Kartezyen ürün - Cartesian product

Gelen matematik , özellikle resim teori , Kartezyen ürünün iki seti A ve B ile gösterilen A  x  B , tüm dizi sıralı çiftleri ( a , b ) bir olduğu , A ve B olan B . set oluşturucu notasyonu açısından , yani

${\displaystyle A\times B=\{(a,b)\mid a\in A\ {\mbox{ ve }}\ b\in B\}.}$

Bir dizi satır ve bir dizi sütunun Kartezyen çarpımı alınarak bir tablo oluşturulabilir. Kartezyen çarpım satır × sütun alınırsa, tablonun hücreleri formun sıralı çiftlerini (satır değeri, sütun değeri) içerir .

Benzer şekilde , n- katlı Kartezyen ürün olarak da bilinen , her elemanın bir n - tuple olduğu n -boyutlu bir dizi ile temsil edilebilen n kümenin Kartezyen ürünü tanımlanabilir . Sıralı bir çift, 2 demet veya çifttir . Daha genel olarak, indekslenmiş bir kümeler ailesinin Kartezyen çarpımı tanımlanabilir .

Kartezyen ürün adını , analitik geometri formülasyonu , doğrudan ürün açısından daha da genelleştirilen kavramı doğuran René Descartes'tan almıştır .

Örnekler

Bir deste kart

Açıklayıcı bir örnek, standart 52 kartlık destedir . Standart oyun kartı sıralarında {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} 13 elemanlı bir set oluşturmak. {♠, ♥ , ♦ , ♣} kart takımları dört elementli bir set oluşturur. Bu kümelerin Kartezyen çarpımı, 52 olası oyun kartının tümüne karşılık gelen 52 sıralı çiftten oluşan 52 elemanlı bir küme döndürür .

Sıralar × Takımlar {(A, ♠), (A,  ♥ ), (A,  ♦ ), (A, ♣), (K, ♠), …, (3, ♣), (2 , ♠), (2,  ♥ ), (2,  ♦ ), (2, ♣)}.

Suits × Ranks {(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10), …, (♣, 6), (♣) biçiminde bir dizi döndürür. , 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)}.

Bu iki küme farklı, hatta ayrıktır .

İki boyutlu bir koordinat sistemi

Ana tarihsel örnek Kartezyen düzlemde de analitik geometri . Geometrik şekilleri sayısal bir şekilde temsil etmek ve şekillerin sayısal temsillerinden sayısal bilgileri çıkarmak için, René Descartes düzlemdeki her noktaya koordinatları olarak adlandırılan bir çift gerçek sayı atadı . Genellikle, böyle bir çiftin birinci ve ikinci bileşenleri , sırasıyla x ve y koordinatları olarak adlandırılır (resme bakın). Bu tür tüm çiftlerin kümesi (yani, ℝ reel sayıları ifade eden Kartezyen çarpım ℝ×ℝ ) böylece düzlemdeki tüm noktaların kümesine atanır.

En yaygın uygulama (küme teorisi)

Kartezyen çarpımının küme-teorik ilkelerden resmi bir tanımı, sıralı çift tanımından gelir . Sipariş çiftleri en yaygın tanımı Kuratowski tanımına vardır . Bu tanım altında, ' nin bir öğesidir ve bu kümenin bir alt kümesidir, burada güç kümesi operatörünü temsil eder . Bu nedenle, ZFC'deki herhangi iki kümenin Kartezyen çarpımının varlığı, eşleştirme , birleşim , güç kümesi ve belirtim aksiyomlarından kaynaklanır . Yana fonksiyonları genellikle özel bir durum olarak tanımlanır ilişkileri ve ilişkiler, genellikle Kartezyen ürünün alt kümeleri olarak tanımlanan ve iki resim Kartezyen ürün tanımı çoğu diğer tanımları zorunlu önceliklidir. ${\displaystyle (x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}}$${\görüntüleme stili (x,y)}$${\ Displaystyle {\Mathcal {P}}({\Mathcal {P}}(X\cup Y))}$${\görüntüleme stili X\kez Y}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {P}}}$

Değişmezlik ve ilişkisizlik

Let A , B , C , ve D küme olsun.

