Basitçe bağlantılı alan - Simply connected space

Olarak topoloji , bir topolojik alanı adı verilen bir basit bağlantılı (veya 1-bağlı ya da 1-basit bağlantılı bu ise) yolu bağlı ve her yol içine (boşluk içinde kalan, boşluklar için sezgisel) iki nokta arasında sürekli olarak transforme edilebilir söz konusu iki uç noktayı korurken bu tür başka herhangi bir yol. Temel grup bir topolojik alanı sadece bağlanacak olan alanı için başarısızlık bir göstergesidir: ve temel grup önemsiz olması halinde ise bir yol bağlantılı topolojik alan basit bağlantılıdır.

Tanım ve eşdeğer formülasyonlar

Bu şekil, basitçe bağlı olmayan bir kümeyi temsil eder, çünkü bir veya daha fazla deliği çevreleyen herhangi bir döngü, bölgeden çıkmadan bir noktaya daraltılamaz.

Bir topolojik alanı adı verilen bir basit bağlantılı bu yolu ile bağlı ise ve varsa döngü içinde tanımlanan kesintisiz bir ilk vardır: bir noktaya sözleşmeli olabilir öyle ki S sınırlı ¹ olduğu Burada, ve belirtmektedir birim çemberi ve kapalı birim disk içinde Öklid düzlemi , sırasıyla. ${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle f:S^{1}\to X}$${\displaystyle F:D^{2}\to X}$${\görüntüleme stili F}$${\görüntüleme stili f.}$${\görüntüleme stili S^{1}}$${\görüntüleme stili D^{2}}$

Eşdeğer bir formülasyon şudur: sadece, ancak ve ancak bu şekilde bunun yol bağlı ise bağlanmıştır ve her ve aynı başlangıç ve bitiş noktaları ile ((olup, sürekli dönüşümler) iki yol vardır ), daha sonra sürekli bir şekilde deforme olabilir , her iki tutarken uç noktalar sabit. Açıkça, öyle bir homotopi var ki ve${\görüntüleme stili X}$${\displaystyle p:[0,1]\to X}$${\displaystyle q:[0,1]\to X}$${\displaystyle p(0)=q(0){\metin{ ve }}p(1)=q(1)}$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili q}$ ${\displaystyle F:[0,1]\times [0,1]\rightarrow X}$${\görüntüleme stili F(x,0)=p(x)}$${\görüntüleme stili F(x,1)=q(x).}$

Topolojik alan , ancak ve ancak sadece bağlanan yol-bağlanır ve temel grup içinde her bir nokta önemsiz olarak, yani sadece oluşur kimlik elemanı . Benzer bir şekilde, sadece, ancak ve ancak, tüm noktalar için ise bağlı kümesini Morfizm içinde temel grupoidinin arasında sadece bir eleman yer alır. ${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili x,y\X'de,}$ ${\ Displaystyle \ operatör adı {Hom} _{\Pi (X)}(x,y)}$${\görüntüleme stili X}$

In karmaşık analizler : Açık bir alt kümesi ve her iki yalnızca eğer basitçe bağlanır onun tamamlayıcısı ve Riemann küresinin bağlanır. Sanal kısmı kesinlikle sıfırdan büyük ve birden küçük olan karmaşık sayılar kümesi, tümleyeni bağlı olmayan düzlemin sınırsız, bağlantılı, açık bir alt kümesine güzel bir örnek sunar. Yine de basitçe bağlantılıdır. Ayrıca, bağlantılı gereksinimin gevşemesinin, bağlantılı genişletilmiş tamamlayıcılı düzlemin açık alt kümelerinin ilginç bir keşfine yol açtığını belirtmekte fayda var. Örneğin, (zorunlu olarak bağlı olmayan) bir açık küme, bağlı bileşenlerinin her biri basitçe bağlandığında tam olarak bağlı genişletilmiş tamamlayıcıya sahiptir. ${\displaystyle X\subseteq \mathbb {C} }$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$

gayrı resmi tartışma

Gayri resmi olarak, uzayımızdaki bir nesne, tek parçadan oluşuyorsa ve içinden geçen herhangi bir "deliğe" sahip değilse, basitçe bağlanır. Örneğin, ne bir çörek ne de bir kahve fincanı (saplı) basitçe bağlı değildir, ancak içi boş bir lastik top basitçe bağlanır. İki boyutta, bir daire basitçe bağlı değildir, bir disk ve bir çizgidir. Birbirine bağlı ancak basit bir şekilde bağlı olmayan uzaylara, basit bağlantılı olmayan veya çoklu bağlantılı denir .

Bir küre basitçe bağlanır çünkü her döngü (yüzeyde) bir noktaya daraltılabilir.

Tanım, yalnızca kulp şeklindeki delikleri dışlar. Bir küre (veya eşdeğeri, içi boş bir merkezi olan bir lastik top) basitçe bağlanır, çünkü bir kürenin yüzeyindeki herhangi bir halka, içi boş merkezinde bir "delik" olmasına rağmen bir noktaya kadar büzülebilir. Nesnenin herhangi bir boyutta deliği olmamasının daha güçlü koşulu, büzülebilirlik olarak adlandırılır .

