Peano aksiyomları - Peano axioms

Gelen matematiksel mantık , sayıların aksiyomatik olarak da bilinen, Dedekind-Peano aksiyomları veya Peano önkabullerinde vardır aksiyomlar için doğal sayılarla 19. yüzyıl tarafından sunulan İtalyan matematikçi Giuseppe Peano . Bu aksiyomlar bir dizi neredeyse değişmeden kullanıldı metamathematical olsun temel sorulara araştırmayı da içeren araştırmaların, sayılar teorisi olan tutarlı ve eksiksiz .

Aritmetiği resmileştirme ihtiyacı , 1860'larda aritmetikteki birçok gerçeğin ardıl işlem ve tümevarımla ilgili daha temel gerçeklerden türetilebileceğini gösteren Hermann Grassmann'ın çalışmasına kadar pek iyi anlaşılmamıştı . 1881 yılında, Charles Sanders Peirce bir sağlanan aksiyomatikleştirilmesini doğal sayı aritmetik. 1888'de Richard Dedekind , doğal sayılar aritmetiğinin başka bir aksiyomizasyonunu önerdi ve 1889'da Peano, yeni bir yöntemle sunulan aritmetiğin ilkeleri ( Latince :Aritmetik ilkeleri, nova methodo exposita ).

Dokuz Peano aksiyomu, üç tür ifade içerir. İlk aksiyom, doğal sayılar kümesinin en az bir üyesinin varlığını iddia eder. Sonraki dördü eşitlikle ilgili genel ifadelerdir ; modern tedavilerde bunlar genellikle Peano aksiyomlarının bir parçası olarak değil, "temel mantığın" aksiyomları olarak alınır. Sonraki üç aksiyom , ardıl işlemin temel özelliklerini ifade eden doğal sayılar hakkında birinci dereceden ifadelerdir. Dokuzuncu, son aksiyom, doğal sayılar üzerinde matematiksel tümevarım ilkesinin ikinci dereceden bir ifadesidir. Peano aritmetiği adı verilen daha zayıf bir birinci dereceden sistem , toplama ve çarpma işlemi sembollerini açıkça ekleyerek ve ikinci dereceden tümevarım aksiyomunu birinci dereceden bir aksiyom şemasıyla değiştirerek elde edilir .

formülasyon

Peano aksiyomlarını formüle ettiğinde, matematiksel mantığın dili emekleme dönemindeydi. Aksiyomları sunmak için yarattığı mantıksal notasyon sistemi, küme üyeliği (Peano'nun ε'sinden gelen ∈) ve ima (⊃, Peano'nun ters ' C'.) Peano, matematikte henüz yaygın olmayan matematiksel ve mantıksal semboller arasında açık bir ayrım yaptı; böyle bir ayrım ilk olarak Gottlob Frege tarafından 1879'da yayınlanan Begriffsschrift'te tanıtılmıştı . Peano, Frege'nin çalışmasından habersizdi ve mantıksal aygıtını Boole ve Schröder'in çalışmalarına dayanarak bağımsız olarak yeniden yarattı .

Sayıların aksiyomatik aritmetik özelliklerini tanımlamak doğal sayılar genellikle olarak temsil grubu N ya da mantıksal olmayan semboller sabit bir sembolü 0 ve tekli işlev simgesi oluşur aksiyomlarından için S . ${\displaystyle \mathbb {N} .}$

İlk aksiyom, 0 sabitinin doğal bir sayı olduğunu belirtir:

Sonraki dört aksiyom eşitlik ilişkisini tanımlar . Eşitlik ile birinci dereceden mantıkta mantıksal olarak geçerli olduklarından, modern tedavilerde "Peano aksiyomlarının" bir parçası olarak kabul edilmezler.

Kalan aksiyomlar, doğal sayıların aritmetik özelliklerini tanımlar. Doğalların, tek değerli bir " ardıl " işlevi S altında kapalı olduğu varsayılır .

Peano'nun orijinal aksiyom formülasyonu, "ilk" doğal sayı olarak 0 yerine 1 kullandı. Bununla birlikte, 0, aritmetikte toplamsal özdeşlik olduğundan, Peano aksiyomlarının çoğu modern formülasyonu 0'dan başlar.

