Süreklilik hipotezi - Continuum hypothesis

Gelen matematik , sürekli hipotezi (kısaltılmış CH ) olası boyutları hakkında bir hipotez sonsuz kümeler . Belirtir:

Kardinalitesi tamsayılar ile gerçek sayılar arasında kesinlikle olan bir küme yoktur .

In Zermelo-Fraenkel küme teorisinin ile seçim belitinin (ZFC), bu aşağıdaki denkleme eşdeğerdir aleph numaralar : .

Süreklilik hipotezi, 1878'de Georg Cantor tarafından geliştirildi ve onun doğruluğunu veya yanlışlığını belirlemek, Hilbert'in 1900'de sunduğu 23 problemin ilkidir . Bu sorunun cevabı ZFC'den bağımsızdır , böylece süreklilik hipotezi veya olumsuzlaması eklenebilir. ZFC küme teorisinin bir aksiyomu olarak, ortaya çıkan teori, ancak ve ancak ZFC tutarlıysa tutarlıdır. Bu bağımsızlık 1963'te Paul Cohen tarafından kanıtlandı ve 1940'ta Kurt Gödel'in daha önceki çalışmalarını tamamladı .

Hipotezin adı , gerçek sayılar için süreklilik teriminden gelir .

Tarih

Cantor, süreklilik hipotezinin doğru olduğuna inanıyordu ve uzun yıllar bunu kanıtlamak için boşuna uğraştı. 1900 yılında Paris'te Uluslararası Matematikçiler Kongresi'nde sunulan David Hilbert'in önemli açık sorular listesinde ilk oldu . Aksiyomatik küme teorisi o noktada henüz formüle edilmemişti. Kurt Gödel 1940 yılında, süreklilik hipotezinin, yani ara kardinaliteye sahip bir kümenin varlığının, standart küme teorisinde kanıtlanamayacağını kanıtladı. Süreklilik hipotezinin bağımsızlığının ikinci yarısı – yani orta büyüklükte bir kümenin yokluğunun kanıtlanamazlığı – 1963 yılında Paul Cohen tarafından kanıtlandı .

Sonsuz kümelerin kardinalitesi

Aralarında bir bijeksiyon (bire bir yazışma) varsa, iki kümenin aynı kardinaliteye veya kardinal sayıya sahip olduğu söylenir . İki set için Sezgisel olarak, S ve T aynı önem düzeyi araçlara sahip olmak bu unsurları "kapalı çift" mümkün olduğu S unsurları ile T her elemanı, öyle bir şekilde S tam olarak bir elemanı ile eşleştirilmiş olan T ve yardımcısı tersi. Bu nedenle, {muz, elma, armut} kümesi {sarı, kırmızı, yeşil} ile aynı kardinaliteye sahiptir.

Tamsayılar veya rasyonel sayılar kümesi gibi sonsuz kümelerle , iki küme arasında bir önermenin varlığını göstermek daha zor hale gelir. Rasyonel sayılar görünüşte süreklilik hipotezine karşı bir örnek oluşturur: tamsayılar, rasyonellerin uygun bir alt kümesini oluştururlar, bunlar da gerçeklerin uygun bir alt kümesini oluşturur, bu nedenle sezgisel olarak, tam sayılardan daha fazla rasyonel sayılar ve rasyonel sayılardan daha fazla gerçek sayılar vardır. Ancak, bu sezgisel analiz kusurludur; üç kümenin de sonsuz olduğu gerçeğini gerektiği gibi hesaba katmaz . Rasyonel sayıların aslında tamsayılarla birebir örtüşme içinde yerleştirilebileceği ortaya çıktı ve bu nedenle rasyonel sayılar kümesi, tamsayılar kümesiyle aynı boyuttadır ( kardinalite ): ikisi de sayılabilir kümelerdir .

