Kompakt alan - Compact space

Belirtildiği gibi Öklid alanı için kompakt kriterlere göre , Heine-Borel teoremi , aralık A = (-∞, -2] o sınırlı değildir, çünkü kompakt değildir. Aralığı = (2, 4) bunun için, kompakt değildir kapalı değil B = [0, 1] aralığı kompakttır çünkü hem kapalı hem de sınırlıdır.

Gelen matematik , özellikle genel topoloji , kompakt bir alt kavramını genelleştirilmiş bir özelliğidir Öklid alanı olan kapalı (bütün ihtiva eden sınır noktaları ) ve sınırlı sahip (tüm noktaları birbirinden bazı sabit mesafede uzanır). Kompakt uzayların örnekleri arasında kapalı bir gerçek aralık , sonlu sayıda kapalı aralıkların birleşimi, bir dikdörtgen veya sonlu bir nokta kümesi bulunur. Bu kavram, daha genel topolojik uzaylar için çeşitli şekillerde tanımlanır ; bunlar genellikle Öklid uzayında eşdeğerdir, ancak diğer uzaylarda eşdeğer olmayabilir.

Bu tür bir genelleme bir topolojik uzay olmasıdır sırayla kompakt her eğer sonsuz bir dizi boşluğundan numune noktalarının sonsuz sahip alt-dizisinin alan bir noktaya yakınsadığı. Bolzano-Weierstrass teoremi o kapalı ve sınırlı ve ancak eğer Öklid uzayında bir alt kümesi bu sıralı anlamda kompakt olduğunu belirtmektedir. Böylece, kapalı birim aralığında [0, 1] sonsuz sayıda nokta seçilirse , bu noktalardan bazıları o uzaydaki bazı gerçek sayılara keyfi olarak yaklaşacaktır. Örneğin 1/2, 4/5, 1/3, 5/6, 1/4, 6/7, … dizisindeki sayıların bazıları 0'a (bazıları 1'e kadar) birikir. Aynı nokta kümesi, açık birim aralığının (0, 1) herhangi bir noktasında birikmez , bu nedenle açık birim aralığı kompakt değildir. Öklid uzayının alt kümeleri (alt uzayları) kompakt olabilse de, sınırlı olmadığı için tüm uzayın kendisi kompakt değildir. Örneğin , tüm gerçel sayı doğrusu dikkate alındığında , 0, 1, 2, 3, … noktaları dizisinin herhangi bir gerçel sayıya yakınsayan bir alt dizisi yoktur.

Kompaktlık resmi olarak Maurice Fréchet tarafından 1906'da Bolzano-Weierstrass teoremini geometrik noktaların uzaylarından fonksiyon uzaylarına genelleştirmek için tanıtıldı . Arzelà–Ascoli teoremi ve Peano varoluş teoremi , bu kompaktlık kavramının klasik analize uygulamalarına örnek teşkil eder. İlk tanıtımının ardından, genel metrik uzaylarda sıralı kompaktlık ve sınır noktası kompaktlığı dahil olmak üzere çeşitli eşdeğer kompaktlık kavramları geliştirildi . Bununla birlikte, genel topolojik uzaylarda, bu kompaktlık kavramları mutlaka eşdeğer değildir. En yararlı kavram - ve niteliksiz kompaktlık teriminin standart tanımı - uzayı " kaplayan " sonlu açık küme ailelerinin varlığı açısından ifade edilir ; bu anlamda, uzayın her bir noktası, uzayın her bir noktasının içinde bulunan bir kümede yer alır. aile. 1929'da Pavel Alexandrov ve Pavel Urysohn tarafından tanıtılan bu daha incelikli kavram, sonlu kümelerin genellemeleri olarak kompakt uzaylar sergiler . Bu anlamda kompakt uzaylarda, yerel olarak -yani, her noktanın bir komşuluğunda- tutan bilgiyi , uzay boyunca geçerli olan karşılık gelen ifadelerde bir araya getirmek çoğu zaman mümkündür ve birçok teorem bu karakterdedir.

Terimi, kompakt grubu zaman küçük bir alanda ile eş anlamlı olarak kullanılmaktadır ve sıklıkla da karşılık gelir kompakt bölme odası hem de bir topolojik alanı.

