Model teorisi - Model theory

Gelen matematiksel mantık , model teorisi arasındaki ilişkinin incelenmesidir biçimsel teoriler (bir koleksiyon cümle bir de resmi dil bir ilgili açıklamalar ifade eden matematiksel yapısı ) ve bunların modelleri, alınan yorumların bu teorinin cümleler karşılamaktadır. Araştırılan yönler, bir teorinin modellerinin sayısını ve boyutunu, farklı modellerin birbiriyle ilişkisini ve bunların biçimsel dilin kendisiyle etkileşimini içerir. Özellikle model teorisyenleri, tanımlanabilecek kümeleri de araştırır.bir teori modelinde ve bu tür tanımlanabilir kümelerin birbirleriyle ilişkisi. Ayrı bir disiplin olarak, model, teori geri gider Alfred Tarski ilk 1970'lerden bu yana 1954 yılında yayında dönem "Modelleri Teorisi" kullanılmış, konu ile kararlı bir şekilde şekillenmiştir Saharon Shelah 'ın istikrar teorisi . Konunun tarihinde dalgalanan bir model içindeki tanımlanabilir kümeler sınıfına karşı bir teorinin modelleri sınıfına verilen göreli vurgu ve iki yön, sırasıyla 1973 ve 1997'deki özlü tanımlamalarla özetlenmiştir:

model teorisi = evrensel cebir + mantık

evrensel cebirin matematiksel yapıları ve mantığın mantıksal teorileri temsil ettiği yerde; ve

model teorisi = cebirsel geometri – alanlar .

burada mantıksal formüller tanımlanabilir kümeler için, denklemler bir alan üzerindeki çeşitler için ne ise.

Bununla birlikte, model sınıflarının etkileşimi ve bunlarda tanımlanabilen kümeler, tarihi boyunca model teorisinin gelişimi için çok önemli olmuştur. Örneğin, kararlılık başlangıçta teorileri belirli bir kardinalitedeki model sayılarına göre sınıflandırmak için tanıtılırken, kararlılık teorisi tanımlanabilir kümelerin geometrisini anlamak için çok önemli olduğunu kanıtladı.

Kanıt teorisi gibi matematiksel mantığın diğer alanlarıyla karşılaştırıldığında , model teorisi genellikle biçimsel titizlik ile daha az ilgilenir ve özünde klasik matematiğe daha yakındır. Bu, " kanıt teorisi kutsalla ilgiliyse , model teorisi din dışı olanla ilgilidir" yorumunu tetikledi . Model teorisinin cebirsel ve diofant geometriye uygulamaları, genellikle cebirsel ve model-teorik sonuçların ve tekniklerin bir entegrasyonunu içerdiğinden, klasik matematiğe olan bu yakınlığı yansıtır.

Model teorisi alanındaki en önde gelen bilimsel organizasyon, Sembolik Mantık Derneği'dir .

Şubeler

Bu sayfa odaklanır sonlucu birinci dereceden sonsuz yapıların modeli teorisi. Sonlu yapılara odaklanan sonlu model teorisi , hem çalışılan problemlerde hem de kullanılan tekniklerde sonsuz yapıların incelenmesinden önemli ölçüde ayrılır. Yüksek dereceli mantıklarda veya sonsuz mantıklarda model teorisi , tamlık ve kompaktlığın genel olarak bu mantıklar için geçerli olmaması gerçeğiyle engellenir . Bununla birlikte, bu tür mantıklarda da çok sayıda çalışma yapılmıştır.

Gayri resmi olarak, model teorisi klasik model teorisi, gruplara ve alanlara uygulanan model teorisi ve geometrik model teorisine ayrılabilir. Eksik bir alt bölüm, hesaplanabilir model teorisidir , ancak bu tartışmalı bir şekilde mantığın bağımsız bir alt alanı olarak görülebilir.

Klasik model teorisinin erken dönem teoremlerinin örnekleri arasında Gödel'in tamlık teoremi , yukarı ve aşağı Löwenheim-Skolem teoremleri , Vaught'un iki kardinal teoremi, Scott'ın izomorfizm teoremi, ihmal edilen tipler teoremi ve Ryll-Nardzewski teoremi sayılabilir . Model teorisinden erken sonuçlara örnekler alanlardır uygulanan Tarski 'ın niceleyicilerin eliminasyonu için gerçek kapalı alanlar , Axe teoremi üzerinde sözde Sonlu cisimler ve Robinson 's gelişimi standart dışı analiz . Klasik model teorisinin evriminde önemli bir adım, teoriler tarafından tatmin edilen sözdizimsel koşullara dayalı bir bağımsızlık ve sıralama hesabı geliştiren kararlılık teorisinin ( Morley'in sayısız kategorik teoriler üzerindeki teoremi ve Shelah'ın sınıflandırma programı aracılığıyla) doğuşuyla gerçekleşti .

Son birkaç on yıl boyunca, uygulamalı model teorisi tekrar tekrar daha saf kararlılık teorisi ile birleşti. Bu sentezin sonucu, bu makalede geometrik model teorisi olarak adlandırılır (örneğin, klasik geometrik kararlılık teorisinin yanı sıra o-minimalliği de içerir). Geometrik model teorisinden bir kanıt örneği, Hrushovski'nin fonksiyon alanları için Mordell -Lang varsayımının kanıtıdır . Geometrik model teorisinin amacı , çeşitli matematiksel yapılardaki tanımlanabilir kümelerin ayrıntılı bir çalışmasına girişerek, saf model teorisi çalışmasında geliştirilen önemli araçların yardımıyla bir matematik coğrafyası sağlamaktır .