En yakından başlayarak hafif domino zinciri N'yi temsil edebilir , ancak 1-8 aksiyomları da tüm açık ve koyu dominoların kümesi tarafından karşılanır. 9. aksiyom ( tümevarım ), N'yi hafif parçalar zinciriyle ("çöp yok") sınırlar, çünkü en yakını devrildiğinde sadece hafif dominolar düşer.

1, 6, 7, 8 aksiyomları , doğal sayıların sezgisel kavramının tekli bir temsilini tanımlar : 1 sayısı S (0), 2 S ( S (0)) vb. olarak tanımlanabilir . Ancak, Bu aksiyomlar tarafından tanımlanan doğal sayılar, 1, 6, 7, 8 aksiyomları ardıl fonksiyonun 0'dan farklı tüm doğal sayıları ürettiği anlamına gelmez. diğer doğal sayı

Her doğal sayının ardılları yeterince sık sıfıra uygulayarak elde edilebileceğine dair sezgisel fikir , bazen tümevarım aksiyomu olarak adlandırılan ek bir aksiyom gerektirir .

Tümevarım aksiyomu bazen aşağıdaki biçimde ifade edilir:

Peano'nun orijinal formülasyonunda, tümevarım aksiyomu ikinci dereceden bir aksiyomdur . Bu ikinci dereceden prensibi daha zayıf bir birinci dereceden tümevarım şemasıyla değiştirmek artık yaygındır . Aşağıdaki birinci dereceden aritmetik teorisi bölümünde tartışıldığı gibi, ikinci dereceden ve birinci dereceden formülasyonlar arasında önemli farklılıklar vardır .

Aritmetik

Peano aksiyomları, toplama ve çarpma işlemleri ve N üzerinde olağan toplam (doğrusal) sıralama ile genişletilebilir . İlgili işlevler ve ilişkiler küme teorisinde veya ikinci dereceden mantıkta oluşturulur ve Peano aksiyomları kullanılarak benzersiz oldukları gösterilebilir.

Ek

Toplama , iki doğal sayıyı ( N'nin iki elemanı ) diğerine eşleyen bir fonksiyondur . Özyinelemeli olarak şu şekilde tanımlanır :

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}a+0&=a,&{\textrm {(1)}}\\a+S(b)&=S(a+b).&{\textrm {(2) }}\end{hizalanmış}}}$

Örneğin:

${\displaystyle {\begin{aligned}a+1&=a+S(0)&{\mbox{tanımı gereği}}\\&=S(a+0)&{\mbox{kullanarak (2)}}\ \&=S(a),&{\mbox{kullanarak (1)}}\\\\a+2&=a+S(1)&{\mbox{tanımı gereği}}\\&=S(a+ 1)&{\mbox{kullanarak}}}\\&=S(S(a))&{\mbox{kullanarak}}a+1=S(a)\\\\a+3&=a+ S(2)&{\mbox{tanımı gereği}}\\&=S(a+2)&{\mbox{kullanarak (2)}}\\&=S(S(S(a)))&{ \mbox{kullanarak}}a+2=S(S(a))\\{\text{vb.}}&\\\end{hizalı}}}$

Yapı ( N +) a, değişmeli monoid kimlik elemanı 0 ile ( N +) , aynı zamanda a, cancellative magma ve böylece yerleştirilebilir a grubu . Gömme en küçük grup N olduğu tamsayılar .

