cebir - Algebra

Kuadratik formül denklemi çözeltisi ifade ax 2 + bx + c = 0 , bir kendi katsayıları cinsinden, sıfır olmayan bir , b ve c .

Cebir ( Arapça'dan : الجبر ‎, romanlaştırılmışal-jabr , lit. 'kırık parçaların yeniden birleşmesi, kemik oluşumu '), sayı teorisi , geometri ve analizle birlikte matematiğin geniş alanlarından biridir . En genel haliyle cebir, matematiksel sembollerin ve bu sembolleri işlemek için kullanılan kuralların incelenmesidir; neredeyse tüm matematiğin birleştirici bir parçasıdır. Temel denklem çözmeden gruplar , halkalar ve alanlar gibi soyutlamaların çalışmasına kadar her şeyi içerir . Cebirin daha temel kısımlarına temel cebir denir ; daha soyut parçalara soyut cebir veya modern cebir denir . Temel cebir, genellikle matematik, bilim veya mühendislik ile tıp ve ekonomi gibi uygulamalar için gerekli olduğu düşünülür. Soyut cebir, ileri matematikte, öncelikle profesyonel matematikçiler tarafından incelenen önemli bir alandır.

Temel cebir , bilinmeyen veya birçok değer almasına izin verilen sayıları temsil etmek için harfleri kullanmak gibi soyutlamaların kullanımında aritmetikten farklıdır . Örneğin, harfi bilinmeyen, ancak uygulayarak toplamaya göre ters değerini ortaya çıkarabilir: . Cebir, formülleri yazmak ve denklemleri çözmek için eski her şeyi kelimelerle yazma yönteminden çok daha net ve kolay yöntemler sunar.

Cebir kelimesi ayrıca belirli özel şekillerde kullanılır. Soyut cebirde özel bir tür matematiksel nesneye "cebir" denir ve kelime, örneğin doğrusal cebir ve cebirsel topoloji ifadelerinde kullanılır .

Cebirde araştırma yapan bir matematikçiye cebirci denir.

etimoloji

Cebir kelimesi , Muhammed ibn Musa el-Khwarizmi'nin bir kitabının başlığından gelir .

Cebir kelimesi Arapça'dan gelir : الجبر ‎, romanize edilmişal-jabr , lit. 'kırık parçaların birleşimi, bonesetting 9'uncu yüzyıl kitabının başlığından' c İlm Al-jabr ve't-muqābala tarafından "geri yükleme ve Dengeleme Bilimi" Pers matematikçi ve astronom Harizmi . Onun eserinde el-cebr terimi, bir terimi bir denklemin bir tarafından diğerine taşıma işlemine, المقابلة al-muqābela "dengeleme" ise her iki tarafa eşit terimler eklemeye atıfta bulunmuştur. Sadece kısaltılmış algeber veya cebir Latince, kelime sonunda ya İspanyolca, İtalyanca, ya dan, 15. yüzyıl boyunca İngiliz dili girilen Ortaçağ Latince . Başlangıçta kırık veya çıkık kemiklerin yerleştirilmesi için cerrahi prosedüre atıfta bulundu . Matematiksel anlam ilk olarak 16. yüzyılda (İngilizce olarak) kaydedildi.

"Cebir" in farklı anlamları

"Cebir" kelimesinin matematikte tek bir kelime olarak veya niteleyicilerle ilişkili birkaç anlamı vardır.

  • Makalesiz tek bir kelime olarak "cebir", matematiğin geniş bir bölümünü adlandırır.
  • Bir makale ile veya çoğul olarak tek bir kelime olarak, "cebir" veya "cebirler", kesin tanımı bağlama bağlı olan belirli bir matematiksel yapıyı belirtir. Genellikle, yapının bir toplama, çarpma ve skaler çarpması vardır (bkz . Bir alan üzerinde cebir ). Bazı yazarlar "cebir" terimini kullandıklarında, aşağıdaki ek varsayımların bir alt kümesini yaparlar: ilişkisel , değişmeli , birimsel ve/veya sonlu boyutlu. Olarak evrensel cebir , kelime "cebri" izin verir, yukarıda konseptinin bir genelleştirme ifade eder n-li işlemler .
  • Bir niteleyici ile aynı ayrım vardır:

Matematik dalı olarak cebir

Cebir, aritmetiktekine benzer hesaplamalarla , sayıların yerine harflerle başladı . Bu, hangi sayılar dahil olursa olsun doğru olan özelliklerin kanıtlarına izin verdi. Örneğin, ikinci dereceden denklemde

herhangi bir sayı olabilir (olamayan hariç ) ve ikinci dereceden formül , denklemi sağlayan bilinmeyen niceliğin değerlerini hızlı ve kolay bir şekilde bulmak için kullanılabilir . Yani, denklemin tüm çözümlerini bulmak için.

Tarihsel olarak ve mevcut öğretimde cebir çalışması, yukarıdaki ikinci dereceden denklem gibi denklemlerin çözülmesiyle başlar. Sonra "bir denklemin çözümü var mı?", "bir denklemin kaç çözümü var?", "çözümlerin doğası hakkında ne söylenebilir?" gibi daha genel sorular. dikkate alındı. Bu sorular cebirin permütasyonlar , vektörler , matrisler ve polinomlar gibi sayısal olmayan nesnelere genişletilmesine yol açtı . Bu sayısal olmayan nesnelerin yapısal özellikleri daha sonra gruplar , halkalar ve alanlar gibi cebirsel yapılara soyutlandı .

16. yüzyıldan önce matematik, aritmetik ve geometri olmak üzere yalnızca iki alt alana bölünmüştü . Çok daha önce geliştirilmiş olan bazı yöntemler günümüzde cebir olarak kabul edilebilse de, cebirin ve kısa bir süre sonra sonsuz küçükler hesabının matematiğin alt alanları olarak ortaya çıkışı ancak 16. veya 17. yüzyıldan kalmadır. 19. yüzyılın ikinci yarısından itibaren, çoğu hem aritmetik hem de geometriden yararlanan ve neredeyse tamamı cebir kullanan birçok yeni matematik alanı ortaya çıktı.

Bugün cebir, birinci düzey alanların hiçbirinin (iki basamaklı girişler) cebir olarak adlandırılmadığı Matematik Konu Sınıflandırmasında görülebileceği gibi, matematiğin birçok dalını içine alacak kadar büyümüştür . Bugün cebir, 08-Genel cebirsel sistemler, 12- Alan teorisi ve polinomlar , 13- Değişmeli cebir , 15- Doğrusal ve çok doğrusal cebir ; matris teorisi , 16- İlişkili halkalar ve cebirler , 17- İlişkisiz halkalar ve cebirler , 18- Kategori teorisi ; homolojik cebir , 19 -K-teorisi ve 20- Grup teorisi . Cebir ayrıca 11- Sayı teorisi ve 14- Cebirsel geometride de yaygın olarak kullanılmaktadır .

Tarih

Cebirin erken tarihi

Cebirin kökleri, algoritmik bir tarzda hesaplamalar yapabildikleri gelişmiş bir aritmetik sistem geliştiren eski Babillilere kadar götürülebilir . Babilliler, günümüzde tipik olarak lineer denklemler , ikinci dereceden denklemler ve belirsiz lineer denklemler kullanılarak çözülen problemlerin çözümlerini hesaplamak için formüller geliştirdiler . Buna karşılık, bu dönemin Mısırlılarının çoğu ve MÖ 1. binyıldaki Yunan ve Çin matematiği , genellikle bu tür denklemleri Rhind Matematik Papirüsü , Öklid'in Elemanları ve Matematik Üzerine Dokuz Bölüm'de açıklananlar gibi geometrik yöntemlerle çözmüştür. Sanat . Yunanlıların Elementler'de belirtilen geometrik çalışması, belirli problemlerin çözümünün ötesinde formülleri daha genel denklemler ifade etme ve çözme sistemlerine genelleştirmek için bir çerçeve sağladı, ancak bu , ortaçağ İslam'ında matematik gelişene kadar gerçekleştirilemeyecekti .

