Henri Lebesgue - Henri Lebesgue

Henri Lebesgue
Lebesgue 2.jpeg
Doğmak ( 1875-06-28 )28 Haziran 1875
Öldü 26 Temmuz 1941 (1941-07-26)(66 yaşında)
Milliyet Fransızca
gidilen okul Paris Ecole Normale Supérieure
Üniversitesi
Bilinen Lebesgue entegrasyonu
Lebesgue ölçüsü
Ödüller 1914 Kraliyet Cemiyeti
Poncelet Ödülü Üyesi
Bilimsel kariyer
Alanlar Matematik
kurumlar Rennes
Üniversitesi Poitiers
Üniversitesi Paris Üniversitesi
Collège de France
Doktora danışmanı Émile Borel
Doktora öğrencileri Paul Montel
Zygmunt Janiszewski
Georges de Rham

Henri Léon Lebesgue ForMemRS ( Fransızca:  [ɑ̃ʁi leɔ̃ ləbɛɡ] ; 28 Haziran 1875 - 26 Temmuz 1941), 17. yüzyıl entegrasyon kavramının bir genellemesi olan entegrasyon teorisi ile tanınan bir Fransız matematikçiydi. bir eksen ile o eksen için tanımlanmış bir fonksiyonun eğrisi arasında. Teorisi ilk olarak 1902'de Nancy Üniversitesi'ndeki Intégrale, longueur, aire ("İntegral, uzunluk, alan") tezinde yayınlandı .

Kişisel hayat

Henri Lebesgue, 28 Haziran 1875'te Beauvais , Oise'de doğdu . Lebesgue'nin babası dizgiciydi ve annesi bir okul öğretmeniydi . Ailesi evde genç Henri'nin kullanabileceği bir kütüphane topladı. Lebesgue henüz çok küçükken babası tüberkülozdan öldü ve annesi onu tek başına desteklemek zorunda kaldı. İlkokulda matematik için olağanüstü bir yetenek gösterdiği gibi, onun eğitmenler biri onun eğitimine devam etmek topluluk destek için düzenlenen College de Beauvais ve ardından en Lycée Saint-Louis ve Lycée Louis-le-Grand içinde Paris .

1894'te Lebesgue, École Normale Supérieure'ye kabul edildi ve enerjisini matematik çalışmalarına odaklamaya devam etti ve 1897'de mezun oldu. Mezun olduktan sonra iki yıl boyunca École Normale Supérieure'de kaldı, kütüphanede çalıştı ve burada farkına vardı. Okuldan yeni mezun olan René-Louis Baire tarafından o sırada süreksizlik üzerine yapılan araştırmadan . Aynı zamanda o onun lisans çalışmaları başladı Sorbonne o öğrendi Émile Borel 'yeni başlayan üzerindeki çalışmalarının tedbir teorisi ve Camille Ürdün üzerinde yaptıkları çalışmaların Ürdün ölçüsü . 1899'da Nancy'deki Lycée Central'da doktora çalışmasına devam ederken öğretmenlik pozisyonuna geçti . 1902 yılında doktora derecesini aldı. Sorbonne'dan dört yaş büyük Borel ile danışman olarak sunulan "İntegral, Uzunluk, Alan" konulu ufuk açıcı tezi ile.

Lebesgue, öğrenci arkadaşlarından birinin kız kardeşiyle evlendi ve eşinden Suzanne ve Jacques adında iki çocuğu oldu.

Tezini yayınladıktan sonra, 1902'de Lebesgue'ye Rennes Üniversitesi'nde bir pozisyon teklif edildi ve 1906'da Poitiers Üniversitesi Fen Fakültesi'ne taşınana kadar orada ders verdi . 1910'da Lebesgue , 1919'dan itibaren profesörlüğe terfi ederek Sorbonne'a maître de conférences olarak taşındı . 1921'de, Collège de France'da matematik profesörü olmak için Sorbonne'dan ayrıldı , burada ders verdi ve hayatının geri kalanında araştırma yaptı. . 1922'de Académie des Sciences'a üye seçildi . Henri Lebesgue, 26 Temmuz 1941'de Paris'te öldü .

