Zorlama (matematik) - Forcing (mathematics)

Matematiksel disiplin olarak küme kuramı , zorlama kanıtlayan bir tekniktir tutarlılık ve bağımsızlık sonuçları. İlk tarafından kullanılmıştır Paul Cohen bağımsızlığını kanıtlamak için, 1963 yılında seçim belitinin ve süreklilik hipotezinin gelen Zermelo-Fraenkel küme kuramı .

Zorlama, sonraki yıllarda önemli ölçüde yeniden çalışıldı ve basitleştirildi ve o zamandan beri hem küme teorisinde hem de özyineleme teorisi gibi matematiksel mantık alanlarında güçlü bir teknik olarak hizmet etti . Tanımlayıcı küme teorisi , hem özyineleme teorisinden hem de küme teorisinden zorlama kavramlarını kullanır. Zorlama, model teorisinde de kullanılmıştır , ancak model teorisinde , zorlamadan bahsetmeden jenerikliği doğrudan tanımlamak yaygındır .

Sezgi

Sezgisel olarak zorlama, belirlenmiş teorik evreni daha büyük bir evrene genişletmekten ibarettir . Bu büyük evrende, örneğin, bir çok yeni olabilir alt kümeleri arasında o eski evrende yoktu ve bu şekilde ihlal sürekli hipotezi . ${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili V^{*}}$${\görüntüleme stili\omega }$ ${\displaystyle =\{0,1,2,\ldots \}}$

Sonlu kümelerle uğraşırken imkansız olsa da , bu Cantor'un sonsuzluk paradoksunun başka bir versiyonudur . Prensip olarak, şunlar düşünülebilir:

${\displaystyle V^{*}=V\kez \{0,1\},}$

tespit ile ve daha sonra formun "yeni" setleri içeren genişletilmiş bir üyelik ilişkisini tanıtmak . Zorlama, bu fikrin daha ayrıntılı bir versiyonudur, genişlemeyi yeni bir kümenin varlığına indirger ve genişleyen evrenin özellikleri üzerinde hassas kontrole izin verir. ${\displaystyle x\in V}$${\görüntüleme stili (x,0)}$${\görüntüleme stili (x,1)}$

Cohen'in şimdi dallanmış zorlama olarak adlandırılan orijinal tekniği, burada açıklanan dallanmamış zorlamadan biraz farklıdır . Zorlama, bazılarının kavramsal olarak daha doğal ve sezgisel olduğunu, ancak genellikle uygulanması çok daha zor olduğunu düşündüğü Boolean değerli modellerin yöntemine de eşdeğerdir .

Pozları zorlamak

Bir zorlama poşet bir üçlü sıralanır, nerede bir olduğunu ön sipariş üzerine olmasıdır atomless o biri aşağıdaki koşulu anlamına: ${\displaystyle (\mathbb {P} ,\leq ,\mathbf {1} )}$${\görüntüleme stili \leq }$${\displaystyle \mathbb {P} }$

• Her biri için , orada böyle hiçbir ile böyle . is öğesinin en büyük öğesi , yani tümü için .${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$${\displaystyle q,r\in \mathbb {P} }$${\displaystyle q,r\leq p}$${\displaystyle s\in \mathbb {P} }$${\displaystyle s\leq q,r}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\görüntüleme stili \mathbf {1} }$${\displaystyle p\leq \mathbf {1} }$${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$

Üyelerine zorlayıcı koşullar veya adil koşullar denir . Bir okur "olarak ise daha güçlü daha ". Sezgisel, "küçük" durum "daha" bilgi, daha küçük aralık tıpkı sağlayan numara hakkında daha fazla bilgi sağlar tt aralığı daha yapar. ${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle p\leq q}$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili q}$${\ Displaystyle [3.1415926,3.1415927]}$${\görüntüleme stili [3.1,3.2]}$

Kullanılan çeşitli sözleşmeler vardır. Bazı yazarlar , ilişkinin kısmi bir düzen olması için antisimetrik olmasını da gerektirir . Bazıları standart terminolojiyle çelişen kısmi sipariş terimini yine de kullanır, bazıları ise ön sipariş terimini kullanır . En büyük elemandan vazgeçilebilir. Ters sıralama da, en önemlisi Saharon Shelah ve ortak yazarları tarafından kullanılır. ${\görüntüleme stili \leq }$

P isimleri

Bir zorlama Poşet İlişkili olduğu sınıf içinde - isimler . A -name, formun bir kümesidir${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\ Displaystyle V^{(\mathbb {P} )}}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\görüntüleme stili A}$

${\displaystyle A\subseteq \{(u,p)\mid u~{\text{bir}}~\mathbb {P} {\metin{-ad ve}}~p\in \mathbb {P} \ }.}$

Bu aslında transfinite özyineleme ile yapılan bir tanımdır . İle boş seti, sıra halefi için sıralı , güç seti operatörü ve bir sınır sıra , aşağıdaki hiyerarşiyi tanımlayın: ${\görüntüleme stili\varhiçbir şey}$${\ Displaystyle \ alfa +1}$${\görüntüleme stili \alfa }$${\görüntüleme stili {\matematiksel {P}}}$${\ Displaystyle \ lambda }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatöradı {Ad} (\varnothing )&=\varnothing ,\\\operatöradı {Ad} (\alpha +1)&={\mathcal {P}}(\operatöradı {Ad } (\alpha )\times \mathbb {P} ),\\\operatöradı {Ad} (\lambda )&=\bigcup \{\operatöradı {Ad} (\alpha )\mid \alpha <\lambda \}. \end{hizalanmış}}}$

Daha sonra -names sınıfı şu şekilde tanımlanır: ${\displaystyle \mathbb {P} }$

${\displaystyle V^{(\mathbb {P} )}=\bigcup \{\operatöradı {Ad} (\alpha )~|~\alpha ~{\text{sıralı bir sayıdır}}\}.}$

-Names, aslında, bir genişleme vardır evrenin . Verilen bir tanımlar olmak -adı ${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle x\in V}$${\görüntüleme stili {\kontrol {x}}}$${\displaystyle \mathbb {P} }$

${\displaystyle {\check {x}}=\{({\check {y}},\mathbf {1} )\mid y\in x\}.}$

Yine, bu gerçekten sonlu-ötesi özyineleme ile yapılan bir tanımdır.