Platon zamanında , Yunan matematiği şiddetli bir değişim geçirmişti. Yunanlılar , terimlerin geometrik nesnelerin kenarlarıyla temsil edildiği, genellikle çizgilerle ilişkilendirilen harflere sahip bir geometrik cebir yarattılar . Diophantus (MS 3. yüzyıl) İskenderiyeli bir Yunan matematikçiydi ve Arithmetica adlı bir dizi kitabın yazarıydı . Bu metinler cebirsel denklemleri çözmekle ilgilenir ve sayı teorisinde modern Diophant denklemi kavramına yol açmıştır .

Yukarıda tartışılan önceki gelenekler, İranlı matematikçi Muhammed ibn Mūsā al-Khwārizmī (c. 780-850) üzerinde doğrudan bir etkiye sahipti . Daha sonra cebiri geometri ve aritmetikten bağımsız bir matematik disiplini olarak kuran Tamamlama ve Dengeleme ile Hesaplama Üzerine Özet Kitap'ı yazdı .

Helenistik matematikçiler İskenderiyeli Heron ve Diophantus yanı sıra Hint matematikçi gibi Brahmagupta Diophantus' olsa, Mısır ve Babil geleneklerini devam Arithmetica ve Brahmagupta en Brāhmasphuṭasiddhānta daha yüksek bir düzeyde bulunmaktadır. Örneğin, ikinci dereceden denklemlere sıfır ve negatif çözümler de dahil olmak üzere semboller yerine kelimelerle yazılan ilk tam aritmetik çözüm, Brahmagupta tarafından MS 628'de yayınlanan Brahmasphutasiddhanta kitabında açıklanmıştır . Daha sonra, İranlı ve Arap matematikçiler çok daha yüksek bir karmaşıklık derecesine kadar cebirsel yöntemler geliştirdiler. Diophantus ve Babilliler denklemleri çözmek için çoğunlukla özel ad hoc yöntemler kullansalar da , El-Khwarizmi'nin katkısı temeldi. Cebirsel sembolizm, negatif sayılar veya sıfır olmadan lineer ve ikinci dereceden denklemleri çözdü , bu nedenle çeşitli denklem türlerini ayırt etmek zorunda kaldı.

Cebirin denklemler teorisi ile özdeşleştirildiği bağlamda , Yunan matematikçi Diophantus geleneksel olarak "cebirin babası" olarak bilinir ve denklemleri manipüle etme ve çözme kurallarıyla tanımlandığı bağlamda, İranlı matematikçi el-Khwarizmi'dir. "cebirin babası" olarak kabul edilir. Şimdi kimin (genel anlamda) "cebirin babası" olarak bilinmeye daha fazla hakkı olduğu konusunda bir tartışma var. Diophantus'u destekleyenler, Al-Jabr'da bulunan cebirin, Arithmetica'da bulunan cebirden biraz daha temel olduğuna ve Al-Jabr tamamen retorik iken Arithmetica'nın senkoplu olduğuna işaret ediyor . Harezmi'yi destekleyenler, onun " indirgeme " ve "dengeleme" (çıkartılan terimlerin bir denklemin diğer tarafına aktarılması, yani denklemin karşıt taraflarındaki benzer terimlerin iptali) yöntemlerini tanıttığı gerçeğine işaret ediyor . denklemi) terimi hangi al-jabr başlangıçta anılan ve o kendi başına bağımsız bir disiplin olarak cebir tedavi ederken geometrik deliller tarafından desteklenen ikinci dereceden denklemleri çözme kapsamlı bir açıklama, hakkını verdi. Onun cebiri artık "çözülecek bir dizi problemle değil , kombinasyonların denklemler için olası tüm prototipleri vermesi gereken ilkel terimlerle başlayan ve bundan böyle açıkça çalışmanın gerçek nesnesini oluşturan bir açıklama " ile ilgiliydi . Aynı zamanda bir denklemi kendi iyiliği için ve "genel bir tarzda, sadece bir problem çözme sürecinde ortaya çıkmadığı, özellikle sonsuz bir problem sınıfını tanımlamaya çağrıldığı sürece" inceledi.

