Yapı (matematiksel mantık) - Structure (mathematical logic)

Gelen evrensel cebir ve modeli teorisi , bir yapı , bir oluşur kümesinin bir koleksiyon ile birlikte sonlucu operasyonlar ve ilişkiler üzerine tanımlanır.

Evrensel cebir , gruplar , halkalar , alanlar ve vektör uzayları gibi cebirsel yapıları genelleştiren yapıları inceler . Evrensel cebir terimi , ilişki sembolü olmayan yapılar için kullanılır .

Model teorisi , küme teorisi modelleri gibi temel yapılar da dahil olmak üzere daha keyfi teorileri kapsayan farklı bir kapsama sahiptir . Model-teorik bakış açısından, yapılar, birinci dereceden mantığın semantiğini tanımlamak için kullanılan nesnelerdir . Model teorisindeki belirli bir teori için, bir yapı, o teorinin tanımlayıcı aksiyomlarını karşılıyorsa, model olarak adlandırılır , ancak bazen kavram daha genel matematiksel modellerde tartışıldığında anlamsal bir model olarak belirsizdir . Mantıkçıların bazen yapılara bakın yorumların .

Gelen veritabanı teorisi , hiçbir fonksiyonları ile yapılar ilişkisel için model olarak incelenir veritabanlarının şeklinde, ilişkisel modeller .

Tanım

Biçimsel olarak bir yapı , bir A alanı , bir σ imzası ve imzanın etki alanında nasıl yorumlanacağını gösteren bir yorumlama işlevi I'den oluşan bir üçlü olarak tanımlanabilir . Bir yapının belirli bir σ imzasına sahip olduğunu belirtmek için, ona σ-yapısı olarak atıfta bulunulabilir. ${\ Displaystyle {\Mathcal {A}}=(A,\sigma ,I)}$

Alan adı

Alan bir yapının herhangi bir küme olduğu; aynı zamanda yapının altında yatan küme , taşıyıcısı (özellikle evrensel cebirde) veya evreni (özellikle model teorisinde) olarak da adlandırılır. Klasik birinci dereceden mantıkta, bir yapının tanımı boş alanı yasaklar .

Bazen gösterim veya ' nin etki alanı için kullanılır , ancak çoğu zaman bir yapı ile etki alanı arasında hiçbir gösterimsel ayrım yapılmaz. (Yani aynı sembol hem yapıya hem de etki alanına atıfta bulunur.) ${\displaystyle \operatöradı {dom} ({\mathcal {A}})}$${\görüntüleme stili |{\matematiksel {A}}|}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {A}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {A}}}$

İmza

İmza , bir yapının bir dizi oluşur ve fonksiyon semboller ve ilişkiler sembolleri bir işlevi ile birlikte , her sembol atfettiği s bir doğal sayı olarak adlandırılır Arity ait s o olduğu için Arity yorumlanması s . ${\displaystyle \sigma =(S,\operatöradı {ar} )}$${\görüntüleme stili S}$${\displaystyle {\metin{ar:}}\ S\to \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle n=\operatöradı {ar} (lar)}$

Cebirde ortaya çıkan imzalar genellikle sadece fonksiyon sembollerini içerdiğinden, ilişki sembolü olmayan bir imzaya cebirsel imza denir . Böyle bir imzaya sahip bir yapıya cebir de denir ; bu, bir alan üzerinde cebir kavramıyla karıştırılmamalıdır .

yorumlama işlevi

Yorumlama işlevi Ben bir imza sembollerine atar fonksiyonun. Arity n'nin her bir f fonksiyon sembolüne , etki alanında bir n -ary fonksiyonu atanır . Arity n'nin her bir R ilişki sembolüne , etki alanında bir n -ary ilişkisi atanır . Bir nullary fonksiyon sembolü c , sabit sembolü olarak adlandırılır , çünkü onun I(c) yorumu , etki alanının sabit bir elemanı ile tanımlanabilir. ${\görüntüleme stili {\matematiksel {A}}}$${\displaystyle f^{\matematiksel {A}}=I(f)}$${\displaystyle R^{\mathcal {A}}=I(R)\subseteq A^{\operatöradı {ar(R)}}}$