Tarihsel gelişim

19. yüzyılda, daha sonra kompaktlığın sonuçları olarak görülecek olan birkaç farklı matematiksel özellik anlaşıldı. Bir yandan, Bernard Bolzano ( 1817 ), herhangi bir sınırlı nokta dizisinin (örneğin, çizgi veya düzlemde) sonunda keyfi olarak sınır noktası adı verilen başka bir noktaya yaklaşması gereken bir altdizisi olduğunun farkındaydı . Bolzano'nun ispatı ikiye bölme yöntemine dayanıyordu : dizi, daha sonra iki eşit parçaya bölünen bir aralığa yerleştirildi ve dizinin sonsuz sayıda terimini içeren bir parça seçildi. İşlem daha sonra elde edilen daha küçük aralığı daha küçük ve daha küçük parçalara bölerek, istenen sınır noktasında kapanana kadar tekrarlanabilir. Bolzano teoreminin tam önemi ve ispat yöntemi, Karl Weierstrass tarafından yeniden keşfedildiği yaklaşık 50 yıl sonrasına kadar ortaya çıkmayacaktı .

1880'lerde, Bolzano-Weierstrass teoremine benzer sonuçların sadece sayılar veya geometrik noktalardan ziyade fonksiyonların uzayları için formüle edilebileceği açık hale geldi . Fonksiyonların kendilerini genelleştirilmiş bir uzayın noktaları olarak görme fikri , Giulio Ascoli ve Cesare Arzelà'nın araştırmalarına kadar uzanır . Araştırmalarının doruk noktası olan Arzelà-Ascoli teoremi , Bolzano-Weierstrass teoreminin sürekli fonksiyon ailelerine genelleştirilmesiydi , bunun kesin sonucu uygun bir fonksiyon ailesinden düzgün bir şekilde yakınsak bir fonksiyon dizisi çıkarmanın mümkün olduğuydu . fonksiyonlar. Bu dizinin tek tip sınırı, o zaman tam olarak Bolzano'nun "sınır noktası" ile aynı rolü oynadı. Yirminci yüzyılın başlarına doğru, Arzelà ve Ascoli'nin sonuçlarına benzer sonuçlar , David Hilbert ve Erhard Schmidt tarafından araştırıldığı gibi , integral denklemler alanında birikmeye başladı . Schmidt, integral denklemlerin çözümlerinden gelen Green fonksiyonlarının belirli bir sınıfı için, Arzelà–Ascoli teoremine benzer bir özelliğin, ortalama yakınsama veya daha sonra Hilbert uzayı olarak adlandırılacak olan yakınsama anlamında tutulduğunu göstermişti . Bu sonuçta , genel bir kompakt uzay kavramının bir dalı olarak bir kompakt operatör kavramına yol açtı . Öyleydi Maurice Fréchet , içinde 1906 , Bolzano-Weierstrass özelliğinin özünü ve terim icat etmişti kompakt bu genel fenomen (o meşhur 1906 teze açtı 1904 tarihli bildirisinde zaten terimini kullanılır) başvurmak için.

Bununla birlikte, 19. yüzyılın sonunda , analizin titiz formülasyonu için temel olarak görülen süreklilik çalışmasından yavaş yavaş farklı bir kompaktlık kavramı ortaya çıkmıştı . 1870'de Eduard Heine , kapalı ve sınırlı bir aralıkta tanımlanan sürekli bir fonksiyonun aslında düzgün sürekli olduğunu gösterdi . Kanıtlama sırasında, daha küçük açık aralıklarla aralığın herhangi bir sayılabilir örtüsünden, onu da kapsayan sonlu bir sayıda seçmenin mümkün olduğu bir lemmadan yararlandı. Bu lemmanın önemi Émile Borel ( 1895 ) tarafından fark edildi ve Pierre Cousin (1895) ve Henri Lebesgue ( 1904 ) tarafından keyfi aralık koleksiyonlarına genelleştirildi . Heine-Borel teoremi , sonuç artık bilindiği gibi, gerçek sayıların kapalı ve sınırlı kümeler tarafından sahip başka bir özel özelliktir.