Cantor, tamsayılar kümesinin kardinalitesinin gerçek sayılar kümesinden kesinlikle daha küçük olduğuna dair iki kanıt verdi (bkz. Cantor'un ilk sayılamazlık kanıtı ve Cantor'un köşegen argümanı ). Bununla birlikte, onun kanıtları, tam sayıların kardinalitesinin gerçek sayılardan ne kadar daha az olduğuna dair hiçbir belirti vermez. Cantor, bu soruya olası bir çözüm olarak süreklilik hipotezini önerdi.

Süreklilik hipotezi, gerçek sayılar kümesinin, tamsayılar kümesinin kardinalitesinden daha büyük olan minimum olası kardinaliteye sahip olduğunu belirtir. Olduğunu, her seti, S gerçek sayılar, bunlardan birini bire bir tamsayılar içine eşlenebilir ya da gerçek sayılar birini bire bir içine eşlenebilir S . Gerçek sayılar gibi equinumerous ile POWERSET tamsayılar, ve süreklilik hipotezi belirlenmiş olduğunu söylüyor için .

Seçim aksiyomunu varsayarsak , ' den büyük en küçük bir kardinal sayı vardır ve süreklilik hipotezi sırayla eşitliğe eşittir .

ZFC'den bağımsızlık

Sürekli durum hipotezinin (CH) Zermelo-Fraenkel küme teorisinden (ZF) bağımsızlığı, Kurt Gödel ve Paul Cohen'in ortak çalışmasından kaynaklanmaktadır .

Gödel , seçim aksiyomu (AC) kabul edilse bile (ZFC yaparak) CH'nin ZF'den reddedilemeyeceğini gösterdi . Gödel'in kanıtı, CH ve AC'nin her ikisinin de , yalnızca ZF aksiyomlarını varsayarak, ZF küme teorisinin bir iç modeli olan inşa edilebilir evren L' de yer aldığını gösterir . ZF bir iç modelinin mevcudiyeti ki burada ilave aksiyomlarının ilave belitleridirler göstermektedir sahip tutarlı kendisi tutarlıdır ZF Resim, ZF ile. İkinci koşul, Gödel'in eksiklik teoremleri nedeniyle ZF'nin kendisinde kanıtlanamaz , ancak yaygın olarak doğru olduğuna inanılır ve daha güçlü küme teorilerinde kanıtlanabilir.

Cohen, genel bağımsızlık kanıtını tamamlayarak CH'nin ZFC aksiyomlarından kanıtlanamayacağını gösterdi. Cohen, sonucunu kanıtlamak için küme teorisinde standart bir araç haline gelen zorlama yöntemini geliştirdi . Esasen bu yöntem, CH'nin sahip olduğu bir ZF modeli ile başlar ve CH'nin yeni modelde tutmadığı şekilde orijinalinden daha fazla küme içeren başka bir model oluşturur. Cohen, kanıtı için 1966'da Fields Madalyası ile ödüllendirildi .

Az önce açıklanan bağımsızlık kanıtı, CH'nin ZFC'den bağımsız olduğunu göstermektedir. Daha fazla araştırma, CH'nin ZFC bağlamında bilinen tüm büyük ana aksiyomlardan bağımsız olduğunu göstermiştir . Ayrıca, sürekliliğin kardinalitesinin König teoremi ile tutarlı herhangi bir kardinal olabileceği gösterilmiştir . Cohen'in süreklilik hipotezinin bağımsızlığına ilişkin sonucundan kısa bir süre sonra kanıtlanan Solovay'ın bir sonucu, ZFC'nin herhangi bir modelinde, eğer sayılamayan eş sonlu bir kardinal ise , o zaman . Ancak, König teoremi uyarınca, burada varsaymak tutarlı değil edilir ya ya cofinality ile herhangi kardinal .

Süreklilik hipotezi, analiz , nokta küme topolojisi ve ölçü teorisindeki birçok ifadeyle yakından ilişkilidir . Bağımsızlığının bir sonucu olarak, bu alanlardaki birçok önemli varsayımın da daha sonra bağımsız olduğu gösterilmiştir.