Bir yapı (ve dolayısıyla bir yorumlama işlevi) bağlam tarafından verildiğinde, bir sembol s ile onun yorumu I(s) arasında hiçbir gösterimsel ayrım yapılmaz . Örneğin, f öğesinin ikili fonksiyon sembolü ise , yerine basitçe yazılır . ${\görüntüleme stili {\matematiksel {A}}}$${\displaystyle f:{\mathcal {A}}^{2}\rightarrow {\mathcal {A}}}$${\displaystyle f^{\mathcal {A}}:|{\mathcal {A}}|^{2}\rightarrow |{\mathcal {A}}|}$

Örnekler

Alanlar için standart σ _f imzası , tekli işlev sembolü − (benzersiz bir şekilde + ile belirlenir ) ve iki sabit sembol 0 ve 1 (benzersiz bir şekilde + ile belirlenir ) gibi ek sembollerin türetilebildiği iki ikili fonksiyon sembolü + ve × 'den oluşur. ve × sırasıyla). Bu nedenle, bu imza için bir yapı (cebir) , tekli bir işlevle geliştirilebilen iki ikili işlevle birlikte bir dizi A öğesinden ve iki ayırt edici öğeden oluşur; ancak alan aksiyomlarından herhangi birini sağlaması şartı yoktur. Rasyonel sayılar S , gerçek sayılar R ve karmaşık sayılar Cı başka alanı gibi, belirgin bir şekilde σ-yapılar olarak kabul edilebilir:

${\displaystyle {\mathcal {Q}}=(Q,\sigma _{f},I_{\mathcal {Q}})}$

${\displaystyle {\mathcal {R}}=(R,\sigma _{f},I_{\mathcal {R}})}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}=(C,\sigma _{f},I_{\mathcal {C}})}$

Her üç durumda da tarafından verilen standart imzaya sahibiz.

${\displaystyle \sigma _{f}=(S_{f},\operatöradı {ar} _{f})}$

ile birlikte

${\displaystyle S_{f}=\{+,\times ,-,0,1\}}$,   .${\displaystyle \operatöradı {ar} _{f}(+)=\operatöradı {ar} _{f}(\times )=2,\operatöradı {ar} _{f}(-)=1,\operatöradı { ar} _{f}(0)=\operatöradı {ar} _{f}(1)=0}$

Yorumlama işlevleri:

${\displaystyle I_{\mathcal {Q}}(+)\iki nokta üst üste Q\times Q\to Q}$ rasyonel sayıların toplanması,

${\displaystyle I_{\mathcal {Q}}(\times )\colon Q\times Q\to Q}$ rasyonel sayıların çarpımı,

${\displaystyle I_{\mathcal {Q}}(-)\iki nokta üst üste Q\to Q}$x'ten - x'e her rasyonel sayıyı alan fonksiyondur ve

${\displaystyle I_{\mathcal {Q}}(0)\Q} içinde$ 0 sayısı ve

${\displaystyle I_{\mathcal {Q}}(1)\Q} içinde$ 1 numaradır;

ve ve benzer şekilde tanımlanır. ${\displaystyle I_{\matematiksel {R}}}$${\displaystyle I_{\matematiksel {C}}}$

Ama halka Z ait tamsayılar bir alan değildir, aynı zamanda bir σ ise _f aynı şekilde -Yapı. Aslında, herhangi bir alan aksiyomunun bir σ _f -yapısında tutulması şartı yoktur .

Sıralı alanlar için bir imza , < veya ≤ gibi ek bir ikili ilişkiye ihtiyaç duyar ve bu nedenle, bu tür bir imza için yapılar , elbette , kelimenin olağan, gevşek anlamında cebirsel yapılar olsalar bile, cebir değildir .

