Soyut cebir - Abstract algebra

Bir Rubik Küpünün Resmi
Permütasyon ait Rubik Küp bir formu grubu , soyut cebir içinde temel bir kavram.

Gelen cebir geniş bir bölümüdür, matematik , soyut cebir (bazen denir Modern cebir ) çalışmasıdır cebirsel yapılar . Cebirsel yapılar, grupları , halkaları , alanları , modülleri , vektör uzaylarını , kafesleri ve cebirleri içerir . Soyut cebir terimi , 20. yüzyılın başlarında, bu çalışma alanını cebirin eski bölümlerinden ve daha spesifik olarak , hesaplama ve akıl yürütmede sayıları temsil etmek için değişkenlerin kullanımı olan temel cebirden ayırmak için icat edildi .

Cebirsel yapıları, bunların ilişkili olan homomorfizmalar oluşturur matematiksel kategoriler . Kategori teorisi , çeşitli yapılar için benzer olan özellikleri ve yapıları ifade etmek için birleşik bir yol sağlayan bir formalizmdir.

Evrensel cebir , cebirsel yapı türlerini tek nesneler olarak inceleyen ilgili bir konudur. Örneğin, grupların yapısı, grupların çeşitliliği olarak adlandırılan evrensel cebirde tek bir nesnedir .

Tarih

Matematiğin diğer bölümlerinde olduğu gibi soyut cebirin gelişmesinde de somut problemler ve örnekler önemli rol oynamıştır. On dokuzuncu yüzyılın sonuna kadar, bu problemlerin çoğu – belki de çoğu – bir şekilde cebirsel denklemler teorisi ile ilgiliydi . Başlıca temalar şunları içerir:

Soyut cebirdeki çok sayıda ders kitabı , çeşitli cebirsel yapıların aksiyomatik tanımlarıyla başlar ve ardından özelliklerini oluşturmaya devam eder. Bu, cebirde aksiyomların önce geldiği ve daha sonra bir motivasyon ve daha sonraki çalışmaların temeli olarak hizmet ettiği gibi yanlış bir izlenim yaratır. Tarihsel gelişimin gerçek düzeni neredeyse tam tersiydi. Örneğin , on dokuzuncu yüzyılın hiper-karmaşık sayıları kinematik ve fiziksel motivasyonlara sahipti, ancak kavramaya meydan okuyordu. Şimdi cebirin parçaları olarak kabul edilen çoğu teori, matematiğin çeşitli dallarından farklı gerçeklerin koleksiyonları olarak başladı, etrafında çeşitli sonuçların gruplandığı bir çekirdek görevi gören ortak bir tema edindi ve sonunda ortak bir dizi temel üzerinde birleştirildi. kavramlar. Bu ilerici sentezin arketipik bir örneği grup teorisi tarihinde görülebilir .

Erken grup teorisi

Grup teorisinin erken gelişiminde, modern dilde sayı teorisi , denklem teorisi ve geometriye gevşek bir şekilde karşılık gelen birkaç konu vardı .

Leonhard Euler kabul cebirsel işlemler sayılar üzerinde integer- modulo modüler aritmetik -in onun genelleme ait Fermat'ın küçük teoremi . Bu araştırmalar, mod n'in çarpımsal kalıntı gruplarının yapısını dikkate alan ve bu şekilde ortaya çıkan döngüsel ve daha genel değişmeli grupların birçok özelliğini belirleyen Carl Friedrich Gauss tarafından çok daha ileri götürüldü . Gauss , ikili ikinci dereceden formların bileşimiyle ilgili araştırmalarında, formların bileşimi için birleştirici yasayı açıkça belirtti , ancak ondan önceki Euler gibi, genel teoriden ziyade somut sonuçlarla daha fazla ilgileniyor gibi görünüyor. 1870'de Leopold Kronecker , Gauss'un çalışmalarını genelleştirerek, bir sayı alanındaki ideal sınıf grupları bağlamında bir değişmeli grup tanımını verdi ; ama öyle görünüyor ki, tanımını gruplar, özellikle de permütasyon grupları üzerine önceki çalışmalarıyla ilişkilendirmedi. 1882'de aynı soruyu dikkate alarak Heinrich M. Weber bağlantıyı fark etti ve iptal özelliğini içeren ancak kendi bağlamında (sonlu gruplar) yeterli olan ters elemanın varlığını göz ardı eden benzer bir tanım yaptı .

