Resmi sistem - Formal system

Bir resmi sistem bir bir arka yapısı kuralları grubuna göre aksiyomlarından teoremi çıkarım için de kullanılır. Aksiyomlardan teoremlerin çıkarımını yapmak için kullanılan bu kurallar formel sistemin mantıksal hesabıdır . Biçimsel bir sistem, esasen bir " aksiyomatik sistem "dir.

1921'de David Hilbert , matematikteki bilginin temeli olarak böyle bir sistemi kullanmayı önerdi . Resmi bir sistem, iyi tanımlanmış bir soyut düşünce sistemini temsil edebilir .

Terimi biçimciliği bazen için kaba bir eşanlamlıdır formel sistemin , ama aynı zamanda belirli bir stil atıfta gösterimde örneğin,, Paul Dirac 'ın Bra-ket gösterimi .

Arka plan

Her bir resmi sistem ilkel kullanan semboller (topluca bir formu alfabe sonlu bir yapı için) resmi dili kümesinden aksiyomlardan çıkarımsal yoluyla oluşum kurallar .

Bu nedenle sistem, ilkel sembollerin sonlu kombinasyonları aracılığıyla oluşturulan geçerli formüllerden oluşur - aksiyomlardan belirtilen kurallara uygun olarak oluşturulan kombinasyonlar.

Daha resmi olarak, bu aşağıdaki gibi ifade edilebilir:

  1. Alfabe olarak bilinen, formülleri birleştiren, böylece bir formül alfabeden alınan sonlu bir semboller dizisi olacak şekilde sonlu bir semboller kümesi.
  2. Daha basit formüllerden formüller oluşturmak için kurallardan oluşan bir dilbilgisi . Biçimsel dilbilgisi kuralları kullanılarak oluşturulabiliyorsa , bir formülün iyi biçimli olduğu söylenir . Bir formülün iyi biçimlendirilmiş olup olmadığına karar vermek için genellikle bir karar prosedürünün olması gerekir.
  3. İyi biçimlendirilmiş formüllerden oluşan bir dizi aksiyom veya aksiyom şeması .
  4. Bir dizi çıkarım kuralı . Aksiyomlardan çıkarsanabilen iyi biçimlendirilmiş bir formül, biçimsel sistemin bir teoremi olarak bilinir.

özyinelemeli

Aksiyomlar kümesi ve çıkarım kuralları kümesi sırasıyla karar verilebilir kümeler veya yarı karar verilebilir kümelerse , biçimsel bir sistemin özyinelemeli (yani etkin) veya özyinelemeli olarak sayılabilir olduğu söylenir .

Çıkarım ve gereklilik

Vasiyetiniz onun mantıksal temeli sistemin soyut bir modelde bazı temel olabilir diğerlerinden resmi bir sistem ayıran şeydir. Çoğu zaman biçimsel sistem, model teorisi gibi modern matematikteki kullanımla tutarlı olan daha büyük bir teori veya alan (örn. Öklid geometrisi ) için temel olacak ve hatta onunla tanımlanacaktır .

Resmi dil

Bir resmi dil resmi bir sistem tarafından tanımlanan bir dildir. Dilbilimdeki diller gibi , biçimsel dillerin de genellikle iki yönü vardır:

  • sözdizimi bir dilin dil neye benzediği (daha resmi: dilde geçerli sözleri olan olası ifadelerin kümesi) okudu biçimsel dil teorisine
  • semantik bir dilin ne (, çeşitli şekillerde resmileştirdi söz konusu dilin tipine göre olan) dili ortalamanın sözler vardır

Gelen bilgisayar bilimleri ve dilbilim genellikle sadece resmi dilin sözdizimi kavramı aracılığıyla kabul edilir biçimsel dilbilgisi . Bir: Resmi bir gramer resmi dilin sözdizimi kesin bir açıklaması setinin ait dizeleri . Biçimsel dilbilgisinin iki ana kategorisi, bir dildeki dizelerin nasıl oluşturulabileceğine ilişkin kurallar kümesi olan üretici dilbilgisi ve bir dizenin nasıl oluşturulabileceğine ilişkin kurallar kümesi olan analitik dilbilgisi (veya indirgemeci dilbilgisi) kategorisidir. dilin bir üyesi olup olmadığını belirlemek için analiz edilir. Kısacası, analitik bir dilbilgisi, dizilerin kümede ne zaman üye olduğunu nasıl tanıyacağını açıklarken , üretken bir dilbilgisi , kümede yalnızca bu dizelerin nasıl yazılacağını açıklar .

In matematik , resmi bir dil genellikle resmi bir dilbilgisi tarafından değil İngilizce gibi, (a) doğal anlatım tarif edilmez. Mantıksal sistemler hem tümdengelimli bir sistem hem de doğal dil tarafından tanımlanır. Tümdengelim sistemleri sırayla yalnızca doğal dil tarafından tanımlanır (aşağıya bakın).

tümdengelim sistemi

Bir tümdengelen sistem , aynı zamanda, bir adlandırılan tümdengelen düzenek veya bir mantık oluşur aksiyomlardan (veya belit şema ) ve çıkarım kurallarına için kullanılabilir derived teoremi sistemi.

