Ters eleman -Inverse element

Matematikte , ters eleman kavramı, sayıların karşıt ( - x ) ve karşılıklı ( 1/ x ) kavramlarını genelleştirir .

Burada ∗ ile gösterilen bir işlem ve e ile gösterilen bir kimlik öğesi verildiğinde , xy = e ise , x'in y'nin sol-tersi olduğu ve y'nin x'in sağ-tersi olduğu söylenir . (Bir kimlik öğesi, sol tarafların tanımlandığı tüm x ve y için x * e = x ve e * y = y olacak şekilde bir öğedir.)

işlemi birleştirici olduğunda , eğer bir x elemanının hem sol-tersi hem de sağ-tersi varsa, bu iki ters eşit ve benzersizdir; ters eleman veya basitçe ters olarak adlandırılırlar . Genellikle, toplamalı ters , çarpımsal ters ve işlevsel ters gibi işlemi belirtmek için bir sıfat eklenir . Bu durumda (ilişkisel işlem), ters çevrilebilir bir eleman , tersi olan bir elemandır.

Tersler, her öğenin tersine çevrilebildiği ve halkaların olduğu gruplarda yaygın olarak kullanılır; burada tersine çevrilebilir öğelere birimler de denir . Ayrıca, ters matrisler ve ters işlevler gibi tüm olası işlenenler için tanımlanmayan işlemler için de yaygın olarak kullanılırlar . Bu, tanım gereği bir izomorfizmin tersine çevrilebilir bir morfizm olduğu kategori teorisine genelleştirilmiştir .

'Ters' kelimesi Latince'den türetilmiştir : 'ters çevrilmiş', 'devrilmiş' anlamına gelen inversus . Bu, kökenini , (çarpımsal) tersinin, pay ve paydanın (is'in tersi) değiştirilmesiyle elde edildiği kesirler durumundan alabilir .

Tanımlar ve temel özellikler

Ters eleman ve ters çevrilebilir eleman kavramları, genellikle her yerde tanımlanan ikili işlemler için tanımlanır (yani işlem, etki alanının herhangi iki elemanı için tanımlanır ). Ancak, bu kavramlar genellikle kısmi işlemlerle , yani her yerde tanımlanmayan işlemlerle kullanılır. Yaygın örnekler matris çarpımı , fonksiyon bileşimi ve bir kategorideki morfizmlerin bileşimidir . Çağrışımsallık ve özdeşlik unsurunun ortak tanımlarının kısmi işlemleri kapsayacak şekilde genişletilmesi gerektiği sonucu çıkar; bu, ilk alt bölümlerin amacıdır.

Bu bölümde X , üzerinde kısmi bir işlemin (muhtemelen toplam) tanımlandığı ve ile gösterilen bir kümedir ( muhtemelen uygun bir sınıftır ).

çağrışım

Kısmi bir işlem ilişkiseldir , eğer

eşitlik üyelerinden birinin tanımlandığı X'teki her x , y , z için ; eşitlik, eşitliğin diğer üyesinin de tanımlanması gerektiği anlamına gelir.

Toplam olmayan ilişkisel işlemlere örnek olarak , rastgele boyuttaki matrislerin çarpımı ve işlev bileşimi verilebilir .

kimlik öğeleri

Bir X kümesinde olası bir kısmi ilişkisel işlem olsun .

Bir kimlik öğesi veya basitçe bir kimlik , öyle bir e öğesidir :

eşitliklerin sol tarafları tanımlanan her x ve y için.

Eğer e ve f tanımlanan şekilde iki özdeşlik unsuruysa , (Bu, 'nin tanımından hemen ortaya çıkar )

Toplam işlemin en fazla bir kimlik unsuruna sahip olduğu ve e ve f farklı kimlikler ise tanımlanmadığı sonucu çıkar.

Örneğin, matris çarpımı durumunda, her n pozitif tamsayı için bir n × n birim matrisi vardır ve farklı boyuttaki iki kimlik matrisi birlikte çarpılamaz.