Permütasyonlar , Joseph-Louis Lagrange tarafından cebirsel denklemlerin çözümlerine ayrılmış 1770 tarihli Réflexions sur la résolution algébrique des équations (Denklemlerin cebirsel çözümü üzerine düşünceler) adlı makalesinde incelenmiştir ve burada Lagrange çözücülerini tanıtmıştır . Lagrange'ın amacı, üçüncü ve dördüncü dereceden denklemlerin neden çözümler için formüller kabul ettiğini anlamaktı ve köklerin permütasyonlarını temel nesneler olarak tanımladı. Bu yazıda Lagrange tarafından atılan önemli bir yeni adım, köklerin, yani sayılar olarak değil, semboller olarak soyut görünümüydü. Ancak, permütasyonların bileşimini dikkate almadı. Beklenmedik bir şekilde, ilk baskısı Edward Waring sitesindeki Meditationes Algebraicae ( cebir ile Meditasyonların 1782 Waring yayınlanan genişletilmiş bir versiyonu ile, aynı yıl içinde ortaya) kanıtladı simetrik polinomların temel teoremi ve özel olarak köklerinin arasındaki bağlantı kuartik denklem ve çözücü kübik. Mémoire sur la des denklemler çözün ( Memoire denklemlerin çözümü üzerine ) arasında Alexandre Vandermonde (1771) cebirsel denklemlerin anlayış solvability hedefiyle, biraz farklı bir açıdan simetrik fonksiyonlar teorisini geliştirdi, ancak Lagrange gibi.

Kronecker 1888'de modern cebir çalışmasının Vandermonde'un bu ilk makalesiyle başladığını iddia etti. Cauchy, Vandermonde'un, sonunda grup teorisi çalışmasına yol açan bu dikkate değer fikir için Lagrange'a göre önceliğe sahip olduğunu oldukça açık bir şekilde belirtir.

Paolo Ruffini , permütasyon grupları teorisini geliştiren ilk kişiydi ve selefleri gibi cebirsel denklemleri çözme bağlamında da. Amacı, dörtten büyük dereceli bir genel cebirsel denklemin cebirsel çözümünün imkansızlığını ortaya koymaktı. Bu amaca giden yolda, bir grubun bir elemanının düzeni, eşlenik, permütasyon gruplarının öğelerinin döngüsel ayrışması ve ilkel ve ilkel kavramlarını tanıttı ve bu kavramlarla ilgili bazı önemli teoremleri kanıtladı, örneğin:

G, sırası 5'e bölünebilen S 5'in bir alt grubuysa, G, 5. dereceden bir eleman içerir.

Ancak, bir grup, hatta bir permütasyon grubu kavramını resmileştirmeden idare etti. Bir sonraki adım, 1832'de Évariste Galois tarafından atıldı , ancak eseri 1846'ya kadar yayınlanmadı, ilk kez şimdi bir grup permütasyonun kapanma özelliği olarak adlandırılan şeyi ilk kez değerlendirdi.

eğer böyle bir grupta S ve T ikameleri varsa, o zaman ST ikamesi vardır.

Permütasyon grupları teorisi, Augustin Cauchy ve Camille Jordan'ın ellerinde , hem yeni kavramların tanıtılması hem de öncelikle, özel permütasyon grupları sınıfları ve hatta bazı genel teoremler hakkında çok sayıda sonuç ile daha geniş kapsamlı bir gelişme aldı . Diğer şeylerin yanı sıra Jordan , hala permütasyon grupları bağlamında bir izomorfizm kavramı tanımladı ve tesadüfen, grup terimini geniş bir kullanıma sokan oydu .

Soyut bir grup kavramı ilk kez 1854'te Arthur Cayley'nin makalelerinde ortaya çıktı. Cayley, bir grubun permütasyon grubu (hatta sonlu ) olması gerekmediğini ve bunun yerine cebirsel özellikleri olan matrislerden oluşabileceğini fark etti. çarpma ve tersleri, sonraki yıllarda sistematik olarak araştırdı. Çok daha sonra Cayley, soyut grupların permütasyon gruplarından daha genel olup olmadığı sorusunu tekrar gözden geçirecek ve aslında herhangi bir grubun bir permütasyon grubuna eşbiçimli olduğunu tespit edecekti.

modern cebir

19. yüzyılın sonu ve 20. yüzyılın başında matematik metodolojisinde bir değişim görüldü. Soyut cebir, 20. yüzyılın başlarında modern cebir adı altında ortaya çıktı . Çalışması, matematikte daha fazla entelektüel titizlik için dürtünün bir parçasıydı . Başlangıçta, tüm matematiğin (ve doğa bilimlerinin büyük bölümlerinin ) bağlı olduğu klasik cebirdeki varsayımlar , aksiyomatik sistemler biçimini aldı . Artık somut nesnelerin özelliklerini belirlemekle yetinmeyen matematikçiler, dikkatlerini genel teoriye çevirmeye başladılar. Bazı cebirsel yapıların resmi tanımları 19. yüzyılda ortaya çıkmaya başladı. Örneğin, çeşitli permütasyon gruplarıyla ilgili sonuçlar, genel bir soyut grup kavramını ilgilendiren genel teoremlerin örnekleri olarak görülmeye başlandı . Çeşitli matematiksel nesnelerin yapısı ve sınıflandırılması soruları ön plana çıktı.