matematik kariyeri

Leçons sur l'integration et la recherche des fonctions ilkelleri , 1904

Lebesgue'nin ilk makalesi 1898'de yayınlandı ve "Sur l'about des fonctions" başlığını taşıyordu. Polinomlarla sürekli fonksiyonlara yaklaşım konusunda Weierstrass teoremi ile ilgilendi . Mart 1899 ile Nisan 1901 arasında Lebesgue, Comptes Rendus'ta altı not yayınladı . Bunlardan ilki, Lebesgue entegrasyonunu geliştirmesiyle ilgisi olmayan, Baire teoreminin iki değişkenli fonksiyonlara genişletilmesiyle ilgiliydi . Sonraki beş olan bir düzlemde, eğri alanında uygulanabilen yüzeyler ele çokgenler , yüzey integralleri bir bağlantılı olan belli asgari alan ve son not bir işlev f (x) için Lebesgue entegrasyon tanımı verdi. Lebesgue'nin büyük tezi Intégrale, longueur, aire , bu çalışmanın tam açıklamasıyla birlikte 1902'de Annali di Matematica'da yayınlandı. İlk bölüm, ölçü teorisini geliştirir (bkz. Borel ölçüsü ). İkinci bölümde integrali hem geometrik hem de analitik olarak tanımlar. Sonraki bölümler uzunluk, alan ve uygulanabilir yüzeylerle ilgili Comptes Rendus notlarını genişletiyor . Son bölüm esas olarak Plateau'nun sorunuyla ilgilidir . Bu tez, bir matematikçi tarafından yazılmış en iyilerden biri olarak kabul edilir.

1902'den 1903'e kadar olan dersleri bir " Borel yolu" nda toplandı Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives . İlkel bir işlev arayışı olarak görülen bütünleşme sorunu, kitabın kilit noktasıdır. Lebesgue, Augustin-Louis Cauchy , Peter Gustav Lejeune Dirichlet ve Bernhard Riemann'ı ele alarak entegrasyon sorununu tarihsel bağlamında sunuyor . Lebesque sunar tamamlayıcı dizisi f ise" olduğu son olan, uygun olmasıdır istenmektedir altı koşulları n sınır f (x), f integrali (x) artar , n (x) entegrali eğilimi f(x)." Lebesgue, koşullarının ölçü ve ölçülebilir fonksiyonlar teorisine ve integralin analitik ve geometrik tanımlarına yol açtığını gösterir .

1903 tarihli "Sur les séries trigonometriques" makalesi ile trigonometrik fonksiyonların yanına döndü . Bu çalışmada üç ana teorem sunmuştur: sınırlı bir fonksiyonu temsil eden trigonometrik bir serinin bir Fourier serisi olduğu, n'inci Fourier katsayısının sıfıra eğilimli olduğu ( Riemann-Lebesgue lemması ) ve bir Fourier serisinin terim terim integrallenebilir olduğu. 1904-1905'te Lebesgue bir kez daha Collège de France'da , bu kez trigonometrik diziler üzerine ders verdi ve derslerini bir başka "Borel risalesi"nde yayınlamaya devam etti. Bu risalede konuyu bir kez daha tarihsel bağlamı içinde ele alır. Fourier serisini, Cantor-Riemann teorisini, Poisson integralini ve Dirichlet problemini açıklar .

1910 tarihli bir makalede, "Représentation trigonométrique approchée des fonctions satisfaisant a une condition de Lipschitz" , kalan terimin büyüklük sırasının bir değerlendirmesiyle bir Lipschitz koşulunu sağlayan Fourier fonksiyonları serisiyle ilgilenir . Ayrıca Riemann-Lebesgue lemmasının sürekli fonksiyonlar için mümkün olan en iyi sonuç olduğunu kanıtlar ve Lebesgue sabitlerine bir miktar işlem verir .

Lebesgue bir keresinde, "Réduites à des théories générales, les mathématiques seraient une belle forme sans contenu" yazmıştı. ("Genel teorilere indirgenirse, matematik içeriksiz güzel bir biçim olurdu.")

Ölçü-teorik analiz ve matematiğin ilgili dallarında, Lebesgue-Stieltjes integrali, Riemann-Stieltjes ve Lebesgue entegrasyonunu genelleştirir ve ikincisinin birçok avantajını daha genel bir ölçü-teorik çerçevede korur.

Kariyeri boyunca, Lebesgue ayrıca karmaşık analiz ve topoloji alanlarına da girdi . Ayrıca , integralinin daha genel olduğu konusunda Émile Borel ile bir anlaşmazlığı vardı . Ancak, bu küçük baskınlar, gerçek analize katkılarıyla karşılaştırıldığında sönük kalıyor ; bu alana yaptığı katkılar, bugün alanın şekli üzerinde muazzam bir etkiye sahipti ve yöntemleri modern analizin önemli bir parçası haline geldi. Bunların, aşağıda belirtildiği gibi, Lebesgue'nin tamamen habersiz olacağı temel fizik için önemli pratik sonuçları vardır.

Lebesgue'nin entegrasyon teorisi

Dikdörtgen alanlar ile Riemann integralinin yaklaşımı.