Bu tür tümdengelim sistemleri , sistemde ifade edilen formüllerdeki tümdengelim özelliklerini korur . Genellikle ilgilendiğimiz kalite , yalanın aksine gerçektir . Ancak, bunun yerine gerekçelendirme veya inanç gibi diğer modaliteler korunabilir.

Tümdengelim bütünlüğünü sürdürmek için, bir tümdengelim aygıtı , dilin herhangi bir amaçlanan yorumuna atıfta bulunmaksızın tanımlanabilir olmalıdır . Amaç, bir türetmenin her satırının, kendisinden önceki satırların yalnızca sözdizimsel bir sonucu olmasını sağlamaktır . Sistemin tümdengelimli doğasına karışan herhangi bir dil yorumu unsuru olmamalıdır .

Tümdengelim sistemine bir örnek, birinci dereceden yüklem mantığıdır .

mantıksal sistem

Bir mantıksal sistem ya da dil (resmi gramer ile tarif edildiği, yukarıda ele alınan "resmi dili" tür ile karıştırılmamalıdır), bir tümdengelen sistemi (en yaygın olarak yukarıda bölümü olan birinci derece yüklem mantığı olmayan (ek) ile birlikte mantıksal) aksiyomlar ve anlambilim . Göre model teorik yorumlanması , mantıksal bir sistemin semantik iyi meydana gelen formül Belirli bir yapı ile yerine olup olmadığını açıklar. Biçimsel sistemin tüm aksiyomlarını karşılayan bir yapı, mantıksal sistemin bir modeli olarak bilinir. Mantıksal bir sistemdir ses aksiyomlarından anlaşılabilir her bir-meydana gelen formül mantıksal sistem her model tarafından yerine getirildiği takdirde. Tersine, mantıksal sistemin her modeli tarafından sağlanan iyi biçimlendirilmiş her bir formül aksiyomlardan çıkarılabiliyorsa , bir mantık sistemi tamamlanmış demektir.

Mantıksal bir sistem örneği, Peano aritmetiğidir .

Tarih

Erken mantık sistemleri, Hint Pāṇini mantığını, Aristoteles'in kıyas mantığını, Stoacılığın önerme mantığını ve Gongsun Long'un Çin mantığını (c. 325-250 BCE) içerir. Daha yakın zamanlarda, katkıda bulunanlar arasında George Boole , Augustus De Morgan ve Gottlob Frege bulunmaktadır . Matematiksel mantık 19. yüzyıl Avrupa'sında geliştirildi .

formalizm

Hilbert'in programı

David Hilbert , sonunda Gödel'in eksiklik teoremleri tarafından yumuşatılan biçimci bir hareketi başlattı .

QED manifestosu

QED manifestosu, bilinen matematiğin resmileştirilmesine yönelik sonraki, henüz başarısız bir çabayı temsil ediyordu.

Örnekler

Resmi sistem örnekleri şunları içerir:

Varyantlar

Aşağıdaki sistemler resmi sistemlerin varyasyonlarıdır.

Kanıt sistemi

Resmi ispatlar, iyi biçimlendirilmiş formüllerin (veya kısaca wff) dizileridir. Bir wff'nin bir ispatın parçası olarak nitelendirilmesi için, bu bir aksiyom olabilir veya ispat dizisindeki önceki wff'lere bir çıkarım kuralı uygulamasının ürünü olabilir. Dizideki son wff bir teorem olarak tanınır .

Matematiğin tek işinin formal ispatlar üretmek olduğu görüşüne genellikle formalizm denir . David Hilbert, formel sistemleri tartışmak için bir disiplin olarak metamatematiği kurdu . Biri kullanır resmi bir sistemi hakkında konuşmak için herhangi bir dil bir denir üst dildir . Üstdil doğal bir dil olabilir veya kendisi kısmen biçimselleştirilebilir, ancak genellikle daha sonra nesne dili olarak adlandırılan incelenen biçimsel sistemin biçimsel dil bileşeninden daha az tamamen biçimselleştirilir . söz konusu tartışma.

Biçimsel bir sistem verildiğinde, biçimsel sistem içinde kanıtlanabilecek teoremler kümesi tanımlanabilir. Bu küme, kanıtı olan tüm wff'lerden oluşur. Böylece tüm aksiyomlar teorem olarak kabul edilir. wffs için dilbilgisinden farklı olarak, belirli bir wff'nin bir teorem olup olmadığına karar vermek için bir karar prosedürü olacağının garantisi yoktur . Az önce tanımlanan teorem kavramı, karışıklığı önlemek için genellikle metateoremler olarak adlandırılan biçimsel sistem hakkındaki teoremlerle karıştırılmamalıdır .

Ayrıca bakınız

Referanslar

daha fazla okuma

Dış bağlantılar