Küme teorisi için sıradan imza, tek bir ikili ilişki ∈ içerir. Bu imza için bir yapı, bir dizi öğeden ve ∈ ilişkisinin bu öğeler üzerinde ikili bir ilişki olarak yorumlanmasından oluşur.

Uyarılmış alt yapılar ve kapalı alt kümeler

${\görüntüleme stili {\matematiksel {A}}}$Bir adlandırılır (kaynaklı) alt bölgesinin ise ${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}}$

• ${\görüntüleme stili {\matematiksel {A}}}$ve aynı imzaya sahip ;${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}}$${\displaystyle \sigma ({\mathcal {A}})=\sigma ({\mathcal {B}})}$
• etki alanı şu etki alanında bulunur : ; ve${\görüntüleme stili {\matematiksel {A}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}}$${\displaystyle |{\mathcal {A}}|\subseteq |{\mathcal {B}}|}$
• tüm fonksiyon ve ilişki sembollerinin yorumları aynı fikirdedir .${\görüntüleme stili |{\matematiksel {A}}|}$

Bu bağıntının genel gösterimi . ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {B}}}$

Bir yapının tanım kümesinin bir alt kümesi , fonksiyonları altında kapalıysa , yani aşağıdaki koşul karşılanırsa kapalı olarak adlandırılır : her doğal sayı için n , her n -ary fonksiyon sembolü f ( 'nin imzasında ) ve tüm elemanlar , uygulamanın sonucu f için n -tuple yine bir elemanıdır B : . ${\displaystyle B\subseteq |{\mathcal {A}}|}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {A}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {A}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {A}}}$${\displaystyle b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}\B}$${\displaystyle b_{1}b_{2}\dots b_{n}}$${\displaystyle f(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})\B} içinde$

Her altküme için B içeren en küçük bir kapalı altküme vardır . B tarafından üretilen kapalı altküme veya B'nin gövdesi olarak adlandırılır ve veya ile gösterilir . Operatör bir olduğunu sonlucu kapatma operatörü üzerindeki alt kümelerinin kümesi içinde . ${\displaystyle B\subseteq |{\mathcal {A}}|}$${\görüntüleme stili |{\matematiksel {A}}|}$${\ Displaystyle \ langle B \ rangle }$${\displaystyle \langle B\rangle _{\mathcal {A}}}$${\ Displaystyle \ langle \ rangle }$${\görüntüleme stili |{\matematiksel {A}}|}$

Eğer ve kapalı bir altküme ise, o zaman ' nin indüklenmiş bir alt yapısıdır , burada σ'nin her sembolüne, içindeki yorumunun B kısıtlamasını atar . Tersine, indüklenmiş bir alt yapının alanı kapalı bir alt kümedir. ${\ Displaystyle {\Mathcal {A}}=(A,\sigma ,I)}$${\görüntüleme stili B\alt küme A}$${\görüntüleme stili (B,\sigma ,I')}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {A}}}$${\görüntüleme stili I'}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {A}}}$

Bir yapının kapalı alt kümeleri (veya uyarılmış alt yapıları) bir kafes oluşturur . Buluştuğu iki alt kümelerinin onların kesişme olduğunu. Katılmak onların sendikası tarafından oluşturulan kapalı alt kümesi iki alt kümelerinin olduğunu. Evrensel cebir, bir yapının alt yapılarının örgüsünü ayrıntılı olarak inceler.

Örnekler

σ = {+, ×, −, 0, 1} yine alanlar için standart imza olsun. Doğal bir şekilde σ-yapılar olarak kabul olduğunda, rasyonel sayılar arasında altyapı oluşturulması gerçek sayılar ve reel sayılar altyapı oluşturulması karmaşık sayılar . Rasyonel sayılar, alan aksiyomlarını da karşılayan gerçek (veya karmaşık) sayıların en küçük alt yapısıdır.

