Preadditive kategori - Preadditive category

Gelen matematik , spesifik olarak Kategori teorisi , bir preadditive kategori bir başka isim Ab-kategori , yani bir kategori olan zenginleştirilmiş üzerinde Değişmeli grupların kategorisi , Ab . Bu bir, bir antikor-kategori Cı a, kategori her şekilde hom-set Hom ( A , B olarak) C , bir değişmeli grubun yapısına sahiptir ve Morfizmlerin bileşimdir iki-doğrusal Morfizmlerin bileşim dağıtmaktadır anlamında, grup işlem. Formüllerde:

ve burada + grubudur işlemdir.

Bazı yazarlar terimi kullandık katkı kategorisini preadditive kategoriler için, ama burada biz bazı özel preadditive kategoriler için bu kelimeyi (bkz rezerve mevcut trendi takip özel durumları aşağıda).

Örnekler

Bir preadditive kategorinin en bariz örneği kategorisi Ab kendisi. Daha doğrusu, Ab bir olan kapalı monoidal kategorisi . Not Yerdeğiştirme burada çok önemlidir; iki toplamı sağlar grubu homomorfizmalar tekrar homomorfizma. Buna karşılık, tüm kategori gruplarına kapatılmamış. Bkz medial kategorisini .

Diğer genel örnekler:

• (Sol) kategori modülleri bir fazla halka R , özellikle de:
  • Vektör alanlar kategorisinde , bir fazla alan K .
• Cebri matrisleri bir halka üzerinde, madde tarif edildiği gibi bir kategorinin düşünce Katkı kategorisi .
• tek bir nesne ile bir kategori olarak düşünülebilir herhangi bir halka, bir preadditive bir kategoridir. Burada Morfizmlerin bileşim sadece halka çoğalmasıdır ve benzersiz hom-grubu yatan değişmeli grubudur.

Bunlar size düşünmek bir fikir verecektir; Daha fazla örnek için, bağlantılarını takip özel durumlarda aşağıda.

İlköğretim özellikleri

Her hom-set Hom (nedeniyle A , B ) bir değişmeli grubu, bir yer alır sıfır Bu eleman 0 sıfır morfizmanın gelen bir üzere B . Morfizmlerin bileşim çift doğrusal olduğu için, sıfır morfizma bileşimi ve (her iki tarafında) diğer herhangi bir morfizmanın bir sıfır morfizmanın olmalıdır. Eğer çarpma benzer olarak kompozisyonun düşünürsek, o zaman bu sıfıra çarpma hep tanıdık bir sezgi sıfır üründe sonuçlanır söylüyor. Bu analoji uzatılması, bileşim, genel olarak iki-doğrusal olduğu gerçeği olur distributivity ilave üzerinde çarpma.

Tek bir nesne odaklanarak A bir preadditive kategoride, bu gerçekler söylemek Endomorfizma hom-set Hom ( A , A ) a, halka , bileşimin olmak halkada çarpma tanımlar eğer. Bu halka Endomorfizma halkası arasında A . Bunun aksine, her bir halka ile ( kimlik ) bazı preadditive kategorisindeki nesnenin Endomorfizma halkadır. Gerçekten de, bir halka verilen R ' , bir preadditive kategori tanımlayabilir R, tek bir nesne için A , Hom (izin A , A be) R' ve bileşim halka çarpma olsun. Yana R, bir halka içinde bir değişmeli grup ve çarpma çift doğrusal (dağıtıcı) olduğu, bu yapar R, bir preadditive kategorisi. Kategori teorisyenleri genellikle halka düşünecek R ve kategori R özellikle, böylece aynı şey iki farklı temsilleri olarak sapkın kategori teorisyen tam bir preadditive kategori olarak bir halka tanımlayabilir bir aynı şekilde (nesnenin bir o monoid can ) ve halkanın katkı yapısını unutulması bize Monoid verir - tek bir nesne ile bir kategori olarak görüntülenebilir.