Bu süreçler tüm matematiğin genelinde meydana geliyordu, ancak özellikle cebirde belirgin hale geldi. Gruplar , halkalar ve alanlar gibi birçok temel cebirsel yapı için ilkel işlemler ve aksiyomlar aracılığıyla biçimsel tanımlama önerildi . Böylece grup teorisi ve halka teorisi gibi şeyler saf matematikte yerlerini aldılar . Ernst Steinitz tarafından genel alanların cebirsel araştırmaları ve David Hilbert , Emil Artin ve Emmy Noether tarafından değişmeli ve daha sonra genel halkalar , idealleri değişmeli halkalarda ele alan Ernst Kummer , Leopold Kronecker ve Richard Dedekind'in çalışmalarına dayanarak ve ve Georg Frobeniyus ve Issai Schur , ilişkin temsili teori grupları, soyut cebir tanımlamak geldi. 19. yüzyılın ve 20. yüzyılın ilk çeyreğinin son çeyreğinde yaşanan bu gelişmeler sistematik içinde maruz bırakıldı Waerden der Bartel van 'ın Moderne Cebir , iki ciltlik monografi sonsuza matematiksel dünyanın anlamı değişti 1930-1931 yılında yayınlanan kelime cebir gelen denklemlerin teorisi için cebirsel yapıların teorisi .

Temel konseptler

Matematikçiler, çeşitli miktarlarda ayrıntıyı soyutlayarak, matematiğin birçok alanında kullanılan çeşitli cebirsel yapıları tanımladılar. Örneğin, çalışılan hemen hemen tüm sistemler küme teorisinin teoremlerinin geçerli olduğu kümelerdir . Bunların üzerinde tanımlı belirli bir ikili operasyon Bu setler oluşturan magmaları kavramlar yanı ilgilendirenler setleri magmaları ilgili hangi uygulanacaktır. Cebirsel yapıya ilişkisellik ( yarıgruplar oluşturmak için ) gibi ek kısıtlamalar ekleyebiliriz ; özdeşlik ve tersler ( gruplar oluşturmak için ); ve diğer daha karmaşık yapılar. Ek yapı ile daha fazla teorem kanıtlanabilir, ancak genellik azalır. (Genelliği bakımından) cebirsel nesnelerin "hiyerarşi" tekabül teorileri bir hiyerarşi oluşturur: Örneğin, bir teoremleri grup teorisi kullanılabilir okuyan zaman halkalar bir halka beri (bazı aksiyomları ile iki ikili operasyonları var cebirsel nesneleri) operasyonlarından biri üzerinde bir gruptur. Genelde, genellik miktarı ile teorinin zenginliği arasında bir denge vardır: daha genel yapılar genellikle daha az önemsiz teorem ve daha az uygulamaya sahiptir.

Magmalar ve gruplar arasındaki cebirsel yapılar . Örneğin, monoidler özdeşliğe sahip yarı gruplardır .

Tek bir ikili işlemle cebirsel yapıların örnekleri şunlardır:

Birkaç işlemi içeren örnekler şunları içerir:

Uygulamalar

Genelliği nedeniyle soyut cebir, matematik ve bilimin birçok alanında kullanılmaktadır. Örneğin, cebirsel topoloji , topolojileri incelemek için cebirsel nesneleri kullanır. Sanı 2003 kanıtlanmıştır, iddia temel grup bağlantılılık hakkında bilgi kodlayan bir manifold, ve, bir manifold bir küre olup olmadığını belirlemek için kullanılabilir. Cebirsel sayı teorisi , tamsayılar kümesini genelleştiren çeşitli sayı halkalarını inceler . Cebirsel sayı teorisi araçlarını kullanan Andrew Wiles , Fermat'ın Son Teoremini kanıtladı .

Fizikte gruplar simetri işlemlerini temsil etmek için kullanılır ve grup teorisinin kullanımı diferansiyel denklemleri basitleştirebilir. Gelen ayar teorisinin , gerekliliği yerel simetri bir sistem açıklayan denklemleri anlamak için kullanılabilir. Bu simetrileri tanımlayan gruplar Lie gruplarıdır ve Lie grupları ve Lie cebirlerinin incelenmesi fiziksel sistem hakkında çok şey ortaya çıkarır; örneğin, bir teorideki kuvvet taşıyıcılarının sayısı , Lie cebirinin boyutuna eşittir ve bu bozonlar , Lie cebirinin belirsiz olması durumunda aracılık ettikleri kuvvetle etkileşime girer.

Ayrıca bakınız

Referanslar

  1. ^ O'Connor, John J. ; Robertson, Edmund F. , "Alexandre-Théophile Vandermonde" , MacTutor Matematik Tarihi arşivi , St Andrews Üniversitesi
  2. ^ Schumm, Bruce (2004), Deep Down Things , Baltimore: Johns Hopkins University Press, ISBN 0-8018-7971-X

Kaynaklar

Dış bağlantılar