Tercüme

Herhangi bir alt kümesi Verilen bir tek sonraki tanımlayıp, yorumlama veya değerleme gelen harita -names tarafından ${\görüntüleme stili G}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle \mathbb {P} }$

${\displaystyle \operatöradı {val} (u,G)=\{\operatöradı {val} (v,G)\mid \var p\in G:~(v,p)\in u\}.}$

Bu yine sonlu özyineleme ile bir tanımdır. Dikkat edin eğer , o zaman . Bir sonra tanımlar ${\displaystyle \mathbf {1} \in G}$${\displaystyle \operatöradı {val} ({\check {x}},G)=x}$

${\displaystyle {\underline {G}}=\{({\check {p}},p)\mid p\in G\}}$

öyle ki . ${\displaystyle \operatöradı {val} ({\underline {G}},G)=\{\operatöradı {val} ({\check {p}},G)\mid p\in G\}=G}$

Örnek

A zorla poşet iyi bir örnektir , burada ve toplamıdır Borel alt- bölgesinin , sıfır olmayan sahip Lebesgue ölçümünü . Bu durumda, koşullardan olasılıklar olarak bahsedilebilir ve bir -name olasılıksal anlamda üyelik atar. Bu örneğin sağlayabileceği hazır sezgi nedeniyle, olasılıksal dil bazen diğer farklı zorlama pozlarıyla birlikte kullanılır. ${\displaystyle (\operatöradı {Bor} (I),\subseteq ,I)}$${\görüntüleme stili I=[0,1]}$${\displaystyle \operatöradı {Bor} (I)}$${\görüntüleme stili I}$${\displaystyle \operatöradı {Bor} (I)}$

Sayılabilir geçişli modeller ve genel filtreler

Zorlamada anahtar adım, verilen bir evrende içinde olmayan uygun bir nesneyi bulmaktır . -namelerin tüm yorumlarının ortaya çıkan sınıfı , orijinali uygun şekilde genişleten bir model olacaktır ( beri ). ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili V}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\görüntüleme stili V}$${\displaystyle G\notin V}$

ile çalışmak yerine, ile sayılabilir bir geçişli model düşünmekte fayda var . "Model", küme teorisinin tümünün bir modelini veya büyük ancak sonlu bir alt kümesinin bir modelini veya bunun bir varyantını ifade eder. "Geçişlilik", eğer , o zaman anlamına gelir . Mostowski çöküşü lemma üyelik ilişkisi ise bu kabul edilebilir olduğunu belirtmektedir sağlam temelli . Geçişliliğin etkisi, üyelik ve diğer temel kavramların sezgisel olarak ele alınabilmesidir. Modelin sayılabilirliği Löwenheim-Skolem teoremine dayanır . ${\görüntüleme stili V}$ ${\görüntüleme stili M}$${\displaystyle (\mathbb {P} ,\leq ,\mathbf {1} )\M} içinde$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle x\in y\in M}$${\ Displaystyle x\ M'de}$

Bir küme olduğu gibi , içinde olmayan kümeler vardır - bu Russell'ın paradoksunu takip eder . Uygun seti almak ve karşı birleşecek şekilde bir olan jenerik filtre üzerinde . "Filtre" koşulu şu anlama gelir: ${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili M}$${\displaystyle \mathbb {P} }$

• ${\displaystyle G\subseteq \mathbb {P} ;}$
• ${\displaystyle \mathbf {1} \in G;}$
• eğer öyleyse${\displaystyle p\geq q\in G}$${\görüntüleme stili p\in G;}$
• eğer öyleyse öyle bir şey var ki${\görüntüleme stili p,q\in G}$${\görüntüleme stili r\in G}$${\displaystyle r\leq p,q.}$

İçin "genel" bir vasıta olduğu: ${\görüntüleme stili G}$

• Eğer "yoğun" bir alt küme ise (yani, her biri için öyle bir vardır ki ), o zaman .${\ Displaystyle D\ M'de}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$${\displaystyle q\in D}$${\displaystyle q\leq p}$${\displaystyle G\cap D\neq \varnothing }$

Genel bir filtrenin varlığı , Rasiowa–Sikorski lemmasından kaynaklanmaktadır . Aslında, biraz daha fazlası doğrudur: Bir koşul verildiğinde , şöyle bir genel filtre bulunabilir . (yukarıda 'atomsuz' olarak adlandırılır) üzerindeki bölme koşulu nedeniyle , eğer bir filtre ise yoğundur. Eğer , o zaman çünkü bir modelidir . Bu nedenle, genel bir filtre hiçbir zaman . ${\görüntüleme stili G}$${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili p\in G}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\görüntüleme stili G}$${\displaystyle \mathbb {P} \setminus G}$${\displaystyle G\in M}$${\displaystyle \mathbb {P} \setminus G\in M}$${\görüntüleme stili M}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\görüntüleme stili M}$

zorlamak

Genel bir filtre verildiğinde , aşağıdaki gibi ilerler. -names'in alt sınıfı belirtilir . İzin vermek ${\displaystyle G\subseteq \mathbb {P} }$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\görüntüleme stili M}$${\ Displaystyle M^{(\mathbb {P} )}}$

${\displaystyle M[G]=\left\{\operatöradı {val} (u,G)~{\Big |}~u\in M^{(\mathbb {P} )}\right\}.}$

Set teorisinin çalışmayı azaltmak için bu kadar sıradan gibi inşa edilir "zorlayarak dil", bir kez çalışır Birinci derece mantık ikili ilişki ve tüm olarak üyeliğiyle, sabitler olarak -names. ${\ Displaystyle M[G]}$${\görüntüleme stili M}$${\displaystyle \mathbb {P} }$

Define (" poset ile modeldeki kuvvetler " olarak okunacak ), burada bir koşul, zorlama dilinde bir formüldür ve 'ler -namelerdir, if içeren genel bir filtre ise , o zaman . Özel durum genellikle " " veya basitçe " " olarak yazılır . Bu tür ifadeler, ne olursa olsun doğrudur . ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})}$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili \varphi }$${\görüntüleme stili M}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili \varphi }$${\displaystyle u_{i}}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili p}$${\displaystyle M[G]\models \varphi (\operatöradı {val} (u_{1},G),\ldots ,\operatöradı {val} (u_{n},G))}$${\displaystyle \mathbf {1} \Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$${\displaystyle \mathbb {P} \Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$${\ Displaystyle M[G]}$${\görüntüleme stili G}$

Önemli olan bu böyledir , dış zorlama bağıntı tanımı bir eşdeğerdir iç dahilinde tanımı üzerinde ötesi tümevarım ile tanımlanan, olaylarına -names ve formüllerin karmaşıklığına üzerinde sıradan indüksiyon yoluyla ve sonra. Bu tüm özelliklerini bu etkisi vardır özellikleri gerçekten ve doğrulanması halinde basit olur. Bu genellikle aşağıdaki üç temel özellik olarak özetlenir: ${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi }$${\görüntüleme stili M}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle u\in v}$${\görüntüleme stili u=v}$${\ Displaystyle M[G]}$${\görüntüleme stili M}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\ Displaystyle M[G]}$

• Gerçek : eğer ve sadece tarafından zorlanırsa , yani bir koşul için , elimizde .${\displaystyle M[G]\models \varphi (\operatöradı {val} (u_{1},G),\ldots ,\operatöradı {val} (u_{n},G))}$ ${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili p\in G}$${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})}$
• Tanımlanabilirlik : " " ifadesi içinde tanımlanabilir .${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})}$${\görüntüleme stili M}$
• tutarlılık : .${\displaystyle p\Vdash _{M,\mathbb {P} }\varphi (u_{1},\ldots,u_{n})\land q\leq p\implies q\Vdash _{M,\mathbb { P} }\varphi (u_{1},\ldots ,u_{n})}$

Bu zorlama ilişkiyi tanımlayan içinde ilk atomik formüller için ilişkiyi tanımlar ki burada formüller karmaşıklığına endüksiyon ile -induction ve daha sonra karmaşıklığına indüksiyon ile rasgele formüller için tanımlar. ${\displaystyle \Vdash _{M,\mathbb {P}}}$${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili \içinde }$