Tam sayılar kümesi, alan olmayan gerçek sayıların daha da küçük bir altyapısını verir. Gerçekten de tamsayılar, boş küme tarafından bu imza kullanılarak üretilen gerçek sayıların alt yapısıdır. Bu imzada , bir alanın alt yapısına karşılık gelen soyut cebirdeki kavram, bir alt alandan ziyade bir alt halkadır .

Bir grafiği tanımlamanın en belirgin yolu, tek bir ikili ilişki sembolü E'den oluşan σ imzasına sahip bir yapıdır . Grafiğin köşeleri yapısının alan oluşturur ve iki köşe için bir ve b ,   bu aygıtın , bir ve B bir kenar ile bağlanmıştır. Bu kodlamada, uyarılmış altyapı kavramı, alt grafik kavramından daha kısıtlayıcıdır . Örneğin, G bir kenarla bağlanan iki köşeden oluşan bir grafik olsun ve H aynı köşelerden oluşan ancak kenarları olmayan bir grafik olsun . H , G'nin bir alt grafiğidir , ancak indüklenmiş bir alt yapı değildir. İndüklenmiş alt yapılara karşılık gelen çizge teorisindeki kavram , indüklenmiş alt grafiklerdir. ${\displaystyle (a,b)\!\in {\text{E}}}$

Homomorfizmalar ve gömmeler

homomorfizmalar

İki yapılarını göz önüne alındığında ve aynı imza σ ait bir (σ-) homomorfizması den üzere bir olduğunu harita korur fonksiyonları ve ilişkileri o. Daha kesin: ${\görüntüleme stili {\matematiksel {A}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {A}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}}$ ${\displaystyle h:|{\mathcal {A}}|\rightarrow |{\mathcal {B}}|}$

• σ'nın her n -ary işlev sembolü f ve herhangi bir öğe için aşağıdaki denklem geçerlidir:${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in |{\mathcal {A}}|}$

${\displaystyle h(f(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}))=f(h(a_{1}),h(a_{2}),\dots ,h( bir}))}$.

• σ ve herhangi bir öğenin her n -ary ilişki sembolü R için aşağıdaki çıkarım geçerlidir:${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in |{\mathcal {A}}|}$

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\in R\implies (h(a_{1}),h(a_{2}),\dots ,h(a_ {n}))\R} içinde$.

Homomorfizması için gösterim h den için olan . ${\görüntüleme stili {\matematiksel {A}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}}$${\displaystyle h:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}$

Her σ imzası için , nesneler olarak σ-yapılarına ve morfizm olarak σ-homomorfizmlerine sahip olan somut bir σ- Hom kategorisi vardır .

Bir homomorfizmi kimi kez adlandırıldığı güçlü her için eğer n -ary ilişki sembolü R ve herhangi bir öğe bu tür vardır öyle ki ve güçlü homomorfizmleri σ- bir alt kategori doğuran Hom . ${\displaystyle h:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}$${\displaystyle b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}\in |{\mathcal {B}}|}$${\displaystyle (b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})\R}$${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in |{\mathcal {A}}|}$${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\R}$${\displaystyle b_{1}=h(a_{1}),\,b_{2}=h(a_{2}),\,\dots ,\,b_{n}=h(a_{n}) .}$

Gömmeler

A (σ-) homomorfizması olarak adlandırılan bir (σ-) gömme bu ise, bire-bir ve ${\displaystyle h:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}$

• σ'nın her n -ary ilişki sembolü R ve herhangi bir eleman için aşağıdaki denklik geçerlidir:${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$

${\displaystyle (a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})\in R\iff (h(a_{1}),h(a_{2}),\dots ,h(a_ {n}))\R} içinde$.

Dolayısıyla bir gömme, birebir olan güçlü bir homomorfizma ile aynı şeydir. Σ- kategori EMB σ-yapılar ve σ-tespitlerinin bir beton alt kategori σ- arasında Hom .