Bu özellik, bir küme hakkındaki yerel bilgilerden (bir fonksiyonun sürekliliği gibi) küme hakkındaki genel bilgilere (bir fonksiyonun tek biçimli sürekliliği gibi) geçişe izin verdiği için önemliydi . Bu duygu, şimdi kendi adını taşıyan integralin geliştirilmesinde bundan yararlanan Lebesgue (1904) tarafından ifade edildi . Nihayetinde, Pavel Alexandrov ve Pavel Urysohn yönetimindeki Rus nokta kümeli topoloji okulu , modern topolojik uzay kavramına uygulanabilecek bir şekilde Heine-Borel kompaktlığını formüle etti . Alexandrov ve Urysohn (1929) , kompaktlığın Fréchet'e bağlı önceki versiyonunun, şimdi (göreceli) sıralı kompaktlık olarak adlandırılan , uygun koşullar altında, sonlu alt örtülerin varlığı açısından formüle edilmiş kompaktlık versiyonundan geldiğini gösterdi. Baskın olan bu kompaktlık kavramıydı, çünkü sadece daha güçlü bir özellik değildi, aynı zamanda minimum ek teknik makine ile daha genel bir ortamda formüle edilebilirdi, çünkü yalnızca açık kümelerin yapısına dayanıyordu. bir boşlukta.

Temel örnekler

Herhangi bir sonlu uzay önemsiz derecede kompakttır. Bir kompakt uzayın önemsiz olmayan bir örneği , reel sayıların (kapalı) birim aralığı [0,1]'dir . Birim aralıkta sonsuz sayıda farklı nokta seçilirse, o aralıkta bir birikim noktası olmalıdır . Örneğin, 1, 1/2, 1/3, 3/4, 1/5, 5/6, 1/7, 7/8, ... dizisinin tek sayılı terimleri keyfi olarak 0'a yaklaşır, çift ​​sayılı olanlar keyfi olarak 1'e yaklaşırken, verilen örnek dizi, aralığın sınır noktalarını dahil etmenin önemini gösterir , çünkü sınır noktaları uzayın kendisinde olmalıdır - açık (veya yarı açık) bir aralık. gerçek sayılar kompakt değildir. Aralığın sınırlı olması da çok önemlidir , çünkü [0,∞) aralığında , 0, 1, 2, 3, ... noktalarının sırası seçilebilir, bunlardan hiçbir alt-dizi sonuçta keyfi olarak yakın olamaz. herhangi bir gerçek sayı.

İki boyutta, kapalı diskler kompakttır, çünkü bir diskten örneklenen herhangi bir sonsuz sayıda nokta için, bu noktaların bazı alt kümelerinin ya disk içindeki bir noktaya ya da sınırdaki bir noktaya keyfi olarak yaklaşması gerekir. Bununla birlikte, açık bir disk kompakt değildir, çünkü bir dizi nokta, iç kısımdaki herhangi bir noktaya keyfi olarak yaklaşmadan sınıra yönelebilir. Aynı şekilde, küreler kompakt, ancak puan dizisi hala eksik noktaya eğilimi dolayısıyla keyfi olarak yakın herhangi bir noktaya almıyorum çünkü bir noktayı eksik bir küre değil içinde boşluk. Doğrular ve düzlemler kompakt değildir, çünkü herhangi bir noktaya yaklaşmadan herhangi bir yönde eşit aralıklı bir dizi nokta alınabilir.

Tanımlar

Genellik düzeyine bağlı olarak çeşitli kompaktlık tanımları geçerli olabilir. Özellikle Öklid uzayının bir alt kümesi , kapalı ve sınırlı ise kompakt olarak adlandırılır . Bu, Bolzano-Weierstrass teoremi tarafından, kümeden gelen herhangi bir sonsuz dizinin , kümedeki bir noktaya yakınsayan bir altdizisi olduğu anlamına gelir . Sıralı kompaktlık ve limit noktası kompaktlığı gibi çeşitli eşdeğer kompaktlık kavramları genel metrik uzaylarda geliştirilebilir .

Buna karşılık, farklı kompaktlık kavramları genel topolojik uzaylarda eşdeğer değildir ve en kullanışlı kompaktlık kavramı - orijinal olarak bikompaktlık olarak adlandırılır - açık kümelerden oluşan kapaklar kullanılarak tanımlanır (aşağıdaki Açık kapak tanımına bakın). Bu kompaktlık biçimi, Öklid uzayının kapalı ve sınırlı alt kümeleri için geçerlidir, Heine-Borel teoremi olarak bilinir . Kompaktlık, bu şekilde tanımlandığında, genellikle kişinin yerel olarak bilinen bilgiyi -uzayın her noktasının bir komşuluğunda- almasına ve bunu uzay boyunca küresel olarak tutan bilgilere genişletmesine izin verir. Bu fenomenin bir örneği, orijinal olarak Heine tarafından uygulandığı Dirichlet teoremidir, bu teoremi, kompakt bir aralıkta sürekli bir fonksiyonun düzgün süreklidir ; burada süreklilik, işlevin yerel bir özelliğidir ve tek biçimli süreklilik, karşılık gelen küresel özelliktir.