Çarpma işlemi

Benzer şekilde çarpma , iki doğal sayıyı diğerine eşleyen bir işlevdir. Ek verildiğinde, özyinelemeli olarak şu şekilde tanımlanır:

${\displaystyle {\begin{hizalı}a\cdot 0&=0,\\a\cdot S(b)&=a+(a\cdot b).\end{hizalı}}}$

(ya da ondalık gösterimin tanıdık dilinde "1" ) çarpımsal doğru özdeşlik olduğunu görmek kolaydır : ${\görüntüleme stili S(0)}$

${\displaystyle a\cdot S(0)=a+(a\cdot 0)=a+0=a}$

Bunun aynı zamanda çarpımsal sol özdeşlik olduğunu göstermek , çarpmanın tanımlanma şekli nedeniyle tümevarım aksiyomunu gerektirir: ${\görüntüleme stili S(0)}$

• ${\görüntüleme stili S(0)}$0'ın sol kimliğidir: .${\displaystyle S(0)\cdot 0=0}$
• Eğer sol kimlik (olduğunu ), sonra sol kimlik de : .${\görüntüleme stili S(0)}$${\görüntüleme stili bir}$${\displaystyle S(0)\cdot a=a}$${\görüntüleme stili S(0)}$${\görüntüleme stili S(a)}$${\displaystyle S(0)\cdot S(a)=S(0)+S(0)\cdot a=S(0)+a=a+S(0)=S(a+0)=S( a)}$

Bu nedenle, tüm doğal sayıların çarpımsal sol özdeşliği tümevarım aksiyomu ile olur. Ayrıca, çarpmanın değişmeli olduğu ve toplama üzerine dağıldığı gösterilebilir : ${\görüntüleme stili S(0)}$

${\displaystyle a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)}$.

Böylece, değişmeli bir yarı halkadır . ${\displaystyle (\mathbb {N} ,+,0,\cdot ,S(0))}$

eşitsizlikler

0'ın bir doğal sayı olduğu varsayılarak, doğal sayılardaki olağan toplam sıra ilişkisi ≤ aşağıdaki gibi tanımlanabilir:

Tüm a , b ∈ N , a ≤ b için ancak ve ancak a + c = b olacak şekilde bir c ∈ N varsa .

Bu bağıntı toplama ve çarpma altında kararlıdır: için , eğer a ≤ b ise: ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {N} }$

• a + c ≤ b + c , ve
• a · c ≤ b · c .

Bu durumda, yapı ( N , + ·, 1, 0, ≤) bir olduğu semiring sıralı ; 0 ile 1 arasında bir doğal sayı olmadığından ayrık sıralı bir semiring'dir.

Tümevarım aksiyomu bazen, "≤" sıra ilişkisinden yararlanarak daha güçlü bir hipotez kullanan aşağıdaki biçimde ifade edilir:

Herhangi bir yüklem için φ , eğer

• φ (0) doğrudur ve
• her n , k ∈ N için , k ≤ n , φ ( k )'nin doğru olduğunu ima ediyorsa , o zaman φ ( S ( n )) doğrudur,

daha sonra, her için n ∈ N , φ ( n ) için geçerlidir.

Tümevarım aksiyomunun güçlü tümevarım adı verilen bu biçimi , standart formülasyonun bir sonucudur, ancak genellikle ≤ mertebesi hakkında akıl yürütme için daha uygundur. Örneğin, olağandır olduğunu göstermek için iyi sıralı -her boş olmayan bir alt kümesi, bir N bir olan en az elemanı aşağıdaki gibi -on kutu sebep. Boş olmayan bir X ⊆ N verilsin ve X'in en küçük elemanı olmadığını varsayalım .

• 0, N'nin en küçük öğesi olduğundan, 0 ∉ X olmalıdır .
• Herhangi bir n ∈ N için, her k ≤ n , k ∉ X için varsayalım . O zaman S ( n ) ∉ X , aksi takdirde X'in en küçük elemanı olurdu .

Böylece, güçlü tümevarım ilkesine göre, her n ∈ N , n ∉ X için . Bu durumda, X, ∩ N = ∅ , bu aykırı olduğuna X bir boş olmayan bir alt kümesi olma N . Böylece X en küçük elemana sahiptir.