Bu şekilde, preadditive kategoriler halkaların bir genelleme olarak görülebilir. Gibi halka teorisinden Birçok kavramlar, idealler , Jacobson radikalleri ve faktör halkaları bu ayara basit bir şekilde genelleştirilebilir. Bu genellemeler yazmak için çalışırken, bir "genelleştirilmiş halkası" daki "unsurları" olarak preadditive kategorisinde Morfizmlerin düşünmelidir.

Katkı fanktorlar

Eğer C ve D preadditive kategoriler içindir o funktor F :  C  →  D olan katkı çok takdirde zenginleştirilmiş kategorinin üzerine Ab . Yani, bir F katkı maddesidir , ancak ve ancak , verilen herhangi bir nesne bir ve B arasında C , fonksiyon f : Hom ( A , B ) → Hom ( F ( A ), F ( B )) a, grup homomorfizması . Preadditive kategoriler arasında çalışılan çoğu fanktorlar katkı vardır.

Halkalar halinde basit bir örnek için, R ' ve G , bir nesne preadditive kategori ile temsil edilir , R ve S , daha sonra, bir halka homomorfizması gelen R için S arasından bir katkı funktor ile temsil edilir , R için S , ve tersine.

Eğer Cı- ve D kategorileri vardır ve D preadditive, daha sonra funktoru kategorisi Eğlence ( Cı , D için), aynı zamanda preadditive olan doğal dönüşümler doğal bir şekilde ilave edilebilir. Eğer C de preadditive, sonra kategorisi (Ekle C , D katkı functors arasında) ve aralarındaki tüm doğal dönüşümler de preadditive olduğunu.

İkinci örnek bir genelleme yol açar modüllerin halkalar üzerinde: Eğer C daha sonra preadditive kategori, Mod (olan C ): = (ekle C , Ab ) olarak adlandırılır modül kategori üzerinde C . Tüm Cı halkaya karşılık gelen bir nesne preadditive kategorisi R , bu olağan kategori azaltır (sol) R -modüller . Yine, neredeyse modüllerin teorisinin tüm kavramlar bu ayarda jeneralize olabilir.

R, -linear kategoriler

Daha genel olarak, tek bir kategori düşünülebilir C arasında monoidal kategori içinde zenginleştirilmiş modül bir fazla değişmeli halka R , bir adlandırılan R -linear kategori . Diğer bir deyişle, her bir hom-set Hom ( A , B olarak) C , bir ait yapıya sahiptir R ' Modül ve Morfizmlerin bileşimdir R -bilinear.

İkisi arasında Functors göz önüne alındığında R -linear kategoriler, sık sık olan kişilerce kısıtlar R -linear, yani indükleyenlerdir R her hom-sette -linear haritalar.

Biproducts

Herhangi sonlu ürün bir preadditive kategoride de olmalı heap ve tersi. Aslında, preadditive kategorilerde sonlu ürün ve eş çarpımlar aşağıdaki karakterize edilebilir yan ürün durumda :

Nesne B a, yan ürün nesnelerin bir ₁ , ..., A _{, n} , ancak ve ancak, eğer var projeksiyon morfizimler s _j :  B  →  bir _j ve i enjeksiyon Morfizm _j :  Bir _j  →  B , örneğin (yani i ₁  ^O  p ₁ ) + · + ( i _n  ^o  p _{, n} ) kimlik morfizmanın olan B , s _j  ^o  i _j olan kimlik morfizmanın arasında bir _j ve p _j  ^o  ı _k sıfır morfizmanın olan bir _k için A _j zaman j ve k olan ayrı .

Bu yan ürün genellikle yazılır bir ₁  ⊕ ⊕ ···  bir _n için gösterim ödünç direkt toplamı . Gibi iyi bilinen preadditive kategorilerde yan ürün Bunun nedeni Ab olan direkt toplamı. Ancak, her ne sonsuz direkt toplamlar bazı kategorilerde mantıklı gibi Ab , sonsuz biproducts yok değil mantıklı.