Açık kapak tanımı

Resmen bir topolojik uzay X denir kompakt onun her eğer açık kapakları bir sahiptir sonlu alt örtüye . Olduğunu, X, kompakt her koleksiyon için ise C açık alt kümelerinin X şekildedir

,

Bir vardır sonlu bir alt kümesi F arasında C şekildedir

Gibi matematik Bazı dallar cebirsel geometri tipik Fransız okulunda etkisinde, Bourbaki terimi kullanmak yarı-yoğun genel kavramı için, ve terim rezerv kompakt hem topolojik alanlar için Hausdorff ve quasi-kompakt . Kompakt bir kümeye bazen kompaktum , çoğul kompakta denir .

Alt kümelerin kompaktlığı

X topolojik uzayının bir K altkümesi , eğer bir alt uzay olarak kompakt ise ( altuzay topolojisinde ) kompakt olduğu söylenir . Olduğunu, K kompakt her keyfi koleksiyonu için ise C açık alt kümelerinin X şekildedir

,

Bir vardır sonlu bir alt kümesi F arasında C şekildedir

.

Kompaktlık "topolojik" bir özelliktir. Yani, eğer Z altkümesi altuzay topolojisi ile donatılmışsa, o zaman K , Z'de kompakttır, ancak ve sadece K , Y'de kompakt ise .

eşdeğer tanımlar

Eğer X bir topolojik uzay sonra aşağıdaki eşdeğerdir:

  1. X kompakttır.
  2. Her açık örtü ait X sonlu sahiptir alt örtüye .
  3. X'in bir alt-tabanı vardır, öyle ki uzayın her örtüsü, alt-temel üyeleri tarafından sonlu bir alt örtüye sahiptir ( Alexander'ın alt-teoremi ).
  4. X , Lindelöf'tür ve sayılabilir kompakttır .
  5. Kapalı alt kümelerinin herhangi koleksiyon X ile sonlu kesişim özellikli boş olmayan kavşak vardır.
  6. X üzerindeki her ağın yakınsak bir alt ağı vardır ( kanıt için ağlarla ilgili makaleye bakın ).
  7. X üzerindeki her filtrenin yakınsak bir iyileştirmesi vardır.
  8. X üzerindeki her ağın bir küme noktası vardır.
  9. X üzerindeki her filtrenin bir küme noktası vardır.
  10. X üzerindeki her ultrafiltre en az bir noktaya yakınsar.
  11. Her sonsuz alt kümesi X bir sahiptir tam birikim noktası .

Öklid uzayı

Herhangi İçin alt kümesi A ve Öklid uzayında , A o ve sadece eğer kompakt kapalı ve sınırlanmış ; bu Heine-Borel teoremidir .

Bir olarak Öklid uzayı bir metrik uzay, sonraki alt bölümde koşulları da alt kümelerinin tümüne uygulanır. Tüm eşdeğer koşullar arasında, örneğin kapalı bir aralık veya kapalı n- top için bir alt kümenin kapalı ve sınırlı olduğunu doğrulamak pratikte en kolay olanıdır.

Metrik uzaylar

Herhangi bir metrik uzay ( X , d ) için aşağıdakiler eşdeğerdir ( sayılabilir seçim varsayılarak ):

  1. ( X , d ) kompakttır.
  2. ( X , d ) olan tam ve tamamen sınırlanan (bu için kompakt eşdeğer düzgün alanlar ).
  3. ( X , d ) sıralı olarak kompakttır; olduğu, her dizi içinde X , sınırı olan bir yakınsak altdizisi sahip X (bu da aynı zamanda kompakt eşdeğerdir birinci sayılabilir düzgün alanlar ).
  4. ( X , d ) bir sınır noktası, kompakt (aynı zamanda zayıf sayılabilir kompakt olarak adlandırılır); olduğu, her sonsuz bir alt kümesi , X , en azından bir yer alır sınır noktasını içinde X .
  5. ( X , d ) olduğu sayılabilir kompakt ; yani, X'in her sayılabilir açık örtüsünün sonlu bir alt örtüsü vardır.
  6. ( X , d ) Cantor kümesinden sürekli bir fonksiyonun bir görüntüsüdür .
  7. ( X , d ) içindeki F1F2 ⊇ … kapalı kümelerinin her azalan dizisinin boş olmayan bir kesişimi vardır.
  8. ( X , d ) kapalı ve tamamen sınırlıdır.