Endüklenen altyapılar , σ- Emb içindeki alt nesnelere karşılık gelir . σ sadece fonksiyon sembollerine sahipse, σ- Emb , σ- Hom monomorfizmlerinin alt kategorisidir . Bu durumda indüklenen alt yapılar ayrıca σ- Hom içindeki alt nesnelere karşılık gelir .

Örnek

Yukarıda görüldüğü gibi, grafiklerin yapılar olarak standart kodlanmasında, indüklenen alt yapılar tam olarak indüklenen alt graflardır. Bununla birlikte, grafikler arasındaki bir homomorfizma, grafiği kodlayan iki yapı arasındaki bir homomorfizma ile aynı şeydir. Önceki bölümde örneğinde, alt grafiğinin halde , H ve G endüklenmemiştir, özdeşlik kimliği:  H  →  G, bir homomorfizma. Bu harita aslında olan monomorfizm kategorisi σ- de Hom ve bu nedenle , H , bir bir subobject ait G uyarılmış bir alt değildir.

homomorfizma sorunu

Aşağıdaki problem homomorfizma problemi olarak bilinir :

İki sonlu yapı ve sonlu bir ilişkisel imza verildiğinde , bir homomorfizm bulun veya böyle bir homomorfizmin olmadığını gösterin.${\görüntüleme stili {\matematiksel {A}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}}$${\displaystyle h:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}$

Her kısıtlama memnuniyet probleminin (CSP) homomorfizm problemine bir çevirisi vardır. Bu nedenle, CSP'nin karmaşıklığı , sonlu model teorisi yöntemleri kullanılarak incelenebilir .

Başka bir uygulama olan veritabanı teorisi bir, bağıntısal model, bir ait veri tabanında esas olarak bir ilişkisel yapı olarak aynıdır. Bir veritabanındaki birleşik sorgunun , veritabanı modeliyle aynı imzadaki başka bir yapı tarafından tanımlanabileceği ortaya çıktı . İlişkisel modelden sorguyu temsil eden yapıya bir homomorfizma, sorgunun çözümü ile aynı şeydir. Bu da bağlaç sorgu probleminin homomorfizma problemine eşdeğer olduğunu göstermektedir.

Yapılar ve birinci dereceden mantık

Yapılara bazen "birinci dereceden yapılar" denir. Bu belli bir mantığa kendi tanımı bağları hiçbir şey bunları olarak, yanıltıcı, ve aslında, evrensel cebir kullanılan birinci dereceden mantık çok kısıtlı fragmanları ve hem anlamsal nesneler olarak uygun olan ikinci dereceden mantık . Birinci mertebeden mantık ve model teorisi ile bağlantılı olarak, yapılara genellikle modeller denir , hatta "neyin modelleri?" sorusu sorulsa bile. açık bir cevabı yok.

memnuniyet ilişkisi

Her birinci dereceden yapı , M'nin her bir elemanı için o eleman olarak yorumlanan sabit bir sembol ile birlikte dilinden oluşan dildeki tüm formüller için tanımlanmış bir tatmin ilişkisine sahiptir . Bu ilişki, Tarski'nin T şeması kullanılarak tümevarımsal olarak tanımlanır . ${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}\vDash \phi }$${\görüntüleme stili \,\phi }$${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}}$

Bir yapı bir olduğu söylenir modeli a teorisi T dili sanki dili aynıdır T ve her cümle T tarafından karşılanmaktadır . Bu nedenle, örneğin, bir "halka", halka aksiyomlarının her birini karşılayan halkaların dili için bir yapıdır ve bir ZFC küme teorisi modeli, küme teorisinin dilindeki, ZFC aksiyomlarının her birini karşılayan bir yapıdır. ${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}}$ ${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}}$

tanımlanabilir ilişkiler

Bir n- -ary ilişki R evrenin üzerine M bir yapının olduğu söylenir tanımlanabilir (veya açık tanımlanabilir , ya da - tanımlanabilir ) bir formül φ olup olmadığını ( X ₁ , ..., x _{, n} ) olup bu ${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}}$${\görüntüleme stili \boş küme }$

