Ferdinand Georg Frobenius - Ferdinand Georg Frobenius

Ferdinand Georg Frobenius
GeorgFrobenius (kırpılmış) .jpg
Ferdinand Georg Frobenius
Doğmuş ( 1849-10-26 ) 26 Ekim 1849
Öldü 3 Ağustos 1917 (1917-08-03) (67 yaşında)
Milliyet Almanca
gidilen okul Göttingen
Üniversitesi Berlin Üniversitesi
Bilinen Diferansiyel denklemler
Grup teorisi
Cayley-Hamilton teoremi
Frobenius yöntemi
Frobenius matrisi
Bilimsel kariyer
Alanlar Matematik
Kurumlar University of Berlin
ETH Zürih
Doktora danışmanı Karl Weierstrass
Ernst Kummer
Doktora öğrencileri Richard Fuchs
Edmund Landau
Issai Schur
Konrad Knopp
Walter Schnee

Ferdinand Georg Frobenius (26 Ekim 1849 - 3 Ağustos 1917), eliptik fonksiyonlar teorisine , diferansiyel denklemlere , sayı teorisine ve grup teorisine yaptığı katkılarla tanınan bir Alman matematikçiydi . Frobenius-Stickelberger formülleri olarak bilinen, eliptik fonksiyonları yöneten ve biquadratic formlar teorisini geliştiren ünlü belirleyici kimlikleriyle tanınır. Ayrıca, fonksiyonların rasyonel yaklaşımları kavramını (günümüzde Padé yaklaşımları olarak bilinir ) ilk ortaya atan oydu ve Cayley-Hamilton teoremi için ilk tam kanıtı verdi . Ayrıca, adını modern matematiksel fizikte Frobenius manifoldları olarak bilinen bazı diferansiyel geometrik nesnelere ödünç verdi .

Biyografi

Ferdinand Georg Frobenius 26 Ekim 1849'da Berlin'in bir banliyösü olan Charlottenburg'da , Protestan papaz Christian Ferdinand Frobenius ve Christine Elizabeth Friedrich'ten doğdu . Joachimsthal Gymnasium'a 1860'da neredeyse on bir yaşındayken girdi. 1867'de mezun olduktan sonra , üniversite eğitimine başladığı Göttingen Üniversitesi'ne gitti, ancak burada Kronecker , Kummer ve Karl Weierstrass'ın derslerine katıldığı Berlin'e dönmeden önce sadece bir dönem çalıştı . Doktorasını 1870 yılında Weierstrass gözetiminde aldı . Tezi diferansiyel denklemlerin çözümü üzerineydi. 1874'te, önce Joachimsthal Gymnasium'da ortaokul düzeyinde öğretmenlik yaptıktan sonra, daha sonra Sophienrealschule'de öğretmenlik yaptıktan sonra, Berlin Üniversitesi'ne olağanüstü bir matematik profesörü olarak atandı. Frobenius, Eidgenössische Polytechnikum'da sıradan bir profesör olarak randevu almak için Zürih'e gitmeden bir yıl önce ancak Berlin'deydi . Frobenius, 1875 ile 1892 arasında on yedi yıl boyunca Zürih'te çalıştı. Orada evlendi, ailesini büyüttü ve matematiğin çok farklı alanlarında çok önemli işler yaptı. Aralık 1891'in son günlerinde Kronecker öldü ve bu nedenle Berlin'deki sandalyesi boşaldı. Frobenius'un Berlin'i matematiğin ön saflarında tutacak doğru kişi olduğuna şiddetle inanan Weierstrass, Frobenius'un atanması için hatırı sayılır etkisini kullandı. 1893'te Prusya Bilimler Akademisi'ne seçildiği Berlin'e döndü .

Grup teorisine katkılar

Grup teorisi , Frobenius'un kariyerinin ikinci yarısındaki başlıca ilgi alanlarından biriydi. İlk katkılarından biri, soyut gruplar için Sylow teoremlerinin kanıtıydı . Daha önceki kanıtlar permütasyon grupları içindi . İlk Sylow teoremini (Sylow gruplarının varlığına ilişkin) kanıtı, bugün sıklıkla kullanılanlardan biridir.

