Zermelo–Fraenkel küme teorisi - Zermelo–Fraenkel set theory

Gelen küme teorisine , Zermelo-Fraenkel küme teorisi matematikçiler adını, Ernst Zermelo ve İbrahim Fraenkel , bir olan aksiyomatik sistem bir formüle etmek amacıyla yirminci yüzyılın başlarında önerilmiştir kümelerin teorisini gibi paradokslardan serbest Russell'ın paradoksu . Bugün, Zermelo-Fraenkel küme teorisi, tarihsel olarak tartışmalı seçim aksiyomu (AC) dahil olmak üzere, aksiyomatik küme teorisinin standart biçimidir ve bu nedenle matematiğin en yaygın temelidir . Dahil edilen seçim aksiyomu ile Zermelo-Fraenkel küme teorisi ZFC olarak kısaltılır, burada C "seçim" anlamına gelir ve ZF , seçim aksiyomu hariç tutularak Zermelo-Fraenkel küme teorisinin aksiyomlarını ifade eder.

Zermelo-Fraenkel küme teorisi bir o, bir tek ilkel kavramını resmileştirmek amaçlanmaktadır kalıtsal sağlam temelli bir set tüm böylece, kuruluşlar içinde söylem evreni böyle kümeleridir. Bu nedenle Zermelo-Fraenkel küme teorisinin aksiyomları yalnızca saf kümelere atıfta bulunur ve modellerinin urelements (kendileri küme olmayan kümelerin öğeleri) içermesini engeller . Ayrıca, uygun sınıflar (koleksiyonların kümelenemeyecek kadar büyük olduğu, üyeleri tarafından paylaşılan bir özellik tarafından tanımlanan matematiksel nesnelerin koleksiyonları) yalnızca dolaylı olarak ele alınabilir. Spesifik olarak, Zermelo-Fraenkel küme teorisi, evrensel bir kümenin (tüm kümeleri içeren bir küme) varlığına veya sınırsız kavramaya izin vermez , böylece Russell paradoksunu önler. Von Neumann-Bernays-Gödel küme teorisi (NBG), Zermelo-Fraenkel küme teorisinin uygun sınıfların açık bir şekilde ele alınmasına izin veren yaygın olarak kullanılan muhafazakar bir uzantısıdır .

Zermelo-Fraenkel küme teorisinin aksiyomlarının birçok eşdeğer formülasyonu vardır. Aksiyomların çoğu, diğer kümelerden tanımlanan belirli kümelerin varlığını belirtir. Örneğin, eşleştirme aksiyomu, herhangi iki kümenin verildiğini ve tam olarak ve içeren yeni bir küme olduğunu söyler . Diğer aksiyomlar, küme üyeliğinin özelliklerini tanımlar. Aksiyomların bir amacı, von Neumann evrenindeki (kümülatif hiyerarşi olarak da bilinir) tüm kümelerin toplanması hakkında bir ifade olarak yorumlandığında her aksiyomun doğru olması gerektiğidir . Resmen ZFC bir olan tek sıralanmış teori içinde Birinci derece mantık . İmza eşitliği ve tek ilkel sahip ikili bir ilişki , resim üyelik genellikle gösterilir, . Formül grubu olduğu anlamına gelir grubu üyesi olan (aynı zamanda okunur, " bir elemanıdır veya" " olduğu ").

Metamatematik Zermelo-Fraenkel küme kuramı üzerine yoğun çalışmalar yürütülmektedir. Bu alandaki dönüm noktası sonuçları, seçim aksiyomunun kalan Zermelo-Fraenkel aksiyomlarından (bkz . Seçim aksiyomu § Bağımsızlık ) ve ZFC'den süreklilik hipotezinden mantıksal bağımsızlığını ortaya koydu. Tutarlılık ile gösterildiği gibi ZFC gibi bir teori, teorinin kendi içinde kanıtlanamayan Gödel'in ikinci teoremi .

