Frobemino grubu - Frobenius group

Gelen matematik bir Frobemino grubu a, geçişli bir permütasyon grubu , bir ile sınırlı set bir önemsiz olmayan eleman üzerine birden fazla noktada tespit eder ve bir önemsiz olmayan eleman bir noktaya giderir, öyle ki. Onlar adını taşır FG Frobeniyus .

yapı

Bir alt-grup , H , bir Frobemino grubunun G grubu bir noktaya tespit X olarak adlandırılan Frobemino tamamlayıcı . Olmayan herhangi bir konjugat tüm element ile birlikte kimlik elemanı H , bir oluşturan normal alt grup olarak adlandırılan Frobenius çekirdek K . (Bu, bir teoremi Frobeniyus (1901) ; kullanmayan bu teoreminin bir kanıt yoktur karakter teorisi Frobemino grubu görmelerine rağmen,.) G, bir semidirect ürün arasında K ve H :

${\ Displaystyle G = K \ H rtimes}$.

Hem Frobenius çekirdeği ve Frobemino tamamlayıcı çok yapıları kısıtladı. JG Thompson  ( 1960 ) Frobemino çekirdek kanıtladı K bir olduğunu nilpotentlik grup . Eğer H bile sipariş bulunuyor o zaman K değişmeli olduğunu. Frobemino tamamlayıcı H sırası, her bir alt grup 2 asal ürün siklik olduğu özelliğine sahiptir; Bu da ima Sylow alt olan siklik ya da genel Dördey grupları. Tüm Sylow alt siklik olduğu şekilde herhangi bir grup bir adlandırılır Z grubu , ve özellikle de a olmalıdır metacyclic grubu : bu iki siklik grupları uzatılması anlamına gelir. Bir Frobemino tamamlayıcı ise H sonra cozulebilir Zassenhaus bu normal bir alt grubu olan göstermiştir endeksi SL ürün 1 ya da 2'ye ₂ bir Frobemino çakıştığını tamamlayıcı ise, (5) ve özellikle 30'da için asal bir metacyclic grubu türetilmiş bir alt-grubu ile, daha sonra SL (2,5) ile izomorfiktir. Bir Frobemino tamamlayıcı ise H çözülebilir sonra bölüm 4 puan simetrik grubunun bir alt grubudur, öyle ki, normal metacyclic alt grubu vardır. Sonlu grup Frobemino tamamlayıcı olup olmadığını ve olmayan kimlik grubu elementleri, sıfır olmayan sabit noktaları olmadan dönüşümleri doğrusal tekabül ettiği bir sonlu alan üzerinde sadık, sonlu boyutlu gösterimini sahip olması durumunda.

Frobenius çekirdek K benzersiz belirlenir G olduğu gibi Montaj alt grup ve Frobemino tamamlayıcı benzersiz ile eşlenik kadar belirlenir Schur-Zassenhaus teoremi . Özellikle, bir sonlu grup G en çok bir şekilde bir Frobemino grubudur.