Benzer şekilde, kimlik işlevleri , işlev bileşimi için kimlik öğeleridir ve iki farklı kümenin kimlik işlevlerinin bileşimi tanımlanmamıştır.

Sol ve sağ tersler

Eğer e bir özdeş eleman ise, x'in y'nin sol-tersi ve x'in y'nin sağ - tersi olduğu söylenir .

İşlem toplam ve ilişkisel olsa bile, sol ve sağ tersler her zaman mevcut değildir. Örneğin, toplama, toplamsal kimlik olarak 0'a sahip olan ve negatif olmayan tamsayılar üzerinde toplam bir ilişkisel işlemdir ve 0 , toplamsal bir tersi olan tek öğedir . Bu terslerin eksikliği, doğal sayıları tam sayılara genişletmenin ana motivasyonudur .

İşlem toplam ve ilişkisel olsa bile, bir elemanın birkaç sol-tersi ve birkaç sağ-tersi olabilir. Örneğin, tamsayılardan tamsayılara kadar olan fonksiyonları ele alalım. İkiye katlama işlevinin , çift sayıları ikiye bölen ve tek sayılara herhangi bir değer veren işlevler olan bileşim işlevi altında sonsuz sayıda sol-tersi vardır. Benzer şekilde, n'yi herhangi birine eşleyen veya n'yi eşleyen veya n'nin çift mi yoksa tek mi olduğuna bağlı olarak zemin işlevinin sağ -tersi olan her işlev .

Daha genel olarak, bir fonksiyonun fonksiyon bileşimi için bir sol-tersi vardır, eğer ve sadece o injektif ise ve bir sağ-tersi, eğer ve sadece surjective ise, sahiptir .

Kategori teorisinde , sağ-tersine bölümler de denir ve sol-terslere retraksiyonlar denir .

tersler

Bir elemanın sol-tersi ve sağ-tersi varsa, bir işlem altında tersinirdir .

İşlemin birleştirici olduğu yaygın durumda, bir elemanın sol ve sağ tersi eşit ve benzersizdir. Gerçekten de, eğer l ve r sırasıyla x'in bir sol-tersi ve bir sağ-tersi ise , o zaman

Ters çevrilebilir bir elemanın tersi, onun benzersiz sol veya sağ tersidir.

İşlem toplama olarak gösterilirse, bir x öğesinin tersi veya toplamsal tersi gösterilir Aksi takdirde, genellikle x'in tersi gösterilir veya değişmeli bir çarpma durumunda , Birkaç işlem arasında bir karışıklık olabileceği zaman, İşlemin sembolü, örneğin üsten önce eklenebilir . Gösterim , çarpımsal tersi için kullanılabileceğinden , işlev bileşimi için yaygın olarak kullanılmaz .

x ve y tersinir ise ve tanımlanırsa , o zaman tersinirdir ve tersi de

Ters çevrilebilir bir homomorfizme izomorfizm denir . Kategori teorisinde , ters çevrilebilir bir morfizme izomorfizm de denir .

Gruplarda

Grup , özdeşlik öğesi olan ve her öğenin tersi olan bir ilişkisel işlem içeren bir kümedir .

Bu nedenle, tersi, gruptan kendisine bir fonksiyondur ve aynı zamanda bir aritmetik işlemi olarak da düşünülebilir . Aynı zamanda bir involüsyondur , çünkü bir elementin tersinin tersi elementin kendisidir.

Bir grup , bir küme üzerinde bu kümenin dönüşümleri olarak hareket edebilir . Bu durumda, bir grup öğesinin tersi, yani tarafından tanımlanan dönüşümün tersi olan bir dönüşümü tanımlar, yani tarafından tanımlanan dönüşümü "geri alan" dönüşüm.

