Gerçek kapalı alan - Real closed field

In matematik , bir gerçek kapalı alan bir olan tarla F aynı sahiptir birinci dereceden alanında gibi özellikleri gerçek sayılar . Bazı örnekler gerçek sayıların alanı, gerçek cebirsel sayıların alanı ve hipergerçek sayıların alanıdır .

Tanımlar

Gerçek bir kapalı alan, aşağıdaki eşdeğer koşullardan herhangi birinin doğru olduğu bir F alanıdır :

1. F , gerçek sayılara temel olarak eşdeğerdir . Başka bir deyişle, gerçeklerle aynı birinci dereceden özelliklere sahiptir: Birinci dereceden alanların dilindeki herhangi bir cümle, yalnızca ve ancak gerçeklerde doğruysa, F'de doğrudur.
2. Bir yoktur toplam sipariş üzerine F bir yapım sipariş alan böyle bu sıralamada, her olumlu unsur, o F bir karekök vardır F ve herhangi polinomu tek bir derecesi ile katsayıları içinde F en az birine sahiptir kök içinde F .
3. F a, resmi gerçek alan katsayılar ile tek dereceli her polinom bu şekilde F en azından bir kök vardır F , ve her eleman için a ait F olduğu B olarak da F , öyle ki , bir  =  b ² ya da bir  = - b ² .
4. F cebirsel olarak kapalı değildir , fakat cebirsel kapanışı sonlu bir uzantıdır .
5. F cebirsel olarak kapalı değil ama alan uzantısı cebirsel olarak kapalı.${\displaystyle F({\sqrt {-1}})}$
6. Bir düzen vardır F herhangi uygun bir sipariş kapsamaz cebirsel uzantısı ait F .
7. F biçimsel olarak gerçek bir alandır, öyle ki F'nin hiçbir cebirsel uzantısı biçimsel olarak gerçek değildir. (Başka bir deyişle, alan, biçimsel olarak gerçek olma özelliğine göre bir cebirsel kapanışta maksimumdur.)
8. F üzerinde, onu sıralı bir alan haline getiren bir sıralama vardır, öyle ki, bu sıralamada, ara değer teoremi , derece ≥ 0 olan F üzerindeki tüm polinomlar için geçerlidir .
9. F , zayıf o-minimal sıralı bir alandır.

Eğer F sıralı bir alandır, Artin-Schreier Teorem belirten F denilen bir cebirsel uzantısı vardır gerçek kapatma K ait F öyle ki, K sipariş verilen sipariş bir uzantısıdır gerçek kapalı alandır F ve bir F üzerinde özdeş alanların benzersiz bir izomorfizmine kadar benzersiz ( gerçek kapalı alanlar arasındaki her halka homomorfizminin otomatik olarak sıra koruyucu olduğuna dikkat edin , çünkü x  ≤  y ancak ve ancak ∃ z  y  =  x  +  z ^{2 ise} ). Örneğin, sıralı rasyonel sayılar alanının gerçek kapanışı , gerçek cebirsel sayıların alanıdır . Teorem, 1926'da kanıtlayan Emil Artin ve Otto Schreier için adlandırılmıştır . ${\displaystyle \mathbb {R} _{\mathrm {alg}}}$

(Eğer K , P ) düzenli bir alandır, ve e a, Galois'in uzantısı arasında F ile, daha sonra Zorn'un lemma maksimum alanı uzantısını (sipariş vardır M , Q, ile birlikte) M bir alt alanı D ihtiva eden F ve sipariş M uzanan P . Bu M , Q sıralamasıyla birlikte , ( F , P )'nin E'deki göreli gerçek kapanışı olarak adlandırılır . M sadece F ise , E'ye göre ( F , P ) gerçel kapalı diyoruz . Ne zaman D ise cebirsel kapanış ait F göreceli gerçek kapatılması F içinde E aslında gerçek kapatma arasında F önce açıklanan.