Biz ilk formüller iki tür için bunu yaparken, atomik formüller üzerinde zorlama ilişkiyi tanımlamak, ve eş zamanlı olarak,. Biz bir ilişkiyi tanımlayan Bu araçlar aşağıda O anlamına gelir, formül tip: ${\görüntüleme stili x\ y}$${\görüntüleme stili x=y}$${\displaystyle R(p,a,b,t,\mathbb {P} )}$${\görüntüleme stili t}$

1. ${\displaystyle R(p,a,b,0,\mathbb {P} )}$anlamına gelir .${\displaystyle p\Vdash _{\mathbb {P} }a\in b}$
2. ${\displaystyle R(p,a,b,1,\mathbb {P} )}$anlamına gelir .${\displaystyle p\Vdash _{\mathbb {P} }a=b}$
3. ${\displaystyle R(p,a,b,2,\mathbb {P} )}$anlamına gelir .${\displaystyle p\Vdash _{\mathbb {P} }a\subseteq b}$

İşte bir durumdur ve ve vardır -names. Let ile tanımlanan bir formül -induction: ${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili b}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle R(p,a,b,t,\mathbb {P} )}$${\görüntüleme stili \içinde }$

R1. eğer ve sadece eğer . ${\displaystyle R(p,a,b,0,\mathbb {P} )}$${\displaystyle (\forall q\leq p)(\vardır r\leq q)(\vardır (s,c)\in b)(r\leq s\,\land \,R(r,a,c, 1,\mathbb {P} ))}$

R2. ancak ve ancak . ${\displaystyle R(p,a,b,1,\mathbb {P} )}$${\displaystyle R(r,a,b,2,\mathbb {P} )\,\land \,R(r,b,a,2,\mathbb {P} )}$

R3. ancak ve ancak . ${\displaystyle R(p,a,b,2,\mathbb {P} )}$${\displaystyle (\forall (s,c)\in a)(\forall q\leq p)(\exists r\leq q)(r\leq s\,\Rightarrow \,R(r,c,b, 0,\matematik {P} ))}$

Daha resmi, biz ikili ilişki aşağıdaki kullanın -names: Let adları için geçerlidir ve ancak ve ancak en az bir koşulu . Bu ilişki herhangi bir isim için bunu hangi vasıta, iyi kurulmuş tüm isimlerin sınıf , böyle tutan bir dizi ve hiçbir işlevi yoktur böyle . ${\displaystyle \mathbb {P} }$${\görüntüleme stili S(a,b)}$${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili b}$${\görüntüleme stili (p,a)\b} içinde$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili b}$${\görüntüleme stili S(a,b)}$${\displaystyle f:\omega \longrightarrow Adları}$${\displaystyle (\forall n\in \omega )S(f(n+1),f(n))}$

Genel olarak sağlam temelli bir ilişki bir ön sipariş değildir, çünkü geçişli olmayabilir. Ancak, bunu bir "düzenleme" olarak düşünürsek, sonsuz azalan dizileri olmayan ve herhangi bir eleman için altındaki eleman sınıfının bir küme olduğu bir bağıntıdır.

Geçişlilik için herhangi bir ikili ilişkiyi kapatmak kolaydır. Adları için ve , en azından bir sonlu dizisi olup olmadığını tutar (alana sahip bir harita olarak bazı) olacak şekilde , ve herhangi , tutar. Böyle bir sıralama da sağlam temellere dayanmaktadır. ${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili b}$${\görüntüleme stili bir<b}$${\displaystyle c_{0},\dots ,c_{n}}$${\görüntüleme stili \{0,\noktalar,n\}}$${\görüntüleme stili n>0}$${\displaystyle c_{0}=a}$${\displaystyle c_{n}=b}$${\görüntüleme stili <n}$${\ Displaystyle S(c_{i-1},c_{i})}$

Aşağıdaki iyi tanımlanmış sıralamayı isim çiftlerinde tanımlarız: eğer aşağıdakilerden biri geçerliyse: ${\görüntüleme stili T((a,b),(c,d))}$

1. ${\displaystyle \max\{a,b\}<\max\{c,d\}}$,
2. ${\displaystyle \max\{a,b\}=\max\{c,d\}}$ve ,${\displaystyle \min\{a,b\}<\min\{c,d\}}$
3. ${\displaystyle \max\{a,b\}=\max\{c,d\}}$ve ve .${\displaystyle \min\{a,b\}=\min\{c,d\}}$${\görüntüleme stili bir<c}$

İlişki , isim çiftleri üzerinde özyineleme ile tanımlanır . Herhangi bir çift için, "daha basit" çiftlerde aynı ilişki ile tanımlanır. Aslında, özyineleme teoremi ile R1, R2 ve R3'ün teorem olduğu bir formül vardır, çünkü bir noktadaki doğruluk değeri, "sıralama" olarak kullanılan bazı sağlam temelli ilişkilere göre "daha küçük" noktalardaki doğruluk değerleri ile tanımlanır. ". Artık zorlama ilişkisini tanımlamaya hazırız: ${\displaystyle R(p,a,b,t,\mathbb {P} )}$${\görüntüleme stili (a,b)}$${\displaystyle R(p,a,b,t,\mathbb {P} )}$

1. ${\displaystyle p\Vdash _{\mathbb {P} }a\in b}$anlamına gelir .${\displaystyle a,b\in Name\,\land \,R(p,a,b,0,\mathbb {P} )}$
2. ${\displaystyle p\Vdash _{\mathbb {P} }a=b}$anlamına gelir .${\displaystyle a,b\in Name\,\land \,R(p,a,b,1,\mathbb {P} )}$
3. ${\displaystyle p\Vdash _{\mathbb {P} }\lnot f(a_{1},\dots ,a_{n})}$anlamına gelir .${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in Name\,\land \,\lnot (\exists q\leq p)q\Vdash _{\mathbb {P} }f(a_{1 },\dots ,a_{n})}$
4. ${\displaystyle p\Vdash _{\mathbb {P} }(f(a_{1},\dots ,a_{n})\land g(a_{1},\dots ,a_{n}))}$anlamına gelir .${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in Name\,\land \,(p\Vdash _{\mathbb {P} }f(a_{1},\dots ,a_{n}) ))\land (p\Vdash _{\mathbb {P} }g(a_{1},\dots ,a_{n}))}$
5. ${\displaystyle p\Vdash _{\mathbb {P} }(\forall x)f(a_{1},\dots ,a_{n},x)}$anlamına gelir .${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in Name\,\land \,a_{1},\dots ,a_{n}\in Name\,\land \,(\forall b\ İsimlerde)p\Vdash _{\mathbb {P} }f(a_{1},\dots ,a_{n},b)}$

Aslında, bu keyfi bir formüle sahip bir dönüşümdür formüle ve ek değişkenlerdir. Bu, herhangi bir sayılabilir geçişli modelden bağımsız olarak tüm kümelerin evrenindeki zorlama ilişkisinin tanımıdır . Bununla birlikte, zorlamanın bu "sözdizimsel" formülasyonu ile sayılabilir bir geçişli model üzerinde zorlamanın "anlamsal" formülasyonu arasında bir ilişki vardır . ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})}$${\displaystyle p\Vdash _{\mathbb {P} }f(x_{1},\dots ,x_{n})}$${\görüntüleme stili p}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili M}$

