Temel grupoid - Fundamental groupoid

Gelen cebirsel topoloji , temel grupoid belirli bir topolojik değişmez a topolojik alanı . Daha yaygın olarak bilinen temel grubun bir uzantısı olarak görülebilir ; bu şekilde, bir topolojik uzayın homotopi türü hakkında bilgi yakalar . Açısından Kategori teorisi , temel grupoid belirli bir funktor kategorisine topolojik boşlukların kategorisinden grupoidler .

[...] insanlar, durumun simetrileri altında değişmeyen ve böylece yolda kaybolan bütün bir nokta paketini akıllıca seçmek yerine, temel gruplarla hesaplarken, tek bir temel noktayı sabitlemede hala inatla ısrar ediyorlar. Bazı durumlarda (Van Kampen Teoremi gibi temel gruplar için iniş teoremleri gibi) bir şeyi anlamak için, uygun bir baz noktaları paketine göre temel grupoidlerle çalışmak çok daha zarif, hatta vazgeçilmezdir, [,,,]

—  Alexander Grothendieck , Esquisse d'un Programı (Bölüm 2, İngilizce çeviri )

Tanım

Let X'in bir olmak topolojik uzay . İle denklik ilişki göz önünde sürekli yolları içinde X olmaları durumunda iki kesintisiz yollar eşdeğer olduğu homotopik sabit uç noktaları ile. Her temel grupoid atar noktalarının çift sıralı ( s , q ), içinde X sürekli yolları denklik sınıfları toplama p için q . Daha genel olarak, temel grupoid X bir resim grubu S hem de bulunan noktalarla temel grupoid kısıtlar X ve S . Bu , dairenin temel grubunu hesaplamak için iki taban noktası kullanarak Van Kampen teoreminin genelleştirilmesine izin verir ve aşağıda listelenen "Topoloji ve Grupoidler" kitabında tam olarak tartışılmıştır.

Adından da anlaşılacağı gibi, X'in temel grupoidi doğal olarak bir grupoid yapısına sahiptir . Özellikle bir kategori oluşturur; nesneleri arasında puan olması alınır X ve gelen Morfizmlerin toplama p için q yukarıda verilen denklik sınıfları koleksiyonudur. Bunun bir kategori tanımını karşılaması, iki yolun sıralanmasının denklik sınıfının yalnızca tek tek yolların denklik sınıflarına bağlı olduğu standart gerçeğine tekabül eder. Benzer şekilde, bu kategorinin her morfizmin tersine çevrilebilir olduğunu iddia eden bir grupoid olduğu gerçeği, bir yolun yönünü tersine çevirebileceğimiz standart gerçeğine tekabül eder ve sonuçta ortaya çıkan birleştirmenin eşdeğerlik sınıfı sabit yolu içerir.

Sıralı çift temel grupoid atar, bu Not ( s , s ) , temel grup ve X de dayanmaktadır p .

Temel özellikler

Bir topolojik uzay verilen X , yol-bağlı bileşenler arasında X doğal olarak temel grupoidinin kodlanmıştır; gözlem yani p ve q aynı yol-bağlı bileşen içinde X ise ve sürekli yolları denklik sınıflarının toplanması durumunda p için q boş olmayan bir. Kategorik açısından, onaylama amaçları olmasıdır p ve q aynı grupoid bileşen durumunda ve gelen Morfizmlerin grubu sadece olan p için q olan boş olmayan.

Varsayalım ki X yolu ile bağlı ise ve bir eleman düzeltmek s arasında X . Temel grup π ₁ ( X , p ) bir kategori olarak görülebilir ; bir nesne var ve ondan kendisine morfizmler π ₁ ( X , p ) ' nin elemanlarıdır . Seçim, her biri için q içinde M , bir hat boyunca gelen p için q , tek herhangi bir yolunu görüntülemek üzere birleştirme kullanmasını sağlar X merkezi bulunan bir döngü olarak p . Bu, π ₁ ( X , p ) ile X'in temel grupoidi arasındaki kategorilerin denkliğini tanımlar . Daha kesin bir ifadeyle, bu sergiler tt ₁ ( X , s ) bir şekilde iskelet temel grupoidinin X .

Gruplar ve yerel sistemler

Bir topolojik uzay Verilen X , bir yerel sistem bir olan funktor temel grupoidinin gelen X bir kategoriye. Önemli Özel bir durum olarak bir (abelyan) grupların demeti üzerinde X (Değişmeli) gruplarının kategorisinde değerli yerel bir sistemdir. Bu grupların bir paket yani X , bir grup atar G _p her bir eleman için p ve X , bir atar grubu homomorfizması G _s → G _q her sürekli bir yol için p için q . Bir functor olmak için, bu grup homomorfizmalarının topolojik yapı ile uyumlu olması gerekir, böylece sabit bitiş noktalarına sahip homotopik yollar aynı homomorfizmi tanımlar; ayrıca grup homomorfizmaları, yolların sıralanmasına ve tersine çevrilmesine göre oluşturulmalıdır. Homoloji , bir değişmeli grup demetinde katsayılarla tanımlanabilir .

Zaman X, tatmin belirli koşullar, yerel sistem eşit bir şekilde tanımlanabilir yerel sabit demet .

Örnekler

• Singleton uzayının temel groupoid'i önemsiz grupoiddir (bir nesne * ve bir morfizm içeren bir grupoid Hom(*, *) = { id _*  : * → * }
• Çemberin temel grupoidi bağlantılıdır ve tüm köşe grupları , tam sayıların toplamsal grubu olan (Z, +) ile izomorfiktir .

homotopi hipotezi

Homotopy hipotezi , iyi bilinen bir varsayım içinde homotopi teori tarafından formüle Alexander Grothendieck , devletler bu uygun bir genelleme temel olarak bilinen temel grupoidinin, ∞-grupoidinin , yakalar tüm bir topolojik uzay hakkında bilgi kadar zayıf homotopi denklik .

Referanslar

• Ronald Brown. Topoloji ve grupoidler. Elements of modern topology'nin üçüncü baskısı [McGraw-Hill, New York, 1968]. 1 CD-ROM ile (Windows, Macintosh ve UNIX). BookSurge, LLC, Charleston, SC, 2006. xxvi+512 s. ISBN  1-4196-2722-8
• Brown, R., Higgins, P.~J. ve Sivera, R., "Nonabelian cebirsel topoloji: filtrelenmiş uzaylar, çapraz kompleksler, kübik homotopi grupoidleri. Tracts in Mathematics Cilt 15. European Mathematical Society (2011).(663+xxv sayfa) ISBN  978-3-03719-083-8

• JP Mayıs. Cebirsel topolojide kısa bir kurs. Chicago Matematik Dersleri. University of Chicago Press, Chicago, IL, 1999. x+243 s. ISBN  0-226-51182-0 , 0-226-51183-9
• Edwin H. İspanyol. Cebirsel topoloji. 1966 orijinalinin düzeltilmiş yeniden basımı. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1981. xvi+528 s. ISBN  0-387-90646-0
• George W. Whitehead. Homotopi teorisinin unsurları. Matematikte Lisansüstü Metinleri, 61. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1978. xxi+744 pp. ISBN  0-387-90336-4

Dış bağlantılar

• Topolojide grupoidler konusunda önde gelen bir yazar olan Ronald Brown'ın web sitesi: http://groupoids.org.uk/
• temel grupoid içinde nLab
• temel sonsuz-grupoid içinde nLab