Endomorfizm halkası - Endomorphism ring
Gelen matematik , endomorfizmaları bir bölgesinin değişmeli grubu , X bir halka oluşturur. Bu halka, End( X ) ile gösterilen endomorfizm halkası X olarak adlandırılır ; Bütün set homomorfizması ait X kendi içine. Endomorfizmlerin eklenmesi, doğal olarak noktasal bir şekilde ortaya çıkar ve endomorfizm bileşimi yoluyla çarpma . Bu işlemleri kullanarak, bir değişmeli grubun endomorfizmleri seti, toplamsal kimlik olarak sıfır haritası ve çarpımsal kimlik olarak kimlik haritası ile bir (tek) halka oluşturur .
İlgili işlevler, söz konusu nesnenin kategorisine bağlı olan bağlamda homomorfizm olarak tanımlanan şeyle sınırlıdır . Endomorfizm halkası sonuç olarak nesnenin çeşitli dahili özelliklerini kodlar. Ortaya çıkan nesne genellikle bir R halkası üzerinde bir cebir olduğundan, buna endomorfizm cebiri de denebilir .
Değişken grup, ilk halka olan tamsayılar halkası üzerindeki bir modül ile aynı şeydir . Benzer bir şekilde, eğer R herhangi bir değişmeli halka ise, modüllerinin endomorfizm monoidleri , aynı aksiyomlar ve türetme ile R üzerinde cebirler oluşturur . Özellikle, R ' a, alan F , modülleri E olan vektör uzayı V ve Endomorfizma halkalardır alanı üzerinde cebir F .
Açıklama
Let ( A +) bir değişmeli grup ve biz grup homomorfizmleri dikkate A içine A . Daha sonra, bu tür iki homomorfizmin eklenmesi, başka bir grup homomorfizmi üretmek için noktasal olarak tanımlanabilir. Açıkça, böyle iki homomorfizmleri verilen f ve g toplamı, f ve g homomorfizma . Bu işlem altında End( A ) bir değişmeli gruptur. Homomorfizmaların ek bileşimi ile End( A ) çarpımsal özdeşliğe sahip bir halkadır. Bu kompozisyon açıkça . Çarpımsal özdeşlik, A üzerindeki özdeşlik homomorfizmidir .
A kümesi bir değişmeli grup oluşturmuyorsa, o zaman iki homomorfizmanın toplamının bir homomorfizma olması gerekmediğinden , yukarıdaki yapı mutlaka toplamalı değildir. Bu endomorfizm seti, halka olmayan bir yakın halkanın kanonik bir örneğidir .
Özellikler
- Endomorfizm halkaları her zaman sırasıyla sıfır haritası ve kimlik haritası olmak üzere toplamsal ve çarpımsal kimliklere sahiptir .
- Endomorfizm halkaları birleştiricidir , ancak tipik olarak değişmeli değildir .
- Bir modül basitse , endomorfizm halkası bir bölme halkasıdır (buna bazen Schur lemması denir ).
- Bir modül, ancak ve ancak endomorfizm halkası önemsiz olmayan idempotent öğeler içermiyorsa ayrıştırılamaz . Modül bir eklemeli modül ise , o zaman ayrıştırılamazlık endomorfizm halkasının yerel bir halka olmasına eşdeğerdir .
- Bir İçin semisimple modülü , Endomorfizma halka olan von Neumann düzenli halka .
- Sıfır olmayan bir sağ tek sıralı modülün endomorfizm halkası, bir veya iki maksimal sağ ideale sahiptir. Modül Artinian, Noetherian, projektif veya injektif ise, endomorfizm halkasının benzersiz bir maksimal ideali vardır, bu nedenle yerel bir halkadır.
- Artinian üniforma modülünün endomorfizm halkası yerel bir halkadır.
- Sonlu bileşim uzunluğuna sahip bir modülün endomorfizm halkası , bir yarı-birincil halkadır .
- Bir Endomorfizma halkası sürekli modülü ya da ayrı modüle a, temiz bir halka .
- Bir R modülü sonlu olarak üretilmiş ve projektif ise (yani bir progeneratör ), modülün endomorfizm halkası ve R, tüm Morita değişmez özelliklerini paylaşır. Morita teorisinin temel bir sonucu, R'ye eşdeğer tüm halkaların, ataların endomorfizm halkaları olarak ortaya çıkmasıdır.
Örnekler
- R modülleri kategorisinde, bir R- modül M'nin endomorfizm halkası yalnızca tipik olarak değişmeli grup homomorfizmlerinin uygun bir alt kümesi olan R modülü homomorfizmalarını kullanacaktır . Tüm M a, sonlu üretilmiş yansıtmalı modülü , Endomorfizma halkası için merkezi Morita eşdeğerlik modülü kategoriler.
- Herhangi bir değişmeli grup için , , çünkü içindeki herhangi bir matris aşağıdaki gibi doğal bir homomorfizma yapısı taşır :
- Bu izomorfizm, birçok değişmeli olmayan endomorfizm halkası oluşturmak için kullanılabilir. Örneğin: , beri .
- Ayrıca, bir alan olduğunda , kanonik bir izomorfizm vardır , yani , bir -vektör uzayının endomorfizm halkası, girişleri olan n -by- n matrislerin halkasıyla tanımlanır . Daha genel olarak, serbest modülün endomorfizm cebiri , doğal olarak halkada girişleri olan -by- matrislerdir .
- Herhangi bir halka için son nokta belirli bir örneği olarak, R birliği ile sonu ( R R ) = R ' , burada unsurları R üzerinde hareket R ile sol çarpma.
- Genel olarak, endomorfizm halkaları, herhangi bir ön eklemeli kategorinin nesneleri için tanımlanabilir .
Notlar
- ^ Fraleigh (1976 , s. 211)
- ^ Passman (1991 , s. 4-5)
- ^ Dummit & Foote , s. 347)
- ^ Jacobson 2009 , s. 118.
- ^ Jacobson 2009 , s. 111, Prop. 3.1.
- ^ Wisbauer 1991 , s. 163.
- ^ Wisbauer 1991 , s. 263.
- ^ Camillo et al. 2006 .
- ^ Değişken gruplar, tamsayılar halkası üzerindeki modüller olarak da görülebilir.
- ^ Drozd & Kirichenko 1994 , s. 23–31.
Referanslar
- Camillo, Başkan Yardımcısı; Khurana, D.; Lam, TY; Nicholson, WK; Zhou, Y. (2006), "Sürekli modüller temizdir", J. Algebra , 304 (1): 94–111, doi : 10.1016/j.jalgebra.2006.06.032 , ISSN 0021-8693 , MR 2255822
- Drozd, Yu. A.; Kirichenko, VV (1994), Sonlu Boyutlu Cebirler , Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-53380-X
- Salak, David; Foote, Richard, Cebir
- Fraleigh, John B. (1976), Soyut Cebirde İlk Ders (2. baskı), Okuma: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
- "Endomorfizm halkası" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
- Jacobson, Nathan (2009), Temel cebir , 2 (2. baskı), Dover, ISBN 978-0-486-47187-7
- Passman, Donald S. (1991), Halka Teorisinde Bir Kurs , Pacific Grove: Wadsworth & Brooks/Cole, ISBN 0-534-13776-8
- Wisbauer, Robert (1991), Modül ve halka teorisinin temelleri , Algebra, Logic and Applications, 3 (1988 Almanca ed.den revize edilmiş ve tercüme edilmiştir), Philadelphia, PA: Gordon and Breach Science Publishers, pp. xii+606 , ISBN 2-88124-805-5, MR 1144522 Çalışma ve araştırma için bir el kitabı