Kartezyen çarpım A × B değişmeli değildir ,

${\ Displaystyle A\times B\neq B\times A,}$

çünkü aşağıdaki koşullardan en az biri sağlanmadıkça sıralı çiftler tersine çevrilir:

• A , B'ye eşittir veya
• Bir ya da B bir boş grubu .

Örneğin:

A = {1,2}; B = {3,4}

A × B = {1,2} × {3,4} = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}

B × A = {3,4} × {1,2} = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}

A = B = {1,2}

A × B = B × A = {1,2} × {1,2} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}

A = {1,2}; B = ∅

A × B = {1,2} × ∅ = ∅

B × A = ∅ × {1,2} = ∅

Kesin konuşmak gerekirse, Kartezyen çarpım ilişkisel değildir (ilgili kümelerden biri boş değilse).

${\displaystyle (A\times B)\times C\neq A\times (B\times C)}$

Örneğin A  = {1} ise, ( A × A ) × A = {((1, 1), 1)} ≠ {(1, (1, 1))} = A × ( A × A ) .

Kavşaklar, birlikler ve alt kümeler

Kartezyen çarpım, kavşaklara göre aşağıdaki özelliği karşılar (ortadaki resme bakın).

${\displaystyle (A\cap B)\times (C\cap D)=(A\times C)\cap (B\times D)}$

Biz kesişim yerine Çoğu durumda, yukarıdaki ifade doğru değil birlik (en sağdaki resme bakın).

${\ Displaystyle (A\cup B)\times (C\cup D)\neq (A\times C)\cup (B\times D)}$

Aslında elimizde şu var:

${\displaystyle (A\times C)\cup (B\times D)=[(A\setminus B)\times C]\cup [(A\cap B)\times (C\cup D)]\cup [ (B\setminus A)\kez D]}$

Küme farkı için aşağıdaki kimliğe de sahibiz:

${\displaystyle (A\times C)\setminus (B\times D)=[A\times (C\setminus D)]\cup [(A\setminus B)\times C]}$

İşte diğer operatörlerle dağılımı gösteren bazı kurallar (en soldaki resme bakın):

${\displaystyle {\begin{aligned}A\times (B\cap C)&=(A\times B)\cap (A\times C),\\A\times (B\cup C)&=(A \times B)\cup (A\times C),\\A\times (B\setminus C)&=(A\times B)\setminus (A\times C),\end{hizalı}}}$

${\displaystyle (A\times B)^{\complement }=\left(A^{\complement }\times B^{\tamamlayıcı }\sağ)\cup \left(A^{\complement }\times B\ sağ)\kupa \sol(A\times B^{\tamamlayıcı }\sağ)\!,}$

burada belirtmektedir mutlak tamamlayıcı bir A . ${\ Displaystyle A^{\tamamlayıcı }}$

Alt kümelerle ilgili diğer özellikler şunlardır:

${\displaystyle {\text{eğer }}A\subseteq B{\text{, sonra }}A\times C\subseteq B\times C;}$

${\displaystyle {\text{her ikisi de }}A,B\neq \emptyset {\text{ ise }}A\times B\subseteq C\times D\!\iff \!A\subseteq C{\text{ ve }}B\alt küme D.}$

kardinalite

Önem düzeyi bir dizi kümesinin elemanlarının sayısıdır. Örneğin, iki küme tanımlamak: A = {a, b} ve B = {5, 6}. Hem A kümesi hem de B kümesi her biri iki elemandan oluşur. A × B olarak yazılan Kartezyen çarpımı, aşağıdaki öğelere sahip yeni bir kümeyle sonuçlanır:

A × B = {(a,5), (a,6), (b,5), (b,6)}.

burada A'nın her bir elemanı B'nin her bir elemanı ile eşleştirilir ve her bir çift çıktı kümesinin bir elemanını oluşturur. Ortaya çıkan kümenin her bir elemanındaki değerlerin sayısı, Kartezyen çarpımı alınan kümelerin sayısına eşittir; Bu durumda 2. Çıkış kümesinin kardinalitesi, tüm giriş kümelerinin kardinalitelerinin çarpımına eşittir. Yani,

| A × B | = | bir | · | B |.