Örneğin, Rubik küpü grubu , elementat hareketlerinin sonlu dizileri olarak oluşturulmuştur. Böyle bir dizinin tersi, bu art arda yapılan hamlelerin geri alınmasıyla, yani temel hareketlerin ters sırada ters çevrilmesiyle elde edilir.

alanlarda

halkalarda

matrisler

Fonksiyonlar

ters morfizm

genellemeler

Tek bir magmada

Bir birim magma , yani ikili işlem ve kimlik öğesi olan bir küme olsun . için , elimizde varsa , o zaman 'nin sol tersi olarak adlandırılır ve 'nin sağ tersi olarak adlandırılır . Bir eleman 'nin hem sol hem de sağ tersi ise , o zaman iki taraflı tersi veya basitçe tersi olarak adlandırılır . İki taraflı tersi olan bir elemana ters çevrilebilir denir . Sadece bir tarafında ters elemanı olan bir eleman sol ters çevrilebilir veya sağ ters çevrilebilir .

Tek bir magmanın elemanları birden fazla sol, sağ veya iki taraflı terslere sahip olabilir. Örneğin, Cayley tablosunun verdiği magmada

* 1 2 3
1 1 2 3
2 2 1 1
3 3 1 1

2 ve 3 elemanlarının her birinin iki iki taraflı tersi vardır.

Tüm elemanlarının tersine çevrilebildiği tek bir magmanın bir döngü olması gerekmez . Örneğin, Cayley tablosunun verdiği magmada

* 1 2 3
1 1 2 3
2 2 1 2
3 3 2 1

her öğenin benzersiz bir iki taraflı tersi vardır (yani kendisi), ancak Cayley tablosu bir Latin karesi olmadığı için bir döngü değildir .

Benzer şekilde, bir döngünün iki taraflı tersi olması gerekmez. Örneğin, Cayley tablosunun verdiği döngüde

* 1 2 3 4 5
1 1 2 3 4 5
2 2 3 1 5 4
3 3 4 5 1 2
4 4 5 2 3 1
5 5 1 4 2 3

iki taraflı tersi olan tek eleman, kimlik elemanı 1'dir.

İşlem ilişkisel ise , bir elemanın hem sol tersi hem de sağ tersi varsa, bunlar eşittir. Başka bir deyişle, bir monoidde (birleştirici birim magma) her elementin en fazla bir tersi vardır (bu bölümde tanımlandığı gibi). Bir monoidde, ters çevrilebilir elemanlar grubu , birimleri grubu olarak adlandırılan ve veya H1 ile gösterilen bir gruptur .

bir yarı grupta

Önceki bölümdeki tanım, grup içinde ters kavramını özdeşlik kavramına göre genelleştirir. Daha az açık olsa da, özdeşlik öğesini bırakarak ancak çağrışımsallığı koruyarak bir ters kavramını genelleştirmek de mümkündür; yani, bir yarı grupta .

Bir S yarıgrubunda , S'de xzx = x olacak şekilde bir z öğesi varsa , bir x öğesine düzenli (von Neumann) düzenli denir ; z bazen sözde ters olarak adlandırılır . xyx = x ve y = yxy ise bir y öğesine (basitçe) x'in tersi denir . Her düzenli elemanın en az bir tersi vardır: x = xzx ise , bu bölümde tanımlandığı gibi y = zxz'nin x'in tersi olduğunu doğrulamak kolaydır . Kanıtlanması kolay bir başka gerçek: y , x'in tersiyse , e = xy ve f = yx idempotentlerdir , yani ee = e ve ff = f . Böylece, (karşılıklı olarak) her bir ters eleman çifti iki idempotente yol açar ve ex = xf = x , ye = fy = y ve e x üzerinde bir sol özdeşlik olarak hareket ederken, f bir sağ özdeşlik olarak hareket eder ve sol/ y için doğru roller tersine çevrilir . Bu basit gözlem Green'in bağıntıları kullanılarak genelleştirilebilir : keyfi bir yarıgruptaki her idempotent e , R e için bir sol özdeşlik ve L e için sağ özdeşliktir . Bu gerçeğin sezgisel bir açıklaması, karşılıklı olarak birbirinin tersi olan her bir öğe çiftinin yerel bir sol özdeşlik ve sırasıyla bir yerel sağ özdeşlik üretmesidir.

