Cebirsel kapalı alanı - Algebraically closed field


Vikipedi, özgür ansiklopedi

Gelen soyut cebir , bir cebirsel olarak kapalı alan F içeriyorsa kök her için sabit olmayan polinom olarak F [ X ], polinomların halka büyüklüğünün x katsayılı F .

Örnekler

Bir örnek olarak, alan bir gerçek sayılar cebirsel polinom için, kapatılmamış x 2  + 1 = 0 gerçek sayılar hiçbir çözüm vardır, olsa bile, tüm katsayıları (1, 0) gerçek. Aynı argüman gerçek alanın hiçbir alt alan cebirsel olarak kapalı olduğunu kanıtlıyor; Özellikle alanı rasyonel sayılar cebirsel kapatılmamış. Aynı zamanda, herhangi bir sonlu alan F , çünkü eğer cebirsel kapalıdır, bir 1 , bir 2 , ..., bir n- öğeleridir F , daha sonra polinom ( X  -  Bir 1 () x  -  bir 2 ) · · · ( X  -  Bir n ) + 1 hiçbir sıfır olan F . Buna karşılık, cebirin temel teoremi alanı belirtiyor karmaşık sayılar cebirsel kapalıdır. Bir cebirsel olarak kapalı alan bir başka örneği, (kompleks) alanıdır cebirsel sayılar .

Eşdeğer özellikler

Bir tarla Verilen K , onaylama işlemi " F diğer iddiaların eşdeğerdir cebirsel kapalıdır":

Sadece indirgenemez polinomları derece birinin olanlardır

Alan F ancak ve ancak eğer cebirsel kapalıdır asal polinomlar olarak polinom halka F : [ X ] dereceden olanlardır.

İddiası "birinci dereceden polinomları indirgenemez olan" herhangi bir alan için trivially doğrudur. Eğer F cebirsel olarak kapanır ve p ( x ) bir indirgenemez polinom F [ X ], o zaman bir kök sahip a ve bu nedenle P ( x ) 'in bir katı olan x  -  bir . Yana p ( x ) indirgenemez, bu demektir p ( x ) =  k ( x  -  a ), bazıları için k  ∈  F  \ {0}. Öte yandan, E cebirsel kapatılmamış, o zaman, bazı sabit olmayan polinom vardır p ( x olarak) F : [ X kökleri yok] F . Let q ( X ) bazı indirgenemez faktörü p ( x ). Yana p ( x ) herhangi bir kökleri F , q ( X ) de herhangi bir kökleri F . Bu nedenle, q, ( x , her birinci derece polinom bir köke sahiptir çünkü), bir daha büyük olmasıdır , F .

Her polinom birinci dereceden polinomların bir ürünüdür

Alan F ve her polinomun sadece eğer cebirsel kapalı p ( x derece) n  ile ≥ 1, katsayılar olarak F , doğrusal faktörler ayrılır . Diğer bir deyişle, elemanlar vardır kx 1x 2 , ...,  x , n alanının F , öyle ki p ( x ) =  K ( X  -  X 1 () x  -  x 2 ) · · · ( X  -  X n ).

Eğer F bu özelliği sahiptir sonra açıkça her sabit olmayan polinom F [ x ] bazı kökü vardır F ; diğer bir deyişle, F cebirsel kapalıdır. Öte yandan, burada belirtilen özellik için tuttuğu F eğer F cebirsel kapalı olduğu önceki özelliğinden birlikte herhangi bir alan için, gerçeği ile takip K , herhangi bir polinom K [ x ] indirgenemez polinomların bir ürünü olarak yazılabilir .

asal derece Polinomlar kökleri

J. Shipman üzerinde her polinom eğer 2007 yılında gösterdi F asal derece bir kökü vardır F , daha sonra olmayan her sabit polinom bir kök vardır F , böylece F cebirsel kapalıdır.

alan hiçbir uygun cebirsel uzantısı vardır

Alan F cebirsel hiçbir uygun olup olmadığını ve ancak kapalıdır cebirsel uzantısı .

Eğer F herhangi bir uygun cebirsel uzantısına sahiptir, izin p ( x ) 'de bir indirgenemez polinom F [ X ]. Daha sonra bölüm arasında F [ X ] ölçkeli yere tarafından üretilen p ( x ) bir cebirsel uzantısıdır F derece derecesine eşittir p ( x ). Bu uygun bir uzantısı olmadığı, derecesi 1 olduğu ve bu nedenle derecesi p ( x ) 1'dir.

Öte yandan, E bir uygun cebirsel uzantısı olan K , daha sonra en az bir polinom bir elemanın K  \  F indirgenemez ve derecesi 1'den büyüktür.

Alan uygun hiçbir sonlu uzantısına sahip

Alan F ve hiçbir sonlu sahip olması gerekir eğer cebirsel kapalı olduğu cebirsel uzantısı olan, çünkü eğer önceki kanıtı , kelime "cebirsel" "sonlu" sözcüğü ile değiştirilir, bunun bir kanıtı hala geçerlidir.

Her Endomorfizma F n bazı özvektörünü vardır

Alan F cebirsel her doğal sayı için, ancak ve ancak kapalıdır n , her doğrusal haritası dan F n kendi içine bazılarına sahiptir özvektörünü .