${\displaystyle R=\{(a_{1},\ldots ,a_{n})\in M^{n}:{\mathcal {M}}\vDash \varphi (a_{1},\ldots ,a_ {n})\}.}$

Başka bir deyişle, R , ancak ve ancak öyle bir formül φ varsa tanımlanabilir.

${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\in R\Leftrightarrow {\mathcal {M}}\vDash \varphi (a_{1},\ldots ,a_{n})}$

doğru.

Önemli bir özel durum, belirli öğelerin tanımlanabilir olmasıdır. Bir eleman m arasında M tanımlanabilen olan bir formül φ (vardır, ancak ve ancak x ) bu şekilde ${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}\vDash \forall x(x=m\leftrightarrow \varphi (x)).}$

Parametrelerle tanımlanabilirlik

Bir ilişki R olduğu söylenir parametrelerle tanımlanabilir (veya - tanımlanabilir parametrelerle bir formül φ eğer varsa) öyle ki R, cp ile tanımlanabilir olduğunu. Bir yapının her elemanı, elemanın kendisi parametre olarak kullanılarak tanımlanabilir. ${\görüntüleme stili |{\matematiksel {M}}|}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}}$

Bazı yazarlar tanımlıyı parametresiz tanımlanabilir anlamında kullanırken, diğer yazarlar parametreli tanımlanabilir anlamındadır . Genel olarak konuşursak, tanımlanabilir anlamına gelen parametreler olmadan tanımlanabilir uzlaşımı küme teorisyenleri arasında daha yaygınken, tersi uzlaşım model teorisyenleri arasında daha yaygındır.

örtük tanımlanabilirlik

Yukarıdan hatırlayın ki , bir yapının M evreni üzerindeki bir n -ary ilişkisi R'nin , öyle bir formül φ( x ₁ ,..., x _n ) varsa açıkça tanımlanabilir olduğunu hatırlayın.${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}}$

${\displaystyle R=\{(a_{1},\ldots ,a_{n})\in M^{n}:{\mathcal {M}}\vDash \varphi (a_{1},\ldots ,a_ {n})\}}$

Burada bir ilişki tanımlamak için kullanılan φ, formül R imzasını üzerinde olmalıdır φ söz böylece ve R , çünkü kendisi R, imza değildir . Dilini içeren uzatılmış bir dilde bir formül φ varsa ve bir simge R , ve ilişki R sadece ilişki olduğunu , öyle ki , daha sonra R ' olduğu söylenir dolaylı tanımlanabilir üzerinde . ${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {M}}\vDash \varphi }$${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}}$

Beth'in teoremine göre, örtük olarak tanımlanabilir her ilişki açıkça tanımlanabilir.

Çok sıralı yapılar

Yukarıda tanımlandığı gibi yapılar bazen denir tek sıralı yapı s, daha genel ayırmak içinçok sıralı yapı s. Çok sıralı bir yapı, keyfi sayıda etki alanına sahip olabilir. Sıralarimzanın parçası olan ve farklı alanlar için isimlerin rol oynamaktadır. Çok sıralı imzalar, çok sıralı bir yapının işlevlerinin ve ilişkilerinin hangi sıralara göre tanımlanacağını da belirtir. Bu nedenle, fonksiyon sembollerinin veya ilişki sembollerinin ariteleri, doğal sayılardan ziyade, tür demetleri gibi daha karmaşık nesneler olmalıdır.