Eğer F bir alandır (hayır varsayılır saha operasyonları ile uyumlu sipariş, ne de varsayılmaktadır F ardından orderable olduğunu) F hala artık bir saha, ama sadece olmayabilir gerçek kapatma sahiptir gerçek kapalı halka . Örneğin, alanın gerçek kapanışı halkadır (iki kopya, 'nin iki sıralamasına karşılık gelir ). Öte yandan, sıralı bir alt alanı olarak kabul edilirse , asıl kapanışı yine alanıdır . ${\displaystyle \mathbb {S} ({\sqrt {2}})}$${\displaystyle \mathbb {R} _{\mathrm {alg} }\times \mathbb {R} _{\mathrm {alg}}}$${\displaystyle \mathbb {S} ({\sqrt {2}})}$${\displaystyle \mathbb {S} ({\sqrt {2}})}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} _{\mathrm {alg}}}$

Karar verilebilirlik ve niceleyici eleme

Dil gerçek kapalı alanların toplama ve çarpma işlemleri için semboller, sabitlerini 0 ve 1 ve sipariş ilişkisini içeren ≤ (bu mantıksal sembol olarak kabul edilmez ise, hem de eşitlik). Bu dilde, gerçek kapalı alanların (birinci dereceden) teorisi , aşağıdakilerden oluşur: ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{rcf}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$

• sıralı alanların aksiyomları ;
• her pozitif sayının bir karekökü olduğunu öne süren aksiyom;
• her tek sayı için , tüm derece polinomlarının en az bir kökü olduğunu iddia eden aksiyom .${\görüntüleme stili d}$${\görüntüleme stili d}$

Yukarıdaki aksiyomların tümü birinci mertebeden mantıkla ifade edilebilir (yani niceleme aralıkları sadece alanın elemanları üzerinde).

Tarski kanıtlanmıştır ( c.  1.931 ) olan tam herhangi yani -sentence, yukarıdaki aksiyomlarından doğru veya yanlış olduğu edilebilir. Dahası, bir Karar verilebilen bu tür cümlenin gerçeği veya yanlışlığını karar vermek bir algoritma var yani. ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{rcf}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$

Tarski-Seidenberg teoremi Karar verilebilen bu sonucu uzanır miktar belirleyici eleme . Yani, serbest değişkenler içerebilen herhangi bir formül verildiğinde, aynı serbest değişkenlerde eşdeğer niceleyici içermeyen bir formül üreten bir algoritma vardır, burada eşdeğer , iki formülün değişkenlerin tam olarak aynı değerleri için doğru olduğu anlamına gelir. . Tarski-Seidenberg teoremi, karar verilebilirlik teoreminin bir uzantısıdır, çünkü serbest değişkenleri olmayan niceleyici içermeyen bir formülün doğru veya yanlış olup olmadığı kolayca kontrol edilebilir . ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{rcf}}}$

Bu teorem, aşağıdaki izdüşüm teoremine kadar genişletilebilir . Eğer R, gerçek bir kapalı alan, bir formül n serbest değişken bir alt kümesini tanımlayan R ^{, n} , formül tatmin noktaları seti. Böyle bir alt kümeye yarı cebirsel küme denir . Bir alt göz önüne alındığında k değişkenlerinin, çıkıntı gelen R ^{, n} kadar R ' ^k bir fonksiyonu her haritalar , n için -tuple k değişkenlerinin alt kümesine karşılık gelen bileşenleri -tuple. İzdüşüm teoremi, yarı cebirsel bir kümenin izdüşümünün yarı cebirsel bir küme olduğunu ve bir yarı cebirsel kümeyi tanımlayan niceleyici içermeyen bir formül verildiğinde, izdüşüm için niceleyici içermeyen bir formül üreten bir algoritma olduğunu iddia eder.

Aslında, çıkıntı teoremi formülü ile tanımlanan bir semialgebraic setinin projeksiyon olarak, nicelik ortadan kaldırılması eşdeğerdir p ( x , y ) ile tanımlanır

${\görüntüleme stili (\vardır x)P(x,y),}$

burada x ve y sırasıyla elimine edilen değişkenler kümesini ve tutulan değişkenler kümesini temsil eder.