1. Herhangi bir formül için teorinin bir teoremi vardır (örneğin sonlu sayıda aksiyom birleşimi), öyle ki herhangi bir sayılabilir geçişli model için ve herhangi bir atomsuz kısmi düzen ve herhangi bir -jenerik filtre için${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})}$${\görüntüleme stili T}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\görüntüleme stili M}$${\ Displaystyle M\modelleri T}$${\displaystyle \mathbb {P} \M}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili M}$
   $${\displaystyle (\forall a_{1},\ldots ,a_{n}\in M^{\mathbb {P} })(\forall p\in \mathbb {P} )(p\Vdash _{M, \mathbb {P} }f(a_{1},\dots ,a_{n})\,\Leftrightarrow \,M\models p\Vdash _{\mathbb {P} }f(a_{1},\dots ,bir})).}$$

   

Buna zorlama ilişkisinin tanımlanabilirlik özelliği denir.

Tutarlılık

Yukarıdaki tartışma, zorlayıcı bir poz verildiğinde , evrene ait olmayan genel bir filtrenin varlığını varsayabileceğimiz temel tutarlılık sonucuyla özetlenebilir , öyle ki yine modelleyen küme-teorik bir evrendir . Ayrıca, içindeki tüm doğrular , zorlama ilişkisini içeren doğrulara indirgenebilir . ${\displaystyle \mathbb {P} }$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili V[G]}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\görüntüleme stili V[G]}$${\görüntüleme stili V}$

Sayılabilir bir geçişli modele veya tüm evrene bitişik olan her iki stil de yaygın olarak kullanılır. Daha az görülen, zorlamanın "iç" tanımını kullanan ve küme veya sınıf modellerinden hiç bahsedilmeyen yaklaşımdır. Bu Cohen'in orijinal yöntemiydi ve bir detaylandırmada Boolean değerli analiz yöntemi haline geldi. ${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili V}$

Cohen zorlaması

En basit aşikar olmayan zorlama poşet olup sonlu kısmi fonksiyonlar ile ilgili, için altında ters dahil. Bu bir durumdur aslında iki ayrık sonlu alt kümeleri olan ve içinde düşünülebilir kadar olan "evet" ve "hayır" parçaları gibi , etki alanı dışında kalan değerler üzerinde sağlanan hiçbir bilgilerle . "' den daha güçlüdür " , diğer bir deyişle, "evet" ve "hayır" bölümlerinin "evet" ve "hayır" bölümlerinin üst kümeleri olduğu ve bu anlamda daha fazla bilgi sağladığı anlamına gelir. ${\displaystyle (\operatör adı {Fin} (\omega ,2),\supseteq ,0)}$${\görüntüleme stili\omega }$${\displaystyle 2~{\stackrel {\text{df}}{=}}~\{0,1\}}$${\görüntüleme stili p}$${\displaystyle {p^{-1}}[1]}$${\displaystyle {p^{-1}}[0]}$${\görüntüleme stili\omega }$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili q}$${\görüntüleme stili p}$${\displaystyle q\supseteq p}$${\görüntüleme stili q}$${\görüntüleme stili p}$

Bu poz için genel bir filtre olsun . Eğer ve her ikisi de içindeyse , o zaman bir koşuldur çünkü bir filtredir. Bu demektir ki bir iyi tanımlanmış kısmi fonksiyonudur için herhangi bir iki koşul nedeniyle ortak etki alanında ayrılır. ${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili q}$${\görüntüleme stili G}$${\ Displaystyle p\cup q}$${\görüntüleme stili G}$${\displaystyle g=\bigcup G}$${\görüntüleme stili\omega }$${\görüntüleme stili 2}$${\görüntüleme stili G}$

Aslında, toplam bir fonksiyondur. Verilmiş , bırak . Sonra yoğun. (Herhangi bir Verilen eğer değil için bir değer bitişik, bireyin etki -the sonuç olduğunu bir durumdur.) Sahiptir kendi etki, ve o zamandan beri , biz bulmak tanımlanır. ${\görüntüleme stili g}$${\görüntüleme stili n\omega'da }$${\displaystyle D_{n}=\{p\mid p(n)~{\text{tanımlanmıştır}}\}}$${\görüntüleme stili D_{n}}$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili D_{n}}$${\displaystyle p\in G\cap D_{n}}$${\görüntüleme stili n}$${\ Displaystyle p\subseteq g}$${\görüntüleme stili g(n)}$

Let , genel koşulların tüm "evet" üyelerinin kümesi. Doğrudan bir isim vermek mümkündür . İzin vermek ${\displaystyle X={g^{-1}}[1]}$${\görüntüleme stili X}$

${\displaystyle {\underline {X}}=\sol\{\sol({\check {n}},p\sağ)\orta p(n)=1\sağ\}.}$

Sonra Şimdi varsayalım içinde . Bunu iddia ediyoruz . İzin vermek ${\displaystyle \operatöradı {val} ({\underline {X}},G)=X.}$${\displaystyle A\subseteq\omega }$${\görüntüleme stili V}$${\displaystyle X\neq A}$

${\displaystyle D_{A}=\{p\mid (\vardır n)(n\in \operatöradı {Dom} (p)\land (p(n)=1\iff n\notin A))\}. }$

Sonra yoğun. (Verilen herhangi biri , kendi etki alanında olmadığını ve " " statüsüne aykırı bir değere bitişik olduğunu bulun .) Daha sonra herhangi bir tanık . Özetlemek gerekirse, mutlaka sonsuz olan "yeni" bir alt kümedir . ${\görüntüleme stili D_{A}}$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili n\A'da}$${\displaystyle p\in G\cap D_{A}}$${\displaystyle X\neq A}$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili\omega }$

Değiştirilmesi ile yerine sonlu kısmi fonksiyonlar, girdileri formu olan göz önünde olduğu, olan ve ve, çıkışları olan ya da , tek bir alır yeni alt kümeleri . Hepsi bir yoğunluk argümanıyla farklıdır: Verilen , izin ver ${\görüntüleme stili\omega }$${\displaystyle \omega \times \omega _{2}}$${\görüntüleme stili (n,\alfa )}$${\görüntüleme stili n<\omega }$${\displaystyle \alpha <\omega _{2}}$${\görüntüleme stili 0}$${\görüntüleme stili 1}$${\ Displaystyle \ omega _{2}}$${\görüntüleme stili\omega }$${\displaystyle \alpha <\beta <\omega _{2}}$

${\displaystyle D_{\alpha ,\beta }=\{p\mid (\exists n)(p(n,\alpha )\neq p(n,\beta ))\},}$

o zaman her biri yoğundur ve içindeki genel bir koşul, α'inci yeni kümenin bir yerde inci yeni kümeyle uyuşmadığını kanıtlar . ${\displaystyle D_{\alpha ,\beta }}$${\görüntüleme stili \beta }$