Örneğin vektör uzayları aşağıdaki şekilde iki sıralı yapılar olarak kabul edilebilir. Vektör uzaylarının iki sıralı imzası, V (vektörler için) ve S (skalerler için) olmak üzere iki türden ve aşağıdaki fonksiyon sembollerinden oluşur:

+ S ve × S arite ( S ,  S ;  S ). − S arity ( S ;  S ). 0 S ve 1 S arite ( S ).

+ V arite ( V ,  V ;  V ). − V arity ( V ;  V ). 0 V arite ( V ).

× arite ( S ,  V ;  V ).

Eğer V alanı üzerinde bir vektör alanıdır F , karşılık gelen iki sıralı yapı vektör alan oluşur , skaler alan ve bu vektör, sıfır olarak belirgin fonksiyonlar , skaler sıfır veya skalar çarpım . ${\görüntüleme stili {\matematiksel {V}}}$${\displaystyle |{\matematiksel {V}}|_{V}=V}$${\displaystyle |{\matematiksel {V}}|_{S}=F}$${\displaystyle 0_{V}^{\mathcal {V}}=0\in |{\mathcal {V}}|_{V}}$${\displaystyle 0_{S}^{\mathcal {V}}}=0\in |{\mathcal {V}}|_{S}}$${\displaystyle \times ^{\mathcal {V}}:|{\mathcal {V}}|_{S}\times |{\mathcal {V}}|_{V}\rightarrow |{\mathcal {V }}|_{V}}$

Çok sıralı yapılar, küçük bir çabayla önlenebilecek olsalar bile, genellikle uygun bir araç olarak kullanılır. Ancak, nadiren kesin bir şekilde tanımlanırlar, çünkü genellemeyi açıkça yapmak basit ve sıkıcıdır (dolayısıyla ödüllendirici değildir).

Çoğu matematiksel çabada, türlere çok fazla dikkat edilmez. Bir çoğu ayrılmamış mantık ancak doğal olarak yol açar tip teorisi . As Bart Jacobs koyar o: "Bir mantık bir tür teori üzerinde bir mantık her zaman." Bu vurgu da kategorik mantığa yol açar, çünkü bir tip teorisi üzerindeki bir mantık kategorik olarak bir ("toplam") kategoriye tekabül eder, mantığı yakalar, başka bir ("temel") kategori üzerinde liflenir , tip teorisini yakalar.

Diğer genellemeler

Kısmi cebir

Hem evrensel cebir hem de model teorisi, bir imza ve bir dizi aksiyom tarafından tanımlanan (yapılar veya) cebir sınıflarını inceler. Model teorisi durumunda bu aksiyomlar birinci dereceden cümleler biçimine sahiptir. Evrensel cebirin biçimciliği çok daha kısıtlayıcıdır; temelde yalnızca terimler arasında evrensel olarak nicelleştirilmiş denklemler biçimine sahip birinci dereceden cümlelere izin verir, örneğin x y  ( x  +  y  =  y  +  x ). Bunun bir sonucu, evrensel cebirde bir imza seçiminin model teorisinde olduğundan daha önemli olmasıdır. Örneğin, ikili fonksiyon sembolü × ve sabit sembol 1'den oluşan imzadaki grupların sınıfı , bir temel sınıftır , ancak bir çeşit değildir . Evrensel cebir bu sorunu birli fonksiyon sembolü ^-1 ekleyerek çözer . ${\ Displaystyle \ forall }$  ${\ Displaystyle \ forall }$

Alanlar söz konusu olduğunda bu strateji yalnızca ekleme için çalışır. Çarpma işlemi başarısız olur çünkü 0'ın bir çarpımsal tersi yoktur. Bununla başa çıkmak için özel bir girişim, 0 ⁻¹  = 0 tanımlamak olacaktır. (Bu girişim başarısız olur, çünkü esasen bu tanımla 0 × 0 ^-1  = 1 doğru değildir.) Bu nedenle, doğal olarak kısmi fonksiyonlara izin verilir. , yani yalnızca etki alanlarının bir alt kümesinde tanımlanan işlevler. Ancak, altyapı, homomorfizma ve özdeşlik gibi kavramları genelleştirmenin birkaç açık yolu vardır.

