Döngüsel sıra - Cyclic order
Gelen matematik , bir siklik düzeni bir nesne kümesi düzenlemek için bir yöntemdir daire . Sıra teorisindeki çoğu yapının aksine , döngüsel bir düzen " a < b " gibi ikili bir ilişki olarak modellenmez . Doğunun batıdan daha "saat yönünde" olduğu söylenemez. Bunun yerine, bir siklik düzenin olarak tanımlanır üçlü ilişki [ a , b , c ] "sonra, yani bir tek ulaşır b önce c ". Örneğin, [Haziran, Ekim, Şubat], ancak [Haziran, Şubat, Ekim] değil, bkz. resim. Üçlü bir ilişki, döngüsel, asimetrik, geçişli ve toplam ise döngüsel düzen olarak adlandırılır . "Toplam" gereksinimin düşürülmesi, kısmi bir döngüsel sıra ile sonuçlanır .
Bir dizi bir siklik düzenine sahip bir adlandırılan siklik sıralı grubu ya da sadece bir döngü . Bazı bilinen döngü yalnızca sahip olan, farklı olan sınırlı sayıda ait elemanlar : yedi vardır haftanın günleri , dört ana yöne , on iki notlar renk skalası , ve üç çalış kaya kağıt makas . Sonlu bir döngüde, her elemanın bir "sonraki elemanı" ve bir "önceki elemanı" vardır. Düzlemdeki yönlendirilmiş birim çember gibi sonsuz sayıda elemana sahip sürekli değişken döngüler de vardır .
Döngüsel sıralar , nesneleri bir satırda düzenleyen daha tanıdık doğrusal sıralarla yakından ilişkilidir . Herhangi bir doğrusal sıra bir daireye bükülebilir ve herhangi bir döngüsel sıra bir noktada kesilerek bir çizgiyle sonuçlanabilir. Bu işlemler, ilgili aralıklar ve kaplama haritaları ile birlikte, döngüsel sıralarla ilgili soruların çoğu zaman doğrusal sıralarla ilgili sorulara dönüştürülebileceği anlamına gelir. Döngüler, doğrusal düzenlerden daha fazla simetriye sahiptir ve genellikle sonlu döngüsel gruplarda veya gerçek yansıtmalı çizgide olduğu gibi, doğal olarak doğrusal yapıların kalıntıları olarak ortaya çıkarlar .
sonlu döngüler
Bir resim grubu bir siklik sipariş X ile , n elemanlarının bir düzenleme gibi X bir için bir saat yüzü üzerinde, n -saat saat. Her bir element X in X bir "ileri elemanı" ve "önceki elemanı" olarak ve öğeleri arasında tam olarak bir kez ya da ardılları veya öncekilerden döngüleri alarak yer alır , x (1), x (2), ..., x ( n ) .
Bu tanımı ifade etmenin birkaç eşdeğer yolu vardır. X üzerindeki döngüsel sıra, tüm X'i tek bir döngüye dönüştüren bir permütasyonla aynıdır . İle bir döngü , n elemanları da olduğu , Z , n - torsor serbest geçişli bir grubu: bir eylem bir yan sonlu siklik grubu . Başka bir formülasyon, öğelerin köşelerle bazı eşleştirilmesiyle X'i n köşe üzerindeki standart yönlendirilmiş döngü grafiğine dönüştürmektir .
Simetrik fonksiyonlar için döngüsel sıraları kullanmak içgüdüsel olabilir , örneğin aşağıdaki gibi.
- xy + yz + zx
son monomiali xz olarak yazmak , desenden dikkati dağıtır.
Döngüsel sıraların önemli bir kullanımı , serbest grupların eşlenik sınıflarının belirlenmesindedir . İki elemanın g ve h serbest grubun F bir dizi Y bunlar elemanları ürün olarak yazılır zaman, konjuge, ancak ve ancak, eğer olan y ve y -1 ile y de Y , ve daha sonra bu ürünler, siklik sırayla konur, döngüsel siparişler, birinin bitişik y ve y -1'i kaldırmasına veya eklemesine izin veren yeniden yazma kuralları altında eşdeğerdir .
Bir resim grubu bir siklik sipariş X bir lineer sırayla belirlenebilir X fakat benzersiz bir şekilde,. Doğrusal bir sıra seçmek, bir ilk elemanı seçmekle eşdeğerdir, bu nedenle belirli bir döngüsel sırayı indükleyen tam olarak n doğrusal sıra vardır. n olduğundan beri ! olası lineer siparişler vardır, ( n − 1)! olası döngüsel siparişler.
Tanımlar
Bir sonsuz seti de döngüsel sipariş edilebilir. Sonsuz döngülerin önemli örnekleri, birim çemberi , S 1'i ve rasyonel sayıları , Q'yu içerir . Temel fikir aynıdır: kümenin elemanlarını bir daire etrafında düzenleriz. Bununla birlikte, sonsuz durumda, noktaların ardılları olmayabilir, çünkü doğrudan bir ardıl ilişkisine güvenemeyiz. Örneğin, birim çemberde bir nokta verildiğinde "sonraki nokta" yoktur. İki noktadan hangisinin "önce" geldiğini belirlemek için ikili bir ilişkiye de güvenemeyiz. Bir daire üzerinde saat yönünde seyahat ederken, ne doğu ne de batı önce gelir, ancak her biri diğerini takip eder.
Bunun yerine, biz çemberin etrafında dönerken a , b , c öğelerinin birbiri ardına (mutlaka hemen değil) oluştuğunu belirten üçlü bir ilişki kullanırız . Örneğin, saat yönünde [doğu, güney, batı]. By currying üçlü ilişki argümanları [ a , b , c ] , bir, denilen ikili düzen ilişkilerinin tek parametre ailesi olarak bir halkalı düzenin aklınıza gelebilecek kesikler , ya alt kümelerinin iki parametre ailesi olarak K denilen aralıklar .