Bu, henüz süreklilik hipotezinin yanlışlanması değildir. Hangi haritanın üzerine veya üzerine yeni haritalar getirilmediğini kanıtlamak gerekir . On yerine dikkate Örneğin, , sonlu kısmi fonksiyonlar için , ilk sayılamaz sıra , bir alır Bir eşleşme için . Başka bir deyişle, etti çöktü ve zorlama uzantısında, bir sayılabilir sıra olduğunu. ${\görüntüleme stili\omega }$${\görüntüleme stili \omega _{1}}$${\görüntüleme stili \omega _{1}}$${\ Displaystyle \ omega _{2}}$${\displaystyle \ operatör adı {Fin} (\omega ,\omega _{1})}$${\görüntüleme stili\omega }$${\görüntüleme stili \omega _{1}}$${\görüntüleme stili V[G]}$${\görüntüleme stili\omega }$${\görüntüleme stili \omega _{1}}$${\görüntüleme stili \omega _{1}}$

O halde, süreklilik hipotezinin bağımsızlığını göstermenin son adımı, Cohen zorlamasının kardinalleri çökertmediğini göstermektir. Bunun için yeterli bir kombinatoryal özellik, zorlama pozunun tüm antizincirlerinin sayılabilir olmasıdır.

sayılabilir zincir durumu

Bir (güçlü) antichain ait eğer bir alt şekildedir sonra ve vardır uyumsuz (yazılı ), yani hiçbir orada içinde böyle ve . Borel kümeleriyle ilgili örnekte uyumsuzluk , sıfır ölçüsü olan anlamına gelir . Sonlu kısmi fonksiyonlar, uyumsuzluk aracı üzerinde örnekte diğer bir deyişle, bir fonksiyonu değildir ve bazı alan girişine atama farklı değerler. ${\görüntüleme stili A}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle p,q\in A}$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili q}$${\görüntüleme stili p\perp q}$${\görüntüleme stili r}$${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle r\leq p}$${\displaystyle r\leq q}$${\displaystyle p\cap q}$${\ Displaystyle p\cup q}$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili q}$

${\displaystyle \mathbb {P} }$tatmin sayılabilir zincirlerde (ccc) ve eğer her antichain sadece sayılabilir olup. (Açıkçası uygunsuz olan isim, eski terminolojiden kalmadır. Bazı matematikçiler "sayılabilir zincir karşıtı durum" için "cac" yazarlar.) ${\displaystyle \mathbb {P} }$

Ölçülerin toplamı en fazla olduğu için bunun ccc'yi karşıladığını görmek kolaydır . Ayrıca, ccc'yi karşılar, ancak ispatı daha zordur. ${\displaystyle \operatöradı {Bor} (I)}$${\görüntüleme stili 1}$${\displaystyle \operatör adı {Fin} (E,2)}$

Sayılamayan bir alt aile verildiğinde , bazıları için sayılamayan bir boyut kümeleri alt ailesine küçülür . Eğer için sayılamayacak sonsuzlukta bir sayılamayan alt ailesine bu küçültmek sonlu bir set aldığımız ve tekrar ve sayılamayan aile büyüklüğünün uyumsuz durumların her şekilde olduğu en sayılabilir çoğuna için . Şimdi, rastgele bir tane seçin ve ortak bir etki alanı üyesine sahip sayısız üyeden biri olmayan herhangi birini seçin . O zaman ve uyumludur, yani bir zincir karşıtı değildir. Başka bir deyişle, -antichains sayılabilir. ${\displaystyle W\subseteq \operatör adı {Fin} (E,2)}$${\görüntüleme stili W}$${\görüntüleme stili W_{0}}$${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili n<\omega }$${\displaystyle p(e_{1})=b_{1}}$${\displaystyle p\in W_{0}}$${\görüntüleme stili W_{1}}$${\displaystyle \{(e_{1},b_{1}),\ldots ,(e_{k},b_{k})\}}$${\displaystyle W_{k}}$${\görüntüleme stili nk}$${\görüntüleme stili e}$${\ Displaystyle \ operatör adı {Dom} (p)}$${\displaystyle p\in W_{k}}$${\displaystyle p\in W_{k}}$${\displaystyle W_{k}}$${\görüntüleme stili q}$${\görüntüleme stili p}$${\displaystyle p\cup \{(e_{1},b_{1}),\ldots ,(e_{k},b_{k})\}}$${\displaystyle q\cup \{(e_{1},b_{1}),\ldots ,(e_{k},b_{k})\}}$${\görüntüleme stili W}$${\displaystyle \operatör adı {Fin} (E,2)}$

Zorlamada zincir zincirlerinin önemi, çoğu amaç için yoğun kümelerin ve maksimum zincir zincirlerinin eşdeğer olmasıdır. Bir maksimal antichain daha büyük antichain için uzatılamaz biridir. Bu, her öğenin bazı üyeleriyle uyumlu olduğu anlamına gelir . Maksimal bir zincir karşıtının varlığı Zorn'un Lemma'sından kaynaklanmaktadır . Maksimum bir zincir karşıtı verildiğinde , izin ver ${\görüntüleme stili A}$${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili A}$

${\displaystyle D=\left\{p\in \mathbb {P} \mid (\vardır q\in A)(p\leq q)\sağ\}.}$

Sonra yoğundur ve ancak ve ancak . Tersine, yoğun bir küme verildiğinde , Zorn'un Lemması maksimal bir zincir karşıtının var olduğunu ve sonra ancak ve ancak . ${\görüntüleme stili D}$${\displaystyle G\cap D\neq \varnothing }$${\displaystyle G\cap A\neq \varnothing }$${\görüntüleme stili D}$${\görüntüleme stili A\alt küme D}$${\displaystyle G\cap D\neq \varnothing }$${\displaystyle G\cap A\neq \varnothing }$

Verilen ccc'yi sağladığını varsayalım , içinde bir fonksiyonla , içeri aşağıdaki gibi yaklaşılabilir . (tanımı gereği ) için bir isim olsun ve dan ile arasında bir fonksiyon olmaya zorlayan bir koşul olsun . Bir fonksiyonu tanımlayın kimin etki alanıdır, tarafından, ${\displaystyle \mathbb {P} }$${\görüntüleme stili x,y\V}$${\görüntüleme stili f:x\y'ye}$${\görüntüleme stili V[G]}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili u}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili V[G]}$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili u}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili y}$${\görüntüleme stili F}$${\görüntüleme stili x}$

${\displaystyle F(a){\stackrel {\text{df}}{=}}\left\{b\left|(\exists q\in \mathbb {P} )\left[(q\leq p) \land \left(q\Vdash ~u\left({\check {a}}\right)={\check {b}}\sağ)\sağ]\sağ\}.\sağ.}$

Zorlamanın tanımlanabilirliği ile bu tanım . Zorlamanın tutarlılığı ile uyumsuz bir farklı gelir . Ccc ile sayılabilir. ${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili b}$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili F(a)}$

Özetle, içinde bilinmeyen o dayandığından , ancak bir ccc-zorlayarak için çılgınca bilinmeyen değildir. 'den bağımsız olarak herhangi bir girdideki değerinin ne olduğuna ilişkin sayılabilir bir tahmin kümesi tanımlanabilir . ${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili G}$

