Temel eşdeğerlik - Elementary equivalence

Gelen bir model teori , bir dalı matematiksel mantık , iki yapı M ve K aynı imza σ denir Elemanter eşdeğer aynı tatmin eğer birinci dereceden σ -sentences .

Eğer N bir olan altyapı ait M , sık sık daha güçlü bir koşul gerekiyor. Bu durumda N bir denir ilköğretim altyapı ait M ise her birinci dereceden σ -Formül φ ( a ₁ , ...,  bir _n ) parametrelerle bir ₁ , ...,  bir _n dan N doğrudur N ve yalnızca eğer M'de doğru  . Eğer , N olan bir temel alt olan M , daha sonra E bir adlandırılır temel uzantısı arasında  N . Bir gömme h :  N  →  M bir adlandırılır temel gömme arasında N içine M ise H ( K ) bir temel alt olan  M .

Bir alt yapı , N ve M ve geçtiği takdirde ise temel olan Tarski-Vaught testi , her birinci dereceden formül: cp ( x ,  b _{, 1} , ...,  B _{, n} parametreleri ile) N sahip bir çözelti, M de bir çözüm vardır içerisinde  N değerlendirildiğinde  M . Ehrenfeucht-Fraïssé oyunlarıyla iki yapının temelde eşdeğer olduğu kanıtlanabilir .

Temel olarak eşdeğer yapılar

İki yapı M ve K aynı imza  σ olan Elemanter eşdeğer üzerindeki her birinci dereceden cümle halinde (serbest değişken olmayan formülü)  σ de geçerlidir M içeri doğru olmasıdır ve eğer N ise, yani E ve K aynı sahip tamamlaması birinci dereceden teori. Eğer M ve N elementarily eşdeğerdir, tek yazar M  ≡  N .

Birinci dereceden bir teori , ancak ve ancak modellerinden ikisi temelde eşdeğer ise tamamlanmıştır.

Örneğin, bir ikili ilişki sembolü '<' olan dili düşünün. Model R ait gerçek sayılar olağan düzeniyle ve model Q ait rasyonel sayılar ikisi de sınırsız bir Yoğun olarak '<' yorumlamak beri olağan emriyle, elementarily eşdeğerdir sipariş doğrusal . Bu, temel denkliği sağlamak için yeterlidir, çünkü Łoś – Vaught testi ile gösterilebileceği gibi, sınırsız yoğun doğrusal sıralamalar teorisi tamamlanmıştır .

Daha genel olarak, sonsuz modelli herhangi bir birinci dereceden teori, Löwenheim-Skolem teoremi ile elde edilebilen izomorfik olmayan, temel olarak eşdeğer modellere sahiptir . Bu nedenle, örneğin, sadece 0, 1, 2 vb . Sayılardan başka nesneler içeren ve yine de temel olarak standart modele eşdeğer olan standart olmayan Peano aritmetiği modelleri vardır.

Temel altyapılar ve temel uzantılar

K bir bir ilk alt bölgesinin M ise K ve M yapıları aynı imza   σ bu şekilde, tüm birinci sipariş için σ -formulas φ ( x ₁ , ...,  x _{, n} ) serbest değişkenler X ₁ , ...,  x _{, n} , ve tüm elemanlar bir ₁ , ...,  bir _n ve  n , cp ( bir ₁ , ...,  bir _n ) tutan , n ve sadece tutan eğer M :

N φ ( bir ₁ ,…,  bir _n ) ancak M φ ( bir ₁ ,…,  bir _n ). ${\ displaystyle \ modelleri}$ ${\ displaystyle \ modelleri}$

İzler , N bir alt olan M .

Eğer K bir alt olan M , daha sonra her iki N ve M imzadaki yapılar olarak yorumlanabilir σ _N oluşan σ her eleman için yeni bir sabit sembolü ile birlikte  , N . O halde N , M'nin temel bir altyapısıdır, ancak ve ancak N , M'nin bir alt yapısı ise ve N ve M , σ _N- yapıları ile temel olarak eşdeğerdir .

Eğer N bir temel altyapı olan M , tek yazar N M ve diyor M bir olan ilköğretim uzatma ait N : M N . ${\ displaystyle \ preceq}$ ${\ displaystyle \ succeq}$

Aşağıya doğru Löwenheim-Skolem teoremi , herhangi bir sonsuz birinci dereceden yapı için en fazla sayılabilir imzada sayılabilir bir temel altyapı verir; yukarı doğru Löwenheim-Skolem teoremi, keyfi olarak büyük kardinalitenin herhangi bir sonsuz birinci dereceden yapısının temel uzantılarını verir.

Tarski-Vaught testi

Tarski-Vaught testi (veya Tarski-Vaught kriteri ) bir alt yapı için gerekli ve yeterli koşuldur N bir yapı M bir temel alt olması. Büyük bir yapının temel bir altyapısını inşa etmek için faydalı olabilir.

Let M imza bir yapı olabilir σ ve N bir alt M . Daha sonra , N olan bir temel alt olup M , ancak ve ancak, her birinci dereceden bir formül için ise cp ( x ,  y ₁ , ...,  Y _{, n} ) üzerinden σ ve tüm elemanların b ₁ , ...,  b _{, n} den N , eğer M x φ ( x ,  b ₁ , ...,  B _{, n} ), sonra bir eleman olduğu bir de n şekilde M φ ( a ,  b _{, 1} , ...,  B _{, n} ). ${\ displaystyle \ modelleri}$ ${\ displaystyle \ var}$  ${\ displaystyle \ modelleri}$

Temel düğünler

Bir N yapısının aynı σ işaretine sahip bir M yapısına temel bir gömülmesi , her birinci dereceden σ - formülü için φ ( x ₁ ,…,  x _n ) ve tüm a ₁ öğeleri için bir h :  N  →  M haritasıdır , …,  Bir _n ,  N ,

N φ ( bir ₁ ,…,  bir _n ) ancak ve ancak M φ ( h ( bir ₁ ),…,  h ( bir _n )). ${\ displaystyle \ modelleri}$ ${\ displaystyle \ modelleri}$

Her temel gömme, güçlü bir homomorfizmdir ve görüntüsü, temel bir altyapıdır.

Temel gömmeler, model teorisindeki en önemli haritalardır. Gelen grubu teori ,, etki alanı olan elementer kalıplamaların V (küme teorisi evrenin) teorisinde önemli bir rol oynamaktadır büyük kardinal (bakınız ayrıca kritik nokta ).

Referanslar

• Chang, Chen Chung ; Keisler, H. Jerome (1990) [1973], Model Teorisi , Mantıkta Çalışmalar ve Matematiğin Temelleri (3. baskı), Elsevier, ISBN   978-0-444-88054-3 .
• Hodges, Wilfrid (1997), A short model teorisi , Cambridge: Cambridge University Press , ISBN   978-0-521-58713-6 .
• Monk, J. Donald (1976), Mathematical Logic , Graduate Texts in Mathematics, New York • Heidelberg • Berlin: Springer Verlag, ISBN   0-387-90170-1