üçlü ilişki
Genel tanım şu şekildedir: bir X kümesindeki döngüsel sıra , aşağıdaki aksiyomları karşılayan [ a , b , c ] şeklinde yazılmış bir C ⊂ X 3 ilişkisidir :
- Sikli: Eğer [ a , b , c ] o [ b , c , a ]
- Asimetri: Eğer [ a , b , c ] o zaman [ C , B , bir ]
- Geçişlilik: Eğer [ a , b , c ] ve [ a , c , d ] o [ a , b , d ]
- Bütünlük: a , b ve c farklıysa , o zaman [ a , b , c ] veya [ c , b , a ]
Aksiyomlar, birlikte katı bir doğrusal düzen tanımlayan ikili bir ilişki için asimetri , geçişlilik ve bütünlük aksiyomlarına benzetilerek adlandırılır . Edward Huntington ( 1916 , 1924 ), döngüsel bir düzen ile bir arasındalık ilişkisi arasındaki benzerliği vurgulamayı amaçlayan bir liste de dahil olmak üzere, diğer olası aksiyom listelerini değerlendirdi . İlk üç aksiyomu karşılayan, ancak mutlaka bütünlük aksiyomunu gerektirmeyen üçlü bir ilişki, kısmi bir döngüsel düzendir .
haddeleme ve kesimler
Bir X kümesinde < doğrusal bir sıra verildiğinde , < tarafından indüklenen X üzerindeki döngüsel sıra aşağıdaki gibi tanımlanır:
- [ a , b , c ] ancak ve ancak a < b < c veya b < c < a veya c < a < b ise
Bir iskambil destesini kesmekte olduğu gibi, döngüsel bir yeniden düzenleme ile birbirlerine dönüştürülebiliyorlarsa, iki doğrusal sıra aynı döngüsel sırayı indükler . Bir döngüsel düzen ilişkisi, yukarıdaki gibi katı bir doğrusal düzen tarafından indüklenen üçlü bir ilişki olarak tanımlanabilir.
Döngüsel bir düzenden tek bir noktayı kesmek, geride doğrusal bir düzen bırakır. Daha kesin olarak, döngüsel olarak sıralı bir küme ( K , [ ]) verildiğinde , her eleman a ∈ K , aşağıdaki kurala göre kümenin geri kalanında, K ∖ a 'da bir doğal doğrusal sıra < a tanımlar :
- x < a y ancak ve ancak [ a , x , y ] ise .
Ayrıca, < bir bitişik uzatılabilir bir en az bir eleman olarak; K üzerinde elde edilen doğrusal sıraya, en az elemanlı a ile ana kesim denir . Benzer şekilde, bitişik bir bir kesim içinde büyük elemanı sonuç olarak < a .
Aralıklar
İki elemanın verilen bir ≠ b ∈ K , açık aralığı ile ilgili bir için b yazılı ( a , b ) , her bir dizi x ∈ K , öyle ki [ a , X , b ] . Açık aralıklar sistemi, döngüsel sırayı tamamen tanımlar ve bir döngüsel sıra ilişkisinin alternatif bir tanımı olarak kullanılabilir.
Bir aralık ( a , b ) < a ile verilen doğal bir doğrusal sıraya sahiptir . Bir yarı kapalı ve kapalı aralıkları tanımlayabilir [ a , b ) , ( a , b ] ve [ a , b ] bitişik ile bir bir şekilde en az eleman ve / veya b bir şekilde büyük elemanı . Özel bir durum olarak, açık aralık ( a , a ) kesme K ∖ a olarak tanımlanır .
Daha genel olarak, uygun bir alt kümesi, s arasında K denir dışbükey bu noktalarının her çifti arasında bir aralık içeriyorsa: için bir ≠ b ∈ S , ya da ( a , b ) ya da ( b , bir ) aynı zamanda olmalıdır S . Bir dışbükey küme, kümede olmayan herhangi bir x için kesim < x ile doğrusal olarak sıralanır ; bu sıralama x seçiminden bağımsızdır .
otomorfizmler
Bir dairenin saat yönünde ve saat yönünün tersine bir düzeni olduğu için, döngüsel sıraya sahip herhangi bir kümenin iki anlamı vardır . Bir bijection düzeni koruyan kümesinin bir denir sipariş yazışmalar . Anlam eskisi gibi korunursa, doğrudan bir yazışmadır , aksi takdirde zıt bir yazışma olarak adlandırılır . Coxeter, döngüsel düzeni tanımlamak için bir ayırma ilişkisi kullanır ve bu ilişki, döngüsel düzenin iki anlamını ayırt etmek için yeterince güçlüdür. Otomorfizmalar döngüsel sıralı bir setin C tanımlanabilir 2 , direkt ve ters yazışmalar iki eleman grubu.
monoton fonksiyonlar
"Döngüsel düzen = bir daire içinde düzenleme" fikri işe yarar çünkü bir döngünün herhangi bir alt kümesinin kendisi bir döngüdür. Bu fikri düzlemdeki birim çemberin altkümeleri olmayan kümelere döngüsel sıralar yüklemek için kullanmak için, kümeler arasındaki fonksiyonları dikkate almak gerekir .
Döngüsel olarak sıralanmış iki küme arasındaki f : X → Y arasındaki bir fonksiyona monotonik fonksiyon veya Y üzerindeki sıralamayı geri çekiyorsa homomorfizma denir : her [ f ( a ), f ( b ), f ( c )] , bir yer alır : [ a , b , c ] . Eşdeğer olarak, f monotondur, eğer [ a , b , c ] ve f ( a ), f ( b ) ve f ( c ) birbirinden farklıysa, o zaman [ f ( a ), f ( b ), f ( c ) ] . Bir monoton fonksiyonun tipik bir örneği, 6 elemanlı çevrimde aşağıdaki fonksiyondur:
- f (0) = f (1) = 4,
- f (2) = f (3) = 0,
- f (4) = f (5) = 1.
Bir işlev denir gömme o monoton ve her iki ise birebir . Eşdeğer olarak, bir gömme, X üzerindeki sıralamayı ileri iten bir işlevdir : [ a , b , c ] , [ f ( a ), f ( b ), f ( c )] olduğunda . Önemli bir örnek olarak, X döngüsel olarak sıralanmış bir Y kümesinin bir alt kümesiyse ve X'e doğal sıralaması verilmişse, o zaman i : X → Y dahil etme haritası bir yerleştirmedir.
Genel olarak, sırasız bir X kümesinden bir Y döngüsüne bir enjektif f fonksiyonu , X üzerinde f'yi bir gömme yapan benzersiz bir döngüsel sıraya neden olur .
Sonlu kümelerdeki fonksiyonlar
Sonlu bir X kümesindeki döngüsel bir düzen , X → S 1 birim çemberine bir enjeksiyonla belirlenebilir . Aynı döngüsel düzeni indükleyen birçok olası işlev vardır - aslında, sonsuz sayıda. Bu fazlalığı ölçmek için basit bir sayıdan daha karmaşık bir birleşimsel nesne gerekir. İncelenmesi konfigürasyon alan bir tanımı, tüm bu tür harita yol açar ( n - 1) boyutlu politop olarak bilinir cyclohedron . Siklohedra ilk olarak düğüm değişmezlerinin çalışmasına uygulandı ; bunlar daha yakın zamanda biyolojik saatlerin incelenmesinde periyodik olarak ifade edilen genlerin deneysel tespiti için uygulanmıştır .