Tarih

Küme teorisinin modern çalışması , 1870'lerde Georg Cantor ve Richard Dedekind tarafından başlatıldı . Ancak keşfi paradoksları içinde naif küme teorisinin gibi Russell'ın paradoksu bu paradokslardan ücretsiz küme kuramı daha titiz form için arzu yol açtı.

1908'de Ernst Zermelo , ilk aksiyomatik küme teorisini , Zermelo küme teorisini önerdi . Bununla birlikte, Abraham Fraenkel'in 1921'de Zermelo'ya yazdığı bir mektupta ilk kez işaret ettiği gibi , bu teori, varlığı zamanın çoğu küme teorisyeni tarafından, özellikle kardinal sayı ve kardinal sayı olarak kabul edilen belirli kümelerin ve kardinal sayıların varlığını kanıtlamaktan acizdi. herhangi bir sonsuz kümenin nerede olduğu ve güç kümesi işlemi olduğu küme . Üstelik, Zermelo'nun aksiyomlarından biri, operasyonel anlamı açık olmayan "kesin" bir özelliğin kavramını çağrıştırdı. 1922'de Fraenkel ve Thoralf Skolem, bağımsız olarak , atomik formülleri üyelik ve kimlik belirlemekle sınırlı olan birinci dereceden bir mantıkta iyi biçimlendirilmiş bir formül olarak formüle edilebilecek bir "kesin" özelliği işlevselleştirmeyi önerdiler . Ayrıca, bağımsız bir şekilde değiştirilmesi teklif tarifnamenin aksiyomu şeması ile değiştirilmesi aksiyomu şeması . Bu şemanın yanı sıra düzenlilik aksiyomunun (ilk olarak John von Neumann tarafından önerilmiştir ) Zermelo küme teorisine eklenmesi, ZF tarafından belirtilen teoriyi verir . ZF ya ekleme seçim belitini (AC) veya ZFC verir eşdeğerdir bir açıklama.

aksiyomlar

ZFC aksiyomlarının birçok eşdeğer formülasyonu vardır; bunun bir tartışması için bkz. Fraenkel, Bar-Hillel & Lévy 1973 . Aşağıdaki özel aksiyom seti Kunen'den (1980) alınmıştır . Aksiyomlar, birinci dereceden mantığın sembolizminde ifade edilir . İlişkili İngilizce nesir yalnızca sezgiye yardımcı olmayı amaçlamaktadır.

ZFC'nin tüm formülasyonları, en az bir setin var olduğunu ima eder. Kunen, aşağıda verilen aksiyomlara ek olarak, doğrudan bir kümenin varlığını iddia eden bir aksiyom içerir (ancak bunu yalnızca "vurgu için" yaptığını not eder). Buradaki ihmali iki şekilde haklı çıkarılabilir. İlk olarak, ZFC'nin tipik olarak resmileştirildiği birinci dereceden mantığın standart semantiğinde , söylem alanı boş olmamalıdır. Bu nedenle, bir şeyin var olduğu birinci dereceden mantığın mantıksal bir teoremidir - genellikle bir şeyin kendisiyle özdeş olduğu iddiası olarak ifade edilir, . Sonuç olarak, bir şeyin var olduğu her birinci dereceden teorinin bir teoremidir. Bununla birlikte, yukarıda belirtildiği gibi, ZFC'nin amaçlanan semantiğinde yalnızca kümeler olduğundan, bu mantıksal teoremin ZFC bağlamında yorumlanması, bazı kümelerin var olduğu şeklindedir. Bu nedenle, bir kümenin var olduğunu iddia eden ayrı bir aksiyoma gerek yoktur. Ancak ikincisi, ZFC bir şeyin var olduğunun yalnızca mantıkla kanıtlanamadığı serbest mantık olarak formüle edilse bile , sonsuz aksiyomu (aşağıda) sonsuz bir kümenin var olduğunu iddia eder . Bu, bir kümenin var olduğu anlamına gelir ve bu nedenle, bir kez daha, bu kadar iddiada bulunan bir aksiyomu dahil etmek gereksizdir.