Durumda yan ürün durumu , n  = 0 ölçüde kolaylaştırır; B a, nullary yan ürün ve kimlik morfizmanın sadece eğer B sıfır morfizmanın olan B kendisine ya da eşdeğer hom-set Hom (eğer B , B ) olan önemsiz bir halka . Bir nullary yan ürün için de geçerli olur çünkü unutmayın terminali (bir nullary ürünü) ve ortak sonlu (bir nullary birlikte-), aslında bir olacaktır sıfır nesne . Gerçekten de, "sıfir nesne" gibi preadditive kategorilerin çalışmada kökenli Ab sıfır amacı, sıfır grubu .

Her yan ürün (sıfır ürünü içeren) içinde bulunduğu bir preadditive kategori olarak adlandırılır katkı maddesi . Esas katkı maddesi kategorileri bağlamında faydalı olan biproducts ile ilgili ayrıntılı bilgiler bu konuda altında olabilir.

Çekirdekler ve cokernels

Bir preadditive kategoride hom-setleri sıfır morfizimler olduğundan, kavramı kernel ve cokernel mantıklı. Yani, eğer f :  A  →  B bir preadditive kategorisinde bir morfizmanın, o zaman bir çekirdek f olan eşitleyici bir f ve sıfır morfizmanın A için B arasında cokernel ederken, f olan coequaliser ait f ve bu sıfır morfizmanın . Ürün ve birlikte-aksine, çekirdek ve cokernel f genellikle preadditive kategoride eşit değildir.

Bir halka üzerinde değişmeli gruplar veya modüllerin preadditive kategorilerine uzmanlaşmış zaman çekirdeğin bu nosyonu bir sıradan kavramına denk kernel biri sıradan çekirdek tanımlarsa, bir homomorfizmasının ait K arasında f :  A  →  B onun gömme ile K  →  A . Bununla birlikte, genel bir preadditive kategorideki çekirdek ve / veya cokernels olmayan morfizimler orada mevcut olabilir.

Çekirdek ve cokernel ve hom-setlerde değişmeli grup yapısı arasında uygun bir ilişki yoktur. Paralel morfizimler Verilen f ve g ait eşitleyici, f ve g sadece çekirdek olduğu g  -  f biri varsa, ve benzer bir gerçektir coequalisers için de geçerlidir. İkili eşitleyici gibi alternatif terim "fark çekirdek" Bu gerçeğinden kaynaklanmaktadır.

Tüm biproducts, çekirdekleri ve cokernels mevcut olduğu bir preadditive kategori denir öncesi Abelyen . Çekirdek ve esas olarak önceden Abelyen kategorilerin bağlamında yararlı olan preadditive kategorilerde cokernels ile ilgili ayrıntılı bilgiler bu konuda altında olabilir.

Özel durumlar

preadditive kategorilerin bu özel durumlarda çoğu her şeyden söz edilmiş, ancak başvuru için burada toplandık.

• Bir halka tam olarak bir nesne ile bir preadditive bir kategoridir.
• Bir katkı maddesi kategorisi tüm sonlu biproducts ile preadditive kategoridir.
• Bir ön-Değişmeli kategori tüm çekirdek ve cokernels ile aditif bir kategoridir.
• Bir Abelyen kategori her bir ön Abelyen kategori şekildedir monomorfizm ve epimorphism olduğunu normaldir .

Üzerinde en fazla çalışılan preadditive kategoriler kategorilerde Abelyen aslında; Örneğin, antikor , bir Abel bir kategoridir.

Referanslar

• Nicolae Popescu ; 1973; Halkalar ve Modüllerde Örnekleri Üzerinden Abelyen Kategoriler ; Academic Press, Inc .; baskısı tükenmiş
• Charles Weibel ; 1994; Homolojik cebirlerine giriş ; Cambridge Üniv. Basın