Fubini teoremi - Fubini's theorem

Gelen matematiksel analiz Fubini teoremi tarafından tanıtılan, Guido Fubini 1907 yılında, bir hesaplamak mümkündür hangi şartlar altında veren bir sonucudur çift integralini bir kullanarak tekrarlanan integrali . İntegralin mutlak değeri ile değiştirildiğinde, çift katlı integral sonlu bir cevap verirse, integrasyon sırası değiştirilebilir.

\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\text{d}}(x,y)=\int _{X}\left(\int _{Y}f( x,y)\,{\text{d}}y\sağ)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\ ,{\text{d}}x\sağ)\,{\text{d}}y

Sonuç olarak, belirli yinelenen integrallerde entegrasyon sırasının değiştirilmesine izin verir . Fubini'nin teoremi, iki yinelenen integralin, integralleri boyunca karşılık gelen çift katlı integrale eşit olduğunu ima eder. 1909'da Leonida Tonelli tarafından tanıtılan Tonelli'nin teoremi benzerdir, ancak alanları üzerinde integrallenebilir bir fonksiyondan ziyade negatif olmayan ölçülebilir bir fonksiyon için geçerlidir.

İlgili bir teoreme genellikle Fubini'nin sonsuz seriler için teoremi denir ; bu, eğer çift indeksli bir reel sayı dizisi ise ve eğer kesinlikle yakınsak ise, o zaman ${\textstyle \{a_{m,n}\}_{m=1,n=1}^{\infty }}$ ${\textstyle \sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n}}$

\sum _{(m,n)\in \mathbb {N} \times \mathbb {N} }a_{m,n}=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _ {n=1}^{\infty }a_{m,n}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=1}^{\infty }a_{m,n}

Fubini'nin sonsuz seriler için teoremi, daha genel Fubini teoreminin özel bir durumu olmasına rağmen, onu Fubini teoreminin mantıksal bir sonucu olarak nitelendirmek uygun değildir. Bunun nedeni, ölçümlerin bazı özelliklerinin, özellikle de alt toplamsallığın, genellikle sonsuz seriler için Fubini teoremi kullanılarak kanıtlanmasıdır. Bu durumda, Fubini'nin genel teoremi, Fubini'nin sonsuz seriler için teoreminin mantıksal bir sonucudur.

Tarih

Gerçek vektör uzaylarının kapalı sınırlı alt kümelerinin bir çarpımı üzerinde sürekli fonksiyonlar için Fubini teoreminin özel durumu , 18. yüzyılda Leonhard Euler tarafından biliniyordu . Henri Lebesgue ( 1904 ), bunu aralıkların çarpımı üzerinde sınırlı ölçülebilir fonksiyonlara genişletti. Levi (1906) , teoremin sınırlı olmak yerine integrallenebilir olan fonksiyonlara genişletilebileceğini tahmin etti ve bu, Fubini (1907) tarafından kanıtlandı . Leonida Tonelli ( 1909 ), Fubini teoreminin, integrallenebilir fonksiyonlardan ziyade negatif olmayan fonksiyonlara uygulanan bir varyasyonunu verdi.

Ürün ölçüleri

Eğer X ve Y'nin olan ölçü uzayları önlemler ile, bir tanımlamak için çeşitli doğal yol vardır ürün ölçü kendi ürün.

Ölçü uzaylarının X × Y çarpımı (kategori teorisi anlamında ), ölçülebilir kümeleri olarak, X ve Y'nin ölçülebilir alt kümelerinin A × B çarpımları tarafından üretilen σ-cebirine sahiptir .