Gerçek sayıların birinci dereceden bir teorisinin karar verilebilirliği, dikkate alınan ilkel işlemlere ve fonksiyonlara büyük ölçüde bağlıdır (burada toplama ve çarpma). Sinüs veya üstel fonksiyon gibi diğer fonksiyon sembollerinin eklenmesi , karar verilemeyen teoriler sağlayabilir; bkz. Richardson teoremi ve gerçek sayılarla ilgili birinci mertebeden teorilerin Kararlaştırılabilirliği .

Karar vermenin karmaşıklığı ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$

Tarski'nin niceleyici eleme için orijinal algoritması , temel olmayan hesaplama karmaşıklığına sahiptir , yani hiçbir kule

${\displaystyle 2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{n}}}}}}$

n , giriş formülünün boyutu ise, algoritmanın yürütme süresini sınırlayabilir . Silindirik cebirsel ayrışma tarafından ortaya George E. Collins , karmaşık bir çok daha pratik bir algoritma içerir

${\görüntüleme stili d^{2^{O(n)}}}$

burada n, değişken (serbest ve bağlı) toplam sayısı, bir d formülde oluşan polinomların derece ürünüdür ve O ( n ) olan büyük O gösterimi .

Davenport ve Heintz (1988), bu kanıtlamıştır en kötü durum karmaşıklığı nicelik ortadan kaldırılması için neredeyse optimal bir aile üreterek olan Φ _n uzunluğu formüllerin O ( n ) ile, n, örneğin bir quantifier- ki Nicelik ve sürekli derece polinomların kapsayan serbest bir formül eşdeğer cp _n derece polinomlar içermelidirler ve uzunluğu , burada bir büyük Ω gösterimde . Bu, niceleyici ortadan kaldırılmasının hem zaman karmaşıklığının hem de uzay karmaşıklığının özünde çift ​​üstel olduğunu gösterir . ${\ Displaystyle 2^{2^{\Omega (n)}}}$${\ Displaystyle 2^{2^{\Omega (n)}}}$${\görüntüleme stili \Omega (n)}$

Karar problemi için, Ben-Or, Kozen ve Reif (1986), gerçek kapalı alanlar teorisinin üstel uzayda ve dolayısıyla çift üstel zamanda karar verilebilir olduğunu kanıtladıklarını iddia ettiler , ancak onların argümanları (daha fazla olması durumunda). bir değişken) genellikle kusurlu olarak kabul edilir; bir tartışma için bkz. Renegar (1992).

Tamamen varoluşsal formüller için, yani formun formülleri için

∃ x ₁ , ..., ∃ x _k P ₁ ( x ₁ , ..., x _k ) ⋈ 0 ∧ ... ∧ P _s ( x ₁ , ..., x _k ) ⋈ 0,

burada ⋈ ya açılımı <,> veya  = , karmaşıklık düşüktür. Basu ve Roy (1996), s ^{k +1} d ^{O ( k )} aritmetik işlemleri ve polinom uzayının karmaşıklığı ile böyle bir varoluşsal formülün doğruluğuna karar vermek için iyi niyetli bir algoritma sağladı .

Sipariş özellikleri

Gerçek sayıların çok önemli bir özelliği, bir Arşimet alanı olmasıdır , yani herhangi bir gerçek sayı için mutlak değerde ondan daha büyük bir tamsayı olduğu Arşimet özelliğine sahiptir . Eşdeğer bir ifade, herhangi bir gerçek sayı için hem daha büyük hem de daha küçük tam sayıların olmasıdır. Arşimet olmayan bu tür gerçek kapalı alanlar, Arşimet olmayan sıralı alanlardır . Örneğin, hipergerçek sayıların herhangi bir alanı gerçek kapalıdır ve Arşimet dışıdır.

Arşimet özelliği, eş sonluluk kavramıyla ilgilidir . Bir dizi X, bir içerdiği sıralı dizi F de cofinal olan F her için ise y de F bir olduğu X içinde X, öyle ki y < x . Başka bir deyişle, X , F'de sınırsız bir dizidir . Arasında cofinality F , ki sınırsız bir dizisini veren küçük cardinality boyutunun en küçük cofinal grubu, boyutudur. Örneğin, doğal sayılar gerçellerde eş sonludur ve bu nedenle gerçellerin eş sonluluğu . ${\displaystyle \aleph _{0}}$

Bu nedenle, gerçek bir kapalı alan F'nin doğasını tanımlayan aşağıdaki değişmezlere sahibiz :

• F'nin kardinalitesi .
• Bir cofinality F .