Birinci dereceden model teorisinin temel kavramları

Birinci dereceden mantık

Birinci dereceden bir formül , Boolean bağlaçları ve niceleyicilerin ön eki veya ön eki aracılığıyla R ( f ( x , y ), z ) veya y = x + 1 gibi atomik formüllerden oluşturulur . Cümle, bir değişkenin her oluşumunun karşılık gelen bir niceleyici kapsamında olduğu bir formüldür. Formül örnekleri φ (veya φ(x) 'dir ve x'in en fazla φ'de bağlı olmayan bir değişken olduğu gerçeğini belirtmek için) ve ψ aşağıdaki gibi tanımlanır: ${\displaystyle \neg ,\land ,\lor ,\rightarrow }$${\görüntüleme stili \forall v}$${\görüntüleme stili \var v}$

${\displaystyle {\varphi \;=\;\tüm u\forall v(\vardır w(x\times w=u\times v)\rightarrow (\vardır w(x\times w=u)\lor \vardır) w(x\times w=v)))\land x\neq 0\land x\neq 1,}}$

${\displaystyle \psi \;=\;\forall u\forall v((u\times v=x)\rightarrow (u=x)\lor (v=x))\land x\neq 0\land x\ hayır 1.}$

(Eşitlik sembolünün burada çift anlamı olduğuna dikkat edin.) Bu tür formüllerin matematiksel anlama nasıl çevrileceği sezgisel olarak açıktır. Örneğin, doğal sayıların σ _{smr -} yapısında , bir n öğesi , ancak ve ancak n bir asal _sayıysa , φ formülünü karşılar . Formül ψ benzer şekilde indirgenemezliği tanımlar. Tarski , tatmin ilişkisi için bazen "Tarski'nin hakikat tanımı" olarak adlandırılan kesin bir tanım verdi , böylece kolayca kanıtlanabilir: ${\görüntüleme stili {\matematiksel {N}}}$ ${\görüntüleme stili \modeller}$

${\displaystyle {\mathcal {N}}\models \varphi (n)\iff n}$ bir asal sayıdır.

${\displaystyle {\mathcal {N}}\models \psi (n)\iff n}$ indirgenemez.

Bir dizi T cümleye (birinci dereceden) teori denir . Bir teori, bir modeli varsa , yani T kümesindeki tüm cümleleri karşılayan bir yapıya (uygun imzaya sahip) sahipse tatmin edicidir . Tam bir teori, her cümleyi veya onun olumsuzluğunu içeren bir teoridir . Bir yapı tarafından sağlanan tüm tümcelerin tam kuramına o yapının kuramı da denir . ${\displaystyle {\mathcal {M}}\models T}$

Gödel'in tamlık teoremi ( eksiklik teoremleriyle karıştırılmamalıdır ) bir teorinin ancak ve ancak tutarlı olması durumunda bir modeli olduğunu , yani teori tarafından hiçbir çelişki kanıtlanmadığını söyler . Bu nedenle, model teorisyenleri genellikle "tutarlı" kelimesini "tatmin edilebilir" ile eşanlamlı olarak kullanırlar.

Temel model-teorik kavramlar

Bir imza veya dil , her sembolün bir işlev sembolü veya bir ilişki sembolü olduğu ve belirli bir ariteye sahip olduğu bir dizi mantıksal olmayan semboldür . Bir yapı , (bir yapının diğerinde yorumlanmasıyla karıştırılmamalıdır) ilişkiler ve işlevler olarak imzanın sembollerinin her birinin yorumlarıyla birlikte bir kümedir. Sipariş halkalar için yaygın imzadır , nerede ve (aynı zamanda sabit semboller olarak da bilinir) 0-li fonksiyon sembolleridir, ve ikili fonksiyon sembolleri vardır, bir tek terimli fonksiyon semboldür ve bir ikili ilişki sembolüdür. Bu semboller kendi normal anlamı ile tekabül yorumlanır Daha sonra, (böylece, örneğin bu bir fonksiyonudur için ve bir alt kümesi olan ) bir elde eden bir yapı . Bir yapının verilen dilde bir dizi birinci dereceden cümleleri modellediği söylenir, eğer içindeki her cümle daha önce için belirtilen imzanın yorumuna göre doğruysa . ${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili M}$${\displaystyle \sigma _{veya}=\{0,1,+,\times ,-,<\}}$${\görüntüleme stili 0}$${\görüntüleme stili 1}$${\görüntüleme stili +}$${\görüntüleme stili \kez }$${\görüntüleme stili -}$${\görüntüleme stili <}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\görüntüleme stili +}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\görüntüleme stili <}$${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$${\displaystyle (\mathbb {Q} ,\sigma _{veya})}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {N}}}$${\görüntüleme stili T}$${\görüntüleme stili T}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {N}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {N}}}$

Bir alt yapı bir σ-yapının alt kümesine σ tüm işlevleri ve ilişkileri kısıtlayarak bir σ-yapı olarak kabul edilir onun imzası σ tüm işlevleri altında kapalı kendi etki, bir alt kümesidir. Bu, cebirdeki benzer kavramları genelleştirir; Örneğin, bir alt grup, çarpma ve ters ile imzadaki bir alt yapıdır. ${\görüntüleme stili {\matematiksel {A}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}}$

Bir alt yapı olduğu söylenir temel varsa birinci dereceden, formül cp ve herhangi bir öğe için bir ₁ , ..., bir _N arasında , ${\görüntüleme stili {\matematiksel {A}}}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}\models \varphi (a_{1},...,a_{n})}$eğer ve sadece eğer .${\displaystyle {\mathcal {B}}\models \varphi (a_{1},...,a_{n})}$

Özellikle, eğer φ bir tümceyse ve ' nin temel bir alt yapısıysa , ancak ve ancak . Bu nedenle, temel bir altyapı, tam olarak üst yapı bir model olduğunda, bir teorinin modelidir. Bu nedenle, cebirsel sayılar alanı karmaşık sayılar alanının temel bir alt yapısı iken, rasyonel alan değildir, çünkü "2'nin karekökü vardır" ile karşılanan ancak ile karşılanmayan birinci dereceden bir cümle olarak ifade edebiliriz . ${\görüntüleme stili {\matematiksel {A}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}\models\varphi }$${\displaystyle {\mathcal {B}}\models \varphi }$${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Bir σ-yapısının başka bir σ-yapısına gömülmesi , alanlar arasında bir f : A → B haritasıdır ve alt yapısı ile bir izomorfizmi olarak yazılabilir . Temel bir alt yapıya sahip bir izomorfizm olarak yazılabilirse, buna elemanter gömme denir. Her gömme, bir dolaylı homomorfizmadır, ancak bunun tersi, yalnızca imza, gruplar veya alanlar gibi hiçbir ilişki sembolü içermiyorsa geçerlidir. ${\görüntüleme stili {\matematiksel {A}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {A}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {B}}}$