İlgili bir ölçüsü μ X x Y bir adlandırılan ürün ölçü μ (eğer bir x B ) = μ ₁ ( A ) μ ₂ ( B ölçülebilir alt kümeleri için) bir ⊂ X ve B ⊂ Y ve önlemler u ₁ ile X ve μ ₂ ile Y . Genel olarak X × Y üzerinde birçok farklı ürün ölçüsü olabilir . Fubini'nin teoremi ve Tonelli'nin teoremi, bu karmaşıklığı önlemek için teknik koşullara ihtiyaç duyar; en yaygın yol, tüm ölçü uzaylarının σ-sonlu olduğunu varsaymaktır , bu durumda X × Y üzerinde benzersiz bir çarpım ölçüsü vardır . X × Y üzerinde her zaman benzersiz bir maksimal ürün ölçüsü vardır ; burada ölçülebilir bir kümenin ölçüsü, onu içeren ve ölçülebilir kümelerin çarpımlarının sayılabilir birlikleri olan kümelerin ölçülerinin inf'sidir. Maksimal çarpım ölçüsü, Carathéodory'nin genişleme teoremini , ölçülebilir kümelerin çarpımları tarafından üretilen kümeler halkası üzerinde μ( A × B )=μ ₁ ( A )μ ₂ ( B ) olacak şekilde toplamsal fonksiyona μ uygulanarak oluşturulabilir. (Carathéodory'nin genişleme teoremi, genel olarak X × Y ölçüm alanından daha fazla ölçülebilir kümeler içeren bir ölçü uzayı üzerinde bir ölçü verir , bu nedenle ölçü , ölçülebilir alt kümelerin A × B ürünleri tarafından üretilen σ-cebiriyle sınırlandırılmalıdır . X ve Y. )

İki tam ölçü uzayının çarpımı genellikle tam değildir. Örneğin, ürün Lebesgue ölçü aralığı ünitedeki I kendi kare üzerinde Lebesgue ölçüsü değildir I x I . Fubini'nin tam ölçüler için teoreminin bir varyasyonu vardır; bu, tamamlanmamış ürün yerine ölçülerin çarpımının tamamlanmasını kullanır.

İntegrallenebilir fonksiyonlar için

Varsayalım X ve Y'nin olan σ-sonlu ölçü boşlukları ve varsayalım X x Y (eşsiz Ürün ölçüsü verilir X ve Y, σ-sonlu). Eğer Fubini teoremi durumları f olan X- X -Y , yani integrali f a, ölçülebilir fonksiyon ve

\int _{X\times Y}|f(x,y)|\,{\text{d}}(x,y)<\infty ,

sonra

\int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\sağ)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\sağ)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\metin{d}}(x,y).

İlk iki integral, sırasıyla iki ölçüye göre yinelenen integrallerdir ve üçüncüsü, ürün ölçüsüne göre bir integraldir. Kısmi integraller ve her yerde tanımlanmaları gerekmez, ancak tanımlanmadıkları noktalar bir 0 ölçüsü oluşturduğundan bu önemli değildir. ${\textstyle \int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y}$ ${\textstyle \int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x}$

Mutlak değerin yukarıdaki integrali sonlu değilse, o zaman iki yinelenen integral farklı değerlere sahip olabilir. Bu olasılığın bir örneği için aşağıya bakın .

X ve Y'nin σ-sonlu olması koşulu genellikle zararsızdır çünkü pratikte Fubini teoremini kullanmak istediğimiz hemen hemen tüm ölçüm uzayları σ-sonludur. Fubini'nin teoremi, X ve Y'nin σ-sonlu olduğu varsayılmadığında bazı teknik uzantılara sahiptir ( Fremlin 2003 ) . Bu durumda ana ekstra komplikasyon, X × Y üzerinde birden fazla ürün ölçüsünün olabileceğidir . Fubini teoremi maksimal çarpım ölçüsü için geçerliliğini korur, ancak diğer çarpım ölçüleri için başarısız olabilir. Örneğin, bir çarpım ölçüsü ve bir negatif olmayan ölçülebilir f fonksiyonu vardır, bunun için | f | sıfırdır ancak yinelenen iki integral farklı değerlere sahiptir; Bunun bir örneği için aşağıdaki karşı örnekler bölümüne bakın. Tonelli teoremi ve Fubini-Tonelli teoremi (aşağıda belirtilmiştir), maksimum çarpım ölçüsü için bile σ-sonlu olmayan uzaylarda başarısız olabilir.

Negatif olmayan ölçülebilir fonksiyonlar için Tonelli teoremi

Tonelli teoremi ( Leonida Tonelli'nin adını almıştır ) Fubini teoreminin devamıdır. Tonelli'nin teoreminin sonucu, Fubini'nin teoremininkiyle aynıdır, ancak sonlu bir integrali olan varsayımın yerini, negatif olmayan, ölçülebilir bir fonksiyon olan varsayım alır . ${\görüntüleme stili |f|}$ ${\görüntüleme stili f}$

Tonelli teoremi, eğer ( X , A , μ) ve ( Y , B , ν) σ-sonlu ölçüm uzaylarıysa , X × Y'den [0,∞] 'ye kadar olan f negatif olmayan ölçülebilir bir fonksiyon ise, o zaman

\int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\sağ)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\sağ)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\metin{d}}(x,y).