Bunun aşağıdaki çok önemli sonucu vardır. Varsa , bir sonsuz sıralı bir örten bir üzerine, daha sonra orada örten bir de , sonuç olarak örten, ve de . Özellikle, kardinaller çökemez. Sonuç, içinde olduğu . ${\görüntüleme stili V[G]}$${\displaystyle f:\alpha \to \beta }$${\displaystyle g:\omega \times \alpha \to \beta }$${\görüntüleme stili V}$${\displaystyle h:\alpha \to \beta }$${\görüntüleme stili V}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\geq \aleph _{2}}$${\görüntüleme stili V[G]}$

Easton zorlama

Yukarıdaki Cohen modelindeki sürekliliğin tam değeri ve genel olarak kardinaller için olduğu gibi varyantlar , yalnızca düzenli kardinaller için sonlu bir kardinaller için nasıl ihlal edileceğini ( genelleştirilmiş süreklilik hipotezi ) de çözen Robert M. Solovay tarafından çalışıldı. defalarca. Örneğin, yukarıdaki Cohen modelinde, tutarsa , tutar . ${\ Displaystyle \ operatör adı {Fin} (\omega \times \kappa ,2)}$${\görüntüleme stili \kappa }$${\ Displaystyle {\mathsf {GCH}}}$${\displaystyle {\mathsf {CH}}}$${\görüntüleme stili V}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{2}}$${\görüntüleme stili V[G]}$

William B. Easton , temel olarak bilinen kısıtlamaların (monotonluk, Cantor Teoremi ve König Teoremi ) tek ispatlanabilir kısıtlamalar olduğunu göstererek, düzenli kardinaller için ihlalin uygun sınıf versiyonunu geliştirdi (bkz. Easton Teoremi ). ${\ Displaystyle {\mathsf {GCH}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

Easton'ın çalışması, uygun bir koşul sınıfıyla zorlamayı içermesi bakımından dikkate değerdi. Genel olarak, uygun bir koşul sınıfıyla zorlama yöntemi bir model vermede başarısız olur . Örneğin, tüm ordinallerin uygun sınıfının nerede olduğu ile zorlamak , sürekliliği uygun bir sınıf yapar. Öte yandan, ile zorlama , sıra sayıların sayılabilir bir numaralandırmasını sunar. Her iki durumda da, sonuç gözle görülür şekilde bir model değildir . ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle \operatöradı {Fin} (\omega \times \mathbf {On} ,2)}$${\displaystyle \mathbf {Açık} }$${\ Displaystyle \ operatör adı {Fin} (\omega ,\mathbf {Açık} )}$${\görüntüleme stili V[G]}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

Bir zamanlar, daha karmaşık zorlamanın, tekil kardinallerin yetkilerinde keyfi bir değişikliğe izin vereceği düşünülüyordu . Ancak bu birkaç daha fazlası ile, bir zor ince ve hatta şaşırtıcı sorun olduğu ortaya çıktı gelmiştir kanıtlanabilir kısıtlamalar içinde ve zorlama modelleri çeşitli kıvamına göre olan büyük kardinal özellikleri. Birçok açık sorun devam ediyor. ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

rastgele gerçekler

Rastgele zorlama, ilişkiye göre sıralanmış pozitif ölçümün tüm kompakt alt kümelerinin kümesi üzerinde zorlama olarak tanımlanabilir (içerme bağlamında daha küçük küme, sıralamada daha küçük kümedir ve daha fazla bilgi içeren durumu temsil eder). İki tür önemli yoğun küme vardır: ${\görüntüleme stili P}$${\görüntüleme stili [0,1]}$${\görüntüleme stili\alt küme }$

1. Herhangi bir pozitif tamsayı için küme${\görüntüleme stili n}$
   $${\displaystyle D_{n}=\left\{p\in P:\operatöradı {diam} (p)<{\frac {1}{n}}\sağ\}}$$

   
   yoğun, burada setin çapı .${\displaystyle \operatöradı {diam} (p)}$${\görüntüleme stili p}$
2. 1. ölçünün herhangi bir Borel alt kümesi için ,${\displaystyle B\alt küme [0,1]}$
   $${\displaystyle D_{B}=\{p\in P:p\subseteq B\}}$$

   
   yoğun.

Herhangi bir filtre ve herhangi bir sonlu eleman için tutan öyle bir şey var ki . Bu sıralama durumunda, bu, herhangi bir filtrenin sonlu kesişim özelliğine sahip kompakt kümeler kümesi olduğu anlamına gelir. Bu nedenle herhangi bir filtrenin tüm elemanlarının kesişimi boş değildir. Eğer yoğun bir dizi kesişen bir filtredir herhangi bir pozitif tam sayı için , daha sonra, filtre keyfi küçük pozitif çaplı koşulları içerir. Bu nedenle, tüm koşulların kesişiminin çapı 0'dır. Ancak, yalnızca boş olmayan 0 çapındaki kümeler tekildir. Yani tam olarak böyle bir gerçek sayı vardır . ${\görüntüleme stili G}$${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}\in G}$${\görüntüleme stili q\in G}$${\displaystyle q\leq p_{1},\ldots ,p_{n}}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili D_{n}}$${\görüntüleme stili n}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili r_{G}}$${\displaystyle r_{G}\in \bigcap G}$

Izin Eğer tedbir 1. herhangi Borel kümesi olmak kesişen sonra . ${\displaystyle B\alt küme [0,1]}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili D_{B}}$${\displaystyle r_{G}\B}$

Ancak, sayılabilir geçişli modeli üzerinde genel bir filtre değil . tarafından tanımlanan gerçek , kanıtlanabilir bir öğesi değildir . Sorun varsa yani , o zaman " kompakt", ancak bazı büyük evrenin açısından , non-kompakt ve jenerik filtreden her koşulda kesişimi olabilir aslında boş olduğunu. Bu nedenle, G'den koşulların topolojik kapanışları kümesini ele alıyoruz . ' nin sonlu kesişim özelliği nedeniyle , küme aynı zamanda sonlu kesişim özelliğine de sahiptir. Kümenin elemanları, sınırlı kümelerin kapanışları gibi sınırlı kapalı kümelerdir. Bu nedenle, sonlu kesişim özelliğine sahip bir kompakt kümeler kümesidir ve dolayısıyla boş olmayan kesişme sahiptir. Yana ve yer modeli evrenin bir metrik devralır , grubu isteğe bağlı olarak küçük çaplı elemanları vardır. Son olarak, kümenin tüm üyelerine ait olan tam olarak bir gerçek vardır . Jenerik filtre tekrar oluşturulabilir olarak . ${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili r_{G}}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili V}$${\ Displaystyle p\in P}$${\görüntüleme stili V\modeller}$${\görüntüleme stili p}$${\ Displaystyle U\supset V}$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili G}$${\displaystyle C=\{{\bar {p}}:p\in G\}}$${\displaystyle {\bar {p}}\supseteq p}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili C}$${\displaystyle \operatöradı {diam} ({\bar {p}})=\operatöradı {diam} (p)}$${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili r_{G}}$${\displaystyle G=\{p\in P:r_{G}\in {\bar {p}}\}}$