Bir alan veya bir vektör uzayı, yapısının bir kısmını yok sayarak (değişmeli) bir grup olarak kabul edilebilir. Model teorisindeki karşılık gelen kavram , bir yapının orijinal imzanın bir alt kümesine indirgenmesidir . Ters ilişkiye açılım denir - örneğin {+,0} imzasında bir yapı olarak kabul edilen rasyonel sayıların (toplamalı) grubu {×,+,1,0} imzalı bir alana genişletilebilir veya {+,0,<} imzalı sıralı bir gruba.

Benzer şekilde, eğer σ' başka bir σ imzasını genişleten bir imza ise, o zaman tam bir σ'-teorisi, cümle kümesini σ-formülleri kümesiyle kesiştirerek σ ile sınırlandırılabilir. Tersine, tam bir σ-teorisi bir σ'-teorisi olarak kabul edilebilir ve kişi onu (birden fazla yolla) eksiksiz bir σ'-teorisine genişletebilir. Azaltma ve genişleme terimleri bazen bu ilişkiye de uygulanır.

Kompaktlık ve Löwenheim-Skolem teoremi

Doluluk teoremi S'nin her sonlu alt kümesi karşılanabilir ise S karşılanabilir olduğunu cümle bir dizi olduğunu belirtmektedir. Satisfiable yerine tutarlı olan benzer ifade önemsizdir, çünkü her ispat ispatta kullanılan sadece sınırlı sayıda öncüle sahip olabilir. Tamlık teoremi, bunu tatmin edilebilirliğe aktarmamızı sağlar. Bununla birlikte, kompaktlık teoreminin birkaç doğrudan (anlamsal) kanıtı da vardır. Bir sonuç olarak (yani, çelişkili), kompaktlık teoremi , her tatmin edici olmayan birinci mertebeden teorinin sonlu bir tatmin edilemez alt kümesine sahip olduğunu söyler. Bu teorem, "kompaktlık" kelimelerinin yaygın olduğu model teorisinde merkezi öneme sahiptir.

Birinci mertebeden model teorisinin bir diğer köşe taşı Löwenheim-Skolem teoremidir. Löwenheim-Skolem Teoremi'ne göre sayılabilir bir imzadaki her sonsuz yapı sayılabilir bir temel alt yapıya sahiptir. Tersine, herhangi bir sonsuz kardinal κ için, sayılabilir bir imzadaki κ'den daha az olan her sonsuz yapı, temel olarak başka bir κ kardinalite yapısına gömülebilir (Sayılamayan imzalar için basit bir genelleme vardır). Özellikle, Löwenheim-Skolem Teoremi, sonsuz modellerle sayılabilir bir imzadaki herhangi bir teorinin, isteğe bağlı olarak büyük modellerin yanı sıra sayılabilir bir modele sahip olduğunu ima eder.

Lindström teoreminin kesinleştirdiği bir anlamda , birinci mertebeden mantık, hem Löwenheim-Skolem teoreminin hem de kompaktlık teoreminin sahip olduğu en açıklayıcı mantıktır.

tanımlanabilirlik

tanımlanabilir kümeler

Model teorisinde, tanımlanabilir kümeler çalışmanın önemli nesneleridir. Örneğin , formülde ${\displaystyle \mathbb {N} }$

${\displaystyle \forall u\forall v(\exists w(x\times w=u\times v)\rightarrow (\exists w(x\times w=u)\lor \var w(x\times w=v) )))\kara x\neq 0\land x\neq 1}$

asal sayıların alt kümesini tanımlarken formül

${\görüntüleme stili \vardır y(2\times y=x)}$

çift ​​sayıların alt kümesini tanımlar. Benzer şekilde, n serbest değişkenli formüller, ' nin alt kümelerini tanımlar . Örneğin, bir alanda, formül ${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}^{n}}$

${\görüntüleme stili y=x\kez x}$

tüm bu eğriyi tanımlar . ${\görüntüleme stili (x,y)}$${\görüntüleme stili y=x^{2}}$

Burada bahsedilen tanımların ikisi de parametresizdir , yani tanımlayıcı formüller herhangi bir sabit etki alanı öğesinden bahsetmez. Bununla birlikte, modelden parametreler içeren tanımlar da düşünülebilir . Örneğin , formülde ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\görüntüleme stili y=x\kez x+\pi }$

bir eğri tanımlamak için from parametresini kullanır . ${\görüntüleme stili\pi }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

niceleyicileri ortadan kaldırmak

Genel olarak, niceleyicileri olmayan tanımlanabilir kümelerin tanımlanması kolaydır, oysa muhtemelen iç içe niceleyicileri içeren tanımlanabilir kümeler çok daha karmaşık olabilir.