Gibi Tonelli teoreminin özel bir durum, toplamları değişimine olan yerlerde, her olmayan negatif olan x ve y . Teoremin can alıcı noktası, seriler birbirinden ayrılsa bile toplama sırası değişiminin devam etmesidir. Aslında, toplama sırasındaki bir değişikliğin toplamı değiştirebilmesinin tek yolu, bazı alt dizilerin var olduğu ve diğerlerinin de saptığı zamandır . Negatif olmayan tüm öğelerle, belirtilen örnekte bu gerçekleşmez. ${\textstyle \sum _{x}\sum _{y}a_{xy}=\sum _{y}\sum _{x}a_{xy}}$ ${\ Displaystyle a_{xy}}$ ${\ Displaystyle +\infty }$ ${\görüntüleme stili -\infty }$

Ölçü uzaylarının σ-sonlu olması koşulu olmaksızın, bu üç integralin hepsinin farklı değerlere sahip olması mümkündür. Bazı yazarlar, σ-sonlu olmayan bazı ölçüm uzaylarına Tonelli teoreminin genellemelerini verirler, ancak bu genellemeler genellikle, sorunu hemen σ-sonlu duruma indirgeyen koşullar ekler. Örneğin, A × B üzerindeki σ-cebiri, ölçülebilir alt kümelerin tüm ürünleri tarafından üretilenden ziyade, sonlu ölçümün alt kümelerinin çarpımı tarafından üretilen olarak alınabilir, ancak bu, üründen projeksiyonların istenmeyen bir sonucu olmasına rağmen. A ve B faktörlerine göre ölçülebilir değildir. Başka bir yol, f'nin desteğinin , sonlu ölçü kümelerinin sayılabilir bir çarpımları birliğinde kapsandığı koşulunu eklemektir . Fremlin (2003) , Tonelli teoreminin bazı σ-sonlu olmayan uzaylara oldukça teknik uzantılarını verir. Bu genellemelerin hiçbiri, büyük ölçüde pratik ilginin neredeyse tüm ölçüm uzayları σ-sonlu olduğundan, soyut ölçü teorisi dışında önemli bir uygulama bulamadı.

Fubini-Tonelli teoremi

Fubini-Tonelli teoremi (genellikle sadece Fubini teoremi olarak da adlandırılır), Tonelli teoremi ile Fubini teoremi verir birleştiren olan durumları eğer X ve Y'nin olan σ-sonlu önlem ise boşluklar ve f daha sonra ölçülebilir bir fonksiyonudur,

\int _{X}\left(\int _{Y}|f(x,y)|\,{\text{d}}y\sağ)\,{\text{d}}x= \int _{Y}\left(\int _{X}|f(x,y)|\,{\text{d}}x\sağ)\,{\text{d}}y=\int _ {X\times Y}|f(x,y)|\,{\text{d}}(x,y)

Ayrıca, bu integrallerden herhangi biri sonlu ise, o zaman

\int _{X}\left(\int _{Y}f(x,y)\,{\text{d}}y\sağ)\,{\text{d}}x=\int _{Y}\left(\int _{X}f(x,y)\,{\text{d}}x\sağ)\,{\text{d}}y=\int _{X\times Y}f(x,y)\,{\metin{d}}(x,y).

Mutlak değeri f pozitif veya negatif kısım ya ile ikame edilmiş olabilir, yukarıda koşullarda f ; Bu formlar, Tonelli'nin teoremini özel bir durum olarak içerir, çünkü negatif olmayan bir fonksiyonun negatif kısmı sıfırdır ve dolayısıyla sonlu integrali vardır. Gayri resmi olarak tüm bu koşullar , muhtemelen sonsuz olsa da, f'nin çift katlı integralinin iyi tanımlı olduğunu söylüyor .

Fubini-Tonelli'nin Fubini teoremi üzerindeki avantajı, | f | çalışmak, çift katlı integralden daha kolay olabilir. Fubini'nin teoreminde olduğu gibi, tek integraller bir ölçü 0 setinde tanımlanamayabilir.