Standart sonlu döngülerin homomorfizmaları kategorisine döngüsel kategori denir ; inşa etmek için kullanılabilir Alain Connes ' siklik homoloji .
Sürekli bir haritalamanın derecesine benzer şekilde, döngüler arasında bir fonksiyonun derecesi tanımlanabilir . Örneğin, doğal harita beşte daire için kromatik daire da tanımlayabilir derece 7. Tek bir haritasıdır dönme sayısı .
tamamlama
- Hem en küçük hem de en büyük öğeye sahip bir kesime atlama denir . Örneğin, bir sonlu döngü her kesim , Z , n , bir atlama. Sıçraması olmayan bir döngüye yoğun denir .
- Ne en küçük ne de en büyük elemana sahip bir kesime boşluk denir . Örneğin, Q rasyonel sayıları her irrasyonel sayıda bir boşluk içerir. Ayrıca sonsuzda bir boşlukları var, yani olağan sıralama. Boşluk içermeyen bir döngüye tamamlandı denir .
- Tam olarak bir bitiş noktası olan bir kesime ana veya Dedekind kesimi denir . Örneğin, çemberin her kesim S 1 bir ana kesilir. Her kesimin esas olduğu, hem yoğun hem de eksiksiz olduğu bir döngüye sürekli denir .
Tüm kesimler kümesi döngüsel olarak aşağıdaki bağıntıya göre sıralanır: [< 1 , < 2 , < 3 ] eğer ve sadece x , y , z varsa:
- x < 1 y < 1 z ,
- x < 1 y < 2 z < 2 x ve
- x < 1 y < 1 z < 3 x < 3 y .
Bu kesinti döngüsünün belirli bir alt kümesi , orijinal döngünün Dedekind tamamlanmasıdır .
Diğer yapılar
Açma ve kapaklar
Döngüsel olarak sıralanmış bir K kümesinden başlayarak, sonsuz bir çizgi boyunca yuvarlanarak doğrusal bir düzen oluşturulabilir. Bu, kişinin dairenin etrafında kaç kez dolaştığını takip etmenin sezgisel kavramını yakalar. Biçimsel olarak, tek bir tanımlar üzerinde doğrusal sıra Kartezyen ürün Z x K , Z, bir dizi tamsayı , bir elemanın sabitlenmesi ile, a ve gerektiren tüm bu ı :
- Eğer [ a , x , y ] , daha sonra bir I < x i < y ı < a i + 1 .
Örneğin, Ocak 2021, Mayıs 2021, Eylül 2021 ve Ocak 2022 ayları bu sırayla gerçekleşir.
Bu sıralama Z × K denir evrensel kapağı arasında K . Onun sipariş türü seçimi bağımsız bir , ama tamsayı kısmındaki "üzerinde rulo" koordine beri notasyonu, değil bir . Siklik sırası ne kadar Örneğin, ses sınıfları A-to-G alfabetik uyumlu, Cı böylece, her bir oktav ilk not olacak şekilde seçilir not oktav gösterimde, B 3 C takip eder 4 .
Ters yapı, doğrusal olarak sıralanmış bir kümeyle başlar ve onu döngüsel olarak sıralanmış bir kümeye sarar. Lineer olarak sıralanmış bir L kümesi ve sınırsız yörüngeli T : L → L sırasını koruyan bir önerme verildiğinde, L / T yörünge alanı gereksinime göre döngüsel olarak sıralanır:
- Eğer bir < b < c < T ( a ) , daha sonra [[ a ], [ B ], [ c ]] .
Özel olarak, bir kurtarabilir K tanımlayarak T ( x i ) = x i + 1 ile Z x K .
Sonlu n için n- katlı kaplamalar da vardır ; bu durumda, çevrimsel olarak sıralanmış bir küme, çevrimsel olarak sıralanmış başka bir kümeyi kapsar. Örneğin, 24 saatlik zaman biçimi, 12 saatlik zaman biçiminin iki katıdır . Geometride, kalem ve ışınları yönlendirilmiş düzleminde bir noktadan çıkan yönlendirilmemiş bir kalem bir çift kapak hatları aynı noktasından geçen. Bu kaplama haritaları, evrensel kaplamaya kaldırılarak karakterize edilebilir.
Ürünler ve geri çekme
Döngüsel sıralı grubu göz önüne alındığında, ( K , []) ile donatılmış olması ve sıralı dizi ( L , <) , (toplam) lexicographic ürün, bir siklik sırasıdır ürün grubu K x L ile tanımlanan, [( a , x ), ( b , y ), ( c , z )] aşağıdakilerden biri geçerliyse:
- [ a , b , c ]
- a = b ≠ c ve x < y
- b = c ≠ a ve y < z
- c = a ≠ b ve z < x
- a = b = c ve [ x , y , z ]
Sözlükbilimsel ürün K × L global olarak K'ya ve yerel olarak L'ye benziyor ; L'nin K kopyaları olarak düşünülebilir . Bu yapı bazen döngüsel olarak sıralanmış grupları karakterize etmek için kullanılır.
Dairesel olarak sıralanmış bir küme oluşturmak için doğrusal olarak sıralanmış farklı kümeleri birbirine yapıştırabilirsiniz. Örneğin, iki lineer sipariş setleri verilen L 1 ve L 2 , bir pozitif ve negatif sonsuzda birbirine birleştirilmesiyle bir çember oluşturabilir. L 1 ∪ L 2 ∪ {–∞, ∞ } ayrık birleşimindeki dairesel bir sıra, ∞ < L 1 < –∞ < L 2 < ∞ ile tanımlanır , burada L 1'deki indüklenen sıralama , orijinal sıralamasının tersidir. Örneğin, tüm boylamlar kümesi, başlangıç meridyeni ve 180. meridyen ile birlikte batıdaki tüm noktalar ve doğudaki tüm noktalar birleştirilerek dairesel olarak sıralanır . Kuhlmann, Marshall ve Osiak (2011) bu yapıyı gerçek bir kapalı alan üzerinde çift biçimli Laurent serisinin sıralı mekanlarını ve gerçek mekanlarını karakterize ederken kullanır .
topoloji
Açık aralıklar , doğal bir topoloji , döngüsel düzen topolojisi için bir temel oluşturur . Açık kümeler bu topoloji tam olarak açık olan bu kümeleridir her uyumlu lineer sırayla. Farkı göstermek için, [0, 1) kümesinde, [0, 1/2) alt kümesi doğrusal sırada 0'ın bir komşuluğudur, ancak döngüsel sırada değildir.