Bu da nicelik eleme bir teori: tanımlanabilir setleri analiz etmek için çok önemli bir adım , T , her birinci dereceden, formül φ (eğer miktar belirleyici eliminasyonu x ₁ , ..., x _{, n} ), imza üzerinde eşdeğer modülo olan T birinci dereceden bir formül ψ için ( x ₁ , ..., x _n ) niceleyiciler olmadan, yani T'nin tüm modellerinde geçerlidir . Bir yapının teorisinde niceleyici eliminasyonu varsa, bir yapıda tanımlanabilen her küme, orijinal tanımla aynı parametreler üzerinde niceleyici içermeyen bir formülle tanımlanabilir. Örneğin, σ _ring = (×,+,−,0,1) imzasındaki cebirsel olarak kapalı alanlar teorisi niceleyici eliminasyonuna sahiptir. Bu, cebirsel olarak kapalı bir alanda, her formülün polinomlar arasındaki Boole denklem kombinasyonuna eşdeğer olduğu anlamına gelir. ${\displaystyle \forall x_{1}\dots \forall x_{n}(\phi (x_{1},\dots ,x_{n})\leftrightarrow \psi (x_{1},\dots ,x_{n) }))}$

Bir teoride niceleyici eliminasyonu yoksa, olması için imzasına ek semboller eklenebilir. Erken model teorisi, özellikle cebirde, belirli teoriler için aksiyomatize edilebilirliği ve niceleyici eleme sonuçlarını kanıtlamak için çok çaba harcadı. Ancak çoğu zaman niceleyicinin ortadan kaldırılması yerine daha zayıf bir özellik yeterlidir:

Bir teori T adlandırılır modeli tamamlama bir modeli, her alt durumunda T kendisinin bir model T temel bir alt olup. Bir altyapının temel bir altyapı olup olmadığını test etmek için Tarski–Vaught testi adı verilen yararlı bir kriter vardır . Bu kriterden, bir T teorisinin model-tam olduğu sonucu çıkar, ancak ve ancak imzası üzerindeki her birinci mertebeden formül φ( x ₁ , ..., x _n ) bir varoluşsal birinci mertebeden formüle modulo T ise eşdeğerdir , yani aşağıdaki formun bir formülü:

${\displaystyle \exists v_{1}\dots \exists v_{m}\psi (x_{1},\dots ,x_{n},v_{1},\dots ,v_{m})}$,

burada ψ niceleyici serbesttir. Model tamamlama olmayan bir teori, genel olarak orijinal teorinin bir uzantısı olmayan ilgili bir model tamamlama teorisi olan bir model tamamlamaya sahip olabilir veya olmayabilir . Daha genel bir kavram, bir model arkadaşıdır .

minimallik

Her yapıda, her sonlu altküme parametrelerle tanımlanabilir: Basitçe formülü kullanın ${\displaystyle \{a_{1},\dots ,a_{n}\}}$

${\displaystyle x=a_{1}\vee \dots \vee a_{n}}$.

Bu formülü yadsıyabildiğimiz için, her eş sonlu altküme (bölgenin sonlu sayıda elemanı hariç hepsini içerir) her zaman tanımlanabilirdir.

Bu, minimal bir yapı kavramına yol açar . Parametrelerle tanımlanabilen her altküme sonlu veya kosonlu ise bir yapı minimal olarak adlandırılır . Teoriler düzeyinde karşılık gelen konsepte güçlü minimalite denir : Her T modeli minimal ise, bir T teorisine kuvvetle minimal denir . Bir yapının teorisi kuvvetle minimal ise, bir yapıya kuvvetle minimal denir . Eşdeğer olarak, her temel uzantı minimal ise bir yapı kuvvetle minimaldir. Cebirsel olarak kapalı alanlar teorisi niceleyici eliminasyonuna sahip olduğundan, cebirsel olarak kapalı bir alanın tanımlanabilir her alt kümesi, bir değişkende niceleyici içermeyen bir formülle tanımlanabilir. Bir değişkendeki niceleyici içermeyen formüller, bir değişkendeki polinom denklemlerinin Boole kombinasyonlarını ifade eder ve bir değişkendeki önemsiz olmayan bir polinom denkleminin yalnızca sonlu sayıda çözümü olduğundan, cebirsel olarak kapalı alanlar teorisi son derece minimaldir. ${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}}$${\displaystyle A\subseteq {\mathcal {M}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}}$

Öte yandan, gerçek sayıların alanı minimum değildir: Örneğin, tanımlanabilir kümeyi düşünün. ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \varphi (x)\;=\;\var y(y\times y=x)}$.

Bu, ne sonlu ne de kosonlu olan negatif olmayan reel sayıların alt kümesini tanımlar. Gerçek sayı doğrusu üzerinde rastgele aralıklar tanımlamak için kullanılabilir . Bunların tanımlanabilir her alt kümesini temsil etmek için yeterli olduğu ortaya çıktı . Minimalitenin bu genellemesi, düzenli yapıların model teorisinde çok faydalı olmuştur. Bir imzada , sıra ilişkisi için bir sembol içeren yoğun, tamamen sıralı bir yapıya , eğer parametrelerle tanımlanabilen her alt küme , nokta ve aralıkların sonlu bir birleşimiyse, o-minimal olarak adlandırılır . ${\görüntüleme stili \varphi }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}}$${\displaystyle A\subseteq {\mathcal {M}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}}$

Tanımlanabilir ve yorumlanabilir yapılar

Aynı zamanda alt yapı olan, yani tüm sabitleri içeren ve fonksiyon uygulaması altında kapalı olan tanımlanabilir kümeler özellikle önemlidir. Örneğin, belirli bir grubun tanımlanabilir alt grupları incelenebilir. Ancak aynı imzadaki alt yapılarla kendinizi sınırlamanıza gerek yok. n serbest değişkenli formüller ' nin alt kümelerini tanımladığından , n -ary ilişkiler de tanımlanabilir. Fonksiyon grafiği tanımlanabilir ilişkidir ve sabit ise fonksiyonları tanımlanabilir bir formül varsa tanımlanabilir şekilde bir tek unsur bu durum geçerlidir. Bu şekilde, örneğin geometrik kararlılık teorisinde önemli olan, genel yapılardaki tanımlanabilir gruplar ve alanlar çalışılabilir. ${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}^{n}}$${\displaystyle a\in {\mathcal {M}}}$${\görüntüleme stili \varphi (x)}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}}$${\görüntüleme stili \varphi (a)}$