Bir Endomorfizma arasında F n onun, ancak ve ancak bir özvektör sahip karakteristik bir polinom bir köke sahiptir. Bu nedenle, ne zaman F cebirsel kapalı olduğu, her Endomorfizma F n bazı özvektörünü vardır. Her Endomorfizma Öte yandan, E n bir özvektör sahiptir, izin p ( x ) bir unsuru olması F [ X ]. Lider katsayısı ile bölünmesi, başka polinom elde q ( X ) kökleri olan, ancak ve ancak, eğer p ( x ) kökleri yer alır. Ancak, eğer q ( X ) =  X , n  +  bir n  1 - X , n  - 1 + · +  bir 0 , o zaman q, ( x ) karakteristik polinom NxN tamamlayıcı matrisi

rasyonel ifadelerin Ayrışma

Alan F cebirsel olarak kapalı olup olmadığını ve her yalnızca rasyonel fonksiyon bir değişken olarak x katsayılı, F , rasyonel şekilde fonksiyonları ile bir polinom fonksiyonu toplamı olarak yazılabilir , bir / ( x  -  b ) N , N bir doğal sayı ve bir a ve b elemanlarıdır F .

Eğer F indirgenemez polinomlar yana cebirsel, daha sonra kapatılır, F [ X ], derece 1 tümü yukarıda belirtilen özelliği ile tutan kısmi kesir ayrışması teoremi .

Öte yandan, yukarıda belirtilen özelliği alanı için de geçerlidir varsayalım F . Let p ( x ) 'de bir indirgenemez eleman F [ X ]. Daha sonra rasyonel fonksiyon 1 / s bir polinom fonksiyonu toplamı olarak yazılabilir q formu rasyonel fonksiyonları ile bir (/ x  -  b ) n . Bu nedenle, rasyonel ifadesi

payda birinci derece polinom bir ürünü olan iki polinomun bir bölüm olarak yazılabilir. Yana p ( x ) indirgenemez, bu nedenle, aynı zamanda, bir birinci derece polinom olmalıdır, bu ürün bölünür ve gerekmektedir.

Nispeten asal polinomları ve kökler

Herhangi bir alan için K , eğer iki polinomları p ( x ), q ( X ) ∈  F [ X ] olan göreceli asal sonra ortak bir kökü için, yoksa bir  ∈  F , ortak bir kök, daha sonra  p ( x ) ve   q ( x ) her iki katları olacak x  -  a ve bu yüzden aralarında asal olmaz. Ters ima tutan için alanlar (yani iki polinomları o zaman hiçbir ortak kök buldukça onlar aralarında asal olduğu bu tür alanları) tam cebirsel kapalı alanlardır.

Eğer alan F cebirsel kapatılır izin p ( x ) ve q ( X ) aralarında asal değildir ve izin iki polinomları olarak R ( x ) altında olmaları büyük ortak bölen . O zamandan beri, R ( x ) sabit değildir, bazı kökü olacaktır a daha sonra ortak bir kökü olacak, p ( x ) ve q ( X ).

Eğer F cebirsel kapatılmamış, izin p ( x ) için belirgin ve derecesi en az 1 kökleri olmayan bir polinom. Sonra p ( x ) ve p ( x ) aralarında asal değildir, ancak (bunların hiçbiri kökleri beri) hiçbir ortak köklere sahip.

Diğer özellikler

Eğer E bir cebirsel olarak kapalı bir alandır ve N , bir doğal sayıdır, daha sonra F tümünü içeren n , bu (tanımı gereği), çünkü birlik kökleri inci n (zorunlu olarak belirgin değildir) polinomu sıfır noktalarının X n  1. Bir alan uzantı - bu birlik kökleri tarafından oluşturulan bir uzantı içinde bulunan bir olan devirli uzantısı ve bazen adlandırılan birlik her kökleri tarafından oluşturulan bir alanın uzantısı devirli kapatılması . Böylece cebirsel kapalı alanlar cyclotomically kapalıdır. Tersi doğru değildir. Hatta formu her polinom varsayılarak x n  -  bir lineer faktörleri içine bölünme alan cebirsel kapalı olduğunu temin etmek yeterli değildir.

Dilinde ifade edilebilir bir önerme ise birinci dereceden mantığı bir cebirsel olarak kapalı alanı için de geçerlidir, o zaman aynı olan her cebirsel olarak kapalı alanı için de geçerlidir karakteristik . Bu tür bir öneri, karakteristik 0 ile bir cebirsel olarak kapalı alan için geçerli olup olmadığını Ayrıca, o zaman sadece karakteristik 0 ile diğer tüm cebirsel olarak kapalı alanlar için de geçerli olmakla birlikte, bazı doğal sayı olduğu , N , her cebirsel kapalı için teklif geçerli olduğu gibi karakteristik saha  p p  >  K .

Her alan F cebirsel kapalı olduğu bazı uzantısı vardır. Böyle bir uzantı olarak adlandırılır cebirsel olarak kapalı uzatma . Tüm bu uzantılar arasında bir ve yalnızca tek bir (vardır isomorphism kadar değil, özgün izomorfizm ) bir bir cebirsel uzantısı arasında F ; denir cebirsel kapanış ait F .

Cebirsel kapalı alanların teori vardır miktar belirleyici ortadan kaldırılması .

notlar

Referanslar

  • Barwise Jon Barwise Jon, içinde (1978), "giriş birinci dereceden mantık", Matematik Mantık El Kitabı Logic, Çalışmaları ve Matematik, Kuzey Hollanda, Vakıflar ISBN  0-7204-2285-X
  • Lang Serge (2002), Cebri , Matematik Derecesi Metinleri , 211 (Gözden Geçirilmiş Üçüncü ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4 , MR  1.878.556
  • Shipman, Yusuf (2007), "Cebir temel teoremini iyileştirilmesi", Matematik Intelligencer , 29 (4), s 9-14. Doi : 10.1007 / BF02986170 , ISSN  0343-6993
  • van der Waerden, Bartel Leendert (2003), Cebir , ben (7 ed.), Springer-Verlag, ISBN  0-387-40624-7