Kompakt bir metrik uzay ( X , d ) ayrıca aşağıdaki özellikleri de sağlar:

  1. Lebesgue'in sayı lemması : X'in her açık kapağı için, δ > 0 sayısı vardır, öyle ki , < δ çapındaki X'in her alt kümesi , kapağın bazı elemanlarında bulunur.
  2. ( X , d ) bir ikinci sayılabilir , ayrılabilir ve Lindelöf - bu üç koşullar metrik alanlar için eşdeğerdir. Bunun tersi doğru değil; örneğin sayılabilir bir ayrık uzay bu üç koşulu karşılar, ancak kompakt değildir.
  3. X kapalı ve sınırlıdır (sınırlı metriği d olan herhangi bir metrik uzayın alt kümesi olarak ). Öklidyen olmayan bir uzay için tersi başarısız olabilir; örneğin, ayrık metrik ile donatılmış gerçek çizgi kapalı ve sınırlıdır, ancak uzayın tüm tek tonlarının koleksiyonu sonlu bir alt örtü kabul etmeyen açık bir örtü olduğundan kompakt değildir . Tamdır, ancak tamamen sınırlı değildir.

Sürekli fonksiyonlarla karakterizasyon

Let X, bir topolojik alan ve olduğu , C ( X ) gerçek sürekli fonksiyonların halka X . Her pX için ev p ( f ) = f ( p ) ile verilen değerlendirme haritası bir halka homomorfizmidir. Çekirdek ve ev p a, maksimal ideal çünkü artık madde alan C ( X ) / ker ev s gerçek sayılar alan, bir ilk izomorfizm teoremi . Bir X topolojik uzayı , yalnızca ve sadece C( X ) içindeki her maksimal idealin gerçek sayıların kalıntı alanına sahip olması durumunda sözde kompakttır . İçin tamamen normal boşluklar , bu bir değerlendirme homomorfizmasının çekirdeği olma her maksimal ideali eşdeğerdir. Yine de, kompakt olmayan sözde kompakt uzaylar var.

Genel olarak, sigara pseudocompact alanlar için maksimal idealler her zaman vardır m olarak C ( X ) , bu kalıntı bir saha, C ( X ) / m olan bir ( sigara Arşimet ) üstü bir alan . Çerçevesi standart dışı analiz kompaktlık aşağıdaki alternatif karakterize edilmesine imkan verir: bir topolojik uzay X , her bir nokta, sadece eğer kompakt x doğal uzantısı * X, bir sonsuz yakın bir noktaya kadar x 0 arasında X (daha kesin olarak, X içerdiği monadın ait x 0 ).

hiper gerçek tanım

Bir X uzayı , hipergerçek uzantısı *X (örneğin, ultra-güç yapısı tarafından inşa edilmiş ), *X'in her noktasının X*X'in bir noktasına sonsuz derecede yakın olma özelliğine sahipse kompakttır . Örneğin, bir açık gerçek aralık X = (0, 1) kompakt değildir, çünkü hipergerçek uzantısı *(0,1) , X'in bir noktası olmayan 0'a sonsuz yakın olan sonsuz küçükler içerir .

Yeterli koşullar

  • Kompakt uzayın kapalı bir alt kümesi kompakttır.
  • Kompakt kümelerin sonlu birleşimi kompakttır.
  • Bir sürekli kompakt uzay görüntüsü kompakt.
  • Bir Hausdorff uzayının herhangi bir boş olmayan kompakt alt kümesi koleksiyonunun kesişimi kompakttır (ve kapalıdır);
    • Eğer X, Hausdorff değil daha sonra iki küçük alt-kesişme (örneğin dipnot bakınız) kompakt başarısız olabilir.
  • Ürün kompakt alanlarının hiçbirinde koleksiyonunun kompakt. (Bu, seçim aksiyomuna eşdeğer olan Tychonoff teoremidir .)
  • Bir de metriklenebilir alan ve yalnızca eğer, bir alt kompakt sırayla kompakt (varsayarak sayılabilen seçim )
  • Herhangi bir topoloji ile donatılmış sonlu bir küme kompakttır.