Döngüsel olarak sıralanmış boşlukların ilginç örnekleri, basit bağlantılı bir Lorentz yüzeyinin uyumlu sınırını ve belirli 3-manifoldların kaldırılmış bir temel laminasyonunun yaprak boşluğunu içerir . Döngüsel olarak sıralanmış uzaylar üzerinde ayrık dinamik sistemler de incelenmiştir.
Aralık topolojisi, döngüsel düzenin orijinal yönelimini unutur. Bu oryantasyon, indüklenmiş lineer sıraları ile aralıkları zenginleştirerek restore edilebilir; o zaman, örtüştükleri yerde uyumlu olan bir doğrusal düzen atlası ile kaplı bir küme vardır. Başka bir deyişle, döngüsel olarak sıralanmış bir küme, yerel olarak doğrusal olarak sıralanmış bir uzay olarak düşünülebilir: manifold gibi bir nesne , ancak koordinat çizelgeleri yerine sıra ilişkileri olan bir nesne . Bu bakış açısı, haritaları kaplama gibi kavramlar hakkında kesin olmayı kolaylaştırır. Yerel olarak kısmen düzenli bir uzaya genelleme Roll'da (1993) incelenmiştir ; ayrıca bkz . Yönlendirilmiş topoloji .
İlgili yapılar
Gruplar
Bir siklik sipariş grubu , bir hem de bir dizi grup yapısı sol ve sağ çarpma siklik düzeni korumak hem de bu şekilde bir siklik için. Döngüsel olarak sıralı gruplar ilk olarak 1947'de Ladislav Rieger tarafından derinlemesine incelenmiştir . Bunlar döngüsel grupların bir genellemesidir : sonsuz döngüsel grup Z ve sonlu döngüsel gruplar Z / n . Doğrusal bir sıra döngüsel bir sıraya neden olduğundan, döngüsel olarak sıralı gruplar da doğrusal olarak sıralı grupların bir genellemesidir : rasyonel sayılar Q , gerçek sayılar R , vb. Döngüsel olarak sıralanmış en önemli gruplardan bazıları önceki kategorilere girmez: daire grubu T ve rasyonel noktaların alt grubu gibi alt grupları .
Her siklik sipariş grubu, bir bölüm olarak ifade edilebilir L / Z , L bir lineer sipariş grubudur ve Z, bir siklik cofinal alt grubudur , L . Döngüsel olarak sıralı her grup, aynı zamanda , L' nin lineer olarak sıralı bir grup olduğu bir T × L ürününün bir alt grubu olarak da ifade edilebilir . Döngüsel olarak sıralanmış bir grup Arşimet veya kompakt ise, T'nin kendisine gömülebilir .
Değiştirilmiş aksiyomlar
Bir kısmi siklik düzeni bir aynı şekilde bir (toplam) siklik düzeni genelleştirilmiş bir üçlü ilişkidir kısmi sıralama bir genelleştirilmiş toplam düzen . Döngüsel, asimetrik ve geçişlidir, ancak toplam olması gerekmez. Bir düzen çeşitliliği , ek bir yayılma aksiyomunu karşılayan kısmi bir döngüsel düzendir . Asimetri aksiyomunun tamamlayıcı bir versiyonla değiştirilmesi, eş-döngüsel bir düzenin tanımlanmasıyla sonuçlanır . Uygun şekilde, toplam birlikte siklik emir aynı şekilde siklik siparişlere ilgili ≤ ile ilgilidir < .
Döngüsel bir düzen, nispeten güçlü bir 4 noktalı geçiş aksiyomuna uyar. Bu aksiyomu zayıflatan yapılardan biri CC sistemidir : döngüsel, asimetrik ve toplam, ancak genellikle geçişli olmayan üçlü bir ilişki. Bunun yerine, bir CC sistemi , döngüsel geçişliliği ihlal eden 4 noktalı konfigürasyonları sınırlayan 5 noktalı bir geçiş aksiyomuna ve yeni bir içsellik aksiyomuna uymalıdır .
Döngüsel permütasyon altında simetrik, [ a , b , c ] ⇒ [ b , c , a ] ve ters çevirme altında asimetrik olmak için bir döngüsel düzen gereklidir : [ a , b , c ] ⇒ ¬[ c , b , a ] . Döngüsel permütasyon altında asimetrik ve ters çevirme altında simetrik olan üçlü bir ilişki , geçişlilik ve bütünlük aksiyomlarının uygun versiyonlarıyla birlikte, arasındalık ilişkisi olarak adlandırılır . Bir ayırma ilişki a, kuaterner ilişki bir oryantasyon olmaksızın siklik düzen olarak düşünülebilir. Dairesel bir düzen ve bir ayırma ilişkisi arasındaki ilişki, doğrusal bir düzen ve bir arasındalık ilişkisi arasındaki ilişkiye benzer.
Simetriler ve model teorisi
Evans, Macpherson & Ivanov (1997) , döngülerin kapsayan haritalarının model-teorik bir tanımını sunar.
Tararin ( 2001 , 2002 ), çeşitli geçiş özelliklerine sahip döngülerin otomorfizm gruplarını inceler . Giraudet ve Holland (2002) , tam otomorfizm grupları serbest ve geçişli hareket eden döngüleri karakterize eder . Campero-Arena ve Truss (2009) , otomorfizm grupları geçişli hareket eden sayılabilir renkli döngüleri karakterize eder. Truss (2009) , benzersiz (izomorfizme kadar) sayılabilir yoğun döngünün otomorfizm grubunu inceler.
Kulpeshov & Macpherson (2005) çalışması minimality dairesel sipariş üzerine koşullar yapıları , birinci dereceden dillerinin yani modeller halkalı düzen ilişkisi olduğu bildirildi. Bu koşullar, doğrusal olarak sıralanmış yapılar için o-minimallik ve zayıf o-minimallik analoglarıdır . Kulpeshov ( 2006 , 2009 ) ω-kategorik yapıların bazı karakterizasyonları ile devam ediyor .
Biliş
Hans Freudenthal , yalnızca doğrusal düzenleri ele alan Jean Piaget'in aksine, döngüsel düzenlerin bilişsel gelişimdeki rolünü vurguladı . Yılın ayları gibi döngüsel olarak sıralanmış kümelerin zihinsel temsillerini araştırmak için bazı deneyler yapılmıştır.
