarak demet için Einstein-Hilbert eylemi oluşturulur. Hareket denklemleri , Euler-Lagrange denklemleri , hareketin taban manifoldu üzerindeki metriğin veya ayar bağlantısının varyasyonlarına göre nerede durağan olduğu dikkate alınarak elde edilebilir . Temel metriğe göre varyasyonlar , gösterge bağlantısının eğriliği ( alan gücü ) tarafından verilen enerji-momentum tensörü ile taban manifoldu üzerindeki Einstein alan denklemlerini verir . Kapak tarafında, mastar bağlantısı Yang-Mills denklemlerini çözdüğünde, eylem tam olarak mastar bağlantısının varyasyonlarına karşı durağandır . Böylece, tek bir fikir: en az etki ilkesi, tek bir miktara uygulanarak: demet üzerindeki skaler eğrilik (bir bütün olarak), hem uzay-zaman hem de ayar alanı için gerekli tüm alan denklemleri aynı anda elde edilir.

Kuvvetlerin birleştirilmesi için bir yaklaşım olarak, ile birleşme yerçekimi çabasıyla Kaluza Klein teorisini uygulamak için basittir güçlü ve elektro simetri grubu kullanarak kuvvetler Standart model , SU (3) x SU (2 ) × U(1) . Bununla birlikte, bu ilginç geometrik yapıyı gerçek bir gerçeklik modeline dönüştürme girişimi, fermiyonların yapay bir şekilde (süpersimetrik olmayan modellerde) tanıtılması gerektiği gerçeği de dahil olmak üzere bir dizi konuda bocalıyor. Bununla birlikte, KK teorik fizikte önemli bir mihenk taşı olmaya devam ediyor ve genellikle daha karmaşık teorilere gömülü. K-teorisinde geometrik bir ilgi nesnesi olarak kendi başına incelenir .

Tamamen tatmin edici bir teorik fizik çerçevesinin yokluğunda bile, ekstra, sıkıştırılmış boyutları keşfetme fikri, deneysel fizik ve astrofizik topluluklarında büyük ilgi görmektedir . Gerçek deneysel sonuçları olan çeşitli tahminler yapılabilir ( büyük ekstra boyutlar ve çarpık modeller durumunda ). Örneğin, en basit prensipte, ekstra sıkıştırılmış boyut(lar) da duran dalgaların olması beklenebilir . Uzamsal ilave boyut yarıçapı ise R , değişmez kütle gibi duran dalgaların olacaktır M _n = NH / Rc ile n bir tam sayıdır , s olmak Planck'ın sabit ve c ışık hızı . Bu olası kütle değerleri kümesine genellikle Kaluza-Klein kulesi denir . Benzer şekilde, Termal kuantum alan teorisinde , Öklid zaman boyutunun bir sıkıştırılması, Matsubara frekanslarına ve dolayısıyla ayrık bir termal enerji spektrumuna yol açar .

Bununla birlikte, Klein'ın bir kuantum teorisine yaklaşımı kusurludur ve örneğin, Planck kütlesinin büyüklük sırasına göre hesaplanmış bir elektron kütlesine yol açar .

Deneysel arayışların örnekleri arasında , büyük ekstra boyutlar/ çarpık modellerle ilişkili efektlerin imzası için parçacık çarpıştırıcı verilerini yeniden analiz eden CDF işbirliğinin çalışmaları yer alır .

Brandenberger ve Vafa, erken evrende, kozmik şişmenin , uzay boyutlarının üçünün kozmolojik boyuta genişlemesine neden olurken, uzayın geri kalan boyutlarının mikroskobik kalmasına neden olduğunu öne sürdüler.

Uzay-zaman-madde teorisi

Kaluza-Klein teorisinin özel bir varyantı , esas olarak Paul Wesson ve Uzay-Zaman-Madde Konsorsiyumunun diğer üyeleri tarafından ilan edilen uzay-zaman-madde teorisi veya uyarılmış madde teorisidir . Teorinin bu versiyonunda, denklemin çözümlerinin

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{ab}=0}$

Dört boyutta bu çözümler Einstein'ın denklemlerini karşılayacak şekilde yeniden ifade edilebilir.