1. Genişleme aksiyomu

Aynı elemanlara sahiplerse iki küme eşittir (aynı kümedir).

Bu aksiyomun tersi, eşitliğin ikame özelliğinden kaynaklanır . Arka plan mantığı " " eşitliği içermiyorsa , aşağıdaki formülün kısaltması olarak tanımlanabilir:

Bu durumda, genişleme aksiyomu şu şekilde yeniden formüle edilebilir:

ki bu, eğer ve aynı elemanlara sahipse , o zaman aynı kümelere ait olduklarını söyler .

2. Düzenlilik aksiyomu (temel aksiyomu da denir)

Her boş kümeden bir üyeye sahip öyle ki ve olan ayrık kümeler .

veya modern gösterimde:

Bu (Eşleştirme Aksiyomu ile birlikte), örneğin, hiçbir kümenin kendisinin bir öğesi olmadığını ve her kümenin bir sıra sıralamasına sahip olduğunu ima eder .

3. Belirtimin aksiyom şeması (ayrıca ayırma veya sınırlı anlama aksiyom şeması olarak da adlandırılır)

Alt kümeler genellikle küme oluşturucu notasyonu kullanılarak oluşturulur . Örneğin, çift tamsayılar , uygunluk modulo yüklemini karşılayan tam sayıların alt kümesi olarak oluşturulabilir :

Genel olarak, bir serbest değişkenli bir formüle uyan bir kümenin alt kümesi şu şekilde yazılabilir:

Belirtimin aksiyom şeması, bu alt kümenin her zaman var olduğunu belirtir (bir aksiyom şemasıdır çünkü her biri için bir aksiyom vardır ). Resmi olarak, ZFC dilindeki herhangi bir formül olsun ve tüm serbest değişkenler ( 'de serbest değildir ). Sonra:

Belirtimin aksiyom şemasının yalnızca alt kümeler oluşturabileceğini ve daha genel formdaki varlıkların oluşturulmasına izin vermediğini unutmayın:

Bu kısıtlama, Russell'ın paradoksu ve sınırsız kavrama ile saf küme teorisine eşlik eden varyantlarından kaçınmak için gereklidir .

ZF diğer bazı axiomatizations olarak, bu aksiyom şu sonuç çıkar ki içinde gereksiz değiştirme aksiyomu şeması ve boş setin aksiyomuna .

Öte yandan, belirtim aksiyomu, en az bir kümenin var olduğu bilindiğinde , belirtilen boş kümenin varlığını kanıtlamak için kullanılabilir (yukarıya bakın). Bunu yapmanın bir yolu, hiçbir kümenin sahip olmadığı bir özelliği kullanmaktır . Örneğin, mevcut bir küme varsa , boş küme şu şekilde oluşturulabilir:

Böylece boş kümenin aksiyomu burada sunulan dokuz aksiyom tarafından ima edilir. Genişletme aksiyomu, boş kümenin benzersiz olduğunu ima eder ( 'ye bağlı değildir ). ZFC'nin diline " " sembolünü ekleyen bir tanımsal uzantı yapmak yaygındır .

4. Eşleştirme aksiyomu

Eğer ve kümelerse, o zaman ve öğelerini içeren bir küme vardır .

Belirtimin aksiyom şeması, bunu tam olarak bu iki elemanlı bir kümeye indirgemek için kullanılmalıdır. Eşleştirme aksiyomu Z'nin bir parçasıdır, ancak bize en az iki elemanlı bir küme verilirse, değiştirme aksiyom şemasından çıktığı için ZF'de gereksizdir. En az iki elemanlı bir kümenin varlığı, ya sonsuzluk aksiyomu ya da belirtim aksiyom şeması ve herhangi bir kümeye iki kez uygulanan kuvvet kümesi aksiyomu ile sağlanır .