Kullanımla ilgili notlar
^döngüsel düzen İlişki,çevrimsel bir düzen(Huntington 1916, s. 630),dairesel bir düzen(Huntington 1916, s. 630),döngüsel bir düzen(Kok 1973, s. 6) veyadairesel bir düzen(Mosher) olarak adlandırılabilir. 1996, s.109). Bazı yazarlar böyle bir sıralamayatoplam döngüsel düzen(Isli & Cohn 1998, s. 643),tam döngüsel düzen(Novák 1982, s. 462),doğrusal döngüsel düzen(Novák 1984, s. 323) veya birlderler.-çevrimsel düzenveya ℓ-döngüsel düzen(Černák 2001, s. 32),basitçeçevrimsel düzenolarak adlandırdıklarıdaha genişkısmi çevrimsel düzensınıfından ayırt etmek için. Son olarak, bazı yazarlardöngüsel düzeni, yönelimsiz bir dörtlüayrılma ilişkisianlamına gelebilir(Bowditch 1998, s. 155).
^döngü Döngüsel bir sıraya sahip bir küme, birdöngü(Novák 1982, s. 462) veya birçember(Giraudet & Holland 2002, s. 1) olarak adlandırılabilir. Yukarıdaki varyasyonlar ayrıca sıfat biçiminde de görünür:döngüsel sıralı küme(cyklicky uspořádané množiny,Čech 1936, s. 23),dairesel sıralı küme,toplam döngüsel sıralı küme,tam döngüsel sıralı küme,doğrusal döngüsel sıralı küme,l-döngüsel sıralı küme, ℓ-döngüsel sıralı küme. Tüm yazarlar, bir döngünün tamamen düzenli olduğu konusunda hemfikirdir.
^üçlü ilişki Döngüsel bir ilişki için kullanımda olan birkaç farklı sembol vardır. Huntington (1916, s. 630) bitiştirmeyi kullanır: ABC . Čech (1936, s. 23) ve (Novák 1982, s. 462) sıralı üçlüleri ve küme üyelik sembolünü kullanır:( a , b , c ) ∈ C . Megiddo (1976, s. 274) birleştirme ve küme üyeliğini kullanır: abc ∈ C , abc'yi döngüsel olarak sıralanmış bir üçlü olarakanlar. Świerczkowski (1959a, s. 162) veČernák & Jakubík (1987, s. 157)gibi gruplarla ilgili literatür,köşeli parantez kullanma eğilimindedir:[ a , b , c ]. Giraudet & Holland (2002, s. 1) yuvarlak parantezler kullanır:( a , b , c ), bir aradalık ilişkisi için köşeli parantezler ayırarak. Campero-Arena & Truss (2009, s. 1) bir fonksiyon stili notasyonu kullanır: R ( a , b , c ). Rieger (1947),Pecinová 2008, s. 82) sınırlayıcı olarak "küçüktür" sembolü kullanır:< x , y , z <. Bazı yazarlar ek gösterimi kullanır: a < b < c , bununbazı ikili ilişkiler içinolağan a < b ve b < c anlamını taşımadığı anlayışıyla< (Černy 1978, s. 262). Weinstein (1996, s. 81) bir öğeyi tekrarlayarak döngüsel doğayı vurgular: p ↪ r ↪ q ↪ p .
^ gömme Novák (1984, s. 332) gömmeyi "izomorfik gömme" olarak adlandırır.
^ rulo Bu durumda,Giraudet ve Hollanda (2002, s. 2) Bu yazmaKolanL"sıvadı".
^ yörünge alan haritasıTdenirarchimedeantarafındanBowditch (2004, s. 33),sonlu birtarafındanCampero-Arena ve Kafes (2009, s. 582) ve birçeviriileMcMullen (2009, s. 10).
^ genel kapak McMullen (2009, s. 10) çağrıları Z x K "evrensel kapak"K. Giraudet ve Hollanda (2002, s. 3) olup, yazmaKolduğu , Z x K "sarmal". Freudenthal & Bauer (1974, s. 10), çağrı Z x K arasında "∞ kat kaplama"K. Genellikle bu yapı, K × Z üzerinde sözlükbilimsel olmayan düzen olarak yazılır.
Referanslar
- alıntılar
- bibliyografya
- Bas, Hyman ; Otero-Espinar, Maria Victoria; Rockmore, Daniel; Tresser, Charles (1996), Köklü ağaçların döngüsel renormallzatlon ve otomorfizm grupları , Lecture Notes in Mathematics, 1621 , Springer, doi : 10.1007/BFb0096321 , ISBN 978-3-540-60595-9
- Bowditch, Brian H. (Eylül 1998), "Hiperbolik grupların kesme noktaları ve kurallı bölmeleri ", Açta Mathematica , 180 (2): 145–186, doi : 10.1007/BF02392898 , S2CID 121148668
- Bowditch, Brian H. (Kasım 2004), "Düzlemsel gruplar ve Seifert varsayımı" , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 2004 (576) : 11–62 , doi : 10.1515/crll.2004.084 , alındı 31 Mayıs 2011
- Brown, Kenneth S. (Şubat 1987), "Grupların sonluluk özellikleri" (PDF) , Journal of Pure and Applied Algebra , 44 (1–3): 45–75, doi : 10.1016/0022-4049(87)90015- 6 , alındı 21 Mayıs 2011
- Calegari, Danny (13 Aralık 2004), "Dairesel gruplar, düzlemsel gruplar ve Euler sınıfı" (PDF) , Geometri & Topology Monographs , 7 : 431–491, arXiv : math/0403311 , Bibcode : 2004math..... .3311C , CiteSeerX 10.1.1.235.122 , doi : 10.2140/gtm.2004.7.431 , S2CID 14154261 , alındı 30 Nisan 2011
- Calegari, Danny; Dunfield, Nathan M. (Nisan 2003), "Dairenin laminasyonları ve homeomorfizm grupları", Inventiones Mathematicae , 152 (1): 149–204, arXiv : math/0203192 , Bibcode : 2003InMat.152..149D , doi : 10.1007/s00222-002-0271-6 , S2CID 15149654
- Campero-Arena, G.; Truss, John K. (Nisan 2009), "1-geçişli döngüsel sıralamalar" (PDF) , Kombinatoryal Teori Dergisi, Seri A , 116 (3): 581–594, doi : 10.1016/j.jcta.2008.08.006 , 25 Nisan 2011 alındı