Hatta bir adım daha ileri gidilebilir ve acil altyapıların ötesine geçilebilir. Bir matematiksel yapı verildiğinde, orijinal yapının bir bölümünün bir denklik bağıntısı yoluyla bir bölümü olarak oluşturulabilen çok sık ilişkili yapılar vardır. Önemli bir örnek, bir grubun bölüm grubudur. Tam yapıyı anlamak için bu bölümleri anlamak gerektiği söylenebilir. Denklik bağıntısı tanımlanabilir olduğunda, önceki cümleye kesin bir anlam verebiliriz. Bu yapıların yorumlanabilir olduğunu söylüyoruz . Önemli bir gerçek, cümlelerin yorumlanan yapıların dilinden orijinal yapının diline çevrilebilmesidir. Böylece, eğer bir yapı , teorisine karar verilemeyen başka bir yapıyı yorumluyorsa, o zaman kendisinin karar verilemez olduğu gösterilebilir. ${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}}$

Türler

Temel kavramlar

Elemanlarının bir dizisi için bir yapı ve bir alt kümesi A bölgesinin , bir tüm birinci dereceden formüllerin grubu düşünülebilir parametreleri ile A tarafından karşılanmaktadır . Bu, A üzerinden gerçekleştirilen tam (n-) tipi olarak adlandırılır . Varsa bir otomorfizma ait olduğu sabit olan A ve gönderir için daha sonra sırasıyla ve tekrar aynı tam türünü gerçekleştirmek A . ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}}$${\displaystyle \varphi (x_{1},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}}$${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$

Yalnızca {<} sıra ilişkisine sahip bir yapı olarak görülen gerçek sayı doğrusu bu bölümde çalışan bir örnek olarak hizmet edecektir. Her eleman , boş küme üzerinde aynı 1-tipi karşılar. Bu açıktır, çünkü herhangi iki gerçek sayı a ve b , tüm sayıları ba ile değiştiren sıralı otomorfizm ile bağlanır . Bir çift sayı tarafından gerçekleştirilen boş küme üzerindeki tam 2 tipi , sıralarına bağlıdır: ya , ya da . Alt kümesi üzerinde tamsayılar, tam sayı olmayan bir gerçek sayı 1 tipi a değeri en yakın tam sayıya yuvarlanır bağlıdır. ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$${\displaystyle a_{1},a_{2}}$${\displaystyle a_{1}<a_{2}}$${\displaystyle a_{1}=a_{2}}$${\displaystyle a_{2}<a_{1}}$${\displaystyle \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {R} }$

Daha genel olarak, her bir yapı ve bir A bir alt kümesi , bir (kısmi) A üzerinde n-tipi formüller bir dizi p en ile , n , bir temel uzantısı gerçekleştirilmektedir serbest değişkenler arasında . Eğer p , her bir formüle veya olumsuzluk içeren, daha sonra p olan tam . A üzerinde tam n- tipleri kümesi genellikle olarak yazılır . Eğer bir boş küme, daha sonra tip uzay sadece teori bağlıdır T arasında . Gösterim , T ile tutarlı boş küme üzerindeki türler kümesi için yaygın olarak kullanılır . Tek bir formül var ise teorisi şekilde ima her bir formül için de p , o s adlandırılan bir izole edilmiş . ${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {N}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}}$${\ Displaystyle S_{n}^{\Mathcal {M}}(A)}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}}$${\ Displaystyle S_{n}(T)}$${\görüntüleme stili \varphi }$${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}}$${\ Displaystyle \ varphi \ sağ ok \ psi }$${\görüntüleme stili\psi }$

Gerçek sayılar yana olan Arşimet , her tamsayı daha gerçek sayı daha büyük yoktur. Bununla birlikte, bir kompaktlık argümanı, herhangi bir tam sayıdan daha büyük bir öğenin bulunduğu gerçek sayı doğrusunda temel bir uzantı olduğunu gösterir. Bu nedenle, formüller kümesi , gerçek sayı doğrusunda gerçekleşmeyen 1 tipindedir . ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \{n<x|n\in \mathbb {Z} \}}$${\displaystyle \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Bir alt-kümesi tam kişilerce elemanları ifade edilebilir üzerinde, belirli bir tür gerçekleştirilmesi A olarak adlandırılan tip tanımlanabilen fazla A . Bir cebirsel Örnek vermek gerekirse; bir olduğunu cebirsel kapalı alan . Teori niceleyici eleme özelliğine sahiptir. Bu, bir türün tam olarak içerdiği polinom denklemleriyle belirlendiğini göstermemizi sağlar. Bu nedenle, bir alt alan üzerindeki tam tipler kümesi , polinom halkasının asal idealleri kümesine karşılık gelir ve tip tanımlı kümeler tam olarak afin çeşitlerdir. ${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}^{n}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}^{n}}$${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili A}$ ${\displaystyle A[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

Yapılar ve türleri

Her tip her yapıda gerçekleşmezken, her yapı izole tiplerini gerçekleştirir. Bir yapıda gerçekleşen boş küme üzerindeki türler yalnızca yalıtılmış türler ise, yapıya atomik denir .

Öte yandan, hiçbir yapı her parametre kümesi üzerinde her türü gerçekleştirmez; Bir bütün alırsa parametre seti, daha sonra, her 1 tipi üzerinde gerçekleştirilen bir şekilde bir formül ile izole edilir a = X bir için . Bununla birlikte, herhangi bir uygun temel uzantısı olan bir eleman içerir değil de . Bu nedenle, gerçekleştirmesi beklenebilecek tüm türleri gerçekleştiren bir yapı fikrini yakalayan daha zayıf bir kavram ortaya konmuştur. Bir yapı, kendisinden daha küçük bir kardinaliteye sahip bir parametre seti üzerinde her türü gerçekleştiriyorsa doymuş olarak adlandırılır . ${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}}$${\displaystyle a\in {\mathcal {M}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}}$${\displaystyle A\subset {\mathcal {M}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}}$

Sabit bağlı bir otomorfizma da A , her zaman türleri üzerinde koruyacak A , herhangi iki sekans bu genel olarak doğru değildir ve koşulları sağladığı fazla aynı tip A , böyle bir otomorfizma ile birbirine eşlenebilir. Bu tersinin geçerli olduğu bir yapı , homojen olarak adlandırılandan daha küçük kardinaliteye sahip tüm A için geçerlidir . ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}}$${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}}$