5. Birlik aksiyomu

Sendika kümesinin elemanları üzerinde bulunmaktadır. Örneğin, setin elemanları üzerinde birlik olduğunu

Birlik aksiyomu, herhangi bir küme kümesi için , bazı üyelerinin üyesi olan her öğeyi içeren bir küme olduğunu belirtir :

Bu formül, doğrudan varlığını öne olmamasına rağmen , resim inşa edilebilir tarifnamenin aksiyomu şema kullanılarak yukarıdaki:

6. Aksiyom değiştirme şeması

Yer değiştirme aksiyom şeması, herhangi bir tanımlanabilir fonksiyon altındaki bir kümenin görüntüsünün de bir kümenin içine düşeceğini ileri sürer .

Resmi olarak, serbest değişkenleri arasında olan ve özellikle içinde serbest olmayan ZFC dilinde herhangi bir formül olsun . Sonra:

Anlamı için bkz. benzersizlik niceleme .

Diğer bir deyişle, ilişki halinde tanımlanabilir fonksiyonu temsil eder , onun temsil domeni , ve her bir dizi daha sonra aralığı içinde bir setinin bir alt kümesidir . Burada belirtilen ve kesinlikle gerekli olandan daha büyük olabilen forma bazen toplama aksiyom şeması denir .

7. Sonsuzluk aksiyomu

İlk birkaç von Neumann sıra sayısı
0 = { } = ∅
1 = { 0} = {∅}
2 = { 0, 1} = { ∅, {∅} }
3 = { 0, 1, 2} = {∅, {∅}, {∅, {∅}} }
4 = { 0, 1, 2, 3} = {∅, {∅}, {∅, {∅}}, {∅, {∅}, {∅, {∅}}} }

Izin kısaltmak nerede bazı kümesidir. (Biz görebilirsiniz bağlantılamak ait Axiom uygulayarak geçerli bir dizi seti böylece z olan ). Daha sonra bir dizi vardır X boş grubu bu şekilde bir üyesi olan , X bir dizi zaman ve Y bir üyesi olan , X , sonra da bir üyesi olan , X .

Daha yaygın olarak, sonsuz sayıda üyesi olan bir X kümesi vardır . (Bununla birlikte, bu üyelerin hepsinin farklı olduğu belirlenmelidir, çünkü eğer iki eleman aynıysa, dizi sonlu bir kümeler döngüsünde dönecektir. Düzenlilik aksiyomu bunun olmasını engeller.) Minimum X kümesi tatmin edicidir. sonsuzluk aksiyomu , doğal sayılar kümesi olarak da düşünülebilecek von Neumann sıra sayısı ω'dir.

8. Güç kümesi aksiyomu

Tanım olarak bir küme , yalnızca ve ancak her öğesi aynı zamanda aşağıdakilerin bir öğesiyse , bir kümenin alt kümesidir :

Güç Kümesi Aksiyomu, herhangi bir küme için, aşağıdakilerin her alt kümesini içeren bir küme olduğunu belirtir :

Spesifikasyonun aksiyom şeması daha sonra güç setini tam olarak aşağıdaki alt kümeleri içeren böyle bir alt küme olarak tanımlamak için kullanılır :

1-8 aksiyomları ZF'yi tanımlar. Bu aksiyomların alternatif biçimleriyle sıklıkla karşılaşılır, bunlardan bazıları Jech (2003)'te listelenmiştir . Bazı ZF aksiyomları, boş kümenin var olduğunu iddia eden bir aksiyom içerir . Eşleştirme, birleşim, yer değiştirme ve kuvvet kümesi aksiyomları, genellikle , varlığı iddia edilen kümenin üyeleri , aksiyomun öne sürdüğü kümelerin içermesi gereken kümeler olacak şekilde belirtilir .

ZF'yi ZFC'ye dönüştürmek için aşağıdaki aksiyom eklenir:

9. İyi sıralama teoremi

Herhangi bir küme için , iyi sıralayan bir ikili ilişki vardır . Bu araçlar a, doğrusal sıra ile boş olmayan tüm bu tür bir alt kümesi arasında en az altında bir üyenin .