Örnekler

Torus, basit bir şekilde bağlantılı bir yüzey değildir. Burada gösterilen iki renkli halkanın hiçbiri yüzeyden ayrılmadan bir noktaya kadar daraltılamaz. Bir katı torus mor döngü katı çıkmadan bir noktaya sözleşme olamaz çünkü aynı zamanda basit bağlantılı değildir.

• Öklid düzlemi basit bağlantılıdır, ancak eksi köken değildir. Eğer her iki ve eksi kökeni basitçe bağlanır.${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\görüntüleme stili (0,0)}$${\görüntüleme stili n>2,}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Benzer şekilde: n -boyutlu küre , ancak ve ancak${\görüntüleme stili S^{n}}$${\görüntüleme stili n\geq 2.}$
• Her dışbükey alt kümesi arasında basit bağlantılıdır.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Bir torus , (eliptik) silindir , Möbius şeridi , projektif düzlem ve Klein şişesi basitçe birbirine bağlı değildir.
• Her topolojik vektör uzayı basitçe bağlantılıdır; buna Banach uzayları ve Hilbert uzayları dahildir .
• İçin Özel dik grup basitçe bağlı değildir ve özel üniter grup basit bağlantılıdır.${\görüntüleme stili n\geq 2,}$ ${\displaystyle \operatöradı {SO} (n,\mathbb {R} )}$ ${\ Displaystyle \ operatör adı {SU} (n)}$
• Tek noktalı sıkıştırma basit bir şekilde bağlantılı değildir (basit bir şekilde bağlı olmasına rağmen ).${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Uzun çizgi basit bağlantılı ama tıkızlaştırması, genişletilmiş uzun çizgi olan (yol bağlantılı bile olmadığı için) değildir.${\görüntüleme stili L}$${\görüntüleme stili L^{*}}$

Özellikler

Bir yüzey (iki boyutlu topolojik manifold ), ancak ve ancak bağlıysa ve cinsi ( yüzeyin tutamaç sayısı ) 0 ise basit bir şekilde bağlanır .

Herhangi bir (uygun) alanın evrensel kaplaması, bir kaplama haritası aracılığıyla haritalanan basit bağlantılı bir alandır . ${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$

Eğer ve olan eşdeğer eşyerellik ve basitçe bağlayıp ardından böyledir${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili Y}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili Y.}$

Sürekli bir fonksiyon altında basit bağlantılı bir kümenin görüntüsünün basitçe bağlanması gerekmez. Örneğin, üstel haritanın altındaki karmaşık düzlemi ele alalım: görüntü basitçe bağlantılı değildir. ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\},}$

Basit bağlantılılık kavramı , aşağıdaki gerçeklerden dolayı karmaşık analizde önemlidir :

• Cauchy integral teoremi eğer durumları bir basit bağlantılı açık bir alt kümesi olup , kompleks düzlemin ve a, holomorfik işlevi , daha sonra , bir yer alır İlkel üzerinde her değerini hattı entegrali içinde integrali ile sadece uç noktalara bağlıdır ve yolun ve İntegral olarak hesaplanabilir, dolayısıyla belirli bir yola bağlı değildir ve${\görüntüleme stili U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$${\görüntüleme stili f}$ ${\görüntüleme stili F}$${\görüntüleme stili U,}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili u}$${\görüntüleme stili v}$${\görüntüleme stili F(v)-F(u).}$${\görüntüleme stili u}$${\görüntüleme stili v,}$
• Riemann dönüşüm teoremi herhangi boş olmayan basit bağlantılı açık alt kümesi olduğunu devletler (haricinde kendisi) olduğu conformally eşdeğer için birim diske .${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

Basit bağlantılılık kavramı da Poincare varsayımında çok önemli bir koşuldur .

Ayrıca bakınız

• Temel grup  – Bir topolojik uzayda döngülerin homotopi sınıflarının matematiksel grubu
• deformasyon geri çekme
• n-bağlı uzay
• Yol bağlantılı
• tek eşevreli uzay

Referanslar

• İspanyol, Edwin (Aralık 1994). Cebirsel Topoloji . Springer. ISBN'si 0-387-94426-5.
• Conway, John (1986). Bir Karmaşık Değişken I'in Fonksiyonları . Springer. ISBN'si 0-387-90328-3.
• Burbaki, Nicolas (2005). Lie Grupları ve Lie Cebirleri . Springer. ISBN'si 3-540-43405-4.
• Gamelin, Theodore (Ocak 2001). Karmaşık Analiz . Springer. ISBN'si 0-387-95069-9.
• Joshi, Kapli (Ağustos 1983). Genel Topolojiye Giriş . Yeni Çağ Yayıncıları. ISBN'si 0-85226-444-5.