Başka bir İranlı matematikçi Omar Khayyam , cebirsel geometrinin temellerini belirlemekle tanınır ve kübik denklemin genel geometrik çözümünü bulmuştur . Cebir ilkelerini ortaya koyan Cebir Problemlerinin Gösterimi Üzerine (1070) adlı kitabı , sonunda Avrupa'ya aktarılan Fars matematiğinin bir parçasıdır. Yine bir başka İranlı matematikçi Sharaf al-Dīn al-Tūsī , çeşitli kübik denklem durumlarına cebirsel ve sayısal çözümler buldu. Ayrıca bir fonksiyon kavramını geliştirdi . Hint matematikçiler Mahavira ve Bhaskara II , Farsça matematikçi El-Kerecî ve Çin matematikçi Zhu Shijie , kübik çeşitli durumlarda çözüldü quartic , quintic ve daha yüksek dereceden polinom sayısal yöntemler kullanılarak denklem. 13. yüzyılda, Fibonacci tarafından bir kübik denklemin çözümü, Avrupa cebirinde bir canlanmanın başlangıcının temsilcisidir. Ebu'l-Hasan ibn 'Alī el-Kalasadi (1412-1486) "cebirsel sembolizmin tanıtımına yönelik ilk adımları" attı. Ayrıca Σ n 2 , Σ n 3'ü hesapladı ve karekökleri belirlemek için ardışık yaklaşım yöntemini kullandı.

Cebirin modern tarihi

İtalyan matematikçi Girolamo Cardano , 1545 tarihli Ars magna kitabında kübik ve kuartik denklemlerin çözümlerini yayınladı .

François Viète'nin 16. yüzyılın sonlarında yeni cebir üzerine çalışması, modern cebire doğru önemli bir adımdı. 1637'de René Descartes , analitik geometriyi icat eden ve modern cebirsel gösterimi tanıtan La Géométrie'yi yayınladı . Cebirin daha da geliştirilmesindeki bir diğer önemli olay, 16. yüzyılın ortalarında geliştirilen kübik ve kuartik denklemlerin genel cebirsel çözümüydü. Bir determinant fikri , 17. yüzyılda Japon matematikçi Seki Kōwa tarafından geliştirildi , bunu on yıl sonra bağımsız olarak Gottfried Leibniz , matrisleri kullanarak eşzamanlı lineer denklem sistemlerini çözmek amacıyla geliştirdi . Gabriel Cramer ayrıca 18. yüzyılda matrisler ve determinantlar üzerinde bazı çalışmalar yaptı. Permütasyonlar, Joseph-Louis Lagrange tarafından cebirsel denklemlerin çözümlerine ayrılmış 1770 tarihli " Réflexions sur la résolution algébrique des équations " makalesinde , Lagrange çözücülerini tanıttığı incelendi . Paolo Ruffini , permütasyon grupları teorisini geliştiren ilk kişiydi ve selefleri gibi cebirsel denklemleri çözme bağlamında da.

Soyut cebir , 19. yüzyılda, denklemleri çözmeye olan ilgiden yola çıkarak, başlangıçta şimdi Galois teorisi olarak adlandırılan şeye ve yapılandırılabilirlik konularına odaklanarak geliştirildi . George Peacock , aritmetik ve cebirde aksiyomatik düşüncenin kurucusuydu. Augustus De Morgan , Önerilen Mantık Sisteminin Müfredatı'nda ilişki cebirini keşfetti . Josiah Willard Gibbs üç boyutlu uzayda bir vektör cebiri geliştirdi ve Arthur Cayley bir matris cebiri geliştirdi (bu değişmeli olmayan bir cebir).

Adında cebir kelimesi geçen matematik alanları

Cebirin bazı alt alanlarının adlarında cebir kelimesi vardır; lineer cebir bir örnektir. Diğerleri yapmaz: grup teorisi , halka teorisi ve alan teorisi örneklerdir. Bu bölümde, adında "cebir" kelimesi geçen matematiğin bazı alanlarını listeliyoruz.