Tam önlemler için

Fubini'nin ve Tonelli'nin teoremlerinin yukarıdaki versiyonları, gerçek R çizgisinin kendisiyle Lebesgue ölçüsüyle çarpımı üzerindeki entegrasyon için geçerli değildir . Sorun şu ki, R × R üzerindeki Lebesgue ölçüsü, R üzerindeki Lebesgue ölçüsünün kendisi ile çarpımı değil , bunun yerine bunun tamamlanmasıdır: X ve Y iki tam ölçüm uzayının çarpımı genel olarak tam değildir. Bu nedenle bazen tam ölçüler için Fubini teoreminin versiyonları kullanılır: kabaca konuşursak, tüm ölçüleri tamamlamalarıyla değiştirir. Fubini teoreminin çeşitli versiyonları, aşağıdaki küçük farklılıklar dışında, yukarıdaki versiyonlara benzer:

İki ölçü uzayının X × Y çarpımını almak yerine, bazı çarpımların tamamlanmasını alır.
Eğer f , X × Y'nin tamamlanmasında ölçülebilirse, o zaman dikey veya yatay çizgilerle ilgili kısıtlamaları, çizgilerin bir sıfır alt kümesi için ölçülemeyebilir, bu nedenle, dikey veya yatay integrallerin tanımsız olma olasılığına izin verilmelidir. bir ölçü 0 kümesi çünkü ölçülemeyen fonksiyonların bütünleştirilmesini içerirler. Bu çok az fark yaratır, çünkü fonksiyonların integrallenemez olması nedeniyle zaten tanımsız olabilirler.
Genellikle X ve Y üzerindeki ölçülerin tam olduğu varsayılır , aksi takdirde dikey veya yatay çizgiler boyunca iki kısmi integral iyi tanımlanmış olabilir ancak ölçülemeyebilir. Örneğin, f ölçülebilir bir kümenin ve bir ölçü 0 kümesinde bulunan ölçülemeyen bir kümenin çarpımının karakteristik fonksiyonuysa, tek integrali her yerde iyi tanımlanmıştır ancak ölçülemez.

Kanıtlar

Fubini ve Tonelli teoremlerinin kanıtları, σ-sonluluk ile ilgili bir hipotez kullanmaları gerektiğinden, zorunlu olarak biraz tekniktir. Çoğu kanıt, aşağıdaki adımlarla giderek daha karmaşık işlevler için kanıtlayarak tam teoremlerin oluşturulmasını içerir.

Dikdörtgenlerin karakteristik fonksiyonları için teoremleri ispatlamak için çarpım üzerindeki ölçünün bir çarpım ölçüsü olduğu gerçeğini kullanın.
Ölçülebilir kümelerin karakteristik fonksiyonları için teoremi kanıtlamak için uzayların σ-sonlu olduğu koşulunu (veya ilgili bir koşulu) kullanın. Bu aynı zamanda basit ölçülebilir fonksiyonlar durumunu da kapsar (sadece sınırlı sayıda değer alan ölçülebilir fonksiyonlar).
Pozitif ölçülebilir fonksiyonlar için teoremleri basit ölçülebilir fonksiyonlarla yaklaştırarak ispatlamak için fonksiyonların ölçülebilir olması koşulunu kullanın. Bu, Tonelli'nin teoremini kanıtlar.
Bunları iki pozitif integrallenebilir fonksiyonun farkı olarak yazmak için fonksiyonların integrallenebilir olması koşulunu kullanın ve bunların her birine Tonelli teoremini uygulayın. Bu, Fubini'nin teoremini kanıtlar.

Riemann integralleri

İçin Riemann integralleri , Fubini teoremi formunun ortak bölüm oluşturmak üzere, x-ekseni ve y-ekseni boyunca bölümleri rafine tarafından kanıtlanmış üzerinde bir bölümdür, . Bu, her iki mertebenin çift katlı integrallerinin üzerindeki integrale eşit olduğunu göstermek için kullanılır . $[x_{i},x_{i+1}]\kez [y_{j},y_{j+1}]$ ${\görüntüleme stili X\kez Y}$ ${\görüntüleme stili X\kez Y}$

karşı örnekler

Aşağıdaki örnekler, Fubini teoreminin ve Tonelli teoreminin hipotezlerinden herhangi biri atlanırsa nasıl başarısız olabileceğini göstermektedir.