aritmetiğin birinci dereceden teorisi

Dokuzuncu aksiyom (tümevarım aksiyomu) dışındaki tüm Peano aksiyomları, birinci dereceden mantıktaki ifadelerdir . Toplama ve çarpmanın aritmetik işlemleri ve mertebe ilişkisi de birinci mertebeden aksiyomlar kullanılarak tanımlanabilir. İndüksiyon aksiyomu olan ikinci dereceden o zamandan beri, rakamlarla önermeler (doğal sayılar yerine doğal sayılar eşit, kümeler) üzerinden, ancak birinci dereceden dönüştürülebilir belit şema indüksiyon. Böyle bir şema, Peano aritmetiğinin birinci dereceden dilinde tanımlanabilen yüklem başına bir aksiyom içerir, bu da onu ikinci dereceden aksiyomdan daha zayıf hale getirir. Daha zayıf olmasının nedeni, birinci mertebeden dilde yüklemlerin sayısının sayılabilir, doğal sayılar kümesinin ise sayılamaz olmasıdır. Bu nedenle, birinci dereceden dilde tanımlanamayan kümeler vardır (aslında çoğu kümenin bu özelliği vardır).

Peano aritmetiğinin birinci dereceden aksiyomatizasyonlarının başka bir teknik sınırlaması vardır. İkinci dereceden mantıkta, ardıl işlemden toplama ve çarpma işlemlerini tanımlamak mümkündür , ancak bu, birinci dereceden mantığın daha kısıtlayıcı ayarında yapılamaz. Bu nedenle, toplama ve çarpma işlemleri doğrudan Peano aritmetiğinin imzasına dahil edilir ve üç işlemi birbiriyle ilişkilendiren aksiyomlara dahil edilir.

Robinson aritmetiğinin yedi aksiyomundan altısını içeren aşağıdaki aksiyom listesi (her zamanki eşitlik aksiyomlarıyla birlikte) bu amaç için yeterlidir:

• ${\displaystyle \forall x\ (0\neq S(x))}$
• ${\görüntüleme stili \tüm x,y\ (S(x)=S(y)\Rightarrow x=y)}$
• ${\görüntüleme stili \tüm x\ (x+0=x)}$
• ${\görüntüleme stili \için tüm x,y\ (x+S(y)=S(x+y))}$
• ${\displaystyle \forall x\ (x\cdot 0=0)}$
• ${\displaystyle \için tüm x,y\ (x\cdot S(y)=x\cdot y+x)}$

Bu sayısal aksiyom listesine ek olarak, Peano aritmetiği, yinelemeli olarak numaralandırılabilir bir aksiyom kümesinden oluşan tümevarım şemasını içerir . Her bir formül için cp ( x , y ₁ , ..., y _k ) Peano aritmetik dilinde, birinci dereceden indüksiyon aksiyomu için cp cümle

${\displaystyle \forall {\bar {y}}((\varphi (0,{\bar {y}})\land \forall x(\varphi (x,{\bar {y}})\Rightarrow \varphi) (S(x),{\bar {y}})))\Rightarrow \forall x\varphi (x,{\bar {y}}))}$

nerede y ₁ ,..., y _k için bir kısaltmadır . Birinci dereceden tümevarım şeması, birinci dereceden tümevarım aksiyomunun her örneğini içerir, yani her formül φ için tümevarım aksiyomunu içerir . ${\görüntüleme stili {\bar {y}}}$

eşdeğer aksiyomizasyonlar

Peano aritmetiğinin birçok farklı, ancak eşdeğer aksiyomatizasyonu vardır. Az önce açıklanan gibi bazı aksiyomatizasyonlar, yalnızca 0 için sembollere ve ardıl, toplama ve çarpma işlemlerine sahip bir imza kullanırken, diğer aksiyomatizasyonlar , ek bir sıra ilişkisi sembolü de dahil olmak üzere sıralı yarı halkaların dilini kullanır . Böyle bir aksiyomizasyon, ayrık sıralı bir semiring'i tanımlayan aşağıdaki aksiyomlarla başlar.

