Endomorfizm - Endomorphism
Gelen matematik bir Endomorfizma a, morfizmanın bir mesafede matematiksel nesnenin kendisine. Aynı zamanda bir izomorfizm olan bir endomorfizm , bir otomorfizmdir . Örneğin, bir bir Endomorfizma vektör uzayı V a, doğrusal harita f : V → V ve bir Endomorfizma grubu G a, grup homomorfizması f : G → G . Genel olarak, herhangi bir kategorideki endomorfizmlerden bahsedebiliriz . Gelen setlerinin kategorisinde , endomorfizmaları olan fonksiyonlar bir gelen dizi S kendisine.
Herhangi bir kategori ise, bileşim, herhangi iki Endomorfizmlerin X tekrar bir Endomorfizma olan X . Her Endomorfizmlerin grubu olduğu, aşağıdaki X bir oluşturan Monoid , tam dönüşüm Monoid ve gösterilen End ( X ) (ya da son Cı ( X ) kategori vurgulamak C ).
Otomorfizmler
Bir ters çevrilebilir Endomorfizma X bir denir otomorfizm . Tüm automorphisms grubu a, alt küme ve sonu ( X ) , bir ile bir grup olarak adlandırılan yapı otomorfizma grubu arasında X ve belirtilen Aut ( X ) . Aşağıdaki diyagramda, oklar çıkarımı belirtir:
Otomorfizm | ⇒ | İzomorfizm |
⇓ | ⇓ | |
Endomorfizm | ⇒ | (Homo) morfizm |
Endomorfizm halkaları
Bir değişmeli grup olan A'nın herhangi iki endomorfizmi, ( f + g ) ( a ) = f ( a ) + g ( a ) kuralı ile birbirine eklenebilir . Bu ekleme altında ve çarpma işlev bileşimi olarak tanımlandığında, değişmeli bir grubun endomorfizmleri bir halka ( endomorfizm halkası ) oluşturur. Örneğin, Endomorfizmlerin grubu ℤ n tüm halkadır n x n matrisler ile tamsayıdır kayıtları bulunmaktadır. Bir vektör uzayının veya modülün endomorfizmleri, önceden eklemeli bir kategorideki herhangi bir nesnenin endomorfizmi gibi, bir halka oluşturur . Nonabelian bir grubun endomorfizmleri, yakın halka olarak bilinen bir cebirsel yapı oluşturur . Biri olan her halka, normal modülünün endomorfizm halkasıdır ve aynı şekilde, değişmeli bir grubun endomorfizm halkasının bir alt halkasıdır; ancak, herhangi bir değişmeli grubun endomorfizm halkası olmayan halkalar vardır.
Operatör teorisi
Herhangi bir somut kategoride , özellikle vektör uzayları için , endomorfizmler bir kümeden kendi içine haritalardır ve bu küme üzerindeki tekli operatörler olarak yorumlanabilir , öğeler üzerinde hareket eder ve elementlerin yörüngeleri kavramını tanımlamaya izin verir , vb.
Eldeki kategori için tanımlanan ek yapıya ( topoloji , metrik , ...) bağlı olarak, bu tür operatörler süreklilik , sınırlılık vb. Gibi özelliklere sahip olabilir . Operatör teorisi ile ilgili makalede daha fazla ayrıntı bulunmalıdır .
Uç işlevler
Bir endofunction olan bir fonksiyonudur alan onun eşittir değer kümesi . Bir homomorfik endofunction bir Endomorfizma olup.
Let S keyfi bir kümesi olsun. İlgili endofunctions arasında G bir bulur permütasyon arasında S , her için ilişkilendirme ve sabit işlevleri x de S aynı eleman C de S . S'nin her permütasyonu , etki alanına eşit ortak etki alanına sahiptir ve önyargılı ve ters çevrilebilirdir. Eğer S birden fazla elemanına sahiptir, bir sabit fonksiyon S türünde bir görüntü olan değer kümesi bir alt kümesi olup, bu şekilde örten (ve dolayısıyla değil tersinir) böyle değildir. Her birleştirici fonksiyonu doğal sayısı n zemininin N / 2 imajını sahip olan değer kümesi için eşit ve ters çevrilebilir değildir.
Sonlu uç işlevler, yönlendirilmiş sözde ormanlara eşdeğerdir . Boyutta setleri için n vardır n n endofunctions sette.
Örten endofunctions özel örnekleri şunlardır envolüsyonlar ; yani fonksiyonların tersleri ile örtüşmesi.
Ayrıca bakınız
- Ek endomorfizm
- Epimorphism (örten morfizmanın)
- Frobenius endomorfizmi
- Monomorfizm (Enjeksiyon morfizmi)
Notlar
- ^ Jacobson (2009), s. 162, Teorem 3.2.
Referanslar
- Jacobson Nathan (2009), Temel cebir , 1 (2. baskı), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1
Dış bağlantılar
- "Endomorphism" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]