  • Frobenius ayrıca aşağıdaki temel teoremi de kanıtlamıştır: Eğer pozitif bir tamsayı n sıralamayı bölerse | G | a sonlu grup G , daha sonra denklem çözeltilerinin sayısı x , n  , m = 1 G eşittir kn bir pozitif tam sayı için  k . Ayrıca şu problemi ortaya attı: Eğer yukarıdaki teoremde k  = 1 ise, G'deki x n  = 1 denkleminin çözümleri bir alt grup oluşturur. Yıllar önce bu sorun çözülebilir gruplar için çözüldü . Ancak 1991 yılında , sonlu basit grupların sınıflandırılmasından sonra , bu sorun genel olarak çözüldü.

Daha da önemlisi, grupların yapısını incelemek için temel araçlar olan grup karakterleri ve grup temsilleri teorisini yaratmasıydı . Bu çalışma, Frobenius karşılıklılığı kavramına ve şimdi Frobenius grupları olarak adlandırılan grupların tanımlanmasına yol açtı . Bir grup G bir alt grubu mevcut ise, bir Frobemino grubu olduğu söylenir , H  <  G şekildedir

hepsi için .

Bu durumda set

John G. Thompson'ın 1959'da gösterdiği gibi , G'nin kimlik öğesi ile birlikte üstelsıfır olan bir alt grup oluşturur . Bu teoremin bilinen tüm kanıtları karakterlerden yararlanır. Frobenius, karakterler hakkındaki ilk makalesinde (1896),  tüm tek asal p sayıları için (1/2) ( p 3 - p)  sıra grubunun karakter tablosunu oluşturdu (bu grup basittir  p  > 3). Simetrik ve alternatif grupların temsil teorisine de temel katkılarda bulundu .

Sayı teorisine katkılar

Frobemino içine asal dönüm bir standart bir yolla sisteme eşlenik sınıfları içinde Galois grupları üzerinde Q . Özellikle, K / S sonlu Galois'in uzantısı her bir (pozitif) hazırlamak için daha sonra p olan etmez ramify olarak K ve her ana doğru ile P boyunca uzanan p de K benzersiz bir unsur olduğunu g Gal (arasında K / S tatmin) durum g ( x ) =  x s  (mod  p bütün tamsayılar için) x arasında K . Değişken P fazla p değiştirir g bir konjugat içine (ve her iki bileşenli g bu şekilde meydana gelir) eşlenik sınıfı bu yüzden, g Galois grubunda kanonik ile ilişkilendirilir p . Buna, p'nin Frobenius eşlenik sınıfı adı verilir ve eşlenik sınıfının herhangi bir öğesi, p'nin Frobenius öğesi olarak adlandırılır . Biz alırsak K m inci devirli alan üzerinde kimin Galois grubu Q birimleri modulo olduğu m (ve dolayısıyla eşlenik sınıfları elemanları haline böylece, değişmeli olan), daha sonra da p bölünmeyen m Galois'in grubunda Frobemino sınıfıdır p  mod  m . Bu bakış açısına göre, Galois gruplarındaki Frobenius eşlenik sınıflarının Q'ya (veya daha genel olarak herhangi bir sayı alanı üzerindeki Galois gruplarına) dağılımı, Dirichlet'in aritmetik ilerlemelerde asal sayılar hakkındaki klasik sonucunu genelleştirir. Q'nun sonsuz dereceli uzantılarının Galois gruplarının incelenmesi, önemli ölçüde Frobenius elemanlarının bu yapısına bağlıdır, bu da bir anlamda ayrıntılı çalışma için erişilebilir olan yoğun bir eleman alt kümesi sağlar.

Ayrıca bakınız

Yayınlar

Referanslar

Dış bağlantılar