1  –  8 aksiyomları verildiğinde , en iyi bilineni aşağıdaki gibi olan seçim aksiyomu (AC) olan 9 aksiyomuna eşdeğer olduğu kanıtlanan birçok ifade vardır . Tüm üyeleri boş olmayan bir küme olsun . O zaman , " seçim işlevi " olarak adlandırılan , üyelerin birliğine kadar bir işlev vardır , öyle ki, herkes için vardır . Bir seçim fonksiyonunun varlığı ne zamandan beri bir olan sonlu kümesi kolayca aksiyomlarından kanıtlanmıştır 1-8 AC sadece belirli için önemli olan sonsuz kümeler . AC, bir seçim kümesinin varlığını ileri sürdüğü, ancak seçim kümesinin nasıl "inşa edileceği" hakkında hiçbir şey söylemediği için yapıcı olmayan olarak karakterize edilir . Birçok araştırma, AC'nin varlığını ileri sürdüğü belirli kümelerin tanımlanabilirliğini (veya eksikliğini) karakterize etmeye çalıştı.

Kümülatif hiyerarşi yoluyla motivasyon

ZFC aksiyomları için bir motivasyon, John von Neumann tarafından tanıtılan kümelerin kümülatif hiyerarşisidir . Bu bakış açısına göre, küme teorisinin evreni, her bir sıra sayısı için bir aşama olacak şekilde aşamalar halinde inşa edilir . 0 aşamasında henüz set yok. Sonraki her aşamada, tüm öğeleri önceki aşamalarda eklenmişse, evrene bir küme eklenir. Böylece 1. aşamada boş küme eklenir ve 2. aşamada boş küme eklenir. Bu şekilde elde edilen tüm kümelerin tüm aşamalar boyunca toplanması V olarak bilinir. V'deki kümeler olabilir. Her kümeye, o kümenin V'ye eklendiği ilk aşama atanarak bir hiyerarşiye göre düzenlenebilir.

Bir kümenin V'de olduğu ancak ve ancak küme saf ve sağlam temelliyse kanıtlanabilir ; ve sıra sayıları sınıfı uygun yansıma özelliklerine sahipse, V'nin ZFC'nin tüm aksiyomlarını sağladığı kanıtlanabilir. Örneğin, bir x kümesinin α aşamasında eklendiğini varsayalım; bu, x'in her öğesinin α'dan önceki bir aşamada eklendiği anlamına gelir . Daha sonra x'in her alt kümesi de α aşamasında eklenir, çünkü x'in herhangi bir alt kümesinin tüm öğeleri de α aşamasından önce eklenir. Bu demektir ki, herhangi bir alt kümesi x ayırma kutu yapısı beliti aşama a eklenmiştir ve bir Powerset yani x a sonraki aşamada eklenir. V'nin ZFC'yi karşıladığının tam bir argümanı için Shoenfield'a (1977) bakınız .

Kümülatif hiyerarşide katmanlara ayrılmış kümeler evreninin resmi, ZFC'nin ve Von Neumann-Bernays-Gödel küme teorisi (genellikle NBG olarak adlandırılır) ve Morse-Kelley küme teorisi gibi ilgili aksiyomatik küme teorilerinin karakteristiğidir . Kümülatif hiyerarşi, Yeni Temeller gibi diğer küme teorileriyle uyumlu değildir .

V'nin tanımını , her aşamada, önceki aşamaların birleşiminin tüm alt kümelerini eklemek yerine, yalnızca belirli bir anlamda tanımlanabilirlerse alt kümeler eklenecek şekilde değiştirmek mümkündür. Bu , tercih edilen aksiyom da dahil olmak üzere ZFC'nin tüm aksiyomlarını da karşılayan inşa edilebilir evren L'yi veren daha "dar" bir hiyerarşiyle sonuçlanır . V  =  L olup olmadığı ZFC aksiyomlarından bağımsızdır . Yapısı ne kadar L daha düzenli ve de daha huylu bir  V , birkaç matematikçiler iddia  VL ek "olarak ZFC eklenmelidir constructibility aksiyomu ".