Örnekler

Fano düzlem

• Küçük, örneğin, 6 elemanlı bir 3 puan simetrik grubudur. Frobenius çekirdek K sırasını 3 sahiptir, ve tamamlayıcı H düzeni 2 yer alır.
• Her için sonlu alan F _q ile q (> 2) öğeleri, ters çevrilebilir bir grup afin dönüşümleri , doğal olarak etki eden F _q bir Frobemino grubudur. Yukarıdaki örnek durumda karşılık gelen F ₃ , üç elemanları ile alanı.${\ Displaystyle x \ mapsto ax + b}$${\ Displaystyle a \ neq 0}$
• Başka bir örnek için 21 alt-grubu tarafından sağlanan kolinasyonlar grubu arasında Fano düzlemi , bir nokta ve 7 puan siklik permütasyon t alınmak sabitleme στ = τ²σ tatmin σ 3-kat simetri ile oluşturulur. Tanımlama F ₈ Fano düzlemle *, σ kısıtlanması için alınabilir Frobemino otomorfizm S ( x ) = x ² F ₈ ve t alınmak herhangi bir öğe değil ile çarpma için ana alan F ₂ (yani, bir jeneratör ve siklik çarpımsal grup arasında F _{, 8} ). Bu Frobemino grubu hareket sadece geçişli 21 bayraklar Fano düzleminde, belirgin noktalarına yani hatları.
• Dihedral grup 2 seviyesinde , n ile n ise tek sırada Daha genel olarak 2 tamamlayıcısına sahip bir Frobemino grubu olduğu K tek sırada herhangi bir değişmeli grubudur ve H düzeni 2 vardır ve üzerinde hareket K ters çevirme ile, daha sonra semidirect ürün K.H bir Frobenius grubudur.
• Bir çok başka örnekler, aşağıdaki yapılarla oluşturulabilir. Biz önemsiz olmayan bir alt grup tarafından bir Frobemino grubunun Frobemino tamamlayıcı değiştirirseniz başka Frobemino grup olsun. İki Frobenius grupları varsa K ₁ . H ve K ₂ . H , sonra ( K ₁  x  K ₂ ). H , aynı zamanda, bir Frobemino grubudur.
• Eğer K 7.mertebeden olmayan değişmeli gruptur ³ üs 7 ve H için 3 siklik grubu, daha sonra bir Frobemino grubu olduğu G, bir uzantısıdır KH ve H ile K . Bu sigara değişmeli çekirdek ile Frobemino grubunun bir örnek verir. Bu nonabelian çekirdek (Otto Schmidt tarafından oluşturulmuştur) ile Frobemino grubunun ilk örneğiydi.
• Eğer , H grubu, SL ₂ ( F ₅ için 120), bir 2-boyutlu bir vektör uzayı üzerinde serbest bir şekilde sabit noktaya hareket K 11 elemanlarla alanı üzerinde. Uzatma KH olmayan bir en küçük örneğidir çözülebilir Frobemino grubunda.
• Bir alt-grubu Zassenhaus grubu bir noktaya sabitleme Frobemino grubudur.
• Olan Montaj alt grup isteğe bağlı olarak büyük bir Nilpotensi sınıfı Ito tarafından inşa edilmiş olan Frobemino grupları: olsun q bir asal güç olması, d pozitif bir tamsayı ve p bir asal bölen q -1 ile d ≤ p . Bazı alan saptamak F emri q ve bazı öğe z sırası bu alanda p . Frobemino tamamlayıcı H olan diyagonal matris tarafından oluşturulan siklik alt grubudur i i' inci giriştir z ⁱ . Frobenius çekirdek K Sylow olan q GL (arasında -subgroup d , q diyagonal olanlar ile üst üçgen matrislerin oluşur). Çekirdek K Nilpotensi sınıfı vardır d 1, ve semidirect ürün KH bir Frobemino grubudur.

Temsil teorisi

Bir Frobemino grubunun indirgenemez kompleks temsilleri G belirtildiğinden okunabilir H ve K . İki türü vardır indirgenemez temsiller arasında G :

• Herhangi bir indirgenemez temsil R ve H indirgenemez temsil verir G gelen bölüm Harita ile G için , H (yani, bir şekilde, bir kısıtlı temsil ). Bunlar indirgenemez temsillerini verecek G ile K onların çekirdekte.
• Eğer S herhangi bir önemsiz olmayan bir indirgenemez temsil K , daha sonra karşılık gelen neden temsil ait G da indirgenemez. Bunlar indirgenemez temsillerini verecek G ile K onların çekirdekte.

Alternatif tanımlamalar

Bir Frobemino grup kılan bir permütasyon temsilini sahip gruba eşdeğer olarak gerçekleşmesi kendi başlarına ilginç olmakla birlikte, grup teorik özelliklerinin vardır.

• G, bir Frobemino grubu olduğu, ancak ve ancak G, uygun, nonidentity alt grubu vardır H şekilde H ∩ H ^gr her kimlik alt grubudur g ∈ G - H , yani H a, malnormal alt grup arasında G .

Bu tanım, sonra sınıflandırılmasında kullanılan Frobemino grupları sonuçlar izin önemsiz kesişme setleri çalışmaya genelleştirilmiş CA grupları üzerindeki sonuçlara uzatılabilir CN grupları ve son olarak tek sırada teoremi .

Varsayarak bir semidirect ürün , normal bir alt-grubu K ve tamamlayıcı , H , daha sonra, aşağıdaki kısıtlamalar merkezilendiricilerin eşdeğerdir G Frobemino tamamlayıcı olan bir Frobemino grubudur H : ${\ Displaystyle G = K \ H rtimes}$

• Merkezleyeni Cı _G ( K ) her nonidentity için K bir alt grubudur , k olarak K .
• Cı _{, H} ( k ) her nonidentity için 1 = k olarak K .
• Cı- _G, ( h ) her nonidentity için ≤ H h H.

Referanslar

• Frobemino, G. (1901), "Über Gruppen. IV auflösbare.", Beri. Ber. (Almanca): 1216-1230, DOI : 10,3931 / e-rara-18.836 , JFM  32.0137.01
• B. Huppert, Endliche Gruppen Ben 1967 Springer
• IM Isaacs, sonlu grupların Karakter teorisi , 1976 AMS Chelsea
• DS Passman, Permütasyon grupları , 1968 Benjamin
• Thompson, John G. (1960), "sonlu gruplar için normal p-tamamlayıcıları", Mathematische Zeitschrift , 72 : 332-354, DOI : 10.1007 / BF01162958 , ISSN  0025-5874 , MR  0.117.289