Yazılı diller için yapılar

In tip teorisi , bir, her biri değişkenlerin, birçok çeşit vardır türü . Türler tümevarımsal olarak tanımlanmıştır; δ ve σ iki türü verildiğinde, σ türündeki nesnelerden δ türündeki nesnelere kadar olan işlevleri temsil eden bir σ → δ türü de vardır. Yazılan bir dil için bir yapı (sıradan birinci dereceden anlambilimde), her türden ayrı bir nesne kümesi içermelidir ve bir işlev türü için yapı, o türden her bir nesne tarafından temsil edilen işlev hakkında tam bilgiye sahip olmalıdır.

Üst düzey diller

İkinci dereceden mantıkla ilgili makalede tartışıldığı gibi, yüksek dereceli mantık için birden fazla olası anlambilim vardır . Tam yüksek dereceli anlambilim kullanıldığında, bir yapının yalnızca 0 tipi nesneler için bir evrene sahip olması gerekir ve T-şeması genişletilir, böylece daha yüksek dereceli bir tür üzerindeki bir niceleyici model tarafından ancak ve ancak tırnaksız ise tatmin edilir. NS. Birinci mertebeden semantiği kullanırken, birçok sıralanmış birinci mertebeden dilde olduğu gibi, her bir yüksek mertebeden tür için ek bir sıralama eklenir.

Uygun sınıflar olan yapılar

Küme teorisi ve kategori teorisi çalışmasında , bazen söylem alanının bir küme yerine uygun bir sınıf olduğu yapıları dikkate almak yararlıdır . Bu yapılara bazen yukarıda tartışılan "küme modellerinden" ayırt edilmeleri için sınıf modelleri denir . Alan uygun bir sınıf olduğunda, her fonksiyon ve ilişki sembolü de uygun bir sınıfla temsil edilebilir.

In Bertrand Russell 'ın Principia Mathematica , yapıları da onların etki alanı olarak uygun bir sınıf var izin verildi.

Ayrıca bakınız

• matematiksel yapı

Notlar

Referanslar

• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, HP (1981), Evrensel Cebir Kursu , Berlin, New York: Springer-Verlag
• Chang, Chen Chung; Keisler, H. Jerome (1989) [1973], Model Teorisi , Elsevier, ISBN 978-0-7204-0692-4
• Diestel, Reinhard (2005) [1997], Grafik Teorisi , Matematikte Lisansüstü Metinler, 173 (3. baskı), Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-26183-4
• Ebbinghaus, Heinz-Dieter; Flum, Jörg; Thomas, Wolfgang (1994), Matematiksel Mantık (2. baskı), New York: Springer, ISBN 978-0-387-94258-2
• Hinman, P. (2005), Matematiksel Mantığın Temelleri , AK Peters , ISBN 978-1-56881-262-5
• Hodges, Wilfrid (1993), Model teorisi , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-30442-9
• Hodges, Wilfrid (1997), Daha kısa bir model teorisi , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-58713-6
• Marker, David (2002), Model Teorisi: Bir Giriş , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98760-6
• Poizat, Bruno (2000), Model Teorisinde Bir Kurs: Çağdaş Matematiksel Mantığa Giriş , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98655-5
• Rautenberg, Wolfgang (2010), Matematiksel Mantığa Kısa Bir Giriş (3. baskı), New York : Springer Science+Business Media , doi : 10.1007/978-1-4419-1221-3 , ISBN 978-1-4419-1220-6
• Rothmaler, Philipp (2000), Model Teorisine Giriş , Londra: CRC Press , ISBN 978-90-5699-313-9

Dış bağlantılar

• Klasik Mantıkta Semantik bölümü ( Stanford Felsefe Ansiklopedisi'nin bir girişi )