${\displaystyle G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }\,}$

beş boyutlu uzayda Ricci-düz durumundan takip eden T _μν'un kesin formu ile . Başka bir deyişle, önceki gelişimin silindir durumu düşürülür ve gerilim-enerji şimdi beşinci koordinata göre 5D metriğin türevlerinden gelir. Çünkü enerji momentum tensörü normal olarak dört boyutlu uzayda madde konsantrasyonlarına bağlı olduğu anlaşılmalıdır, yukarıda sonuç dört boyutlu madde beş boyutlu uzayda geometrisinden neden olduğunu söylemeye olarak yorumlanır.

Özellikle, soliton çözümlerinin hem radyasyon baskın (erken evren) hem de madde baskın (sonraki evren) formlarında Friedmann–Lemaitre–Robertson–Walker metriğini içerdiği gösterilebilir . Genel denklemlerin, fiziksel ilkeler üzerinde kabul edilebilir olmak için klasik genel görelilik testleriyle yeterince tutarlı olduğu gösterilebilirken , yine de ilginç kozmolojik modeller sağlamak için önemli bir özgürlük bırakıyor . ${\displaystyle {\widetilde {R}}_{ab}=0}$

geometrik yorumlama

Kaluza-Klein teorisi, geometri açısından özellikle zarif bir sunuma sahiptir. Bir anlamda, dört yerine beş boyutta ifade edilmesi dışında, boş uzaydaki sıradan yerçekimine benziyor .

Einstein denklemleri

Serbest uzayda adi yerçekimini yöneten denklemler , varyasyon ilkesini belirli bir eyleme uygulayarak bir eylemden elde edilebilir . Let M bir (olmak sözde ) Riemannsal manifoldu olarak kabul edilebilir, uzay-zaman ve genel görelilik . Eğer g olan metrik Bu manifold üzerindeki bir tanımlar aksiyon S ( g ) halinde

${\displaystyle S(g)=\int _{M}R(g)\mathrm {vol} (g)\,}$

burada R ( g ) skaler eğrilik ve vol( g ) hacim elemanıdır . Eyleme varyasyon ilkesini uygulayarak

${\displaystyle {\frac {\delta S(g)}{\delta g}}=0}$

boş uzay için tam olarak Einstein denklemleri elde edilir :

${\displaystyle R_{ij}-{\frac {1}{2}}g_{ij}R=0}$

Burada, R _ij , Ricci tensörüdür .

Maxwell denklemleri

Buna karşılık, elektromanyetizmayı tanımlayan Maxwell denklemleri , bir ana U(1) demetinin veya fiber U(1) ile daire demetinin Hodge denklemleri olarak anlaşılabilir . Kendisine, elektromanyetik alan a, harmonik 2 biçimli boşlukta türevlenebilir arasında 2-formları manifold üzerinde . Yüklerin ve akımların yokluğunda, serbest alan Maxwell denklemleri ${\ Displaystyle \ pi : P\'den M'ye}$ ${\görüntüleme stili F}$${\ Displaystyle \ Omega ^{2}(M)}$${\görüntüleme stili M}$

${\displaystyle \mathrm {d} F=0\quad {\text{and}}\quad \mathrm {d} {\star }F=0.}$

nerede olduğunu Hodge yıldız operatörü . ${\görüntüleme stili\yıldız }$

Kaluza-Klein geometrisi

Kaluza-Klein teorisini oluşturmak için , elektromanyetizmanın U(1) demetinin lifi olan daire üzerinde değişmez bir metrik seçilir. Bu tartışmada, değişmez bir metrik , dairenin dönüşleri altında değişmez olan bir metriktir . Bu metriğin daireye toplam uzunluğunu verdiğini varsayalım . Daha sonra , hem fiber metriği hem de alttaki manifold üzerindeki metrik ile tutarlı olan demet üzerindeki metrikler dikkate alınır . Tutarlılık koşulları şunlardır: ${\görüntüleme stili S^{1}}$${\ Displaystyle \ Lambda }$${\ Displaystyle {\widehat {g}}}$${\görüntüleme stili P}$${\görüntüleme stili M}$

• Çıkıntısı için dikey alt uzay ihtiyaçları manifoldunda bulunan bir nokta üzerinde elyaf metrik ile anlaşmak .${\ Displaystyle {\widehat {g}}}$ ${\displaystyle {\mbox{Vert}}_{p}P\subset T_{p}P}$${\görüntüleme stili M}$
• Çıkıntısı için yatay bölme odası arasında teğet alanı noktasında mt izomorf olmalıdır üzerinde de .${\ Displaystyle {\widehat {g}}}$ ${\displaystyle {\mbox{Hor}}_{p}P\subset T_{p}P}$${\ Displaystyle p\in P}$${\görüntüleme stili g}$${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili \pi (P)}$

Böyle bir metrik için Kaluza-Klein eylemi şu şekilde verilir:

${\displaystyle S({\widehat {g}})=\int _{P}R({\widehat {g}})\;{\mbox{vol}}({\widehat {g}})\, }$

Bileşenlerde yazılan skaler eğrilik, daha sonra genişler.