σ-sonlu olmayan uzaylar için Tonelli teoreminin başarısızlığı

Varsayalım ki X Lebesgue ölçülebilir setleri ile Lebesgue ölçüsüyle birimi aralığı ve Y, tüm alt-gruplar ölçülebilir ve ünite aralığıdır sayma ölçüsü öyle ki, Y, σ-sonlu değildir. Eğer f köşegeni karakteristik fonksiyonu olan X, X , Y , o zaman entegre f boyunca X 0 fonksiyonu yerine Y , ancak entegre f boyunca Y fonksiyonu 1 verir X . Yani iki yinelenen integral farklıdır. Bu, hangi ürün ölçüsü seçilirse seçilsin, σ-sonlu olmayan uzaylar için Tonelli teoreminin başarısız olabileceğini gösterir. Ölçülerin her ikisi de ayrıştırılabilir olup , Tonelli'nin teoreminin ayrıştırılabilir ölçüler için başarısız olduğunu gösterir (ki bunlar σ-sonlu ölçülerden biraz daha geneldir).

Maksimum olmayan çarpım ölçüleri için Fubini teoreminin başarısızlığı

Fubini'nin teoremi, uzaylar için, σ-sonlu oldukları varsayılmasa bile, maksimum çarpım ölçüsünün kullanılması şartıyla geçerlidir. Yukarıdaki örnekte, maksimal çarpım ölçüsü için köşegenin sonsuz ölçüsü vardır, dolayısıyla | f | sonsuzdur ve Fubini'nin teoremi boş yere geçerlidir. Bununla birlikte, bir kümenin ölçüsü yatay bölümlerinin Lebesgue ölçülerinin toplamı olacak şekilde çarpım ölçüsünü X × Y verirsek , o zaman | f | sıfırdır, ancak yinelenen iki integral hala farklı değerlere sahiptir. Bu, Fubini teoreminin başarısız olduğu bir çarpım ölçüsü örneği verir.

Bu, iki ölçü uzayının aynı ürünü üzerinde iki farklı çarpım ölçüsünün bir örneğini verir. İki σ-sonlu ölçü uzayının çarpımları için yalnızca bir çarpım ölçüsü vardır.

Tonelli teoreminin ölçülemeyen fonksiyonlar için başarısızlığı

X'in , ölçülebilir kümelerin sayılabilir (0. ölçü ile) veya sayılabilir tamamlayıcı kümelerinin (1. ölçü ile) olduğu sonlu ölçü ile ilk sayılamayan sıra olduğunu varsayalım . (Dışı ölçülebilir) alt kümesindeki e ait X- X X çifti (verilen x , y ) ile x < y her yatay satırda sayılabilir ve her dikey çizgi üzerinde sayılabilir tamamlayıcı sahiptir. Eğer f , E'nin karakteristik fonksiyonuysa, o zaman f'nin iki yinelenen integrali tanımlanır ve farklı 1 ve 0 değerlerine sahiptir . f fonksiyonu ölçülebilir değildir. Bu, Tonelli teoreminin ölçülemeyen fonksiyonlar için başarısız olabileceğini gösterir.

Ölçülemeyen fonksiyonlar için Fubini teoreminin başarısızlığı

Yukarıdaki örneğin bir varyasyonu, Fubini teoreminin | f | integrallenebilirdir hem tekrarlanan integralleri iyi tanımlanmıştır: biz alırsak f üzerinde 1 olmak E ve -1 komplementinden üzerine E , o zaman | f | integral 1 ile çarpım üzerinde integrallenebilir ve her iki tekrarlanan integral iyi tanımlanmıştır, ancak farklı 1 ve -1 değerlerine sahiptir.