Sadece sırayı içeren dilde gerçek sayı doğrusu atomiktir , çünkü in tarafından gerçekleştirilen boş küme üzerindeki tüm n- tipleri arasındaki sıra ilişkileri tarafından izole edilir . Bununla birlikte, doygun değildir, çünkü sayılabilir küme üzerinde x'in herhangi bir tam sayıdan daha büyük olduğunu ima eden herhangi bir 1-tipi gerçekleştirmez . Rasyonel sayı doğrusu doymuştur, çünkü kendisi sayılabilirdir ve bu nedenle doymuş olması için yalnızca sonlu altkümeler üzerindeki türleri gerçekleştirmesi gerekir. ${\görüntüleme stili <}$${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Taş Mekanlar

Bazı parametrelerin tanımlanabilen alt kümeleri kümesi bir Boole cebridir . By Boolean için Stone'un temsil teoremi cebirleri doğal çift vardır topolojik uzay tam komple oluşur üzerinde -types . Tek formüller için form kümeleri tarafından oluşturulan topoloji . Buna n-tiplerinin A üzerinde Stone uzayı denir . Bu topoloji, model teorisinde kullanılan bazı terminolojiyi açıklar: Kompaktlık teoremi, Stone Space'in kompakt bir topolojik uzay olduğunu ve p tipinin yalnızca ve ancak p Stone topolojisinde yalıtılmış bir nokta olması durumunda yalıtılmış olduğunu söyler . ${\görüntüleme stili {\matematiksel {M}}^{n}}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili A}$${\displaystyle \{p|\varphi \in p\}}$${\görüntüleme stili \varphi }$

Cebirsel olarak kapalı alanlardaki tipler, polinom halkasının spektrumuna karşılık gelirken, tip uzayındaki topoloji , yapılandırılabilir topolojidir : bir tip kümesi , formda veya formda ise temel açıktır . Bu Zariski topolojisinden daha iyi . ${\displaystyle \{p:f(x)=0\p\}}$${\displaystyle \{p:f(x)\neq 0\in p\}}$

kategori

Bir teori, izomorfizme kadar bir yapı belirlerse , başlangıçta kategorik olarak adlandırıldı . Birinci dereceden mantığın ifadesindeki ciddi kısıtlamalar nedeniyle bu tanımın kullanışlı olmadığı ortaya çıktı. Löwenheim-Skolem teoremi, eğer bir T teorisinin bazı sonsuz kardinal sayılar için sonsuz bir modeli varsa, o zaman yeterince büyük herhangi bir κ kardinal sayısı için κ büyüklüğünde bir modele sahip olduğunu ima eder . Farklı boyutlardaki iki model muhtemelen izomorfik olamayacağından, kategorik bir teori ile sadece sonlu yapılar tanımlanabilir.

Bununla birlikte, bir kardinal κ için daha zayıf κ kategorisi kavramı, model teorisinde anahtar bir kavram haline geldi. Bir T teorisi , κ kardinalitesine sahip herhangi iki T modeli izomorfik ise, κ-kategorisel olarak adlandırılır . κ kategorisi sorununun kritik olarak κ'nin dilin kardinalitesinden daha büyük olup olmadığına bağlı olduğu ortaya çıktı (yani  + |σ|, burada |σ| imzanın kardinalitesidir). Sonlu veya sayılabilir imzalar için bu , sayılamayan κ için -kardinalite ve κ-kardinalite arasında temel bir fark olduğu anlamına gelir . ${\displaystyle \aleph _{0}}$${\ Displaystyle \ omega }$

${\ Displaystyle \ omega }$-kategori

${\ Displaystyle \ omega }$-kategorik teoriler , tip uzaylarının özellikleri ile karakterize edilebilir:

Sonlu veya sayılabilir bir imzada eksiksiz bir birinci mertebeden T teorisi için aşağıdaki koşullar eşdeğerdir:

1. T bir Kategorik.${\ Displaystyle \ omega }$
2. S _n ( T ) içindeki her tip izole edilmiştir.
3. Her doğal sayı için n , S _n ( T ) sonludur.
4. Her doğal sayı n için , denklik modülü T'ye kadar n serbest değişkendeki φ( x ₁ , ..., x _n ) formüllerinin sayısı sonludur.

Teorisi da teorisi, olduğu her olarak, Kategorik n tipi boş kümesi üzerinde arası ortalama sipariş ilişki ile izole edilir . Bu, her sayılabilir yoğun doğrusal düzenin rasyonel sayı doğrusuna göre sıralı izomorfik olduğu anlamına gelir . Öte yandan, teorileri , ve alan olarak değil Kategorik. Bu, tüm bu alanlarda, sonsuz sayıdaki doğal sayılardan herhangi birinin, formun bir formülüyle tanımlanabileceği gerçeğinden kaynaklanmaktadır . ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,<)}$${\görüntüleme stili (\mathbb {R} ,<)}$${\ Displaystyle \ omega }$${\displaystyle p(x_{1},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\ Displaystyle \ omega }$${\displaystyle x=1+\nokta +1}$

${\displaystyle \aleph _{0}}$-kategorik teoriler ve onların sayılabilir modelleri de oligomorfik gruplarla güçlü bağlara sahiptir :

Sonlu veya sayılabilir bir imzada tam bir birinci dereceden teori T -kategoriktir, ancak ve ancak otomorfizm grubu oligomorfik ise.${\ Displaystyle \ omega }$

Bu alt eşdeğer charcaterisations nedeniyle birbirlerinden bağımsız olarak Engeler , Ryll-Nardzewski ve Svenonius bazen Ryll-Nardzewski teoremi olarak adlandırılır.

Kombinatoryal imzalarda, kategorik teorilerin ortak bir kaynağı, bir sonlu ilişkisel yapılar sınıfının tüm olası konfigürasyonlarını birleştirme sınırı olarak elde edilen Fraïssé limitleridir . ${\ Displaystyle \ omega }$

sayılamayan kategori

Michael Morley 1963'te sayılabilir dillerdeki teoriler için yalnızca tek bir sayılamayan kategori kavramı olduğunu gösterdi .

