Kategorilerin denkliği - Equivalence of categories

In kategori teorisi , soyut bir kolu matematik , bir kategoriden denklik iki arasında bir ilişki olduğunu kategoriler bu kategoriler "temelde aynı" olduğunu belirler. Matematiğin birçok alanından çok sayıda kategorik denklik örneği vardır. Bir denklik kurmak, ilgili matematiksel yapılar arasında güçlü benzerlikler göstermeyi içerir. Bazı durumlarda, bu yapılar yüzeysel veya sezgisel bir düzeyde ilgisiz görünebilir, bu da kavramı oldukça güçlü kılar: bu teoremlerin temel anlamlarının korunduğunu bilerek farklı türdeki matematiksel yapılar arasında teoremleri "çevirme" fırsatı yaratır. çeviri altında.

Eğer bir kategori başka bir kategorinin karşıtına (veya ikilisine ) eşdeğerse, o zaman bir kategori ikiliğinden söz edilir ve iki kategorinin ikili olarak eşdeğer olduğu söylenir .

Kategorilerin bir eşdeğerlik bir oluşmaktadır funktor bir "ters" functor sahip olması gereken yer kategorileri arasında,. Bununla birlikte, bir cebirsel ortamda izomorfizmler için yaygın olan durumun aksine , functor ve onun "tersi"nin bileşimi mutlaka kimlik eşlemesi değildir. Bunun yerine, bu kompozisyon altında her nesnenin kendi görüntüsüne doğal olarak eşbiçimli olması yeterlidir . Böylece, işlevler "izomorfizme ters" olarak tanımlanabilir. Gerçekten de, katı bir ters işlev biçiminin gerekli olduğu kategorilerin eşbiçimliliği kavramı vardır , ancak bu, eşdeğerlik kavramından çok daha az pratik kullanıma sahiptir .

Tanım

Biçimsel olarak, iki kategori verilen C ve D , bir kategoriye denkliği bir functor oluşur F  : C → D , bir funktor G  : D → Cı ve iki doğal izomorfizm ε: FG → I _D ve η: I _Cı → GF . Burada FG : D → D ve GF : C → Cı ilgili bileşimleri belirtir F ve G ve I _C : C → C ve I _D : D → D göstermektedirler kimlik fanktorlar üzerinde C ve D , her bir nesne ve morfizma atama kendisi. Eğer F ve G kontravaryant fanktorlar olan biri bahseder kategorilerin ikiliği yerine.

Çoğu zaman yukarıdaki tüm veriler belirtilmez. Örneğin, kategoriler söylemek C ve D olarak eşdeğer (sırasıyla ikili olarak eşdeğer aralarında bir eşdeğerine (sırasıyla ikilik) mevcutsa). Ayrıca, eğer ters bir G fonksiyonu ve yukarıdaki gibi doğal izomorfizmler varsa , F'nin kategorilerin bir denkliği "olduğunu" söyleriz . Ancak F bilgisinin G ve doğal izomorfizmleri yeniden yapılandırmak için genellikle yeterli olmadığına dikkat edin: birçok seçenek olabilir (aşağıdaki örneğe bakın).

Alternatif karakterizasyonlar

Bir işlev F  : C → D , ancak ve ancak aynı anda olması durumunda kategorilerin denkliğini verir:

• Tam , yani herhangi iki nesneler için C ₁ ve c ₂ arasında C , harita Hom _C ( c ₁ , c ₂ Hom →) _D ( Fc ₁ , Fc ₂ ile yol açılan) F olduğu örten ;
• sadık , yani herhangi iki nesneler için C ₁ ve c ₂ arasında C , harita Hom _C ( c ₁ , c ₂ Hom →) _D ( Fc ₁ , Fc ₂ ile yol açılan) F olduğu birebir ; ve
• (yoğun) esas itibarıyla örten , her bir nesne, yani d içinde D bir şekilde bir nesnenin izomorf Fc için, c olarak C .

Bu oldukça kullanışlı ve yaygın olarak uygulanan bir kriterdir, çünkü "ters" G'yi ve FG , GF ve özdeşlik fonksiyonları arasındaki doğal izomorfizmleri açıkça oluşturmak zorunda değildir . Öte yandan, yukarıdaki özellikler kategorik bir eşdeğerliğin varlığını garanti etse de ( temel küme teorisinde seçim aksiyomunun yeterince güçlü bir versiyonu göz önüne alındığında ), eksik veriler tam olarak belirtilmemiştir ve çoğu zaman birçok seçenek vardır. Eksik yapıları mümkün olduğunca açıkça belirtmek iyi bir fikirdir. Bu durum nedeniyle, bu özelliklere sahip bir işleve bazen kategorilerin zayıf denkliği denir . (Ne yazık ki bu, homotopi tipi teoriden gelen terminoloji ile çelişmektedir .)

