F ₄ (matematik) -F₄ (mathematics)

Cebirsel yapı → Grup teorisi Grup teorisi
Temel kavramlar alt grup Normal alt grup bölüm grubu (Yarı-) direkt ürün Grup homomorfizmaları çekirdek resim doğrudan toplam çelenk ürünü basit sonlu sonsuz sürekli çarpımsal katkı döngüsel değişmeyen dihedral nilpotent çözülebilir eylem Grup teorisi sözlüğü grup teorisi konularının listesi
sonlu gruplar Sonlu basit grupların sınıflandırılması döngüsel dönüşümlü yalan türü sporadik Cauchy teoremi Lagrange teoremi Sylow teoremleri Hall teoremi p grubu Temel değişmeli grup Frobenius grubu Schur çarpanı Simetrik grup S n Klein dört grup V Dihedral grup D n Kuaterniyon grubu Q Disiklik grup Dic n
ayrık gruplar kafesler Tamsayılar ( )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Ücretsiz grup Modüler gruplar PSL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ SL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ aritmetik grubu kafes hiperbolik grup
Topolojik ve Lie grupları solenoid Daire Genel doğrusal GL( n ) Özel doğrusal SL( n ) Ortogonal O( n ) Öklid E( n ) Özel ortogonal SO( n ) Üniter U( n ) Özel üniter SU( n ) Simplektik Sp( n ) G, 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz poincare konformal difeomorfizm Döngü Sonsuz boyutlu Lie grubu O(∞) SU(∞) Sp(∞)
cebirsel gruplar Doğrusal cebir grubu indirgeyici grup değişmeli çeşit eliptik eğri
v T e

yalan grupları
Klasik gruplar
Basit Yalan grupları Klasik bir n B n C n D n olağanüstü G, 2 F 4 E 6 E 7 E 8
Diğer Lie grupları Daire Lorentz poincare konformal grup difeomorfizm Döngü Öklidyen
yalan cebirleri
Yarıbasit Lie cebiri
temsil teorisi
Fizikte yalan grupları
Bilim insanları sophus yalanı Henri Poincare Wilhelm'in Öldürülmesi Elie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Sözlük Lie grupları tablosu
v T e

In matematik , F ₄ bir adıdır Lie grubunun ve aynı zamanda Lie cebiri f ₄ . Beş istisnai basit Lie grubundan biridir . F ₄ rütbesi 4 ve boyut 52. kompakt formu basit bağlantılıdır sahiptir ve dış otomorfizm grubu olduğu önemsiz grup . Onun temel gösterimi 26 boyutludur.

F kompakt gerçek bir şekilde ₄ olan izometri grubu , bir 16-boyutlu Riemann manifoldu olarak bilinen oktonyonik yansıtmalı düzlem OP ² . Bu, Hans Freudenthal ve Jacques Tits'e bağlı olarak sihirli kare olarak bilinen bir yapı kullanılarak sistematik olarak görülebilir .

Orada 3 gerçek formlar : kompakt bir, bir bölünme bir, ve üçüncüsü. Üç gerçek Albert cebirinin izometri gruplarıdır .

F ₄ Lie cebir transforme 16 jeneratörler eklenerek imal edilebilir spinor 36 boyutlu Lie cebire çok yapımı ile benzer şekilde, (9) E ₈ .

Daha eski kitaplarda ve makalelerde F ₄ bazen E ₄ ile gösterilir .

Cebir

Dynkin diyagramı

Dynkin şeması F ₄ olduğu:.

Weyl/Coxeter grubu

Onun Weyl / Coxeter grubu olan simetri grubu arasında 24 hücresi : Bir olan çözülebilir grup sırayla 1152. ait Minimal sadık derecesine sahiptir eylem gerçekleştirilir 24 hücreden . ${\displaystyle G=W\sol(\mathrm {F} _{4}\sağ)}$${\görüntüleme stili \mu (G)=24}$

kartan matrisi

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrrr}2&-1&0&0\\-1&2&-2&0\\0&-1&2&-1\\0&0&-1&2\end{dizi}}\sağ]}$

F ₄ kafes

F ₄ kafesi , dört boyutlu gövde merkezli kübik bir kafestir (yani , her biri diğerinin merkezinde yer alan iki hiperkübik kafesin birleşimi ). Hurwitz dördey halkası adı verilen bir halka oluştururlar . Norm 1'in 24 Hurwitz kuaterniyonları , orijin merkezli 24 hücrenin köşelerini oluşturur .

F _4'ün Kökleri

24 hücrenin (kırmızı) 24 köşesi ve ikilisinin (sarı) 24 köşesi, bu Coxeter düzlem izdüşümünde F _4'ün 48 kök vektörünü temsil eder.