Morley'in kategori teoremi

Sonlu veya sayılabilir bir imzadaki birinci mertebeden bir T teorisi , bazı sayılamayan kardinal κ için κ-kategorik ise , o zaman T , tüm sayılamayan κ kardinaller için κ-kategorilidir.

Morley'in kanıtı, sayılamayan kategoriklik ile sınıflandırma teorisinin ve kararlılık teorisinin başlangıç ​​noktası haline gelen modellerin iç yapısı arasındaki derin bağlantıları ortaya çıkardı. Sayılamayan kategorik teoriler, birçok açıdan en iyi huylu teorilerdir. Özellikle, eksiksiz, güçlü minimal teoriler sayılamayacak kadar kategoriktir. Bu, belirli bir özelliğin cebirsel olarak kapalı alanları teorisinin, alanın aşkınlık derecesinin izomorfizm tipini belirlediği, sayılamayan derecede kategorik olduğunu gösterir.

Hem kategorik hem de sayılamayan kategorik olan bir teoriye tamamen kategorik denir . ${\ Displaystyle \ omega }$

Seçilen uygulamalar

Model teorisinin ilk başarıları arasında, gerçek kapalı alanlar , Boole cebirleri ve belirli bir özelliğin cebirsel olarak kapalı alanları gibi çeşitli cebirsel olarak ilginç sınıfların karar verilebilirliğine dair Tarski'nin kanıtları bulunmaktadır .

1960'larda, doymuş modeller ve ultra ürün yapısı etrafındaki düşünceler , Abraham Robinson'un standart dışı analiz geliştirmesine yol açtı .

1965'te James Axe ve Simon B. Kochen , Artin'in diofant denklemleri üzerindeki varsayımının özel bir örneğini, yine bir ultra-ürün yapısı kullanarak Ax-Kochen teoremi gösterdi.

Daha yakın zamanlarda, kararlılık ve tanımlanabilir kümelerin geometrisi arasındaki bağlantı, cebirsel ve diofant geometriden çeşitli uygulamalara yol açtı, buna Ehud Hrushovski'nin tüm karakteristiklerde geometrik Mordell-Lang varsayımının 1996 kanıtı da dahil

2011'de Jonathan Pila , Modüler eğrilerin ürünleri için André-Oort varsayımını kanıtlamak için o-minimallik etrafında teknikler uyguladı .

Sabit teoriler etrafında gelişen ayrı bir sorgulama dizisinde, Laskowski 1992'de NIP teorilerinin makine öğrenimi teorisinde PAC tarafından öğrenilebilen tanımlanabilir sınıfları tam olarak tanımladığını gösterdi .

Tarih

Model teorisi bir konu olarak yaklaşık olarak 20. yüzyılın ortalarından beri varlığını sürdürmektedir. Bununla birlikte, özellikle matematiksel mantıkta daha önce yapılan bazı araştırmalar, genellikle geriye dönük olarak model-teorik bir yapıya sahip olarak kabul edilir. Şimdi model teorisi olan şeyin ilk önemli sonucu, 1915'te Leopold Löwenheim tarafından yayınlanan aşağı doğru Löwenheim-Skolem teoreminin özel bir durumuydu . Kompaktlık teoremi Thoralf Skolem tarafından çalışmada örtüktü , ancak ilk olarak 1930'da, Kurt Gödel'in tamlık teoreminin ispatındaki lemma . Löwenheim-Skolem teoremi ve kompaktlık teoremi, kendi genel biçimlerini 1936 ve 1941'de Anatoly Maltsev'den aldı . Model teorisinin bağımsız bir disiplin olarak gelişimi , interbellum sırasında Lwów-Varşova okulunun bir üyesi olan Alfred Tarski tarafından başlatıldı . Tarski'nin çalışması , diğer konuların yanı sıra mantıksal sonuç , tümdengelim sistemleri , mantığın cebiri, tanımlanabilirlik teorisi ve gerçeğin anlamsal tanımını içeriyordu . Semantik yöntemleri , 1950'lerde ve 60'larda kendisinin ve Berkeley'deki bir dizi öğrencisinin geliştirdiği model teorisinde doruğa ulaştı .

Disiplinin daha ileri tarihinde, farklı çizgiler ortaya çıkmaya başladı ve konunun odak noktası değişti. 1960'larda ultra ürünlerle ilgili teknikler, model teorisinde popüler bir araç haline geldi. Aynı zamanda, James Ax gibi araştırmacılar, çeşitli cebirsel sınıfların birinci dereceden model teorisini araştırıyorlardı ve H. Jerome Keisler gibi diğerleri , birinci dereceden model teorisinin kavramlarını ve sonuçlarını diğer mantıksal sistemlere genişletiyorlardı. Daha sonra, Saharon Shelah'ın kategoriklik ve Morley'in problemi etrafındaki çalışması , model teorisinin çehresini değiştirerek yepyeni bir kavram sınıfını ortaya çıkardı. Kararlılık teorisi (sınıflandırma teorisi) Shelah onlar herhangi bir cardinality sahip farklı modeller sayısına göre sınıflandırmak teorilere 1960'ların sonunda amaçlarına beri geliştirdi. Sonraki on yıllarda, ortaya çıkan kararlılık hiyerarşisinin, bu modellerde tanımlanabilen kümelerin geometrisi ile yakından bağlantılı olduğu ortaya çıktı; bu, şimdi geometrik kararlılık teorisi olarak bilinen alt disipline yol açtı.

Matematiksel mantığın ilgili dallarına bağlantılar

sonlu model teorisi

Sonlu model teorisi (FMT), model teorisinin (MT) sonlu bir evrene sahip sonlu yapılar üzerindeki yorumlara kısıtlamasıyla ilgilenen alt alanıdır.

Model teorisinin birçok merkezi teoremi sonlu yapılarla sınırlandırıldığında geçerli olmadığından, FMT ispat yöntemlerinde MT'den oldukça farklıdır. FMT altında sonlu yapılar için başarısız olan klasik model teorisinin merkezi sonuçları, kompaktlık teoremi , Gödel'in tamlık teoremi ve birinci dereceden mantık için ultraürünler yöntemini içerir .