- Čech, Eduard (1936), Bodové množiny (Çekçe), Prag: Jednota Československých matematiků a fysiků, hdl : 10338.dmlcz/400435 , alındı 9 Mayıs 2011
- Černák, Štefan (2001), "Yarım doğrusal döngüsel sıralı grubun Cantor uzantısı" , Tartışmalar Mathematicae - Genel Cebir ve Uygulamalar , 21 (1): 31–46, doi : 10.7151/dmgaa.1025 , alındı 22 Mayıs 2011
- Černák, Stefan; Jakubík, Ján (1987), "Çevrimsel olarak sıralanmış bir grubun tamamlanması", Çekoslovak Matematik Dergisi , 37 (1): 157-174, doi : 10.21136/CMJ.1987.102144 , hdl : 10338.dmlcz/102144 , MR 0875137 , Zbl 0624.06021
- Černy, Ilja (1978), "Basit bağlantılı bölgelerdeki kesimler ve tüm sınır elemanları sisteminin döngüsel sıralaması" (PDF) , Časopis Pro Pěstování Matematiky , 103 (3): 259–281, doi : 10.21136/CPM.1978.117983 , hdl : 10338.dmlcz/117983 , alındı 11 Mayıs 2011
- Courcelle, Bruno (21 Ağustos 2003), "2.3 Dairesel düzen" (PDF) , Berwanger, Dietmar'da; Grädel, Erich (ed.), Sonlu Model Teorisinde Problemler , s. 12, orijinalinden (PDF) 27 Mayıs 2011'de arşivlendi , alındı 15 Mayıs 2011
- Coxeter, HSM (1949), "Bölüm 3: Düzen ve süreklilik", Gerçek Projektif Düzlem
- Evans, David M.; Macpherson, Dugald; Ivanov, Alexandre A. (1997), "Sonlu Kapaklar" , içinde Evans, David M. (ed.), Grupların ve otomorfizm gruplarının model teorisi: Blaubeuren, Ağustos 1995 , London Mathematical Society Ders Notu Serisi, 244 , Cambridge University Press , s. 1-72, ISBN 978-0-521-58955-0, 5 Mayıs 2011 tarihinde alındı
- Freudenthal, Hans (1973), Bir eğitim görevi olarak matematik , D. Reidel, ISBN 978-90-277-0235-7
- Freudenthal, Hans; Bauer, A. (1974), "Geometri—A Fenomenolojik Tartışma" , Behnke, Heinrich'te; Gould, SH (eds.), Fundamentals of matematiğin , 2 , MIT Press, s. 3-28 , ISBN 978-0-262-02069-5
- Freudenthal, Hans (1983), Matematiksel yapıların didaktik fenomenolojisi , D. Reidel, ISBN 978-90-277-1535-7
- Giraudet, Michele; Holland, W. Charles (Eylül 2002), "Ohkuma Structures" (PDF) , Sipariş , 19 (3): 223–237, doi : 10.1023/A:1021249901409 , S2CID 40537336 , alındı 28 Nisan 2011
- Huntington, Edward V. (1 Kasım 1916), "Döngüsel Düzen için Bağımsız Postulatlar Seti", Amerika Birleşik Devletleri Ulusal Bilimler Akademisi Bildiriler Kitabı , 2 (11): 630-631, Bibcode : 1916PNAS.. ..2..630H , doi : 10.1073/pnas.2.11.630 , PMC 1091120 , PMID 16576195
- Huntington, Edward V. (15 Şubat 1924), "Döngüsel Düzen için Tamamen Bağımsız Postulatların Kümeleri", Amerika Birleşik Devletleri Ulusal Bilimler Akademisi Bildiriler Kitabı , 10 (2): 74–78, Bibcode : 1924PNAS.. .10...74H , doi : 10.1073/pnas.10.2.74 , PMC 1085517 , PMID 16576785
- Huntington, Edward V. (Temmuz 1935), "Dört Temel Düzen Türü Arasındaki İlişkiler" (PDF) , İşlemler Amerikan Matematik Derneği , 38 (1): 1–9, doi : 10.1090/S0002-9947- 1935-1501800-1 , alındı 8 Mayıs 2011
- İşli, Amar; Cohn, Anthony G. (1998), "2D yönelimlerin döngüsel sıralaması için bir cebir" (PDF) , AAAI '98/IAAI '98 Yapay zeka üzerine on beşinci ulusal/onuncu konferansın bildirileri/Yapay zekanın yenilikçi uygulamaları , ISBN 978-0-262-51098-1, alındı 23 Mayıs 2011
- Knuth, Donald E. (1992), Axioms and Hulls , Lecture Notes in Computer Science, 606 , Heidelberg: Springer-Verlag, pp. ix+109, doi : 10.1007/3-540-55611-7 , ISBN 978-3-540-55611-4, S2CID 5452191 , alındı 5 Mayıs 2011
- Kok, H. (1973), Bağlantılı düzenlenebilir uzaylar , Amsterdam: Mathematisch Centrum , ISBN 978-90-6196-088-1
- Kuhlmann, Salma; Marshall, Murray; Osiak, Katarzyna (1 Haziran 2011), "İki değişkenli güç serisi alanlarının sıralanmalarının döngüsel 2-yapıları ve uzayları", Journal of Algebra , 335 (1): 36–48, doi : 10.1016/j.jalgebra.2011.02. 026
- Kulpeshov, Beybut Ş. (Aralık 2006), "On ℵ 0 -kategorik zayıf dairesel olarak minimal yapılar", Mathematical Logic Quarterly , 52 (6): 555–574, doi : 10.1002/malq.200610014
-
Kulpeshov, Beybut Ş. (Mart 2009), "ℵ 0 -kategorik zayıf dairesel olarak minimal yapılarda tanımlanabilir fonksiyonlar ", Siberian Mathematical Journal , 50 (2): 282–301, doi : 10.1007/s11202-009-0034-3 , S2CID 123179896
- Çevrilmesi Kulpeshov (2009), "Определимые функции в ℵ 0 -категоричных слабо циклически минимальных структурах" , sibirski Matematicheskiĭ Zhurnal , 50 (2): 356-379 , alınan 24 Mayıs 2011 tarihinden
- Kulpeshov, Beybut Ş.; Macpherson, H. Dugald (Temmuz 2005), "Dairesel olarak sıralanmış yapılarda minimum koşullar", Mathematical Logic Quarterly , 51 (4): 377–399, doi : 10.1002/malq.200410040 , MR 2150368
- Macpherson, H. Dugald (2011), "Homojen yapılarla ilgili bir anket" (PDF) , Discrete Mathematics , 311 (15): 1599–1634, doi : 10.1016/j.disc.2011.01.024 , erişim tarihi 28 Nisan 2011