Bir monoidde, önceki bölümde tanımlanan ters kavramı, bu bölümde verilen tanımdan kesinlikle daha dardır. Yalnızca Green sınıfı H 1'deki öğelerin , birim magma perspektifinden bir tersi vardır, oysa herhangi bir idempotent e için , bu bölümde tanımlandığı gibi, He öğelerinin bir tersi vardır . Bu daha genel tanım altında, terslerin keyfi bir yarı grup veya monoidde benzersiz (veya mevcut) olması gerekmez. Tüm elemanlar düzenliyse, yarı gruba (veya monoid) düzenli denir ve her elemanın en az bir tersi vardır. Her elemanın bu bölümde tanımlandığı gibi tam olarak bir tersi varsa, o zaman yarıgruba ters yarıgrup denir . Son olarak, yalnızca bir idempotente sahip ters bir yarı grup, bir gruptur. Bir ters yarı grup, 000 = 0 olduğundan, bir soğurucu eleman 0'a sahip olabilirken , bir grup olmayabilir.

Yarı grup teorisinin dışında, bu bölümde tanımlandığı gibi benzersiz bir ters bazen yarı-ters olarak adlandırılır . Bu genellikle haklıdır çünkü çoğu uygulamada (örneğin, bu makaledeki tüm örnekler), bu kavramı bir özdeşliğe göre sol/sağ tersinin bir genellemesi yapan ilişkilendirme geçerlidir (bkz . Genelleştirilmiş ters ).

U -yarıgruplar

Ters yarıgrubun doğal bir genellemesi, bir (keyfi) tekli işlem ° tanımlamaktır, öyle ki ( a °)° = a S içindeki tüm a için ; bu , S'ye ⟨2,1⟩ tipi bir cebir sağlar. Böyle bir işlemle donatılmış bir yarıgrup, U -yarıgrup olarak adlandırılır . a °, a'nın tersi olacak gibi görünse de , durum böyle değildir. İlginç kavram(lar)ı elde etmek için, tekli işlem bir şekilde yarı grup işlemi ile etkileşime girmelidir. İki U -yarıgrup sınıfı incelenmiştir:

  • Etkileşim aksiyomunun aa ° a = a olduğu I -yarıgruplar
  • *-semigroups , etkileşim aksiyomunun ( ab )° = b ° a ° olduğu. Böyle bir işleme involüsyon denir ve tipik olarak * ile

Açıkça bir grup hem I -yarıgrup hem de *-yarıgruptur. Yarıgrup teorisinde önemli olan bir yarıgrup sınıfı tamamen düzenli yarıgruplardır ; bunlar, ek olarak aa ° = a ° a olan I -yarıgruplardır ; başka bir deyişle, her elemanın sözde-ters a ° değiştirmesi vardır. Bununla birlikte, bu tür yarı grupların birkaç somut örneği vardır; çoğu tamamen basit yarı gruplardır . Buna karşılık, *-yarıgrupların bir alt sınıfı olan * -düzenli yarıgruplar (Drazin anlamında), bir (benzersiz) sözde tersin en iyi bilinen örneklerinden birini, Moore-Penrose tersini verir . Ancak bu durumda involüsyon a * sözde-ters değildir. Bunun yerine, x'in sözde tersi , xyx = x , yxy = y , ( xy )* = xy , ( yx )* = yx olacak şekilde benzersiz y öğesidir . *-düzenli yarıgruplar ters yarıgrupları genelleştirdiği için, bir *-düzenli yarıgrupta bu şekilde tanımlanan benzersiz elemana genelleştirilmiş ters veya Moore-Penrose tersi denir .

Semiring'ler

Örnekler

Bu bölümdeki tüm örnekler birleştirici operatörleri içerir, bu nedenle birim magma tabanlı tanım için sol/sağ ters terimlerini ve daha genel versiyonu için yarı ters terimlerini kullanacağız.