metamatematik

Sanal sınıflar

Daha önce belirtildiği gibi, uygun sınıflar (üyeleri tarafından paylaşılan bir özellik tarafından tanımlanan ve kümelenemeyecek kadar büyük olan matematiksel nesnelerin koleksiyonları) yalnızca dolaylı olarak ZF'de (ve dolayısıyla ZFC'de) ele alınabilir. ZF ve ZFC içinde kalırken uygun sınıflara bir alternatif, Quine (1969) tarafından tanıtılan sanal sınıf notasyon yapısıdır , burada tüm yapı y ∈ { x | F x } basitçe F y olarak tanımlanır . Bu, kümeleri içerebilen ancak kendilerinin küme olması gerekmeyen sınıflar için basit bir gösterim sağlarken, sınıfların ontolojisine bağlı kalmaz (çünkü gösterim sözdizimsel olarak yalnızca kümeleri kullanan birine dönüştürülebilir). Quine'ın yaklaşımı, Bernays & Fraenkel'in (1958) daha önceki yaklaşımı üzerine inşa edilmiştir . Sanal sınıflar ayrıca Levy (2002) , Takeuti & Zaring (1982) ve ZFC'nin Metamath uygulamasında da kullanılmaktadır.

Von Neumann–Bernays–Gödel küme teorisi

Yer değiştirme ve ayırma aksiyom şemalarının her biri sonsuz sayıda örnek içerir. Montague (1961) , 1957'deki doktorasında ilk kez kanıtlanan bir sonucu dahil etti. tez: ZFC tutarlıysa, yalnızca sonlu sayıda aksiyom kullanarak ZFC'yi aksiyomlaştırmak imkansızdır. Öte yandan, von Neumann-Bernays-Gödel küme teorisi (NBG) sonlu olarak aksiyomlaştırılabilir. NBG'nin ontolojisi, kümelerin yanı sıra uygun sınıfları da içerir ; küme, başka bir sınıfın üyesi olabilen herhangi bir sınıftır. NBG ve ZFC, sınıflardan bahsetmeyen ve bir teoride ispatlanabilen herhangi bir teoremin diğerinde ispatlanabilmesi anlamında eşdeğer küme teorileridir .

Tutarlılık

Gödel'in ikinci eksiklik teoremi , Robinson aritmetiğini yorumlayabilen özyinelemeli olarak aksiyomlanabilir bir sistemin kendi tutarlılığını ancak tutarsız olduğu takdirde kanıtlayabileceğini söyler . Ayrıca, Robinson aritmetiği , ZFC'nin küçük bir parçası olan genel küme teorisinde yorumlanabilir . Bu nedenle ZFC'nin tutarlılığı ZFC'nin kendi içinde kanıtlanamaz (aslında tutarsız değilse). Bu nedenle, ZFC'nin sıradan matematikle tanımlandığı ölçüde, ZFC'nin tutarlılığı sıradan matematikte gösterilemez. ZFC'nin tutarlılığı, ZFC tutarlıysa ZFC'de kanıtlanamayan zayıf erişilemez bir kardinal varlığından kaynaklanır . Bununla birlikte, ZFC'nin şüphelenilmeyen bir çelişki barındırması pek olası görülmemektedir; ZFC tutarsız olsaydı, bu gerçeğin şimdiye kadar ortaya çıkarılacağına yaygın olarak inanılıyor. Şu kadarı kesin - ZFC, saf küme teorisinin klasik paradokslarına karşı bağışıktır : Russell paradoksu , Burali-Forti paradoksu ve Cantor paradoksu .

Abian ve LaMacchia (1978) , ZFC'nin genişleme, birlik, güç kümesi, yer değiştirme ve seçim aksiyomlarından oluşan bir alt teorisini inceledi . Modelleri kullanarak , bu alt teorinin tutarlı olduğunu kanıtladılar ve genişleme, yer değiştirme ve güç kümesi aksiyomlarının her birinin bu alt teorinin kalan dört aksiyomundan bağımsız olduğunu kanıtladılar. Bu alt teori sonsuzluk aksiyomu ile genişletilirse, birlik, seçim ve sonsuzluk aksiyomlarının her biri, kalan beş aksiyomdan bağımsızdır. Düzenlilik aksiyomu dışında ZFC'nin her aksiyomunu karşılayan sağlam temelli olmayan modeller olduğundan, bu aksiyom diğer ZFC aksiyomlarından bağımsızdır.