Birçok matematiksel yapıya cebir denir :

temel cebir

Cebirsel ifade gösterimi:
  1 – güç (üs)
  2 – katsayı
  3 – terim
  4 – operatör
  5 – sabit terim
  x y c – değişkenler/sabitler

Temel cebir, cebirin en temel şeklidir. Aritmetiğin temel ilkelerinin ötesinde matematik bilgisi olmadığı varsayılan öğrencilere öğretilir . Aritmetikte sadece sayılar ve onların aritmetik işlemleri (+, -, ×, ÷ gibi) gerçekleşir. Cebirde sayılar genellikle değişken adı verilen sembollerle temsil edilir ( a , n , x , y veya z gibi ). Bu yararlıdır çünkü:

  • Aritmetik yasalarının genel formülasyonuna izin verir ( tüm a ve b için a + b = b + a gibi ) ve böylece gerçek sayı sisteminin özelliklerinin sistematik olarak araştırılmasının ilk adımıdır .
  • "Bilinmeyen" sayılara atıfta bulunulmasına, denklemlerin formülasyonuna ve bunların nasıl çözüleceğine dair çalışmalara izin verir . (Örneğin, "bir sayı Bul x öyle ki 3 x + 1 = 10" ya da biraz daha fazla olacak "bir sayı Bul x öyle ki ax + b = c ". O doğası olmadığını tespit için bu adım açar çözmemize izin veren belirli sayılar, ancak ilgili işlemler.)
  • Fonksiyonel ilişkilerin formüle edilmesini sağlar . (Örneğin, " x bilet satarsanız , kârınız 3 x − 10 dolar veya f ( x ) = 3 x − 10 olur, burada f fonksiyondur ve x , fonksiyonun uygulandığı sayıdır. ".)

polinomlar

Grafik derece bir polinom fonksiyonu 3

Bir polinom, sonlu sayıda sıfır olmayan terimin toplamı olan bir ifadedir ; her terim, bir sabitin çarpımından ve tam sayı kuvvetlerine yükseltilmiş sonlu sayıda değişkenden oluşur . Örneğin, x 2 + 2 x − 3, x tek değişkenindeki bir polinomdur . Bir polinom ifadesi, toplama ve çarpmanın değişmeliliği, birleşimselliği ve dağılımını kullanarak bir polinom olarak yeniden yazılabilen bir ifadedir. Örneğin, ( x − 1)( x + 3) bir polinom ifadesidir, yani aslında bir polinom değildir. Bir polinom fonksiyonu, bir polinom veya eşdeğer olarak bir polinom ifadesi ile tanımlanan bir fonksiyondur. Önceki iki örnek aynı polinom fonksiyonunu tanımlar.

Cebirdeki iki önemli ve ilgili problem , polinomların çarpanlarına ayrılması , yani belirli bir polinomun daha fazla çarpanlarına ayrılamayan diğer polinomların bir ürünü olarak ifade edilmesi ve polinomun en büyük ortak bölenlerinin hesaplanmasıdır . Yukarıdaki örnek polinom ( x − 1)( x + 3) şeklinde çarpanlara ayrılabilir . İlgili bir problem sınıfı, tek bir değişkende bir polinomun kökleri için cebirsel ifadeler bulmaktır .

Eğitim

Son yıllarda Amerika Birleşik Devletleri'nde halka açık derslerin sekizinci sınıfta (≈ 13 yo ±) başlaması daha yaygın olmasına rağmen, temel cebirin on bir yaşındaki öğrencilere öğretilmesi önerilmiştir. Ancak, bazı ABD okullarında cebir dokuzuncu sınıfta başlamaktadır.

soyut cebir

Özet cebir temel cebir ve bulunan tanıdık kavramlar uzanır aritmetik ait numaraların daha genel kavramlar. İşte soyut cebirde listelenen temel kavramlar.

Kümeler : Yalnızca farklı sayı türlerini düşünmek yerine , soyut cebir, daha genel küme kavramıyla ilgilenir : kümeye özgü özelliklere göre seçilen tüm nesnelerin ( eleman adı verilen ) bir koleksiyonu . Bilinen sayı türlerinin tüm koleksiyonları kümelerdir. Setleri Diğer örnekler her iki yan-iki dizi içerir matrisler , tüm ikinci derece kümesini polinomları ( ax 2 + bx + c ), her iki boyutlu dizi vektörleri düzlemde ve çeşitli sonlu grupları , örneğin modulo n tamsayılarının grupları olan döngüsel gruplar olarak . Küme teorisi , mantığın bir dalıdır ve teknik olarak cebirin bir dalı değildir.