FMT'nin ana uygulama alanları betimleyici karmaşıklık kuramı , veri tabanı kuramı ve biçimsel dil kuramıdır .

Küme teorisi

Herhangi bir küme teorisi ( sayılabilir bir dilde ifade edilir ), eğer tutarlıysa, sayılabilir bir modeli vardır; Bu, Skolem paradoksu olarak bilinir , çünkü küme teorisinde sayılamayan kümelerin varlığını öne süren cümleler vardır ve yine de bu cümleler sayılabilir modelimizde doğrudur. Özellikle süreklilik hipotezinin bağımsızlığının kanıtı , model içinde bakıldığında sayılamayan gibi görünen , ancak model dışındaki biri için sayılabilir olan modellerdeki kümelerin dikkate alınmasını gerektirir .

Model-teorik bakış açısı küme teorisinde faydalı olmuştur ; örneğin Kurt Gödel yöntemiyle birlikte constructible evren bireyin çalışması, zorlamalara tarafından geliştirilen Paul Cohen (yine felsefi ilginç) kanıtlamak için gösterilebilir bağımsızlığı ait seçim belitinin diğer aksiyomlarından ve sürekli hipotezi küme teorisi.

Diğer yönde, model teorisinin kendisi ZFC küme teorisi içinde resmileştirilebilir. Örneğin, ZFC'de memnuniyetin resmileştirilmesi , Tarski'nin T şemasına ve değişken atama aralığının üyelerinin nerede yattığına ilişkin gözleme dayalı olarak tümevarımsal olarak yapılır . Model teorisinin temellerinin (kompaktlık teoremi gibi) geliştirilmesi, seçim aksiyomuna veya daha doğrusu Boolean asal ideal teoremine dayanır. Model teorisindeki diğer sonuçlar, standart ZFC çerçevesinin ötesinde küme teorik aksiyomlarına bağlıdır. Örneğin, Süreklilik Hipotezi geçerliyse, o zaman her sayılabilir modelin doymuş (kendi kardinalitesinde) bir ultra gücü vardır. Benzer şekilde, Genelleştirilmiş Süreklilik Hipotezi geçerliyse, her modelin doymuş bir temel uzantısı vardır. Bu sonuçların hiçbiri tek başına ZFC'de kanıtlanamaz. Son olarak, model teorisinden kaynaklanan bazı soruların (sonsuz mantıklar için kompaktlık gibi) büyük ana aksiyomlara eşdeğer olduğu gösterilmiştir.

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

Kanonik ders kitapları

• Chang, Chen Chung ; Keisler, H. Jerome (1990) [1973]. Model Teorisi . Mantık Çalışmaları ve Matematiğin Temelleri (3. baskı). Elsevier. ISBN'si 978-0-444-88054-3.
• Hodges, Wilfrid (1997). Daha kısa bir model teorisi . Cambridge: Cambridge Üniversitesi Yayınları . ISBN'si 978-0-521-58713-6.
• Kopperman, R. (1972). Model Teorisi ve Uygulamaları . Boston: Allyn ve Bacon .
• Marker, David (2002). Model Teorisi: Bir Giriş . Matematik Yüksek Lisans Metinleri 217. Springer. ISBN'si 0-387-98760-6.

Diğer ders kitapları

• Bell, John L.; Slomson, Alan B. (2006) [1969]. Modeller ve Ultraürünler: Bir Giriş (1974 baskısının yeniden basımı). Dover Yayınları . ISBN'si 0-486-44979-3.
• Ebbinghaus, Heinz-Dieter; Flum, Jörg; Thomas, Wolfgang (1994). Matematiksel Mantık . Springer . ISBN'si 0-387-94258-0.
• Hinman, Peter G. (2005). Matematiksel Mantığın Temelleri . AK Peters . ISBN'si 1-56881-262-0.
• Hodges, Wilfrid (1993). Model teorisi . Cambridge Üniversitesi Yayınları . ISBN'si 0-521-30442-3.
• Manzano, Maria (1999). Model teorisi . Oxford Üniversitesi Yayınları . ISBN'si 0-19-853851-0.
• Poizat, Bruno (2000). Model Teorisinde Bir Ders . Springer. ISBN'si 0-387-98655-3.
• Rautenberg, Wolfgang (2010). Matematiksel Mantığa Kısa Bir Giriş (3. baskı). New York : Springer Bilim+İş Medyası . doi : 10.1007/978-1-4419-1221-3 . ISBN'si 978-1-4419-1220-6.
• Rothmaler, Philipp (2000). Model Teorisine Giriş (yeni baskı). Taylor ve Francis . ISBN'si 90-5699-313-5.
• Çadır, Katrin ; Ziegler, Martin (2012). Model Teorisinde Bir Ders . Cambridge Üniversitesi Yayınları . ISBN'si 9780521763240.
• Kirby, Jonathan (2019). Model Teorisine Davet . Cambridge Üniversitesi Yayınları . ISBN'si 978-1-107-16388-1.

Ücretsiz çevrimiçi metinler

• Chatzidakis, Zoe (2001). Model Teorisine Giriş (PDF) . s. 26 sayfa.
• Pillay, Anand (2002). Ders Notları – Model Teorisi (PDF) . s. 61 sayfa.
• "Model teorisi" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
• Hodges, Wilfrid , Model teorisi . Stanford Felsefe Ansiklopedisi, E. Zalta (ed.).
• Hodges, Wilfrid , Birinci Dereceden Model teorisi . Stanford Felsefe Ansiklopedisi, E. Zalta (ed.).
• Simmons, Harold (2004), Eski moda model teorisine bir giriş . Lisansüstü öğrenciler için bir giriş kursunun notları (egzersizlerle birlikte).
• J. Barwise ve S. Feferman (editörler), Model- Teoretic Logics , Perspectives in Mathematical Logic, Cilt 8, New York: Springer-Verlag, 1985.