Ek işlevler kavramıyla da yakın bir ilişki vardır , burada bunun sol eki olduğunu söyleriz veya benzer şekilde G , F'nin sağ ekidir . Daha sonra C ve D (doğal izomorfizm olduğu yukarıda tanımlanan eşdeğerdir FG için bir _D ve I _C için GF ), ancak ve ancak hem F ve G, tam ve güvenilir bulunmaktadır. ${\displaystyle F\dashv G}$${\displaystyle F:C\sağ ok D}$${\displaystyle G:D\sağ ok C}$${\displaystyle F\dashv G}$

Birleşik işlevler hem tam hem de sadık olmadığında, o zaman onların bitişiklik ilişkisini kategorilerin "daha zayıf bir eşdeğerlik biçimi" olarak görebiliriz. Ekler için doğal dönüşümlerin verildiğini varsayarsak, tüm bu formülasyonlar, gerekli verilerin açık bir şekilde oluşturulmasına izin verir ve hiçbir seçim ilkesine gerek yoktur. Burada kanıtlanması gereken temel özellik, bir ekin sayısının , ancak ve ancak doğru ek tam ve sadık bir işlevci ise bir eşbiçimlilik olduğudur . ${\displaystyle F\dashv G}$

Örnekler

• Kategori göz önünde tek bir nesne olan ve tek bir morfizmalar ve kategori iki nesne ile , iki kimlik Morfizm: ve dört Morfizm , ve iki izomorfizm ve . Kategoriler ve eşdeğerdir; Biz (örneğin) sahip olabilir harita için ve her iki nesneleri harita için ve tüm morfizimler .${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili c}$${\ Displaystyle 1_{c}}$${\görüntüleme stili D}$${\görüntüleme stili d_{1}}$${\görüntüleme stili d_{2}}$${\displaystyle 1_{d_{1}}}$${\displaystyle 1_{d_{2}}}$${\displaystyle \alpha \colon d_{1}\to d_{2}}$${\displaystyle \beta \ iki nokta üst üste d_{2}\to d_{1}}$${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili D}$${\görüntüleme stili F}$${\görüntüleme stili c}$${\görüntüleme stili d_{1}}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili D}$${\görüntüleme stili c}$${\ Displaystyle 1_{c}}$
• Buna karşılık, tek bir nesne ve tek bir morfizmi olan kategori , iki nesne ve sadece iki özdeşlik morfizmi olan kategoriye eşdeğer değildir . İki nesne vardır değil aralarında morfizimler vardır ki izomorfik. Bu nedenle herhangi bir funktor için esas olarak örten olmayacaktır.${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili E}$
• Bir nesne ve iki morfizm içeren bir kategori düşünün . Izin kimlik üzerine morfizmanın olmak ve set . Tabii ki, functor ve kendisi arasında gerekli doğal izomorfizmlerin yerine alınarak gösterilebilen kendisine eşdeğerdir . Ancak kendisinden doğal bir izomorfizm verdiği de doğrudur . Bu nedenle, özdeşlik fonksiyonlarının kategorilerin bir denkliğini oluşturduğu bilgisi verildiğinde, bu örnekte yine de her yön için iki doğal eşbiçimlilik arasından seçim yapılabilir.${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili c}$${\displaystyle 1_{c},f\colon c\to c}$${\ Displaystyle 1_{c}}$${\görüntüleme stili c}$${\displaystyle f\circ f=1}$${\görüntüleme stili C}$${\ Displaystyle 1_{c}}$${\displaystyle \mathbf {I} _{C}}$${\görüntüleme stili f}$${\displaystyle \mathbf {I} _{C}}$
• Kümeler ve kısmi işlevler kategorisi, sivri kümeler ve nokta koruyucu haritalar kategorisine eşdeğerdir ancak izomorf değildir .
• Sonlu boyutlu gerçek vektör uzayları kategorisini ve tüm gerçek matrislerin kategorisini düşünün (ikinci kategori, toplamsal kategoriler hakkındaki makalede açıklanmıştır ). Daha sonra ve eşdeğerdir: funktoru nesnesi haritalar ve vektör boşluğuna ve matrisler karşılık gelen doğrusal haritalara, tam güvenilir ve esas itibarıyla örten.${\görüntüleme stili C}$ ${\displaystyle D=\mathrm {Mat} (\mathbb {R} )}$${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili D}$${\ Displaystyle G\ iki nokta üst üste D\'den C'ye}$${\displaystyle A_{n}}$${\görüntüleme stili D}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\görüntüleme stili D}$
• Cebirsel geometrinin ana temalarından biri , afin şemalar kategorisinin ve değişmeli halkalar kategorisinin ikiliğidir . Functor , her değişmeli halka kendi spektrumunu , halkanın asal idealleri tarafından tanımlanan şemayı ilişkilendirir . Onun eşlenik her afin şemaya ortakları küresel bölümden onun yüzüğü.${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili F}$
• Olarak fonksiyonel analiz değişmeli kategorisi C * -algebras kimliği ile kategorisine contravariantly eşdeğerdir kompakt Haussdorf boşluklar . Bu ikilik altında, her kompakt Hausdorff uzayı , üzerinde sürekli karmaşık değerli fonksiyonların cebiri ile ilişkilidir ve her değişmeli C*-cebiri, maksimal ideallerinin uzayı ile ilişkilidir . Bu Gelfand temsilidir .${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili X}$
• Olarak kafes teori , sınıflarına kafeslerin belirli sınıfları bağlamak temsil teoremi göre, ikiliklerin bir dizi vardır topolojik boşluklar . Muhtemelen bu türün en iyi bilinen teoremi , Stone dualitesinin genel şeması içinde özel bir örnek olan Boole cebirleri için Stone temsil teoremidir . Her Boole cebri setinde belirli topoloji eşleştirilmiş ultrafiltreler arasında . Tersine, herhangi bir topoloji için clopen (yani kapalı ve açık) alt kümeleri bir Boole cebiri verir. Boole cebirleri (homomorfizmleri ile) ve Stone uzayları (sürekli eşlemeler ile) arasında bir ikilik elde edilir . Stone dualitesinin bir başka örneği, Birkhoff'un sonlu kısmi dereceler ve sonlu dağıtımlı kafesler arasında bir ikiliği belirten temsil teoremidir . ${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili B}$
• Olarak anlamsız topoloji uzamsal yerlerinden kategorisi ölçülü boşluklar kategorisinin ikili eşdeğer olduğu bilinmektedir.
• İki R ve S halkası için , R - Mod × S - Mod ürün kategorisi ( R × S ) -Mod'a eşdeğerdir .
• Herhangi bir kategori, onun iskeletine eşdeğerdir .