Bu durumda, | A × B | = 4

benzer şekilde

| A × B × C | = | bir | · | B | · | C |

ve benzeri.

Grubu A x B olduğu sonsuz , ya, eğer bir ya da B , sonsuz ve diğer set boş grubu değildir.

Birkaç kümenin Kartezyen ürünleri

n -ary Kartezyen çarpım

Kartezyen ürün jeneralize olabilir n -ary Kartezyen ürünün üzerinde n setleri X ₁ , ..., X _n set olarak

${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid x_{i}\in X_{i}\ {\text {her}}\ i\in \{1,\ldots ,n\}\}} için$

ve n, -tuples . Demetler olarak tanımlanır, iç içe sipariş çiftlerinin , bu ile tespit edilebilir ( X ₁ x ⋯ x X _{, n -1} ) x x _n . Tuple bir fonksiyonu olarak tanımlanırsa {1, 2, ..., n } onun değerini alır i olduğu i sonra başlığın inci elemanı, Kartezyen ürün x ₁ x ⋯ x X _{, n} fonksiyonların grubu olduğu

${\displaystyle \{x:\{1,\ldots ,n\}\to X_{1}\cup \cdots \cup X_{n}\ |\ x(i)\in X_{i}\ {\text {her}}\ i\in \{1,\ldots ,n\}\} için.}$

n -ary Kartezyen gücü

Kartezyen kare bir dizi ait X Kartezyen ürün x ² = X x x . Bir örnek 2 boyutlu düzlem R ² = R × R burada R reel sayılar kümesidir : R ² , x ve y'nin reel sayılar olduğu tüm noktaların ( x , y ) kümesidir ( Kartezyen koordinat sistemine bakın ) .

N -ary Kartezyen güç bir dizi ait X ile gösterilen , olarak tanımlanabilir ${\görüntüleme stili X^{n}}$

${\displaystyle X^{n}=\underbrace {X\times X\times \cdots \times X} _{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\ |\ x_{ i}\in X\ {\text{her biri için}}\ i\in \{1,\ldots ,n\}\}.}$

Bunun bir örneği R ³ = R × R × R'dir , R yine gerçek sayılar kümesidir ve daha genel olarak R ⁿ .

N, bir dizi ait -ary Kartezyen güç X olan izomorfik bir işlevlerin boşluğuna n ayarlanmış -eleman X . Özel bir durum olarak, 0-ary Kartezyen güç X bir olarak kabul edilebilir tekil dizi karşılık gelen boş işlevi ile değer kümesi x .

Sonsuz Kartezyen ürünler

Rastgele (muhtemelen sonsuz ) indekslenmiş kümeler ailesinin Kartezyen çarpımını tanımlamak mümkündür . Eğer ben herhangi bir indeks seti ve tarafından dizine setleri ailesidir I , ardından kümenin kartezyen ürün içinde tanımlanır olmak ${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle \{X_{i}\}_{i\in I}}$

${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}=\left\{\left.f:I\to \bigcup _{i\in I}X_{i}\ \sağ|\ (\forall i)(f(i)\in X_{i})\sağ\},}$

yani, belirli bir i dizinindeki işlevin değeri X _i öğesinin bir öğesi olacak şekilde dizin kümesinde tanımlanan tüm işlevlerin kümesi . Hatta her eğer X _i boştan farklı ise, Kartezyen ürün boş olabilir seçme aksiyomu her tür ürün nonempty olduğunu açıklamaya eşdeğerdir, kabul edilmez.