ZFC'den bağımsızlık, ZFC içindeki CH'yi kanıtlamanın veya çürütmenin imkansız olduğu anlamına gelir. Bununla birlikte, Gödel ve Cohen'in olumsuz sonuçları, süreklilik hipotezine olan tüm ilgiyi ortadan kaldırdığı evrensel olarak kabul edilmez. Hilbert'in sorunu aktif bir araştırma konusu olmaya devam ediyor; Mevcut araştırma durumuna genel bir bakış için Woodin ve Peter Koellner'a bakınız .

Süreklilik hipotezi, ZFC'den bağımsız olduğu gösterilen ilk ifade değildi. 1931'de yayınlanan Gödel'in eksiklik teoreminin hemen bir sonucu, ZFC'nin tutarlı olduğunu varsayarak ZFC'nin tutarlılığını ifade eden ZFC'nin tutarlılığını ifade eden (her uygun Gödel numaralandırma şeması için bir tane) resmi bir ifadenin olmasıdır. Süreklilik hipotezi ve tercih edilen aksiyom , ZF küme teorisinden bağımsız olduğu gösterilen ilk matematiksel ifadeler arasındaydı.

Süreklilik hipotezinin lehinde ve aleyhinde argümanlar

Gödel, CH'nin yanlış olduğuna ve CH'nin ZFC ile tutarlı olduğuna dair kanıtının yalnızca Zermelo-Fraenkel aksiyomlarının kümeler evrenini yeterince karakterize etmediğini gösterdiğine inanıyordu . Gödel bir platonistti ve bu nedenle, kanıtlanabilirliklerinden bağımsız olarak ifadelerin doğruluğunu ve yanlışlığını iddia etmekte hiçbir sorunu yoktu. Cohen, bir formalist olmasına rağmen , CH'yi reddetme eğilimindeydi.

Tarihsel olarak, "zengin" ve "büyük" bir kümeler evrenini tercih eden matematikçiler CH'ye karşıyken, "düzgün" ve "kontrol edilebilir" bir evreni tercih edenler CH'yi tercih ettiler. CH'yi ima eden yapılandırılabilirlik aksiyomunun lehine ve aleyhine paralel argümanlar yapıldı . Daha yakın zamanlarda, Matthew Foreman o sivri out sahip ontolojik maksimalizmi aslında çünkü aynı yüz real, modeller var modeller arasında, CH lehine iddia için kullanılabilir "daha" reals setleri CH tatmin şansı daha var.

Başka bir bakış açısı, küme kavramının CH'nin doğru mu yanlış mı olduğunu belirlemek için yeterince spesifik olmadığıdır. Bu bakış açısı, Gödel'in ilk eksiklik teoreminden önce bile, Skolem tarafından 1923 gibi erken bir tarihte geliştirildi . Skolem, şu anda Skolem paradoksu olarak bilinen şeye dayanarak tartıştı ve daha sonra bu aksiyomlar kümelerin ve kardinalitelerin temel özelliklerini oluşturmak için yeterli olduğundan CH'nin ZFC aksiyomlarından bağımsızlığıyla desteklendi. Bu bakış açısına karşı çıkmak için, sezgiyle desteklenen yeni aksiyomları göstermek ve CH'yi şu ya da bu yönde çözmek yeterli olacaktır. Her ne kadar constructibility beliti gidermek CH yapar, genellikle CH genellikle yanlış olarak kabul edilir birden herhangi sezgisel gerçek olarak kabul edilmez.

Süreklilik hipotezi için çıkarımları olan en az iki başka aksiyom önerilmiştir, ancak bu aksiyomlar şu anda matematik camiasında geniş bir kabul görmemiştir. 1986'da Chris Freiling, CH'nin olumsuzlanmasının Freiling'in simetri aksiyomuna eşdeğer olduğunu göstererek CH'ye karşı bir argüman sundu; bu, olasılıklar hakkında belirli sezgilerden tartışılarak elde edilen bir ifadedir . Freiling, bu aksiyomun "sezgisel olarak doğru" olduğuna inanıyor, ancak diğerleri aynı fikirde değil. CH'ye karşı W. Hugh Woodin tarafından geliştirilen zor bir argüman , 2000 yılından bu yana büyük ilgi gördü. Foreman , Woodin'in argümanını tamamen reddetmez, ancak dikkatli olunmasını ister.

