Sonsuz küme - Infinite set
Gelen set teorisi , bir sonsuz kümesi bir olan dizi bir değil sonlu kümesi . Sonsuz kümeler sayılabilir veya sayılamayabilir .
Özellikleri
Doğal sayılar kümesi (varlığı sonsuzluk aksiyomu tarafından varsayılır ) sonsuzdur. Aksiyomların sonsuz olması için doğrudan gerekli olan tek kümedir . Diğer sonsuz kümelerin varlığı, Zermelo-Fraenkel küme teorisinde (ZFC), ancak bunun doğal sayıların varlığından kaynaklandığını göstererek kanıtlanabilir .
Bir küme sonsuzdur, ancak ve ancak her doğal sayı için, kümenin temelliği doğal sayı olan bir alt kümesi vardır .
Eğer seçim aksiyomu tutan, daha sonra bir dizi bir sayılabilir sonsuz alt kümesini içeren ancak ve ancak sonsuzdur.
Bir küme kümesi sonsuzsa veya sonsuz bir öğe içeriyorsa, birliği sonsuzdur. Sonsuz bir kümenin güç kümesi sonsuzdur. Sonsuz bir kümenin herhangi bir üst kümesi sonsuzdur. Sonsuz bir küme, sonlu sayıda alt kümeye bölünürse, bunlardan en az birinin sonsuz olması gerekir. Eşlenebilir herhangi bir grubu üzerine bir sonsuz küme sonsuzdur. Kartezyen ürün sonsuz seti ve boş olmayan bir kümenin sonsuzdur. Her biri en az iki eleman içeren sonsuz sayıda kümenin Kartezyen çarpımı ya boştur ya da sonsuzdur; seçim aksiyomu geçerliyse, sonsuzdur.
Sonsuz bir küme iyi sıralı bir küme ise, en büyük öğesi olmayan, boş olmayan, önemsiz olmayan bir alt kümeye sahip olmalıdır.
Ancak ve ancak ZF olarak, bir dizi sonsuzdur kuvvet kümesi güç kümesinin olan Dedekind-sonsuz seti , uygun bir alt kümesi olan equinumerous kendisine. Seçim aksiyomu da doğruysa, sonsuz kümeler tam olarak Dedekind-sonsuz kümelerdir.
Sonsuz bir küme iyi sıralanabilir bir küme ise , o zaman izomorfik olmayan birçok iyi sıralamaya sahiptir.
Örnekler
Sayılabilecek sonsuz kümeler
Tüm tam sayılar kümesi , {..., -1, 0, 1, 2, ...} sayılabilir sonsuz bir kümedir. Tam sayıların uygun bir alt kümesi olsa bile, tüm çift tam sayıların kümesi de sayılabilir şekilde sonsuz bir kümedir.
Tüm rasyonel sayılar kümesi, tam sayılar kümesine bir eşleşme olduğu için sayılabilir bir sonsuz kümedir.
Sayılamayacak kadar sonsuz kümeler
Tüm gerçek sayılar kümesi, sayılamayacak kadar sonsuz bir kümedir. Tüm irrasyonel sayılar kümesi de sayılamayacak kadar sonsuz bir kümedir.