48 kök vektörleri F ₄ köşeleri olarak bulunabilir 24 hücre , bir tepe noktalarını temsil eden, iki adet çift konfigürasyonlarda disphenoidal 288 hücre 24-hücrelerinin kenar uzunlukları eşit ise:

24 hücreli köşeler:

• (±1,±1,0,0) ile 24 kök, koordinat konumlarına izin vererek

Çift 24 hücreli köşeler:

• (±1, 0, 0, 0) ile 8 kök, koordinat konumlarına izin vererek
• 16 kök (±½, ±½, ±½, ±½).

Basit kökler

Eklenen basit kök konumunu tanımlayan kenar etiketleri ile F4 kök pozunun Hasse diyagramı

F ₄ için basit köklerden bir seçim ,, aşağıdaki matrisin satırları tarafından verilir:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1&-1&0\\0&0&1&-1\\0&0&0&1\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac { 1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\\end{bmatrix}}}$

F ₄ polinom değişmezi

O( n ) ikinci dereceden polinomları x ² + y ² + ... değişmez tutan otomorfizmalar grubu olduğu gibi , F ₄ de 27 değişkende aşağıdaki 3 polinom setinin otomorfizmalar grubudur. (Birincisi, 26 değişken yaparak diğer ikisiyle kolayca değiştirilebilir).

${\displaystyle C_{1}=x+y+z}$

${\displaystyle C_{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+2X{\overline {X}}+2Y{\overline {Y}}+2Z{\overline {Z }}}$

${\displaystyle C_{3}=xyz-xX{\overline {X}}-yY{\overline {Y}}-zZ{\overline {Z}}+XYZ+{\overline {XYZ}}}$

Burada x , y , z gerçek değerlidir ve X , Y , Z sekizli değerlidir. Bu değişmezleri yazmanın başka bir yolu , hermityen oktonion matrisinin Tr( M ), Tr( M ² ) ve Tr( M ³ ) (kombinasyonları) gibidir :

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}x&{\overline {Z}}&Y\\Z&y&{\overline {X}}\\{\overline {Y}}&X&z\end{bmatrix}}}$

Polinomlar seti, 24 boyutlu kompakt bir yüzeyi tanımlar.

temsiller

Gerçek ve karmaşık Lie cebirlerinin ve Lie gruplarının sonlu boyutlu temsillerinin karakterlerinin tümü, Weyl karakter formülü ile verilir . En küçük indirgenemez temsilleri boyutları (dizisidir A121738 olarak OEIS ):

1, 26, 52, 273, 324, 1053 (iki kez), 1274, 2652, 4096, 8424, 10829, 12376, 16302, 17901, 19278, 19448, 29172, 34749, 76076, 81081, 100776, 106496, 107406, 119119 , 160056 (iki kez), 184756, 205751, 212992, 226746, 340119, 342056, 379848, 412776, 420147, 627912…

52 boyutlu gösterim birleşik gösterimdir ve 26 boyutlu gösterim F _4'ün 27 boyutlu istisnai Albert cebiri üzerindeki eyleminin iz bırakmayan kısmıdır .

1053, 160056, 4313088, vb. boyutların iki izomorfik olmayan indirgenemez temsili vardır. Temel temsiller 52, 1274, 273, 26 boyutlarına sahip olanlardır ( Dynkin diyagramındaki dört düğüme çift ​​ok olacak şekilde sırayla karşılık gelir). ikinciden üçüncüye kadar puan).

Ayrıca bakınız

• Albert cebiri
• Çayley uçağı
• Dynkin diyagramı
• temel temsil
• Basit Yalan grubu

Referanslar

• Adams, J. Frank (1996). Olağanüstü Lie grupları üzerine dersler . Chicago Matematik Dersleri. Chicago Üniversitesi Yayınları . ISBN'si 978-0-226-00526-3. MR  1428422 .
• John Baez , The Octonions , Bölüm 4.2: F ₄ , Bull. Amer. Matematik. Soc. 39 (2002), 145-205 . http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node15.html adresindeki çevrimiçi HTML sürümü .
• Chevalley C, Schafer RD (Şubat 1950). "Olağanüstü Basit Lie Cebirleri F(4) ve E(6)" . Proc. Natl. Acad. bilim ABD . 36 (2): 137–41. Bibcode : 1950PNAS...36..137C . doi : 10.1073/pnas.36.2.137 . PMC  1063148 . PMID  16588959 .
• Jacobson, Nathan (1971-06-01). Olağanüstü Lie Cebirleri (1. baskı). CRC Basın. ISBN'si 0-8247-1326-5.