Buna ekleyebiliriz

• Yoğun bir F alt kümesinin minimum boyutu olan F'nin ağırlığı .

Bu üç kardinal sayı, özellikle genelleştirilmiş süreklilik hipotezini başlatmaya istekli değilsek, ne olduklarını keşfetmek zor olsa da, herhangi bir gerçek kapalı alanın düzen özellikleri hakkında bize çok şey anlatır . Tutabilecek veya tutmayabilecek belirli özellikler de vardır:

• Bir alan F ise tam hiçbir sipariş alan varsa K düzgün içeren F şekilde F yoğun olduğu K . Ait cofinality Eğer F olduğu κ , bu tarafından dizine Cauchy dizileri söyleyerek eşdeğerdir k yakınsak olan F .
• Sıralı alanı F vardır eta grubu özelliği η _a sıra sayısı için, a , herhangi iki alt-gruplar için ise, L ve U ve F az cardinality gibi her elemanı, L az her eleman daha U , bir element vardır x in F ile x her eleman daha büyük L her eleman daha ve daha küçük U . Bu, doymuş bir model olmanın model-teorik özelliği ile yakından ilgilidir ; Herhangi iki gerçek kapalı alanlar η olan _α onlar ve sadece eğer -doymuş ve dahası iki η _α hem kardinalitesi gerçek kapalı alanlar sırası izomorfik.${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$

Genelleştirilmiş süreklilik hipotezi

Genelleştirilmiş süreklilik hipotezini kabul etmeye istekliysek, gerçek kapalı alanların özellikleri çok daha basit hale gelir . Süreklilik hipotezi geçerliyse, sürekliliği olan ve η ₁ özelliğine sahip tüm gerçek kapalı alanlar sıralı izomorfiktir. Bu eşsiz alan Ϝ aracılığıyla bir tanımlanabilir UltraPower olarak, burada, M sipariş izomorfik bir alana gelen bir maksimum ideal . Bu en yaygın olarak kullanılan üstü bir sayı alanı içinde standart dışı analiz , ve özgünlüğü sürekli hipotezi eşdeğerdir. (Hatta süreklilik hipotezinin olmadan biz sürekliliğinin kardinalitesi ise buna sahip o zaman benzersiz olması r | _p alanını boyutunun r | _p .) ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }/{\mathbf {M} }}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \aleph _{\beta }}$

Ayrıca, inşa etmek ultrapowers gerekmez Ϝ , biz alanın sıfırdan farklı terimlerin sayılabilir sayı ile serinin alt alanı olarak çok daha yapıcı yapabileceği bir resmi güç serileri tamamen sipariş değişmeli bölünebilir grup G bir olduğunu η ₁ kardinalite grubu ( Alling 1962 ). ${\görüntüleme stili \mathbb {R} ((G))}$${\displaystyle \aleph _{1}}$

Ϝ ancak tam bir alan değildir; tamamlanmasını alırsak , daha büyük bir kardinalite alanı Κ ile sonuçlanırız. Ϝ , hipoteze göre , Κ kardinalitesine sahip olan ve yoğun bir alt alan olarak Ϝ içeren sürekliliğin kardinalitesine sahiptir . Bu bir ultra güç değil , hipergerçek bir alandır ve bu nedenle standart olmayan analizlerin kullanımları için uygun bir alandır. Gerçek sayıların daha yüksek boyutlu analogu olarak görülebilir; cardinality ile yerine , cofinality yerine ve ağırlık yerine , ile η ₁ yerine özelliği η ₀ özelliği (ki sadece başka bulabilirsiniz herhangi iki gerçek sayılar arasında anlamına gelir). ${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{2}}$${\displaystyle \aleph _{2}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$