Tutarlı olursa, ZFC varlığını ispat edemez ulaşılmaz kardinaller bu kategori teorisi gerektirir. ZF, Tarski'nin aksiyomu ile güçlendirilirse, bu türden devasa kümeler mümkündür . Bu aksiyomu dönüşler aksiyomlarını varsayarsak sonsuz , güç seti ve seçim ( 7  -  9 üzeri) teoremleri içine.

Bağımsızlık

Birçok önemli ifade ZFC'den bağımsızdır (bkz . ZFC'den bağımsız ifadeler listesi ). Bağımsızlık genellikle zorlama ile kanıtlanır , burada ZFC'nin her sayılabilir geçişli modelinin (bazen büyük kardinal aksiyomlarla artırılır ) söz konusu ifadeyi karşılamak için genişletilebileceği gösterilir. Daha sonra ifadenin olumsuzlanmasını sağlamak için farklı bir genişleme gösterilir. Zorlayarak yapılan bir bağımsızlık ispatı, aritmetik ifadelerden, diğer somut ifadelerden ve büyük ana aksiyomlardan bağımsızlığı otomatik olarak ispatlar. ZFC'den bağımsız bazı ifadelerin , inşa edilebilir evren gibi belirli iç modellerde geçerli olduğu kanıtlanabilir . Bununla birlikte, yapılandırılabilir kümeler hakkında doğru olan bazı ifadeler, varsayımsal büyük ana aksiyomlarla tutarlı değildir.

Zorlama, aşağıdaki ifadelerin ZFC'den bağımsız olduğunu kanıtlar:

Uyarılar:

Zorlama yöntemindeki bir varyasyon, seçim aksiyomunun tutarlılığını ve kanıtlanamazlığını , yani seçim aksiyomunun ZF'den bağımsız olduğunu göstermek için de kullanılabilir . Seçimin tutarlılığı (nispeten) iç model L'nin seçimi karşıladığını kanıtlayarak kolayca doğrulanabilir. (Dolayısıyla her ZF modeli ZFC'nin bir alt modelini içerir, böylece Con(ZF) Con(ZFC) anlamına gelir.) Zorlama seçimi koruduğu için, seçimi tatmin eden bir modelden seçimle çelişen bir modeli doğrudan üretemeyiz. Bununla birlikte, uygun bir alt model içeren, yani ZF'yi karşılayan ancak C'yi içermeyen bir model oluşturmak için zorlamayı kullanabiliriz.

Bağımsızlık sonuçlarını kanıtlamanın başka bir yöntemi, zorlamaya gerek duymadan, Gödel'in ikinci eksiklik teoremine dayanır . Bu yaklaşım, bir dizi ZFC modelinin varlığını kanıtlamak için bağımsızlığı incelenen ifadeyi kullanır, bu durumda Con(ZFC) doğrudur. ZFC, Gödel'in ikinci teoreminin koşullarını sağladığından, ZFC'nin tutarlılığı ZFC'de kanıtlanamaz (aslında ZFC'nin tutarlı olması şartıyla). Dolayısıyla böyle bir kanıta izin veren hiçbir ifade ZFC'de kanıtlanamaz. Bu yöntem, büyük kardinallerin varlığının ZFC'de kanıtlanamayacağını kanıtlayabilir, ancak ZFC verildiğinde bu tür kardinallerin varsayılmasının çelişkisiz olduğunu kanıtlayamaz.