- McMullen, Curtis T. (2009), "Birim diskte şerit R-ağaçları ve holomorfik dinamikler" (PDF) , Journal of Topology , 2 (1): 23–76, CiteSeerX 10.1.1.139.8850 , doi : 10.1112/ jtopol/jtn032 , alındı 15 Mayıs 2011
- Megiddo, Nimrod (Mart 1976), "Kısmi ve tam döngüsel siparişler" (PDF) , Amerikan Matematik Derneği Bülteni , 82 (2): 274–276, doi : 10.1090/S0002-9904-1976-14020-7 , alındı 30 Nisan 2011
- Morton, James; Pachter, Lior ; Shiu, Anne; Sturmfels, Bernd (Ocak 2007), "Zaman Kursu İfade Çalışmalarında Periyodik Genleri Bulmak için Siklohedron Testi", Genetik ve Moleküler Biyolojide İstatistiksel Uygulamalar , 6 (1): Madde 21, arXiv : q-bio/0702049 , Bibcode : 2007q .bio.....2049M , doi : 10.2202/1544-6115.1286 , PMID 17764440 , S2CID 17402424
- Mosher, Lee (1996), "Haritalama sınıfı grubuna yönelik bir kullanıcı kılavuzu: kez delinmiş yüzeyler", Baumslag, Gilbert (ed.), Sonsuz gruplar üzerinde Geometrik ve hesaplamalı perspektifler , DIMACS, 25 , AMS Kitabevi, s. 101 –174, arXiv : matematik/9409209 , Bibcode : 1994math......9209M , ISBN 978-0-8218-0449-0
- Novák, Vítězslav (1982), "Döngüsel sıralı kümeler" (PDF) , Çekoslovak Matematik Dergisi , 32 (3): 460–473, doi : 10.21136/CMJ.1982.101821 , hdl : 10338.dmlcz/101821 , alındı 30 Nisan 2011
- Novák, Vítězslav (1984), "Cuts in döngüsel olarak sıralanmış kümeler" (PDF) , Czechoslovak Mathematical Journal , 34 (2): 322–333, doi : 10.21136/CMJ.1984.101955 , hdl : 10338.dmlcz/101955 , alındı 30 Nisan 2011
- Novák, Vítězslav; Novotný, Miroslav (1987), "Çevrimsel olarak sıralanmış kümelerin tamamlanması üzerine", Çekoslovak Matematik Dergisi , 37 (3): 407–414, doi : 10.21136/CMJ.1987.102168 , hdl : 10338.dmlcz/102168
- Pecinová-Kozáková, Eliška (2005), "Ladislav Svante Rieger ve Cebirsel Çalışması", Safrankova, Jana (ed.), WDS 2005 - Katkıda Bulunan Bildiriler Kitabı, Bölüm I , Prag: Matfyzpress , s. 190–197, CiteSeerX 10.1.1.90.2398 , ISBN 978-80-86732-59-6
- Pecinová, Eliška (2008), Ladislav Svante Rieger (1916–1963) , Dějiny matematiky (Çekçe), 36 , Prag: Matfyzpress, hdl : 10338.dmlcz/400757 , ISBN 978-80-7378-047-0, alındı 9 Mayıs 2011
- Rieger, LS (1947), "О uspořádaných a cyklicky uspořádaných grupách II (Sıralı ve döngüsel olarak sıralanmış gruplar II)", Věstník Královské české Spolecnosti Nauk, Třída Mathematicko-přírodovědná, Çek Matematik ve Doğa Bilimleri Dergisi (Journal of the ) (Çek) (1): 1-33
- Roll, J. Blair (1993), "Yerel olarak kısmen sıralı gruplar" (PDF) , Çekoslovak Matematik Dergisi , 43 (3): 467–481, doi : 10.21136/CMJ.1993.128411 , hdl : 10338.dmlcz/128411 , alındı 30 Nisan 2011
- Stasheff, Jim (1997), "Operadlardan 'fiziksel' ilhamlı teorilere" , Loday, Jean-Louis'de; Stasheff, James D.; Voronov, Alexander A. (ed.), Operads: Proceedings of Reneassance Conferences , Contemporary Mathematics, 202 , AMS Bookstore, s. 53–82, ISBN 978-0-8218-0513-8, orijinalinden 23 Mayıs 1997'de arşivlendi , alındı 1 Mayıs 2011
- Świerczkowski, S. (1959a), "Döngüsel olarak sıralanmış gruplarda" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 47 (2) : 161–166 , doi : 10.4064/fm-47-2-161-166 , alındı 2 Mayıs 2011
-
Tararin, Valeri Mikhailovich (2001), "On Automorphism Groups of Automorphism Groups of Cyclicly Ordered Sets", Siberian Mathematical Journal , 42 (1): 190–204, doi : 10.1023/A:1004866131580 , S2CID 117396034
- Tamarin'in çevirisi (2001),О группах автоморфизмов циклически упорядоченных множеств, Sibirskii Matematicheskii Zhurnal (Rusça), 42 (1): 212–230 , alındı 30 Nisan 2011
-
Tararin, Valeri Mikhailovich (2002), "C-3-Geçişli Otomorfizm Gruplarının Döngüsel Olarak Sıralı Kümeler Üzerine ", Matematiksel Notlar , 71 (1): 110–117, doi : 10.1023/A:1013934509265 , S2CID 126544835
- Çeviri Tamarin (2002), "О c-3-транзитивных группах автоморфизмов циклически упорядоченных множеств", Matematicheskie Zametki , 71 (1): 122-129, DOI : 10,4213 / mzm333
- Truss, John K. (2009), "On the automorphism group of the automorphism group of the sayılabilir yoğun dairesel düzen" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 204 (2): 97–111, doi : 10.4064/fm204-2-1 , alındı 25 Nisan 2011
- Viro, Oleg ; Ivanov, Oleg; Netsvetaev, Nikita; Kharlamov, Viatcheslav (2008), "8. Döngüsel Siparişler" (PDF) , İlköğretim topoloji: problemli ders kitabı (1. İngilizce baskı), AMS Kitabevi , s. 42–44, ISBN 978-0-8218-4506-6, alındı 25 Nisan 2011
- Weinstein, Tilla (Temmuz 1996), Lorentz yüzeylerine giriş , Matematikte De Gruyter Açıklamaları, 22 , Walter de Gruyter, ISBN 978-3-11-014333-1