Eğer adıdır ve için geçerlidir " sonra tutar, ölçü 1 Borel kümesi" ${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili r_{G}}$${\ Displaystyle B\in V}$${\görüntüleme stili V\modeller}$${\görüntüleme stili B}$

${\displaystyle V[G]\models \left(p\Vdash _{\mathbb {P} }a\in {\check {B}}\sağ)}$

bazıları için . Herhangi bir genel filtre tutması için öyle bir isim var ki${\görüntüleme stili p\in G}$${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili G}$

${\displaystyle \operatöradı {val} (a,G)\in \bigcup _{p\in G}{\bar {p}}.}$

Sonra

${\displaystyle V[G]\models \left(p\Vdash _{\mathbb {P} }a\in {\check {B}}\sağ)}$

herhangi bir koşul için tutar . ${\görüntüleme stili p}$

Her Borel kümesi, benzersiz olmayan bir şekilde, rasyonel bitiş noktaları olan aralıklardan başlayarak ve tümleyen ve sayılabilir birleşimlerin işlemlerini, sayılabilir sayıda uygulayarak oluşturulabilir. Böyle bir yapının kaydına Borel kodu denir . Bir Borel kümesi Verilen içinde bir telafi bir Borel kodu, ve sonra aynı yapı dizisini uygular bir Borel set aldığımız, . Yapısından bağımsız olarak aynı kümenin elde edildiği ve temel özelliklerin korunduğu kanıtlanabilir . Örneğin, eğer , o zaman . Eğer ölçü sıfır vardır, o zaman sıfır ölçüyorlar. Bu haritalama dolaylıdır. ${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili V[G]}$${\görüntüleme stili B^{*}}$${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili B\alt küme C}$${\ Displaystyle B^{*}\subseteq C^{*}}$${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili B^{*}}$${\ Displaystyle B\mapsto B^{*}}$

Herhangi bir küme için ve " ölçü 1'in bir Borel kümesidir" tutar . ${\displaystyle B\alt küme [0,1]}$${\ Displaystyle B\in V}$${\görüntüleme stili V\modeller}$${\görüntüleme stili B}$${\displaystyle r\in B^{*}}$

Bu , bakış açısından "0'lar ve 1'lerin sonsuz rastgele dizisi" olduğu anlamına gelir, bu da zemin modelinden tüm istatistiksel testleri karşıladığı anlamına gelir . ${\görüntüleme stili r}$${\görüntüleme stili V}$${\görüntüleme stili V}$

Yani verilen , rastgele bir gerçek, kişi bunu gösterebilir ${\görüntüleme stili r}$

${\displaystyle G=\left\{B~({\text{in }}V)\mid r\inB^{*}~({\text{in }}V[G])\sağ\}. }$

Çünkü arasındaki karşılıklı birbirine tanımlanabilirlik ve bir genel olarak yazar için . ${\görüntüleme stili r}$${\görüntüleme stili G}$${\görüntüleme stili V[r]}$${\görüntüleme stili V[G]}$

Gerçeklerin farklı bir yorumu Dana Scott tarafından sağlandı . Rasyonel sayıların , Borel kümelerinin maksimal bir zincirleme karşı zincirine atanan sayılabilir-birçok farklı rasyonel değere karşılık gelen adları vardır - başka bir deyişle, üzerinde belirli bir rasyonel-değerli fonksiyon . O halde reel sayılar bu tür fonksiyonların yani ölçülebilir fonksiyonların Dedekind kesimlerine karşılık gelir . ${\görüntüleme stili V[G]}$${\görüntüleme stili V[G]}$${\görüntüleme stili I=[0,1]}$${\görüntüleme stili V[G]}$

Boolean değerli modeller

Belki daha açık bir şekilde, yöntem Boolean değerli modeller cinsinden açıklanabilir. Bunlarda, herhangi bir ifadeye, yalnızca doğru/yanlış bir değerden ziyade, bazı tam atomsuz Boole cebrinden bir doğruluk değeri atanır . Daha sonra , teorimizin ifadelerine doğru/yanlış değerlerini atayan bu Boole cebrinde bir ultrafiltre seçilir. Mesele şu ki, ortaya çıkan teorinin bu ultrafiltreyi içeren bir modeli var, bu da eskisinin bu ultrafiltre ile genişletilmesiyle elde edilen yeni bir model olarak anlaşılabilir. Boolean değerli bir modeli uygun bir şekilde seçerek istenilen özelliğe sahip bir model elde edebiliriz. İçinde, yalnızca doğru olması gereken (doğru olmaya "zorlanan") ifadeler bir anlamda doğru olacaktır (çünkü bu genişleme/minimallik özelliğine sahiptir).

Meta-matematiksel açıklama

Zorlayarak, biz genellikle bazı göstermek için aramak cümle olan tutarlı olan (ya da isteğe bağlı olarak bazı uzatma ). Argümanı yorumlamanın bir yolu, bunun tutarlı olduğunu varsaymak ve ardından yeni cümleyle birleştirildiğinde de tutarlı olduğunu kanıtlamaktır . ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

Her "koşul" sonlu bir bilgi parçasıdır - fikir, tutarlılık için yalnızca sonlu parçaların alakalı olduğudur, çünkü kompaktlık teoremi tarafından , bir teori ancak ve ancak aksiyomlarının her sonlu alt kümesi tatmin edilebilirse tatmin edilebilir. Daha sonra modelimizi genişletmek için sonsuz sayıda tutarlı koşul seçebiliriz. Bu nedenle, 'nin tutarlılığını varsayarak, bu sonsuz kümenin genişletilmiş tutarlılığını ispatlıyoruz . ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

mantıksal açıklama

Tarafından Gödel'in ikinci teoremi , bir gibi herhangi bir yeterince güçlü resmi teorinin tutarlılığı, ispat edemez teori tutarsız olmadıkça, teorinin kendisinin sadece aksiyomlarını kullanılarak. Sonuç olarak, matematikçiler yalnızca aksiyomlarını kullanmanın tutarlılığını kanıtlamaya veya yalnızca kullanarak herhangi bir hipotez için tutarlı olduğunu kanıtlamaya çalışmazlar . Bu nedenle tutarlılık kanıtının amacı, tutarlılığın tutarlılığına göre tutarlılığını kanıtlamaktır . Bu tür problemler göreli tutarlılık problemleri olarak bilinir ve bunlardan biri ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+H}$${\görüntüleme stili H}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+H}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+H}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}\vdash \operatöradı {Con} ({\mathsf {ZFC}})\rightarrow \operatöradı {Con} ({\mathsf {ZFC}}+H).}$$

( ⁎ )

Göreceli tutarlılık kanıtlarının genel şeması aşağıdaki gibidir. Herhangi bir kanıt sonlu olduğundan, yalnızca sınırlı sayıda aksiyom kullanır:

${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+\lnot \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+H)\vdash (\exists T)(\operatorname {Fin} (T)\land T\subseteq {\mathsf {ZFC}}\land (T\vdash \lnot H)).}$

Herhangi bir kanıt için, bu kanıtın geçerliliğini doğrulayabilir. Bu, ispatın uzunluğu üzerinden tümevarımla ispatlanabilir. ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$

${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}\vdash (\forall T)((T\vdash \lnot H)\rightarrow ({\mathsf {ZFC}}\vdash (T\vdash \lnot H))).}$