Kompakt uzayların özellikleri

  • Bir Hausdorff uzayı X'in kompakt bir alt kümesi kapalıdır.
    • Eğer X, Hausdorff daha sonra kompakt alt kümesi değildir , X bir kapalı alt kümesi için başarısız olabilir , X (örneğin dipnot bakınız).
    • X Hausdorff değilse , o zaman bir kompakt kümenin kapanışı kompakt olmayabilir (örneğin dipnota bakınız).
  • Herhangi bir topolojik vektör uzayında (TVS), kompakt bir alt küme tamamlandı . Bununla birlikte, her olmayan Hausdorff TVS temin edilen kompakt (ve bu nedenle tam) alt kümelerini içeren olmayan kapalı.
  • Eğer bir ve B bir Hausdorff alanı ayrık kompakt altkümeleridir X , daha sonra ayrık açık kümesi mevcuttur U ve V de X , öyle ki birU ve BV .
  • Bir kompakt uzaydan bir Hausdorff uzayına sürekli bir bijeksiyon, bir homeomorfizmadır .
  • Kompakt bir Hausdorff uzayı normal ve düzenlidir .
  • X uzayı kompakt ve Hausdorff ise, X üzerindeki daha ince topoloji kompakt değildir ve X üzerindeki daha kaba topoloji Hausdorff değildir.
  • Bir metrik uzayın ( X , d ) bir alt kümesi kompakt ise, o zaman d- sınırlıdır.

Fonksiyonlar ve kompakt alanlar

Bir yana sürekli , sık bir aralıkta görüntü kompakt, uç değer teoremi : sürekli gerçek değerli bir fonksiyondur boş olmayan bir kompakt alanı üzerinde sınırlandırılmış ve sup ulaşır edilir. (Biraz daha genel olarak, bu bir üst yarı-sürekli fonksiyon için geçerlidir.) Yukarıdaki ifadelerin bir çeşit tersi olarak, uygun bir harita altındaki bir kompakt uzayın ön görüntüsü kompakttır.

Sıkıştırmalar

Her topolojik uzay X , Alexandroff tek noktalı sıkıştırma yoluyla, X'ten en fazla bir noktası olan bir kompakt uzayın açık yoğun bir alt uzayıdır . Aynı yapı olarak, her yerel kompakt Hausdorff uzay X en az bir nokta birden sahip bir kompakt Hausdorff uzayın açık yoğun alt uzay olduğunu X .

Sıralı kompakt uzaylar

Gerçek sayıların boş olmayan bir kompakt alt kümesinin en büyük elemanı ve en küçük elemanı vardır.

Let X'in bir olmak sadece sipariş sahip set sipariş topoloji . Sonra X ve ancak eğer kompakt X'in bir olduğunu tam kafes (yani bütün alt kümeleri SUPREMA ve infima var).