1. ${\görüntüleme stili \için tüm x,y,z\ ((x+y)+z=x+(y+z))}$, yani, toplama birleştiricidir .
2. ${\görüntüleme stili \için tüm x,y\ (x+y=y+x)}$, yani, toplama değişmeli .
3. ${\displaystyle \için tüm x,y,z\ ((x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z))}$, yani çarpma birleştiricidir.
4. ${\görüntüleme stili \için tüm x,y\ (x\cdot y=y\cdot x)}$yani çarpma değişmeli.
5. ${\displaystyle \için tüm x,y,z\ (x\cdot (y+z)=(x\cdot y)+(x\cdot z))}$, yani çarpma toplama üzerinden dağıtır .
6. ${\displaystyle \forall x\ (x+0=x\land x\cdot 0=0)}$, yani sıfır, toplama için bir özdeşlik ve çarpma için bir soğurma elemanıdır (aslında gereksizdir).
7. ${\displaystyle \forall x\ (x\cdot 1=x)}$, yani bir, çarpma için bir özdeşliktir .
8. ${\displaystyle \forall x,y,z\ (x<y\land y<z\Rightarrow x<z)}$, yani '<' operatörü geçişlidir .
9. ${\displaystyle \forall x\ (\neg (x<x))}$, yani, '<' operatörü dönüşsüzdür .
10. ${\displaystyle \için tüm x,y\ (x<y\lor x=y\lor y<x)}$, yani sıralama trikotomiyi karşılar .
11. ${\displaystyle \forall x,y,z\ (x<y\Rightarrow x+z<y+z)}$, yani sıralama aynı öğenin eklenmesiyle korunur.
12. ${\displaystyle \forall x,y,z\ (0<z\land x<y\Rightarrow x\cdot z<y\cdot z)}$, yani sıralama aynı pozitif eleman tarafından çarpma altında korunur.
13. ${\displaystyle \forall x,y\ (x<y\Rightarrow \var z\ (x+z=y))}$, yani herhangi iki farklı eleman verildiğinde, daha büyük olan daha küçük artı başka bir elemandır.
14. ${\displaystyle 0<1\land \forall x\ (x>0\Rightarrow x\geq 1)}$, yani sıfır ve bir ayrıdır ve aralarında eleman yoktur. Başka bir deyişle, 0, 1 ile kapsanır , bu da doğal sayıların ayrık olduğunu gösterir.
15. ${\displaystyle \forall x\ (x\geq 0)}$, yani sıfır minimum elemandır.

Bu aksiyomlarla tanımlanan teori PA ^- olarak bilinir ; PA teorisi , birinci dereceden tümevarım şeması eklenerek elde edilir. PA önemli bir özelliği, ^- bir yapı olmasıdır , bu teoriyi karşılayan (göre sıralı bir başlangıç bölümüne sahip izomorf) . Bu segmentteki elemanlara standart elemanlar, diğer elemanlara standart olmayan elemanlar denir . ${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili \leq }$${\displaystyle \mathbb {N} }$

Modeller

Peano aksiyomlarının bir modeli üçlüdür ( N , 0, S ) , burada N (zorunlu olarak sonsuz) bir kümedir , 0 ∈ N ve S : N → N yukarıdaki aksiyomları karşılar. Dedekind onun 1888 kitabında, içinde kanıtladı Doğa ve Sayıların Anlamı ( Almanca : ? Miydi sind und was sollen Zahlen die , yani “numaralar nedir ve onlar için iyi nelerdir?”) O Peano aksiyomların herhangi iki model ( ikinci dereceden indüksiyon aksiyomu dahil) izomorfiktir . Özellikle, Peano aksiyomlarının ( N _A , 0 _A , S _A ) ve ( N _B , 0 _B , S _B ) iki modeli verildiğinde , f  : N _A → N _B tatmin edici benzersiz bir homomorfizma vardır.

${\displaystyle {\begin{aligned}f(0_{A})&=0_{B}\\f(S_{A}(n))&=S_{B}(f(n))\end{hizalı }}}$

ve bir bijeksiyondur . Bu, ikinci dereceden Peano aksiyomlarının kategorik olduğu anlamına gelir . Bununla birlikte, Peano aksiyomlarının birinci dereceden yeniden formüle edilmesinde durum böyle değildir.