Gerçek kapalı alan örnekleri

• gerçek cebirsel sayılar
• hesaplanabilir numaralar
• tanımlanabilen numaralar
• gerçek sayılar
• süper gerçek sayılar
• hiper gerçek sayılar
• Puiseux serisi Gerçek katsayılı
• gerçeküstü sayılar

Notlar

Referanslar

• Alling, Norman L. (1962), "η _α -kuvvet ℵ _α kümeleri olan gerçek-kapalı alanların varlığı üzerine .", Çev. Amer. Matematik. Soc. , 103 : 341–352, doi : 10.1090/S0002-9947-1962-0146089-X , MR  0146089
• Basu, Saugata, Richard Pollack ve Marie-Françoise Roy (2003) "Gerçek cebirsel geometride Algoritmalar " Algoritmalar ve matematikte hesaplama . Springer. ISBN  3-540-33098-4 ( çevrimiçi sürüm )
• Michael Ben-Or, Dexter Kozen ve John Reif, Temel cebir ve geometrinin karmaşıklığı , Bilgisayar ve Sistem Bilimleri Dergisi 32 (1986), no. 2, s. 251–264.
• Caviness, BF ve Jeremy R. Johnson, ed. (1998) Niceleyici eleme ve silindirik cebirsel ayrıştırma . Springer. ISBN  3-211-82794-3
• Chen Chung Chang ve Howard Jerome Keisler (1989) Model Teorisi . Kuzey Hollanda.
• Dales, HG ve W. Hugh Woodin (1996) Süper Gerçek Alanlar . Oxford Üniv. Basın.
• Davenport, James H .; Heintz, Joos (1988). "Gerçek niceleyicinin ortadan kaldırılması iki kat üsteldir" . J. Symb. bilgisayar . 5 (1–2): 29–35. doi : 10.1016/s0747-7171(88)80004-x . Zbl  0663.03015 .
• Efrat, İdo (2006). Değerlemeler, sıralamalar ve Milnor K -teorisi . Matematiksel Araştırmalar ve Monograflar. 124 . Providence, RI: Amerikan Matematik Derneği . ISBN'si 0-8218-4041-X. Zbl  1103.12002 .
• Macpherson, D., Marker, D. ve Steinhorn, C., Zayıf o-minimal yapılar ve gerçek kapalı alanlar , Çev. Amerikan Matematik. Soc., Cilt. 352, No. 12, 1998.
• Mishra, Bhubaneswar (1997) " Hesaplamalı Gerçek Cebirsel Geometri ", Handbook of Discrete and Computational Geometry içinde . CRC Basın. 2004 baskısı, s. 743. ISBN  1-58488-301-4
• Rajwade, AR (1993). Kareler . Londra Matematik Derneği Ders Notu Serisi. 171 . Cambridge Üniversitesi Yayınları . ISBN'si 0-521-42668-5. Zbl  0785.11022 .
• Renegar, James (1992). "Gerçeklerin birinci mertebeden teorisinin hesaplama karmaşıklığı ve geometrisi üzerine. Bölüm I: Giriş. Ön bilgiler. Yarı cebirsel kümelerin geometrisi. Gerçeklerin varoluşsal teorisi için karar problemi" . Sembolik Hesaplama Dergisi . 13 (3): 255–299. doi : 10.1016/S0747-7171(10)80003-3 .
• Passmore, Grant (2011). Doğrusal Olmayan Aritmetik, Gerçek ve Karmaşık için Birleşik Karar Prosedürleri (PDF) (PhD). Edinburgh Üniversitesi .
• Alfred Tarski (1951) İlköğretim Cebir ve Geometri için Bir Karar Yöntemi . Üniv. California Press'ten.
• Erdos, P.; Gillman, L.; Henriksen, M. (1955), "Gerçek-kapalı alanlar için bir izomorfizm teoremi" , Ann. Matematik. , 2, 61 (3): 542–554, doi : 10.2307/1969812 , JSTOR  1969812 , MR  0069161

Dış bağlantılar

• Gerçek Cebirsel ve Analitik Geometri Ön Baskı Sunucusu
• Model Teorisi ön baskı sunucusu