Entegrasyon , bir fonksiyonun grafiğinin altındaki alanı bulma şeklindeki gayri resmi fikre karşılık gelen matematiksel bir işlemdir . İlk entegrasyon teorisi, Arşimet tarafından MÖ 3. yüzyılda kuadratür yöntemiyle geliştirildi , ancak bu yalnızca yüksek derecede geometrik simetri ile sınırlı durumlarda uygulanabilir. 17. yüzyılda, Isaac Newton ve Gottfried Wilhelm Leibniz , entegrasyonun doğası gereği farklılaşma ile bağlantılı olduğu fikrini keşfettiler , ikincisi, bir fonksiyonun grafikteki herhangi bir noktada ne kadar hızlı değiştiğini ölçmenin bir yoluydu. Kalkülüsteki iki ana geometrik işlem, türev alma ve entegrasyon arasındaki bu şaşırtıcı ilişki, şimdi Kalkülüsün Temel Teoremi olarak biliniyor . Matematikçilerin ilk kez geniş bir integral sınıfını hesaplamasına izin verdi. Ancak, Arşimet'in Öklid geometrisine dayanan yönteminin aksine , matematikçiler Newton ve Leibniz'in integral hesabının sağlam bir temele sahip olmadığını hissettiler .

19. yüzyılda, Augustin Cauchy epsilon-delta limitlerini geliştirdi ve Bernhard Riemann , şimdi Riemann integrali olarak adlandırılan şeyi resmileştirerek bunu takip etti . Bu integrali tanımlamak için grafiğin altındaki alan giderek daha küçük dikdörtgenlerle doldurulur ve her aşamada dikdörtgenlerin alanlarının toplamının limiti alınır . Ancak bazı fonksiyonlar için bu dikdörtgenlerin toplam alanı tek bir sayıya yaklaşmaz. Bu nedenle, Riemann integrali yoktur.

Lebesgue, bu sorunu çözmek için yeni bir entegrasyon yöntemi icat etti. Lebesgue , odağı fonksiyonun alanına yerleştiren dikdörtgenlerin alanlarını kullanmak yerine, temel alan birimi için fonksiyonun kod alanına baktı . Lebesgue'nin fikri, önce hem kümeler hem de bu kümelerdeki fonksiyonlar için ölçüyü tanımlamaktı. Daha sonra basit fonksiyonlar dediği şeyin integralini oluşturmaya başladı ; sadece sonlu sayıda değer alan ölçülebilir fonksiyonlar . Daha sonra, daha karmaşık fonksiyonlar için, söz konusu fonksiyondan daha küçük basit fonksiyonların tüm integrallerinin en küçük üst sınırı olarak tanımladı .

Lebesgue entegrasyonu, bir Riemann integrali ile sınırlı bir aralıkta tanımlanan her fonksiyonun aynı zamanda bir Lebesgue integraline sahip olma özelliğine sahiptir ve bu fonksiyonlar için iki integral aynı fikirdedir. Ayrıca, kapalı bir sınırlı aralıktaki her sınırlı fonksiyonun bir Lebesgue integrali vardır ve Lebesgue integrali olan ve Riemann integrali olmayan birçok fonksiyon vardır.

Lebesgue entegrasyonunun geliştirilmesinin bir parçası olarak, Lebesgue , uzunluk fikrini aralıklardan ölçülebilir kümeler olarak adlandırılan çok büyük bir küme sınıfına genişleten ölçü kavramını icat etti (yani, daha doğrusu basit fonksiyonlar , sonlu bir sayı alan fonksiyonlardır). değerleridir ve her değer ölçülebilir bir kümede alınır). Lebesgue'nin bir ölçüyü integrale dönüştürme tekniği, diğer birçok duruma kolayca genelleşerek modern ölçü teorisi alanına yol açar .

Lebesgue integrali bir açıdan eksiktir. Riemann integrali , tanım alanı kapalı bir aralık olmayan fonksiyonları ölçmek için uygun olmayan Riemann integraline genelleme yapar . Lebesgue integrali bu işlevlerin çoğunu bütünleştirir (yaptığında her zaman aynı cevabı üretir), ancak hepsini değil. Gerçek çizgideki fonksiyonlar için, Henstock integrali , hem Lebesgue entegrasyonunu hem de uygun olmayan Riemann entegrasyonunu kapsayan (Lebesgue'den ziyade Riemann teorisine dayanan) daha da genel bir integral kavramıdır. Bununla birlikte, Henstock integrali gerçek çizginin belirli sıralama özelliklerine bağlıdır ve bu nedenle daha genel uzaylarda (örneğin manifoldlar ) entegrasyona izin vermek için genelleme yapmazken, Lebesgue integrali bu tür uzaylara oldukça doğal bir şekilde uzanır.

Ayrıca bakınız

Referanslar

Dış bağlantılar