Küme-teorik modeller

Peano aksiyomları, ZF gibi küme teorisinin doğal sayıları ve aksiyomlarının küme teorik yapılarından türetilebilir . John von Neumann'a bağlı olarak, doğalların standart yapısı , boş küme, ∅ olarak 0 tanımından ve aşağıdaki gibi tanımlanan kümelerde operatör s ile başlar:

${\displaystyle s(a)=a\cup \{a\}}$

N doğal sayılar kümesi, boş kümeyi içeren s altında kapalı tüm kümelerin kesişimi olarak tanımlanır . Her doğal sayı, kendisinden küçük doğal sayılar kümesine (küme olarak) eşittir:

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\emptyset \\1&=s(0)=s(\emptyset )=\emptyset \cup \{\emptyset \}=\{\emptyset \}=\{0\ }\\2&=s(1)=s(\{0\})=\{0\}\cup \{\{0\}\}=\{0,\{0\}\}=\{ 0,1\}\\3&=s(2)=s(\{0,1\})=\{0,1\}\cup \{\{0,1\}\}=\{0, 1,\{0,1\}\}=\{0,1,2\}\end{hizalı}}}$

ve bunun gibi. N kümesi 0 ve ardıl işlevi s  : N → N ile birlikte Peano aksiyomlarını karşılar.

Peano aritmetiği, birkaç zayıf küme teorisi sistemiyle eşdeğerdir . Böyle bir sistem, sonsuzluk aksiyomu yerine olumsuzlaması ile değiştirilen ZFC'dir. Bu tür başka bir sistem , boş küme için geçerli olan bir özelliğin ve eki tuttuğu her zaman bir eki tuttuğunu belirten bir aksiyom şemasıyla desteklenen genel küme teorisinden ( yayılmacılık , boş kümenin varlığı ve ekleme aksiyomu ) oluşur. tüm setler için geçerli olmalıdır.

Kategori teorisinde yorumlama

Peano aksiyomları, kategori teorisi kullanılarak da anlaşılabilir . Let Cı bir olmak kategorisi ile uç nesne 1 _C ve kategorisini tanımlar sivri tek bileşenli sistemleri , US ₁ ( C ), aşağıdaki gibi:

• US ₁ ( C )' nin nesneleri üçlüdür ( X , 0 _X , S _X ) burada X , C'nin bir nesnesidir ve 0 _X  : 1 _C → X ve S _X  : X → X , C- morfizmleridir.
• Bir morfizmanın φ  ( X , 0 _X , S _X ) → ( Y , 0 _{, Y} , S _-Y ) a nın C -morphism φ  : X → Y ile φ 0 _x = 0 _{, Y} ve φ S _X = S _{, Y} cp .

Sonra Cı ABD ise Dedekind'in-Peano aksiyomlarını karşılamak için söylenen ₁ ( Cı ) bir başlangıç nesnesi; Bu ilk nesne olarak bilinen bir doğal sayı nesnesinin içinde C . Eğer ( N , 0, S ) , bu ilk amacı, ve bir ( X , 0 _X , S _X ) daha sonra başka bir amacı, benzersiz bir harita olan U  (: N , 0, S ) → ( X , 0 _X , S _X ) öyledir ki

${\displaystyle {\begin{aligned}u(0)&=0_{X},\\u(Sx)&=S_{X}(ux).\end{hizalı}}}$

Bu tam olarak 0 _X ve S _X'in özyinelemeli tanımıdır .

Standart olmayan modeller

Normal doğal sayılar PA aksiyomlarını karşılasa da, başka modeller de vardır (" standart olmayan modeller " olarak adlandırılır ); doluluk teoremi standart olmayan unsurların varlığı Birinci derece mantık içinde ardı edilemez anlamına gelir. Yukarı doğru Löwenheim-Skolem teoremi , tüm sonsuz kardinalitelerin standart olmayan PA modelleri olduğunu gösterir. Bu, izomorfizme kadar sadece bir modeli olan orijinal (ikinci dereceden) Peano aksiyomları için geçerli değildir. Bu, birinci dereceden PA sisteminin ikinci dereceden Peano aksiyomlarından daha zayıf olduğunu gösterir.