${\displaystyle R({\widehat {g}})=\pi ^{*}\left(R(g)-{\frac {\Lambda ^{2}}{2}}\vert F\vert ^{ 2}\sağ),}$

burada bir geri çekilme lif yumağı çıkıntının . Fiber demeti üzerindeki bağlantı , elektromanyetik alan kuvveti ile ilgilidir. ${\görüntüleme stili\pi ^{*}}$${\ Displaystyle \ pi : P\'den M'ye}$${\görüntüleme stili A}$

${\displaystyle \pi ^{*}F=\mathrm {d} A}$

Keyfi olarak karmaşık topolojinin fiber demetleri için bile böyle bir bağlantının her zaman var olması, homolojinin ve özellikle K-teorisinin bir sonucudur . Fubini teoremini uygulayarak ve fiber üzerinde integral alarak,

${\displaystyle S({\widehat {g}})=\Lambda \int _{M}\left(R(g)-{\frac {1}{\Lambda ^{2}}}\vert F\vert ^{2}\sağ)\;{\mbox{vol}}(g)}$

Eylemi bileşene göre değiştirerek , Maxwell denklemleri yeniden elde edilir. Varyasyon ilkesini temel metriğe uygulayarak Einstein denklemleri elde edilir ${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili g}$

${\displaystyle R_{ij}-{\frac {1}{2}}g_{ij}R={\frac {1}{\Lambda ^{2}}}T_{ij}}$

ile stres enerjili tensör tarafından verilen

${\displaystyle T^{ij}=F^{ik}F^{jl}g_{kl}-{\frac {1}{4}}g^{ij}\vert F\vert ^{2},}$

bazen Maxwell stres tensörü olarak adlandırılır .

Orijinal teori , fiber metriği ile tanımlanır ve fiberden fibere değişiklik yapılmasına izin verir . Bu durumda, yerçekimi ve elektromanyetik alan arasındaki bağlantı sabit değildir, ancak kendi dinamik alanı olan radyona sahiptir . ${\ Displaystyle \ Lambda }$${\displaystyle g_{55}}$${\ Displaystyle \ Lambda }$

genellemeler

Yukarıda, döngünün boyutu , yerçekimi alanı ve elektromanyetik alan arasında bir bağlantı sabiti olarak işlev görür. Taban manifoldu dört boyutluysa, Kaluza–Klein manifoldu P beş boyutludur. Beşinci boyut kompakt bir uzaydır ve kompakt boyut olarak adlandırılır . Daha yüksek boyutlu bir manifold elde etmek için kompakt boyutları tanıtma tekniğine kompaktlaştırma denir . Sıkıştırma, çok özel durumlar dışında, kiral fermiyonlar üzerinde grup eylemleri üretmez: toplam uzayın boyutu 2 mod 8 olmalı ve kompakt uzayın Dirac operatörünün G-endeksi sıfırdan farklı olmalıdır. ${\ Displaystyle \ Lambda }$

Yukarıdaki gelişme , U(1)' in yerini alan bazı keyfi Lie grubu G için genel ana G- demetlerine az ya da çok basit bir şekilde genellenir . Böyle bir durumda, teori genellikle bir Yang-Mills teorisi olarak adlandırılır ve bazen eşanlamlı olarak kabul edilir. Altta yatan manifold süpersimetrik ise, ortaya çıkan teori süper simetrik bir Yang-Mills teorisidir.

ampirik testler

Ek boyutların hiçbir deneysel veya gözlemsel işareti resmi olarak bildirilmemiştir. Kaluza-Klein rezonanslarını tespit etmek için birçok teorik araştırma tekniği, bu tür rezonansların üst kuark ile kütle eşleşmeleri kullanılarak önerilmiştir . Ancak, Büyük Hadron Çarpıştırıcısı (LHC) tam operasyonel güce ulaşana kadar, bu tür rezonansların gözlemlenmesi olası değildir. Aralık 2010'da LHC'den elde edilen sonuçların analizi, teorileri büyük ekstra boyutlarla ciddi şekilde sınırlandırıyor .