Süreklilik hipotezini varsayarsak, X , I birim aralığı ile tanımlanabilir , bu nedenle I × I üzerinde , iki yinelenen integrali (Lebesgue ölçüsü kullanılarak) tanımlanmış ancak eşit olmayan, sınırlı, negatif olmayan bir fonksiyon vardır. Bu örnek Wacław Sierpiński ( 1920 ) tarafından bulunmuştur . Fubini teoreminin Lebesgue ölçüsü ile iki birim aralığın çarpımı üzerine daha güçlü versiyonları, burada fonksiyonun artık ölçülebilir olmadığı, sadece iki yinelenen integralin iyi tanımlanmış ve mevcut olduğu varsayılır, standart Zermelo-Fraenkel aksiyomlarından bağımsızdır . küme teorisi . Süreklilik hipotezi ve Martin aksiyomu , birim kare üzerinde yinelenen integralleri eşit olmayan bir fonksiyonun var olduğunu ima ederken, Harvey Friedman ( 1980 ), [0, 1] için güçlü bir Fubini tipi teoreminin ZFC ile tutarlı olduğunu gösterdi. tutar ve iki yinelenen integral mevcut olduğunda, bunlar eşittir. ZFC'de karar verilemeyen ifadelerin listesine bakınız .

İntegral edilemeyen fonksiyonlar için Fubini teoreminin başarısızlığı

Fubini'nin teoremi bize (σ-sonlu ölçüm uzaylarının bir çarpımı üzerinde ölçülebilir fonksiyonlar için) mutlak değerin integrali sonluysa, o zaman integrasyon sırasının önemli olmadığını söyler; önce x'e göre, sonra y'ye göre integral alırsak, önce y'ye göre, sonra x'e göre integral aldığımız gibi aynı sonucu elde ederiz . Mutlak değerin integralinin sonlu olduğu varsayımı " Lebesgue integrallenebilirliği "dir ve onsuz iki tekrarlanan integral farklı değerlere sahip olabilir.

Tekrarlanan integrallerin genel olarak farklı olabileceğini göstermek için basit bir örnek, iki ölçüm uzayını pozitif tamsayılar olarak almak ve f ( x , y ) fonksiyonunu x = y ise 1, x ise -1 olarak almaktır. = y +1 ve aksi takdirde 0. Sonra iki tekrarlanan integralin 0 ve 1 değerleri farklıdır.

Başka bir örnek, işlev için aşağıdaki gibidir

{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}=-{\frac {\partial ^{2 }}{\kısmi x\kısmi y}}\arctan(y/x).

sıralı integraller

\int _{x=0}^{1}\left(\int _{y=0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^) {2}+y^{2})^{2}}}\,{\text{d}}y\sağ)\,{\text{d}}x={\frac {\pi }{4} }

ve

\int _{y=0}^{1}\left(\int _{x=0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^) {2}+y^{2})^{2}}}\,{\text{d}}x\sağ)\,{\text{d}}y=-{\frac {\pi }{4 }}

farklı değerlere sahiptir. Karşılık gelen çift katlı integral mutlak yakınsak değildir (başka bir deyişle, mutlak değerin integrali sonlu değildir):

\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left|{\frac {x^{2}-y^{2}}{\left(x^{2 }+y^{2}\sağ)^{2}}}\sağ|\,{\text{d}}y\,{\text{d}}x=\infty .

Ayrıca bakınız

Cavalieri ilkesi (erken bir özel durum)
Coarea formülü (geometrik ölçü teorisine genelleme)
Parçalanma teoremi (Fubini teoreminin sınırlı bir tersi)
Kuratowski-Ulam teoremi (kategori için analog)
İkinci türevlerin simetrisi (farklılaşma için analog)

Referanslar

daha fazla okuma

DiBenedetto, Emmanuele (2002), Gerçek Analiz , Birkhäuser İleri Metinler: Basler Lehrbücher, Boston: Birkhäuser, doi : 10.1007/978-1-4612-0117-5 , ISBN 0-8176-4231-5, MR 1897317
Billingsley, Patrick (1995), "Ürün Ölçüsü ve Fubini Teoremi", Olasılık ve Ölçü , New York: Wiley, s. 231–240, ISBN 0-471-00710-2
Weir, Alan J. (1973), "Fubini Teoremi", Lebesgue Entegrasyonu ve Ölçüsü , Cambridge: Cambridge University Press, s. 83–92, ISBN 0-521-08728-7

Dış bağlantılar

Kudryavtsev, LD (2001) [1994], "Fubini teoremi" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press
Teschl, Gerald , Gerçek ve Fonksiyonel Analizde Konular , (ders notları)

Languages

In other projects