Önerilen eklemeler

Süreklilik Hipotezi veya diğer meta-matematiksel belirsizlikleri çözmek için küme teorisyenlerini ek aksiyomların arkasında birleştirme projesi bazen "Gödel'in programı" olarak bilinir. Matematikçiler şu anda hangi aksiyomların en makul veya "apaçık" olduğunu, hangi aksiyomların çeşitli alanlarda en yararlı olduğunu ve ne derece yararlılığın makullikle değiş tokuş edilmesi gerektiğini tartışıyorlar; Bazı " çok evrenli " küme teorisyenleri, aksiyomların geleneksel olarak benimsendiği tek nihai kriterin kullanışlılık olması gerektiğini savunur. Bir düşünce okulu, zorlayıcı aksiyomları benimseyerek ilginç ve karmaşık ancak makul ölçüde izlenebilir bir yapıya sahip bir küme teorik evreni üretmek için kümenin "yinelemeli" kavramını genişletmeye dayanır; başka bir okul, belki de "çekirdek" bir iç modele odaklanan daha düzenli, daha az dağınık bir evreni savunuyor.

eleştiriler

Genel olarak küme teorisi eleştirisi için bkz . Küme teorisine itirazlar

ZFC, hem aşırı güçlü hem de aşırı zayıf olduğu için ve ayrıca uygun sınıflar ve evrensel küme gibi nesneleri yakalayamadığı için eleştirilmiştir .

Peano aritmetiği ve ikinci dereceden aritmetik ( ters matematik programı tarafından keşfedildiği gibi) gibi birçok matematik teoremi ZFC'den çok daha zayıf sistemlerde kanıtlanabilir . Saunders Mac Lane ve Solomon Feferman bu noktaya değindiler . Bazı "ana matematiğin" (aksiyomatik küme teorisi ile doğrudan bağlantılı olmayan matematik) Peano aritmetiğinin ve ikinci dereceden aritmetiğin ötesindedir, ancak yine de, bu tür tüm matematik ZC'de gerçekleştirilebilir ( Zermelo seçimli küme teorisi ), başka bir teori daha zayıftır. ZFC. Düzenlilik aksiyomu ve ikame aksiyom şeması dahil olmak üzere ZFC'nin gücünün çoğu, öncelikle küme teorisinin çalışılmasını kolaylaştırmak için dahil edilmiştir.

Öte yandan, aksiyomatik küme teorileri arasında ZFC nispeten zayıftır. New Foundations'ın aksine , ZFC evrensel bir kümenin varlığını kabul etmez. Bu nedenle, ZFC altındaki kümeler evreni , kümeler cebirinin temel işlemleri altında kapalı değildir . Aksine von Neumann-Bernays-Gödel küme kuramı (NBG) ve mors-Kelley küme kuramı (MK) ZFC varlığını kabul etmez uygun sınıflara . ZFC'nin bir diğer karşılaştırmalı zayıflığı, ZFC'de yer alan seçim aksiyomunun, NBG ve MK'de bulunan küresel seçim aksiyomundan daha zayıf olmasıdır .

ZFC'den bağımsız çok sayıda matematiksel ifade vardır . Bunlar süreklilik hipotezini , Whitehead problemini ve normal Moore uzay varsayımını içerir . Bu varsayımlardan bazıları, Martin aksiyomu veya büyük ana aksiyomlar gibi aksiyomların ZFC'ye eklenmesiyle kanıtlanabilir . Bazılarına ZF+AD'de karar verilir; burada AD, seçimle bağdaşmayan güçlü bir varsayım olan belirlenim aksiyomudur . Büyük kardinal aksiyomların bir çekiciliği, ZF+AD'den elde edilen birçok sonucun, bazı büyük kardinal aksiyomlarla birleştirilmiş ZFC'de kurulmasını mümkün kılmasıdır (bkz. yansıtmalı belirlenim ). Mizar sistemi ve Metamath benimsemiş Tarski-Grothendieck grubu teorisi ile ilgili deliller böylece, ZFC bir uzantısı Grothendieck evreni (kategori teorisi ve cebirsel geometri karşılaşılan) şekilsel olarak.

Ayrıca bakınız

İlgili aksiyomatik küme teorileri :

Notlar

Atıfta bulunulan eserler

Dış bağlantılar