Özellikleri

Genel bir kural olarak, kategorilerin denkliği tüm "kategorik" kavramları ve özellikleri korur. Eğer F  : C → D bir denklik, sonra aşağıdaki ifadeleri hepsi doğrudur:

• Nesne C arasında C bir bir ilk amacı, (ya da uç nesne ya da sıfır amacı ,) , ancak ve ancak , Fc , bir olduğunu ilk amacı, (ya da uç nesne ya da sıfır nesne arasında) D
• içinde morfizmanın α C a, monomorfizm (veya epimorphism veya izomorfizm ancak ve ancak,) Fα bir monomorfizm (veya epimorfizm, intial veya izomorfizm) 'dir , D .
• funktoru H  : I → C olan sınırı (veya colimit) l , ancak ve ancak funktor halinde FH  : I → D sınırı (veya colimit) sahip olan Fİ . Bu uygulanabilir ekolayzır , ürünler ve birlikte-ürünleri diğerleri arasında. Bunu uygulamak çekirdekler ve cokernels , biz denklik görüyoruz F bir olduğunu tam funktoru .
• C bir kartezyen kapalı kategoridir (veya bir topos ), ancak ve ancak D kartezyen kapalı (veya bir topos) ise.

İkilikler "tüm kavramları tersine çevirir": ilk nesneleri uç nesnelere, monomorfizmleri epimorfizmlere, çekirdekleri kokernellere, sınırları paralellere vb. dönüştürürler.

Eğer F  : C → D listelerinde eşdeğerlik ve G ₁ ve G ₂ iki tersidir F , ardından G ₁ ve G ₂ , doğal izomorfik.

Eğer F  : C → D listelerinde eşdeğerlik ise ve Cı- a, preadditive kategorisi (ya da katkı maddesi kategorisi veya değişmeli kategorisi ), daha sonra D gibi bir yer bir preadditive kategori (ya da katkı maddeleri kategori veya değişmeli kategori) haline edilebilir bu şekilde F bir hale katkı functor . Öte yandan, katkı kategorileri arasındaki herhangi bir denklik, zorunlu olarak toplamsaldır. (İkinci ifadenin, ön ek kategoriler arasındaki denklikler için doğru olmadığına dikkat edin.)

Bir C kategorisinin otomatik denkliği , bir denkliktir F  : C → C . Doğal olarak eşbiçimli olan iki öz denkliği aynı kabul edersek , C'nin öz denklikleri bileşim altında bir grup oluşturur . Bu grup, C'nin temel "simetrilerini" yakalar . (Bir uyarı: eğer Cı küçük kategori değildir, daha sonra otomatik denkliği C uygun bir oluşturabilir sınıf yerine daha grubu ).

Ayrıca bakınız

• Matematiksel yapıların eşdeğer tanımları

Referanslar

• kategorilerden denklik içinde nLab
• "Kategorilerin denkliği" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
• Mac Lane, Saunders (1998). Çalışan matematikçi için kategoriler . New York: Springer. s. xii+314. ISBN'si 0-387-98403-8.