Gerçek sayılar

Her gerçek sayının , tarafından verilen bir toplamalı tersi (yani, toplamaya göre bir tersi ) vardır . Sıfır olmayan her gerçek sayının (veya ) tarafından verilen bir çarpımsal tersi (yani çarpmaya göre bir tersi) vardır . Buna karşılık, sıfırın çarpımsal tersi yoktur, ancak benzersiz bir yarı-tersi " " vardır.

Fonksiyonlar ve kısmi fonksiyonlar

Bir işlev , bir işlevin ( işlev bileşimi için ) sol (veya sağ) tersidir , ancak ve ancak ( görev ) öğesinin etki alanındaki (karşılıklı kod etki alanı ) kimlik işleviyse . Bir fonksiyonun tersi genellikle yazılır , ancak bu gösterim bazen belirsizdir . Yalnızca alıntıların iki taraflı tersi vardır, ancak herhangi bir fonksiyonun yarı-tersi vardır; yani, tam dönüşüm monoidi düzenlidir. Kısmi fonksiyonların monoid'i de düzenlidir, oysa kısmi kısmi dönüşümlerin monoid'i prototipik ters yarı gruptur.

Galois bağlantıları

Bir (monoton) Galois bağlantısındaki alt ve üst eklemler , L ve G , birbirlerinin yarı-tersleridir; yani LGL = L ve GLG = G ve biri diğerini benzersiz şekilde belirler. Ancak birbirlerinin sol veya sağ tersi değildirler.

matrislerin genelleştirilmiş tersi

Bir alandaki girişleri olan bir kare matris, ancak ve ancak determinantı sıfırdan farklıysa ( matris çarpımı altında aynı boyuttaki tüm kare matrislerin kümesinde) tersinirdir . 'nin determinantı sıfır ise, bunun tek taraflı tersi olması imkansızdır; bu nedenle sol ters veya sağ ters diğerinin varlığını ima eder. Daha fazlası için tersine çevrilebilir matrise bakın .

Daha genel olarak, değişmeli bir halka üzerindeki bir kare matris, ancak ve ancak determinantı içinde ters çevrilebilirse tersinirdir .

Tam sıralı kare olmayan matrislerin birkaç tek taraflı tersi vardır:

  • Tersleri bıraktığımız için; Örneğin,
  • Çünkü doğru terslerimiz var; Örneğin,

Sol ters, regresyon için en küçük kareler formülü olan ve ile verilen en küçük norm çözümünü belirlemek için kullanılabilir.

Hiçbir rank eksik matrisin herhangi bir (hatta tek taraflı) tersi yoktur. Bununla birlikte, Moore-Penrose tersi tüm matrisler için mevcuttur ve mevcut olduğunda sol veya sağ (veya doğru) tersi ile çakışır.

Matris tersinin bir örneği olarak şunları göz önünde bulundurun:

Yani, m < n olarak , bir sağ tersimiz var, Bileşenlere göre şu şekilde hesaplanır:

Sol ters mevcut değil, çünkü

ki bu tekil bir matristir ve tersine çevrilemez.

Ayrıca bakınız

notlar

Referanslar

  • M. Kilp, U. Knauer, AV Mikhalev, Çelenk Ürünlerine ve Grafiklere Uygulamalı Monoidler, Eylemler ve Kategoriler , Matematikte De Gruyter Sergileri vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN  3-11-015248-7 , s. 15 (birimsel magmada def) ve s. 33 (yarı grupta def)
  • Howie, John M. (1995). Yarıgrup Teorisinin Temelleri . Clarendon Basın . ISBN'si 0-19-851194-9.*-düzenli yarıgruplar hariç, buradaki tüm yarı grup materyalini içerir.
  • Drazin, MP, Evrimli düzenli yarı gruplar , Proc. semptom. Düzenli Yarıgruplar üzerine (DeKalb, 1979), 29-46
  • Miyuki Yamada, P-systems in normal semigroups , Semigroup Forum , 24(1), Aralık 1982, s. 173-187
  • Nordahl, TE ve HE Scheiblich, Düzenli * Yarı Gruplar, Yarı Grup Forumu , 16(1978), 369–377.