Sonra çöz

${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+\lnot \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+H)\vdash (\exists T)(\operatorname {Fin} (T)\land T\subseteq {\mathsf {ZFC}}\land ({\mathsf {ZFC}}\vdash (T\vdash \lnot H)))}$

Aşağıdakileri kanıtlayarak

$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}\vdash (\forall T)(\operatorname {Fin} (T)\land T\subseteq {\mathsf {ZFC}}\rightarrow ({\mathsf {ZFC}}\vdash) \operatöradı {Con} (T+H))),}$$

( ⁎⁎ )

sonuç olarak denebilir ki

${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+\lnot \operatorname {Con} ({\mathsf {ZFC}}+H)\vdash (\exists T)(\operatorname {Fin} (T)\land T\subseteq {\mathsf {ZFC}}\land ({\mathsf {ZFC}}\vdash (T\vdash \lnot H))\land ({\mathsf {ZFC}}\vdash \operatorname {Con} (T+H) ))),}$

hangi eşdeğerdir

${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+\lnot \operatöradı {Con} ({\mathsf {ZFC}}+H)\vdash \lnot \operatöradı {Con} ({\mathsf {ZFC}}),}$

hangi (*) verir. Göreceli tutarlılık kanıtının özü kanıtlamadır (**). Bir kanıtı herhangi bir sonlu alt-grup için inşa edilebilir ve aksiyomlardan ile ( tabii ki aletler). ( Elbette evrensel bir kanıt yok .) ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle \operatöradı {Con} (T+H)}$${\görüntüleme stili T}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle \operatöradı {Con} (T+H)}$

içinde , herhangi bir koşul için , zorlanan formüller kümesinin (adlarla değerlendirilir) tümdengelimli olarak kapalı olduğu kanıtlanabilir . Ayrıca, herhangi bir aksiyom için, bu aksiyomun . O halde zorlayan en az bir koşulun olduğunu kanıtlamak yeterlidir . ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\görüntüleme stili p}$${\görüntüleme stili p}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\görüntüleme stili \mathbf {1} }$${\görüntüleme stili H}$

Boolean değerli zorlama durumunda, prosedür benzerdir: Boolean değerinin olmadığını kanıtlamak . ${\görüntüleme stili H}$${\displaystyle \mathbf {0} }$

Başka bir yaklaşım Yansıma Teoremini kullanır. Herhangi bir sonlu aksiyom kümesi için, bu aksiyom kümesinin sayılabilir bir geçişli modeli olduğuna dair bir kanıt vardır. Herhangi bir sonlu kümesi için bir aksiyomlardan, sonlu bir dizi var ve böyle aksiyomlarından bir sayılabilir Geçişli modeli ise kanıtlıyor tatmin ardından tatmin . Sonlu kümesi olduğunu kanıtlayarak ait aksiyomlardan öyle ki sayılabilir Geçişli modeli eğer tatmin ardından karşılar hipotez . O zaman, herhangi bir sonlu aksiyom kümesi için , ispat eder . ${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\görüntüleme stili T}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\görüntüleme stili T'}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\görüntüleme stili M}$${\görüntüleme stili T'}$${\ Displaystyle M[G]}$${\görüntüleme stili T}$${\ Displaystyle T''}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\görüntüleme stili M}$${\ Displaystyle T''}$${\ Displaystyle M[G]}$${\görüntüleme stili H}$${\görüntüleme stili T}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle \operatöradı {Con} (T+H)}$

Bazen (**) içinde, güçlü bir teori daha kanıtlayan kullanılır . O zaman, tutarlılığına göre tutarlılığının kanıtına sahibiz . Not bu burada, bir (constructibility beliti). ${\görüntüleme stili S}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}}$${\displaystyle \operatöradı {Con} (T+H)}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}+H}$${\görüntüleme stili S}$${\displaystyle {\mathsf {ZFC}}\vdash \operatöradı {Con} ({\mathsf {ZFC}})\leftrightarrow \operatöradı {Con} ({\mathsf {ZFL}})}$${\displaystyle {\mathsf {ZFL}}}$${\displaystyle {\mathsf {ZF}}+V=L}$

Ayrıca bakınız

• Zorlayıcı kavramların listesi
• Güzel isim

Referanslar

• Bell, JL (1985). Küme Teorisinde Boolean Değerli Modeller ve Bağımsızlık Kanıtları , Oxford. ISBN  0-19-853241-5
• Cohen, PJ (1966). Küme teorisi ve süreklilik hipotezi . Addison-Wesley. ISBN'si 978-0-8053-2327-6.
• Grishin, VN (2001) [1994], "Zorlama Yöntemi" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press
• Kunen, K. (1980). Küme Teorisi: Bağımsızlık Kanıtlarına Giriş . Kuzey Hollanda. ISBN'si 978-0-444-85401-8.
• Jech, Thomas (2002). Küme Teorisi: Üçüncü Binyıl Sürümü . Spring-Verlag. ISBN'si 3-540-44085-2.

Dış bağlantılar

• Nik Weaver'ın Matematikçiler için Zorlama kitabı , zorlamanın temel makinelerini öğrenmek isteyen matematikçiler için yazılmıştır. Herhangi bir iyi eğitimli matematikçi için ikinci nitelik olması gereken biçimsel sözdizimi ile tesisin ötesinde, mantıkta hiçbir arka plan varsayılmaz.
• Timothy Chow'un Zorlama İçin Yeni Başlayanlar Kılavuzu adlı makalesi , pek çok teknik ayrıntıdan kaçınan zorlama kavramlarına iyi bir giriş niteliğindedir. Bu makale, Chow'un haber grubu makalesi Forcing for dummy'den türetilmiştir . İyileştirilmiş açıklamaya ek olarak, Başlangıç ​​Kılavuzu, Boolean değerli modeller hakkında bir bölüm içerir.
• Ayrıca bkz Kenny Easwaran bireyin makale zorlama ve Sürekli Hipotez A neşeli Giriş da acemi amaçlayan ancak Chow'un makaleden daha fazla teknik ayrıntı içerir.
• Cohen, PJ Süreklilik Hipotezinin Bağımsızlığı , Amerika Birleşik Devletleri Ulusal Bilimler Akademisi Bildiriler Kitabı, Cilt. 50, No. 6. (15 Aralık 1963), s. 1143-1148.
• Cohen, PJ Süreklilik Hipotezinin Bağımsızlığı, II , Amerika Birleşik Devletleri Ulusal Bilimler Akademisi Bildiriler Kitabı, Cilt. 51, No. 1. (15 Ocak 1964), s. 105-110.
• Paul Cohen, The Discovery of Zorlama (Rocky Mountain J. Math. Cilt 32, Sayı 4 (2002), 1071-1100), bağımsızlık kanıtını nasıl geliştirdiği hakkında tarihsel bir konferans verdi . Bağlantılı sayfada açık erişimli bir PDF için bir indirme bağlantısı vardır, ancak tarayıcınızın onu almak için bağlantılı sayfadan bir yönlendiren başlığı göndermesi gerekir .
• Akihiro Kanamori: Cantor'dan Cohen'e set teorisi
• Weisstein, Eric W. "Zorlama" . Matematik Dünyası .