Endomorfizm halkası - Endomorphism ring

Gelen matematik , endomorfizmaları bir bölgesinin değişmeli grubu , X bir halka oluşturur. Bu halka, End( X ) ile gösterilen endomorfizm halkası X olarak adlandırılır ; Bütün set homomorfizması ait X kendi içine. Endomorfizmlerin eklenmesi, doğal olarak noktasal bir şekilde ortaya çıkar ve endomorfizm bileşimi yoluyla çarpma . Bu işlemleri kullanarak, bir değişmeli grubun endomorfizmleri seti, toplamsal kimlik olarak sıfır haritası ve çarpımsal kimlik olarak kimlik haritası ile bir (tek) halka oluşturur .

İlgili işlevler, söz konusu nesnenin kategorisine bağlı olan bağlamda homomorfizm olarak tanımlanan şeyle sınırlıdır . Endomorfizm halkası sonuç olarak nesnenin çeşitli dahili özelliklerini kodlar. Ortaya çıkan nesne genellikle bir R halkası üzerinde bir cebir olduğundan, buna endomorfizm cebiri de denebilir .

Değişken grup, ilk halka olan tamsayılar halkası üzerindeki bir modül ile aynı şeydir . Benzer bir şekilde, eğer R herhangi bir değişmeli halka ise, modüllerinin endomorfizm monoidleri , aynı aksiyomlar ve türetme ile R üzerinde cebirler oluşturur . Özellikle, R ' a, alan F , modülleri E olan vektör uzayı V ve Endomorfizma halkalardır alanı üzerinde cebir F .

Açıklama

Let ( A +) bir değişmeli grup ve biz grup homomorfizmleri dikkate A içine A . Daha sonra, bu tür iki homomorfizmin eklenmesi, başka bir grup homomorfizmi üretmek için noktasal olarak tanımlanabilir. Açıkça, böyle iki homomorfizmleri verilen f ve g toplamı, f ve g homomorfizma . Bu işlem altında End( A ) bir değişmeli gruptur. Homomorfizmaların ek bileşimi ile End( A ) çarpımsal özdeşliğe sahip bir halkadır. Bu kompozisyon açıkça . Çarpımsal özdeşlik, A üzerindeki özdeşlik homomorfizmidir .

A kümesi bir değişmeli grup oluşturmuyorsa, o zaman iki homomorfizmanın toplamının bir homomorfizma olması gerekmediğinden , yukarıdaki yapı mutlaka toplamalı değildir. Bu endomorfizm seti, halka olmayan bir yakın halkanın kanonik bir örneğidir .

Özellikler

Örnekler

  • R modülleri kategorisinde, bir R- modül M'nin endomorfizm halkası yalnızca tipik olarak değişmeli grup homomorfizmlerinin uygun bir alt kümesi olan R modülü homomorfizmalarını kullanacaktır . Tüm M a, sonlu üretilmiş yansıtmalı modülü , Endomorfizma halkası için merkezi Morita eşdeğerlik modülü kategoriler.
  • Herhangi bir değişmeli grup için , , çünkü içindeki herhangi bir matris aşağıdaki gibi doğal bir homomorfizma yapısı taşır :
Bu izomorfizm, birçok değişmeli olmayan endomorfizm halkası oluşturmak için kullanılabilir. Örneğin: , beri .
Ayrıca, bir alan olduğunda , kanonik bir izomorfizm vardır , yani , bir -vektör uzayının endomorfizm halkası, girişleri olan n -by- n matrislerin halkasıyla tanımlanır . Daha genel olarak, serbest modülün endomorfizm cebiri , doğal olarak halkada girişleri olan -by- matrislerdir .
  • Herhangi bir halka için son nokta belirli bir örneği olarak, R birliği ile sonu ( R R ) = R ' , burada unsurları R üzerinde hareket R ile sol çarpma.
  • Genel olarak, endomorfizm halkaları, herhangi bir ön eklemeli kategorinin nesneleri için tanımlanabilir .

Notlar

  1. ^ Fraleigh (1976 , s. 211)
  2. ^ Passman (1991 , s. 4-5)
  3. ^ Dummit & Foote , s. 347)
  4. ^ Jacobson 2009 , s. 118.
  5. ^ Jacobson 2009 , s. 111, Prop. 3.1.
  6. ^ Wisbauer 1991 , s. 163.
  7. ^ Wisbauer 1991 , s. 263.
  8. ^ Camillo et al. 2006 .
  9. ^ Değişken gruplar, tamsayılar halkası üzerindeki modüller olarak da görülebilir.
  10. ^ Drozd & Kirichenko 1994 , s. 23–31.

Referanslar

  • Camillo, Başkan Yardımcısı; Khurana, D.; Lam, TY; Nicholson, WK; Zhou, Y. (2006), "Sürekli modüller temizdir", J. Algebra , 304 (1): 94–111, doi : 10.1016/j.jalgebra.2006.06.032 , ISSN  0021-8693 , MR  2255822
  • Drozd, Yu. A.; Kirichenko, VV (1994), Sonlu Boyutlu Cebirler , Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-53380-X
  • Salak, David; Foote, Richard, Cebir