Dedekind'in PA için kategoriklik kanıtı, ZFC gibi birinci dereceden bir küme teorisi içinde bir kanıt olarak yorumlandığında, küme teorisinin her modelinin, izomorfizme kadar benzersiz bir Peano aksiyom modeline sahip olduğunu gösterir. bu küme teorisi modeli içinde yer alan diğer PA modelleri. Standart küme teorisi modelinde, bu en küçük PA modeli, PA'nın standart modelidir; bununla birlikte, standart olmayan bir küme teorisi modelinde, standart olmayan bir PA modeli olabilir. Bu durum, küme teorisinin herhangi bir birinci mertebeden formalizasyonu ile önlenemez.

Sayılabilir standart olmayan bir modelin açıkça oluşturulup oluşturulamayacağını sormak doğaldır. 1933'te Skolem böyle standart olmayan bir modelin açık bir yapısını sağladığı için cevap olumludur . Öte yandan, 1959'da kanıtlanan Tennenbaum teoremi , toplama veya çarpma işleminin hesaplanabilir olduğu, sayılabilir standart olmayan bir PA modeli olmadığını göstermektedir . Bu sonuç, sayılabilir bir standart olmayan PA modelinin toplama ve çarpma işlemlerini açıklamada tamamen açık olmanın zor olduğunu göstermektedir. Sayılabilir standart olmayan bir modelin yalnızca bir olası sipariş türü vardır . Letting ω , doğal sayıların sırasını türünü olmak ζ tamsayılar sipariş türü olabilir ve r | rationals sipariş türü olması, PA herhangi sayılabilir standart olmayan modelin sipariş türüdür ω + ζ · η olabilir doğal sayıların bir kopyası ve ardından tam sayıların kopyalarının yoğun bir doğrusal sıralaması olarak görselleştirilir.

taşma

Bir kesim standart olmayan bir modelde M boş olmayan bir alt kümesi Cı ait M böylece Cı aşağı doğru (kapalı x < y ve y ∈ Cı ⇒ x ∈ Cı ) ve Cı- halefi altında kapatılır. Bir uygun kesim uygun bir alt kümesi, bir kesim M . Standart olmayan her model, standart doğal sayılara karşılık gelen de dahil olmak üzere birçok uygun kesime sahiptir. Bununla birlikte, Peano aritmetiğindeki tümevarım şeması, herhangi bir uygun kesimin tanımlanabilir olmasını engeller. İlk olarak Abraham Robinson tarafından kanıtlanan taşma lemması, bu gerçeği resmileştirmektedir.

Tutarlılık

Peano aksiyomları ilk önerildiğinde, Bertrand Russell ve diğerleri, bu aksiyomların "doğal sayı" ile ne demek istediğimizi dolaylı olarak tanımladığı konusunda hemfikirdiler. Henri Poincaré daha temkinliydi ve doğal sayıları yalnızca tutarlı oldukları takdirde tanımladıklarını söyledi ; eğer sadece bu aksiyomlardan yola çıkan ve 0 = 1 gibi bir çelişki türeten bir kanıt varsa, o zaman aksiyomlar tutarsızdır ve hiçbir şeyi tanımlamaz. 1900'de David Hilbert , yirmi üç probleminden ikincisi olarak sadece sonlu yöntemler kullanarak tutarlılıklarını kanıtlama problemini ortaya koydu . 1931'de Kurt Gödel , böyle bir tutarlılık kanıtının Peano aritmetiğinin kendi içinde formüle edilemeyeceğini gösteren ikinci eksiklik teoremini kanıtladı .