Her biri için j in I , fonksiyon

${\displaystyle \pi _{j}:\prod _{i\in I}X_{i}\to X_{j},}$

tarafından tanımlanan denir j inci projeksiyon haritası . ${\görüntüleme stili \pi _{j}(f)=f(j)}$

Kartezyen güç , tüm X _i faktörlerinin aynı X kümesi olduğu bir Kartezyen çarpımdır . Bu durumda,

${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}=\prod _{i\in I}X}$

tüm fonksiyonların kümesi I için X ve sık sık ifade edilir X ^I . Bu durum, kardinal üstelleştirme çalışmasında önemlidir . İndeks kümesi olduğunda önemli özel durum , doğal sayılar : Bu Kartezyen ürün ile tüm sonsuz dizilerinin kümesi ise i karşılık gelen dizi içinde inci dönem X _i . Örneğin, her bir öğe ${\displaystyle \mathbb {N} }$

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }\mathbb {R} =\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \cdots}$

sayılabilir sonsuz gerçek sayı bileşenleri olan bir vektör olarak görselleştirilebilir . Bu küme sıklıkla veya ile gösterilir . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$

Diğer formlar

kısaltılmış form

Birkaç küme birlikte çarpılıyorsa (örneğin, X ₁ , X ₂ , X ₃ , …), o zaman bazı yazarlar Kartezyen çarpımı basitçe × X _i olarak kısaltmayı seçerler .

Fonksiyonların Kartezyen çarpımı

Eğer f bir fonksiyonudur A için B ve g bir fonksiyonudur X için Y daha sonra, bunların Kartezyen ürün f x g bir fonksiyonudur bir x X için oda x Y ile

${\görüntüleme stili (f\kez g)(a,x)=(f(a),g(x))).}$

Bu, demetlere ve sonsuz işlev koleksiyonlarına genişletilebilir . Bu, kümeler olarak kabul edilen fonksiyonların standart Kartezyen çarpımından farklıdır.

silindir

Let kümesi olacak ve . Daha sonra silindir arasında göre Kartezyen ürün arasında ve . ${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili B\alt küme A}$${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili B\kez A}$${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili A}$

Normalde, bağlamın evreni olarak kabul edilir ve dışarıda bırakılır. Örneğin, eğer doğal sayıların bir alt kümesi ise , o zaman 'nin silindiri ' dir . ${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili B}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\görüntüleme stili B}$${\ Displaystyle B\times \mathbb {N} }$

Küme teorisi dışındaki tanımlar

kategori teorisi

Kartezyen çarpım geleneksel olarak kümelere uygulansa da, kategori teorisi matematiksel yapıların çarpımının daha genel bir yorumunu sağlar . Bu, lif ürününün bir genellemesi olan kategori teorisindeki Kartezyen kare kavramıyla ilişkili olmasına rağmen farklıdır .

Üs , Kartezyen çarpımının sağ ekidir ; bu nedenle Kartezyen ürünü (ve nihai nesnesi ) olan herhangi bir kategori Kartezyen kapalı kategoridir .

Grafik teorisi

Olarak grafik teorisi , iki grafik Kartezyen ürün G ve H ile temsil edilen grafiktir G x H olan, tepe seti (sıradan) Kartezyen ürün V ( G ) x V ( H ) ve bu iki köşe ( u , v ) ve ( u ', v ') bitişik olan G x H , ancak ve ancak, u = u ' ve v ile bitişik olan v ' in H , ya da v = v ' ve u ile bitişik u ' de G . Grafiklerin Kartezyen ürünü , kategori teorisi anlamında bir ürün değildir . Bunun yerine kategorik ürün, grafiklerin tensör ürünü olarak bilinir .

Ayrıca bakınız

• ikili ilişki
• Dize kümelerinin birleştirilmesi
• yan ürün
• Çapraz ürün
• Grupların doğrudan ürünü
• boş ürün
• Öklid uzayı
• üstel nesne
• sonlu ilişki
• Katılma (SQL) § Çapraz birleştirme
• Tamamen sıralı kümelerin Kartezyen çarpımı üzerindeki siparişler
• Güç kümesi aksiyomu ( Kartezyen çarpımının varlığını kanıtlamak için)
• Ürün (kategori teorisi)
• Ürün topolojisi
• Ürün tipi
• ultra ürün

Referanslar

Dış bağlantılar

• ProvenMath'te Kartezyen Ürün
• "Doğrudan ürün" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
• Kartezyen Ürün nasıl bulunur, Education Portal Academy