Örnekler

  • Boş küme de dahil olmak üzere herhangi bir sonlu topolojik uzay kompakttır. Daha genel olarak, sonlu bir topolojiye sahip herhangi bir uzay (yalnızca sonlu sayıda açık küme) kompakttır; buna özellikle önemsiz topoloji dahildir .
  • Eş sonlu topolojiyi taşıyan herhangi bir uzay kompakttır.
  • Herhangi bir yerel olarak kompakt Hausdorff uzayı, Alexandroff tek noktalı sıkıştırma yoluyla, ona tek bir nokta eklenerek bir kompakt uzaya dönüştürülebilir . Tek noktalı kompaktifikasyonu daire homeomorphic S 1 ; tek noktalı kompaktifikasyonu 2 küre homeomorphic S 2 . Tek noktalı kompaktlaştırmayı kullanarak, Hausdorff olmayan bir uzaydan başlayarak, Hausdorff olmayan kompakt uzaylar da kolayca oluşturulabilir.
  • Sağ derecede topoloji veya sol derecede topoloji herhangi sınırlanmış üzerinde tamamen sipariş seti kompakt. Özellikle, Sierpiński alanı kompakttır.
  • Sonsuz sayıda nokta içeren hiçbir ayrık uzay kompakt değildir. Mekânın tüm tekillerinin toplamı, sonlu bir alt örtü kabul etmeyen açık bir örtüdür. Sonlu ayrık uzaylar kompakttır.
  • Gelen taşıyan alt sınır topolojisi , bir sayılamaz grubu kompakttır.
  • Gelen cocountable topoloji bir sayılamayan sette, hiçbir sonsuz seti kompakt. Önceki örnekte olduğu gibi, bir bütün olarak uzay yerel olarak kompakt değildir ama yine de Lindelöf'tür .
  • Kapalı birim aralığı [0, 1] kompakttır. Bu, Heine-Borel teoreminden çıkar . Açık aralık (0, 1) kompakt değildir: n = 3, 4, …  için açık kapağın sonlu bir alt örtüsü yoktur. Benzer şekilde, seti rasyonel sayılar kapalı aralığında [0,1] kompakt değildir: aralıklarla rasyonel sayılar kümesi [0, 1] için tüm rationals kapsayacak n 5'e = 4, ...  ama bu örtünün sonlu bir alt örtüsü yoktur. Burada kümeler, ℝ'nin alt kümeleri olarak açık olmasalar da altuzay topolojisinde açıktır  .
  • Tüm reel sayıların kümesi , sonlu bir alt kapağı olmayan bir açık aralık kapağı olduğundan kompakt değildir. Örneğin, aralıklar ( n - 1,  n + 1) , n, tüm tam sayı değerleri alır , Z , kapak ancak sonlu alt örtüye yoktur.
  • Öte yandan, genişletilmiş reel sayı çizgisi benzer topoloji taşıyan bir kompakt; yukarıda açıklanan kapağın asla sonsuzdaki noktalara ulaşamayacağını unutmayın. Aslında, küme, her sonsuzluğu karşılık gelen birime ve her gerçek sayıyı işaretine eşleyen [-1, 1] homeomorfizmasına sahiptir ve bölündüğünde mutlak değeriyle sonuçlanan aralığın pozitif kısmındaki benzersiz sayı ile çarpılır. bir eksi kendisi ve homeomorfizmalar örtüleri koruduğu için, Heine-Borel özelliği çıkarılabilir.
  • Her doğal sayı n için , n- küresi kompakttır. Yine Heine-Borel teoreminden, herhangi bir sonlu boyutlu normlu vektör uzayının kapalı birim topu kompakttır. Bu sonsuz boyutlar için geçerli değildir; aslında, normlu bir vektör uzayı, ancak ve ancak kapalı birim bilyesi kompakt ise sonlu boyutludur.
  • Öte yandan, bir normlu uzayın dualinin kapalı birim topu, zayıf-* topoloji için kompakttır. ( Alaoğlu teoremi )
  • Cantor kümesi kompakt. Aslında, her kompakt metrik uzay, Cantor kümesinin sürekli bir görüntüsüdür.
  • Grubu düşünün K bütün fonksiyonların f  : ℝ → [0, 1] reel sayı ve kapalı bir ünite aralığı hat ve bir topoloji tanımlamak den K böylece bir sekans içinde K doğru yakınsak fK ancak ve ancak yakınsak doğru f ( x ) tüm reel sayılar için x . Böyle tek bir topoloji vardır; buna noktasal yakınsama topolojisi veya çarpım topolojisi denir . O halde K bir kompakt topolojik uzaydır; bu Tychonoff teoreminden çıkar .
  • Lipschitz koşulunu sağlayan tüm f  : [0, 1]  → [0, 1] fonksiyonlarının K kümesini göz önünde bulundurun | f ( x-f ( y ) | ≤ | x  -  y | tüm xy  ∈  [0,1] için . K üzerinde düzgün mesafenin neden olduğu metriği göz önünde bulundurun O zaman Arzelà–Ascoli teoremi tarafından K uzayı kompakttır.
  • Tayfı herhangi bir sınırlı lineer operatör bir ilgili Banach alan bir boş olmayan kompakt bir alt kümesi kompleks numaralar . Tersine, herhangi bir kompakt alt kümesi bu şekilde, bazı sınırlı lineer operatörün spektrumu olarak ortaya çıkar. Örneğin, Hilbert uzayındaki bir köşegen operatör, spektrum olarak ℂ'nin herhangi bir kompakt boş olmayan alt kümesine sahip olabilir .

cebirsel örnekler

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

bibliyografya

Dış bağlantılar


Bu makale gelen malzeme içeriyor kompakt alanların Örnekler üzerinde PlanetMath altında lisanslıdır, Creative Commons Atıf / Benzeri Paylaşım Lisansı .