Solomon Feferman , CH'nin kesin bir matematik problemi olmadığını savundu. ZF'nin sınırlı niceleyiciler için klasik mantığı kabul eden, ancak sınırsız olanlar için sezgisel mantığı kullanan yarı sezgisel bir alt sistemi kullanan bir "kesinlik" teorisi önerir ve yarı-sezgisel teori kanıtlayabiliyorsa bir önermenin matematiksel olarak "kesin" olduğunu öne sürer . Bu görüşe göre CH'nin kesin olmadığını varsayıyor ve bu nedenle CH'nin bir doğruluk değerine sahip olmadığı düşünülmesi gerektiğini öne sürüyor. Peter Koellner , Feferman'ın makalesine eleştirel bir yorum yazdı.

Joel David Hamkins , küme teorisi için çoklu evren yaklaşımı önerir ve "süreklilik hipotezi, çoklu evrende nasıl davrandığına dair kapsamlı bilgimiz tarafından çoklu evren görüşüne dayandırılır ve sonuç olarak, artık bu şekilde çözülemeyeceğini iddia eder. eskiden umuyordu". İlgili bir damarda, Saharon Shelah " kümeler teorisindeki ilginç problemlerin kararlaştırılabileceğine, sadece ek aksiyomu keşfetmemiz gerektiğine dair saf Platoncu görüşe katılmadığını" yazdı. teoriler, hepsi ZFC'ye uygundur".

Genelleştirilmiş süreklilik hipotezi

Genelleştirilmiş sürekli hipotezi (GCH) bildiren bir sonsuz setinin arasında sonsuz bir setin önem düzeyi yalan eğer S ve bu güç grubu ve S , o zaman ya da aynı önem düzeyi olan S ya da . Olduğunu, herhangi biri için sonsuz kardinal hiçbir kardinal olduğu şekilde . GCH şuna eşittir:

her sıra için (bazen Cantor'un aleph hipotezi olarak adlandırılır ).

Beth numaraları : Bu durum için alternatif bir gösterim sağlar her sıralı için . Süreklilik hipotezi, sıralı için özel bir durumdur . GCH ilk olarak Philip Jourdain tarafından önerildi . GCH'nin erken tarihi için bkz.

CH gibi, GCH de ZFC'den bağımsızdır, ancak Sierpiński , ZF + GCH'nin seçim aksiyomunu (AC) ima ettiğini kanıtlamıştır (ve dolayısıyla determinasyon aksiyomunun ( AD) olumsuzluğunu ), dolayısıyla seçim ve GCH, ZF'de bağımsız değildir; GCH'nin tuttuğu ve AC'nin başarısız olduğu hiçbir ZF modeli yoktur. Bunu kanıtlamak için Sierpiński, GCH'nin her kardinalitenin n bazı aleph sayısından daha küçük olduğunu ve dolayısıyla sıralanabileceğini ima ettiğini gösterdi . Bu, n'nin kendi Hartogs sayısından daha küçük olandan daha küçük olduğunu göstererek yapılır - bu eşitlik kullanır ; tam kanıt için Gillman'a bakınız.