daha fazla okuma
- Bhattacharjee, Meenaxi; Macpherson, Dugald; Möller, Rögnvaldur G.; Neumann, Peter M. (1998), Sonsuz Permütasyon Grupları Üzerine Notlar , Matematikte Ders Notları, 1698 , Springer, s. 108–109, doi : 10.1007/BFb0092550 , ISBN 978-3-540-64965-6
- Bodirsky, Manuel; Pinsker, Michael (2011), "Ramsey Yapılarının İndirgenmeleri" , Sonlu Kombinatoriklerde Model Teorik Yöntemler , Çağdaş Matematik, 558 , AMS, s. 489ff, arXiv : 1105.6073 , Bibcode : 2011arXiv1105.6073B , ISBN 978-0-8218-4943-9
- Cameron, Peter J. (Haziran 1976), "Sırasız kümelerde permütasyon gruplarının geçişi", Mathematische Zeitschrift , 148 (2): 127–139 , doi : 10.1007/BF01214702 , S2CID 120757129
- Cameron, Peter J. (Haziran 1977), "İki grafiğin kohomolojik yönleri", Mathematische Zeitschrift , 157 (2): 101–119 , doi : 10.1007/BF01215145 , S2CID 120726731
- Cameron, Peter J. (1997), "Bir çağın cebiri", içinde Evans, David M. (ed.), Grupların ve otomorfizm gruplarının model teorisi: Blaubeuren, Ağustos 1995 , London Mathematical Society Ders Notu Serisi, 244 , Cambridge University Press, s. 126–133, CiteSeerX 10.1.1.39.2321 , ISBN 978-0-521-58955-0
- Courcelle, Bruno; Engelfriet, Joost (Nisan 2011), Graph Structure and Monadic Second-Order Logic, a Language Theoretic Approach (PDF) , Cambridge University Press , alındı 17 Mayıs 2011
- Droste, M.; Giraudet, M.; Macpherson, D. (Mart 1995), "Periyodik Sıralı Permütasyon Grupları ve Döngüsel Sıralamalar", Journal of Combinatory Theory, Series B , 63 (2): 310–321, doi : 10.1006/jctb.1995.1022
- Droste, M.; Giraudet, M.; Macpherson, D. (Mart 1997), "Set-Homogeneous Graphs and Embeddings of Total Orders", Order , 14 (1): 9–20, CiteSeerX 10.1.1.22.9135 , doi : 10.1023/A:1005880810385 , S2CID 16990257
- Evans, David M. (17 Kasım 1997), "Sonlu çekirdeklerle sonlu kapaklar", Annals of Pure and Applied Logic , 88 (2-3): 109–147, CiteSeerX 10.1.1.57.5323 , doi : 10.1016/S0168- 0072(97)00018-3
- Ivanov, AA (Ocak 1999), "Sonlu Örtüler, Kohomoloji ve Homojen Yapılar", Proceedings of the London Mathematical Society , 78 (1): 1-28, doi : 10.1112/S002461159900163X
- Jakubík, Ján (2006), "ℓ-döngüsel olarak sıralanmış kümelerin monoton permütasyonları üzerine" (PDF) , Çekoslovak Matematik Dergisi , 45 (2): 403–415, doi : 10.1007/s10587-006-0026-4 , hdl : 10338 .dmlcz/128075 , S2CID 51756248 , alındı 30 Nisan 2011
- Kennedy, Christine Cowan (Ağustos 1955), Döngüsel üçlü ilişki üzerine ... (Yüksek Lisans Tezi) , Tulane Üniversitesi, OCLC 16508645
- Kónya, Eszter Herendine (2006), "Oryantasyon kavramının matematiksel ve didaktik analizi", Matematik ve Bilgisayar Bilimleri Öğretimi , 4 (1) : 111–130 , doi : 10.5485/TMCS.2006.0108
- Kónya, Eszter Herendine (2008), "Geometrik dönüşümler ve döngüsel sıralama kavramı" (PDF) , Maj, Bożena'da; Pytlak, Marta; Swoboda, Ewa (ed.), Matematik Eğitimi Yoluyla Bağımsız Düşünmeyi Destekleme , Rzeszów University Press, s. 102–108, ISBN 978-83-7338-420-0, alındı 17 Mayıs 2011
- Leloup, Gérard (Şubat 2011), "Varoluşsal olarak eşdeğer döngüsel ultrametrik uzaylar ve döngüsel olarak değerli gruplar" (PDF) , Logic Journal of the IGPL , 19 (1): 144-173, CiteSeerX 10.1.1.152.7462 , doi : 10.1093/jigpal /jzq024 , 30 Nisan 2011'de alındı
- Marongiu, Gabriele (1985), " Dairesel sıralamaların ℵ 0 - kategorisine ilişkin bazı açıklamalar ", Unione Matematica Italiana. Bolletino. B. Serie VI (İtalyanca), 4 (3): 883–900, MR 0831297
- McCleary, Stephen; Rubin, Matatyahu (6 Ekim 2005), Yerel Hareketli Gruplar ve Zincirler ve Çemberler için Yeniden Yapılandırma Problemi , arXiv : math/0510122 , Bibcode : 2005math.....10122M
- Müller, G. (1974), "Lineare und zyklische Ordnung", Praxis der Mathematik , 16 : 261–269, MR 0429660
- Rubin, M. (1996), "Lokal olarak hareket eden gruplar ve yeniden yapılandırma problemleri", Hollanda'da, W. Charles (ed.), Sıralı gruplar ve sonsuz permütasyon grupları , Matematik ve Uygulamaları, 354 , Kluwer, s. 121–157, ISBN'si 978-0-7923-3853-6
- Świerczkowski, S. (1956), "Döngüsel sıralama ilişkileri üzerine", Bulletin de l'Académie Polonaise des Sciences, Classe III , 4 : 585–586
- Świerczkowski, S. (1959b), "Tamsayıların döngüsel sıralı aralıklarında" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 47 (2): 167-172, doi : 10.4064/fm-47-2-167-172 , alındı 2 Mayıs 2011
- Truss, JK (Temmuz 1992), "Homojen Yapıların Genel Otomorfizmaları", Londra Matematik Derneği Bildirileri , 3, 65 (1): 121–141, doi : 10.1112/plms/s3-65.1.121
Dış bağlantılar
- siklik düzen içinde nLab
- İlgili Medya Döngüsel sipariş (matematik) Wikimedia Commons