LHC'de Higgs benzeri bir bozonun gözlemlenmesi, Kaluza-Klein rezonanslarının ve süpersimetrik parçacıkların aranmasına uygulanabilecek yeni bir ampirik test oluşturur. Higgs etkileşimlerinde var olan döngü Feynman diyagramları , elektrik yükü ve kütlesi olan herhangi bir parçacığın böyle bir döngüde çalışmasına izin verir. Üst kuark ve W bozonunun yanı sıra Standart Model parçacıkları , H → γ γ bozunmasında gözlemlenen kesite büyük katkılarda bulunmazlar , ancak Standart Model'in ötesinde yeni parçacıklar varsa, potansiyel olarak öngörülen Standart Modelin oranını değiştirebilirler. H → γ γ kesiti deneysel olarak gözlemlenen kesite. Bu nedenle , Standart Model tarafından tahmin edilen H → γ γ kesitindeki herhangi bir dramatik değişikliğin ölçümü, bunun ötesindeki fiziği araştırmak için çok önemlidir.

Temmuz 2018'den daha yakın tarihli bir başka makale, bu teori için biraz umut veriyor; makalede, yerçekiminin zar teorisinde olduğu gibi daha yüksek boyutlara sızdığını tartışıyorlar. Ancak makale EM ve yerçekiminin aynı sayıda boyutu paylaştığını gösteriyor ve bu gerçek Kaluza-Klein teorisini destekliyor; boyutların gerçekten 3+1 mi yoksa 4+1 mi olduğu ayrı bir tartışma konusudur.

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

• Kaluza, Theodor (1921). "Der Physik'te Zum Unitätsproblem". Sitzungsber. Preuss. Akad. Wiss. Berlin. (Matematik Fizik) : 966–972. Bibcode : 1921SPAW.......966K . https://archive.org/details/sitzungsberichte1921preussi
• Klein, Oskar (1926). "Quantentheorie und fünfsizede Relativitätstheorie". Zeitschrift für Physik A . 37 (12): 895-906. Bibcode : 1926ZPhy...37..895K . doi : 10.1007/BF01397481 .
• Witten, Edward (1981). "Gerçekçi bir Kaluza-Klein teorisi arayın". Nükleer Fizik B . 186 (3): 412–428. Bibcode : 1981NuPhB.186..412W . doi : 10.1016/0550-3213(81)90021-3 .
• Başvurucu, Thomas; Chodos, Alan; Freund, Peter GO (1987). Modern Kaluza-Klein Teorileri . Menlo Park, Cal.: Addison-Wesley. ISBN'si 978-0-201-09829-7. (Yukarıdaki makalelerin ve Kaluza-Klein teorisiyle ilgili diğer önemli makalelerin yeniden basımlarını içerir.)
• Duff, MJ (1994). "Perspektifte Kaluza-Klein Teorisi". Lindström'de, Ulf (ed.). 'Oskar Klein Yüzüncü Yılı' Sempozyumu Tutanakları. Singapur: Dünya Bilimsel. s. 22–35. ISBN'si 978-981-02-2332-8.
• Overduin, JM; Wesson, PS (1997). "Kaluza-Klein Yerçekimi". Fizik Raporları . 283 (5): 303–378. arXiv : gr-qc/9805018 . Bibcode : 1997PhR...283..303O . doi : 10.1016/S0370-1573(96)00046-4 . S2CID  119087814 .
• Wesson, Paul S. (2006). Beş Boyutlu Fizik: Kaluza–Klein Kozmolojisinin Klasik ve Kuantum Sonuçları . Singapur: Dünya Bilimsel. Bibcode : 2006fdpc.book.....W . ISBN'si 978-981-256-661-4.

daha fazla okuma

• The CDF Collaboration, CDF'de Eksik Enerjiyi Kullanarak Ekstra Boyutları Arama , (2004) ( Fermilab (CDF) parçacık fiziği tesisinde Çarpıştırıcı Dedektöründe ekstra boyutlar için yapılan aramanın basitleştirilmiş bir sunumu .)
• John M. Pierre, SUPERTRINGS! Ekstra Boyutlar , (2003).
• Chris Pope, Kaluza-Klein Teorisi Üzerine Dersler .
• Edward Witten (2014). "Einstein, Bergmann ve Beşinci Boyut Üzerine Bir Not", arXiv : 1401.8048