Kurt Gödel , GCH'nin ZF + V=L'nin (her kümenin sıra sayılarına göre oluşturulabilir olduğu aksiyomu) bir sonucu olduğunu ve bu nedenle ZFC ile tutarlı olduğunu gösterdi. GCH'nin CH'yi ima ettiği gibi, Cohen'in CH'nin başarısız olduğu modeli, GCH'nin başarısız olduğu bir modeldir ve bu nedenle GCH, ZFC'den kanıtlanamaz. W. B. Easton, Easton teoremini kanıtlamak için Cohen tarafından geliştirilen zorlama yöntemini kullandı; bu, keyfi olarak büyük kardinallerin tatmin edememesi için ZFC ile tutarlı olduğunu gösteriyor . Çok daha sonra, Foreman ve Woodin (çok büyük kardinallerin tutarlılığını varsayarak) her sonsuz kardinal için geçerli olanın tutarlı olduğunu kanıtladılar . Daha sonra Woodin, for her'nin tutarlılığını göstererek bunu genişletti . Carmi Merimovich her biri için, gösterdi n  ≥ 1, her bir k için, 2 olduğu ZFC ile tutarlıdır κ olup , n k th ardıl. Öte yandan, László Patai, eğer γ bir sıra sayıysa ve her bir sonsuz κ κ α için 2 κ , κ'nin γ'inci ardılıysa, γ'nın sonlu olduğunu kanıtladı.

Herhangi bir A ve B sonsuz kümesi için, A'dan B'ye bir enjeksiyon varsa, o zaman A'nın alt kümelerinden B'nin alt kümelerine bir enjeksiyon vardır. Böylece herhangi bir sonsuz kardinal A ve B için, . A ve B sonlu ise, daha güçlü eşitsizlik geçerlidir. GCH, bu katı, daha güçlü eşitsizliğin, sonlu kardinaller kadar sonsuz kardinaller için de geçerli olduğunu ima eder.

kardinal üs için GCH'nin etkileri

Genelleştirilmiş süreklilik hipotezi, yalnızca temel olarak 2 ile temel üstelleştirmeye doğrudan atıfta bulunsa da , bundan her durumda temel üstelleştirmenin değerleri çıkarılabilir . GCH şunları ima eder:

zaman αp + 1;
zaman β + 1 < α ve , burada cf olan cofinality çalışması; ve
zaman β + 1 < α ve .

İlk eşitlik ( αβ +1 olduğunda):

, süre:
 ;

Üçüncü eşitlik ( β +1 < α ve ) aşağıdakilerden kaynaklanır:

, König teoremi ile , iken:

Her γ için, GCH'nin eşitleme için kullanıldığı durumlarda ve ; seçim aksiyomuna eşdeğer olduğu için kullanılır .

Ayrıca bakınız

Referanslar

  • Maddy, Penelope (Haziran 1988). "Aksiyomlara inanmak, [bölüm I]". Sembolik Mantık Dergisi . Sembolik Mantık Derneği. 53 (2): 481–511. doi : 10.2307/2274520 . JSTOR  2274520 .

Kaynaklar

daha fazla okuma

  • Cohen, Paul Joseph (2008) [1966]. Küme teorisi ve süreklilik hipotezi . Mineola, New York: Dover Yayınları. ISBN'si 978-0-486-46921-8.
  • Dales, HG; Woodin, WH (1987). Analistler için Bağımsızlığa Giriş . Cambridge.
  • Enderton, Herbert (1977). Küme Teorisinin Elemanları . Akademik Basın.
  • Gödel, K.: Cantor'un Süreklilik Problemi Nedir? , Benacerraf ve Putnam'ın Matematik Felsefesi koleksiyonunda yeniden basılmıştır , 2. baskı, Cambridge University Press, 1983. Gödel'in CH'ye karşı argümanlarının bir özeti.
  • Martin, D. (1976). "Hilbert'in ilk problemi: süreklilik hipotezi" , Hilbert'in Problemlerinden Kaynaklanan Mathematical Developments, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics XXVIII, F. Browder, editör. Amerikan Matematik Derneği, 1976, s. 81-92. ISBN  0-8218-1428-1
  • McGough, Nancy. "Süreklilik Hipotezi" .
  • Wolchover, Natalie. "Kaç Sayı Var? Sonsuz Kanıt, Matematiği Bir Yanıta Yaklaştırır" .

Dış bağlantılar