Gödel teoreminin Peano aritmetiği için bir sonlu tutarlılık kanıtı olasılığını dışladığı yaygın olarak iddia edilse de, bu tam olarak bir sonlu kanıtla ne kastedildiğine bağlıdır. Gödel'in kendisi, Peano aritmetiğinde biçimselleştirilemeyen sonlu yöntemler kullanarak Peano aritmetiğinin veya daha güçlü sistemlerin sonlu tutarlılık kanıtı verme olasılığına dikkat çekti ve 1958'de Gödel, tip teorisini kullanarak aritmetiğin tutarlılığını kanıtlamak için bir yöntem yayınladı . 1936 yılında, Gerhard Gentzen kullanılarak Peano aksiyomların bir tutarlılık kanıtı verdi ötesi indüksiyonu bir kadar sıralı olarak adlandırılan ε ₀ . Gentzen açıkladı: "Bu makalenin amacı, temel sayılar teorisinin tutarlılığını kanıtlamak veya daha doğrusu, tutarlılık sorununu belirli temel ilkelere indirgemektir". Gentzen'in kanıtı tartışmalı bir şekilde sonludur, çünkü sonlu ötesi sıra ε ₀ sonlu nesneler açısından kodlanabilir (örneğin, tamsayılar üzerinde uygun bir sırayı tanımlayan bir Turing makinesi olarak veya daha soyut olarak , uygun şekilde doğrusal olarak sıralanmış sonlu ağaçlardan oluşan olarak) . Gentzen'in kanıtının Hilbert'in öngördüğü gereksinimleri karşılayıp karşılamadığı belirsizdir: sonlu bir kanıtla tam olarak ne kastedildiğinin genel olarak kabul edilmiş bir tanımı yoktur ve Hilbert'in kendisi hiçbir zaman kesin bir tanım vermemiştir.

Çağdaş matematikçilerin büyük çoğunluğu, Peano'nun aksiyomlarının tutarlı olduğuna inanıyor, ya sezgiye ya da Gentzen'in kanıtı gibi bir tutarlılık kanıtının kabulüne dayanıyor . Bazıları ultrafinitizmi savunan az sayıda filozof ve matematikçi, Peano'nun aksiyomlarını reddeder, çünkü aksiyomları kabul etmek, doğal sayıların sonsuz koleksiyonunu kabul etmek anlamına gelir. Özellikle toplama (ardıl işlevi dahil) ve çarpmanın toplam olduğu varsayılır . İlginçtir ki, PA'ya benzeyen, ancak toplama ve çarpma yerine çıkarma ve bölmeye sahip, toplama ve çarpmanın toplamına karşılık gelen cümleleri kanıtlamaktan kaçınacak şekilde aksiyomlaştırılan, ancak yine de mümkün olan kendi kendini doğrulayan teoriler var. PA'nın tüm gerçek teoremlerini kanıtlamak için ve yine de kendi tutarlılığını kanıtlayan tutarlı bir teoriye genişletilebilir (Hilbert tarzı "0=1" kanıtının yokluğu olarak ifade edilir). ${\görüntüleme stili \Pi _{1}}$

Ayrıca bakınız

• Matematiğin temelleri
• Frege teoremi
• Goodstein teoremi
• neo-mantıkçılık
• Standart olmayan aritmetik modeli
• Paris-Harrington teoremi
• Presburger aritmetiği
• Robinson aritmetiği
• İkinci dereceden aritmetik
• Tipografik Sayı Teorisi

Notlar

Referanslar

alıntılar

Kaynaklar

daha fazla okuma

• Raymond M. Smullyan (19 Eylül 2013). Gödelian Bulmaca Kitabı: Bulmacalar, Paradokslar ve Kanıtlar . Kurye Şirketi. ISBN'si 978-0-486-49705-1.

Dış bağlantılar

• Murzi, Mauro. "Henri Poincare" . İnternet Felsefe Ansiklopedisi . Poincaré'nin Peano aksiyomlarına yönelik eleştirisinin bir tartışmasını içerir.
• Podnieks, Karlis (2015-01-25). "3. Birinci Derece Aritmetik". Matematik Nedir: Gödel Teoremi ve Çevresi . s. 93–121.
• "Peano aksiyomları" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Peano'nun Aksiyomları" . Matematik Dünyası .
• Burris, Stanley N. (2001). "Sayılar nedir ve anlamları nedir?: Dedekind" . Dedekind'in çalışmaları hakkında yorum.

Bu makale , Creative Commons Atıf/Benzer Paylaşım Lisansı altında lisanslanan PlanetMath üzerinde PA'dan alınan materyalleri içermektedir .