İkili işlemler : Toplama kavramı (+) bir ikili işlem vermek için soyutlanmıştır , ∗ diyelim. İkili işlem kavramı, işlemin tanımlandığı küme olmadan anlamsızdır. Bir S kümesindeki a ve b öğeleri için , ab kümedeki başka bir öğedir; bu duruma kapanma denir . Toplama (+), çıkarma (-), çarpma (×) ve bölme (÷), matrislerin, vektörlerin ve polinomların toplanması ve çarpımı gibi farklı kümelerde tanımlandığında ikili işlemler olabilir.

Kimlik öğeleri : Bir işlem için bir kimlik öğesi kavramını vermek için sıfır ve bir sayıları soyutlanır . Sıfır, toplama için kimlik öğesidir ve bir, çarpma için kimlik öğesidir. Genel bir ikili operatör için * elementi e uygun olmalıdır bir * e = bir ve E * bir = bir , ve eğer mevcutsa, eşsizdir. Bu, a + 0 = a ve 0 + a = a olarak toplama ve a × 1 = a ve 1 × a = a olarak çarpma için geçerlidir . Tüm kümeler ve operatör kombinasyonlarının bir kimlik öğesi yoktur; örneğin, pozitif doğal sayılar kümesinin (1, 2, 3, ...) toplama için kimlik öğesi yoktur.

Ters elemanlar : Negatif sayılar ters elemanlar kavramını doğurur . Ayrıca için, ters bir yazılır - bir ve çoğalması için ters yazılır bir -1 . Genel bir iki taraflı ters eleman a -1 , aa -1 = e ve a -1a = e özelliğini karşılar , burada e kimlik elemanıdır.

Associativite : Tam sayıların toplanmasının associativite adı verilen bir özelliği vardır. Yani eklenecek sayıların gruplandırılması toplamı etkilemez. Örneğin: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) . Genel olarak, bu ( ab ) ∗ c = a ∗ ( bc ) olur. Bu özellik çoğu ikili işlem tarafından paylaşılır, ancak çıkarma, bölme veya oktonyon çarpması değil .

Değişebilirlik : Gerçek sayılarda toplama ve çarpma işlemlerinin ikisi de değişmelidir. Yani sayıların sırası sonucu etkilemez. Örneğin: 2 + 3 = 3 + 2. Genel olarak, bu ab = ba olur . Bu özellik, tüm ikili işlemler için geçerli değildir. Örneğin, matris çarpımı ve dördey çarpımının ikisi de değişmeli değildir.

Gruplar

Yukarıdaki kavramları birleştirmek, matematikteki en önemli yapılardan birini verir: bir grup . Bir grup, bir S kümesi ile tek bir ikili işlemin ∗ birleşimidir, seçtiğiniz herhangi bir şekilde tanımlanır, ancak aşağıdaki özelliklere sahiptir:

  • Kimlik eleman E her üye için, öyle ki mevcut a ait S , e * bir ve bir * e hem de özdeş olan bir .
  • Her eleman bir ters var her üye için a ait S , üye vardır a -1 , öyle ki , bir * bir -1 ve bir -1 * bir iki kimlik elemanına aynıdır.
  • İşlem ilişkiseldir: a , b ve c S'nin üyeleriyse, ( ab ) ∗ c , a ∗ ( bc ) ile aynıdır .

Bir grup, aynı zamanda ise, değişmeli - diğer iki üye için, olduğu bir ve b arasında S , bir * b özdeştir b * bir daha sonra bir grup olduğu söylenir - değişmeli .

Örneğin, toplama işlemi altındaki tam sayılar kümesi bir gruptur. Bu grupta, kimlik öğesi 0'dır ve herhangi bir a öğesinin tersi, onun olumsuzlamasıdır, − a . Herhangi bir a , b ve c tamsayıları için ( a + b ) + c = a + ( b + c ) olduğundan, ilişkilendirilebilirlik gereksinimi karşılanır.

Sıfır olmayan rasyonel sayılar çarpma işleminde bir grup oluşturur. Burada, kimlik elemanı, 1 olduğu 1 x bir = bir x 1 = bir rasyonel sayı için a . Ters bir olduğunu1/a, çünkü bir ×1/a = 1.

Ancak çarpma işlemi altındaki tamsayılar bir grup oluşturmaz. Bunun nedeni, genel olarak, bir tamsayının çarpımsal tersinin bir tamsayı olmamasıdır. Örneğin, 4 bir tamsayıdır, ancak çarpımsal tersi1/4, bir tamsayı değil.

Grup teorisi, grup teorisinde incelenir . Bu teorideki önemli bir sonuç , sonlu basit grupları kabaca 30 temel türe ayıran, çoğunlukla yaklaşık 1955 ve 1983 arasında yayınlanan sonlu basit grupların sınıflandırılmasıdır .

Yarı gruplar , yarı gruplar ve monoidler , gruplara benzer, ancak daha genel bir yapıya sahiptir. Bir küme ve bir kapalı ikili işlem içerirler, ancak diğer koşulları mutlaka karşılamazlar. Bir yarı grubun bir ilişkisel ikili işlemi vardır, ancak bir kimlik öğesi olmayabilir. Bir monoid , özdeşliği olan ancak her eleman için tersi olmayabilen bir yarı gruptur. Bir yarı-grup , herhangi bir elemanın ya benzersiz bir sol-çarpma ya da sağ-çarpma yoluyla herhangi bir başka elemana dönüştürülebileceği gereksinimini karşılar; ancak, ikili işlem ilişkisel olmayabilir.

Tüm gruplar monoidlerdir ve tüm monoidler yarı gruplardır.

Örnekler
Ayarlamak Doğal sayılar N Z tamsayıları Rasyonel sayılar Q (ayrıca gerçek R ve karmaşık C sayıları) Tamsayı modulo 3: Z 3 = {0, 1, 2}
Operasyon + × (sıfırsız) + × (sıfırsız) + - × (sıfırsız) ÷ (sıfırsız) + × (sıfırsız)
Kapalı Evet Evet Evet Evet Evet Evet Evet Evet Evet Evet
Kimlik 0 1 0 1 0 Yok 1 Yok 0 1
Ters Yok Yok - bir Yok - bir Yok 1/ a Yok sırasıyla 0, 2, 1 N/A, 1, 2, sırasıyla
ilişkisel Evet Evet Evet Evet Evet Numara Evet Numara Evet Evet
değişmeli Evet Evet Evet Evet Evet Numara Evet Numara Evet Evet
Yapı monoid monoid değişmeyen grup monoid değişmeyen grup yarı grup değişmeyen grup yarı grup değişmeyen grup değişmeyen grup (Z 2 )

Yüzükler ve alanlar

Grupların yalnızca bir ikili işlemi vardır. Farklı sayı türlerinin davranışını tam olarak açıklamak için iki operatörlü yapıların incelenmesi gerekir. Bunlardan en önemlileri halkalar ve tarlalardır .

Bir halkanın (+) ve (×) olmak üzere iki ikili işlemi vardır ve × + üzerinde dağılır. İlk operatörün (+) altında bir değişmeli grup oluşturur . İkinci operatör (×) altında ilişkiseldir, ancak bir özdeşliğe veya tersine sahip olması gerekmez, bu nedenle bölme gerekli değildir. Katkı maddesinin (+) kimlik elemanı 0 olarak yazılır ve katkı maddesi ters bir şekilde yazılır - bir .

Dağılım , sayılar için dağılım yasasını genelleştirir . Tamsayıları için ( bir + b ) x C = bir x C + b x c ve c x ( a + b ) = C x bir + c x b , ve X, olduğu söylenir dağıtım n +.

Tamsayılar bir halka örneğidir. Tamsayılar, onu bir integral alan yapan ek özelliklere sahiptir .

Bir alan a, halka tüm unsurları 0 formu bir hariç ek özelliği ile değişmeli grubu × altında. Çarpımsal (x) kimlik 1 olarak yazılır ve çarpımsal ters bir şekilde yazılır bir -1 .

Rasyonel sayılar, reel sayılar ve karmaşık sayılar alan örnekleridir.

Ayrıca bakınız

Referanslar

alıntılar

Atıfta bulunulan eserler

daha fazla okuma

Dış bağlantılar