Birleşim (küme teorisi) - Union (set theory)

İki kümenin birleşimi:

{\görüntüleme stili ~A\fincan B}

Üç kümenin birleşimi:

~A\cup B\cup C

A, B, C, D ve E'nin birleşimi beyaz alan dışında her şeydir.

Gelen küme teorisinin , birlik bir koleksiyon (∪ ile belirtilir) setlerinin tüm kümesidir elemanları koleksiyonunda. Kümelerin birleştirilebildiği ve birbirleriyle ilişkilendirilebildiği temel işlemlerden biridir. bir nullary birleşim ,sıfır () ${\görüntüleme stili 0}$ kümelerin birleşimini ifade ederve tanım gereğiboş kümeyeeşittir.

Bu makalede kullanılan sembollerin açıklaması için matematiksel semboller tablosuna bakın .

İki setin birleşimi

İki set birliği A ve B olan elemanları seti olup , A içinde B , veya her ikisinde de A ve B . Sembollerde,

A\cup B=\{x:x\A{\text{ veya }}x\B\}

.

Örneğin, A = {1, 3, 5, 7} ve B = {1, 2, 4, 6, 7} ise A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Daha ayrıntılı bir örnek (iki sonsuz küme içeren):

A = { x , 1'den büyük bir çift tam sayıdır }

B = { x , 1'den büyük tek bir tam sayıdır}

A\cup B=\{2,3,4,5,6,\dots \}

Başka bir örnek olarak, 9 sayısı {2, 3, 5, 7, 11, ...} asal sayılar kümesi ile {2, 4, 6, 8, 10 çift sayılar kümesinin birleşiminde yer almaz. , ...}, çünkü 9 ne asal ne de çifttir.

Kümelerin yinelenen öğeleri olamaz, bu nedenle {1, 2, 3} ve {2, 3, 4} kümelerinin birleşimi {1, 2, 3, 4}'dir. Aynı öğelerin birden çok oluşumu, bir kümenin veya içeriğinin kardinalitesi üzerinde hiçbir etkiye sahip değildir .

cebirsel özellikler

İkili birleşim, ilişkisel bir işlemdir; yani, herhangi bir A , B ve C kümesi için ,

{\ Displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C.}

Böylece parantezler belirsizlik olmadan çıkarılabilir: yukarıdakilerden herhangi biri A ∪ B ∪ C olarak yazılabilir . Ayrıca, birleşim değişmeli olduğundan kümeler herhangi bir sırada yazılabilir. Boş seti bir olan kimlik unsuru birliğin çalışması için. Yani, herhangi bir A kümesi için A ∪ ∅ = A . Ayrıca, birleştirme işlemi idempotenttir: A ∪ A = A . Tüm bu özellikler, mantıksal ayrılma hakkındaki benzer gerçeklerden kaynaklanmaktadır .

Kavşak birlik üzerinden dağıtır

{\ Displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}

ve birlik kavşak üzerinde dağıtır

{\ Displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C).}

Kuvvet kümesi kümesinin U birlikte sendika tarafından verilen operasyonlarla, kavşak ve tamamlama , bir olan Boole cebri . Bu Boole cebrinde, birleşim, kesişim ve tamamlama cinsinden formülle ifade edilebilir.

A\cup B=\left(A^{\text{c}}\cap B^{\text{c}}\sağ)^{\text{c}},

burada üst simge , evrensel U kümesindeki tümleyeni gösterir . ${\görüntüleme stili {}^{\metin{c}}}$

sonlu sendikalar

Aynı anda birkaç kümenin birleşimi alınabilir. Örneğin, üç set birliği A , B ve C tüm unsurları içeren A , tüm unsurları B ve tüm unsurları C , ve başka bir şey. Dolayısıyla, x , ancak ve ancak x , A , B ve C'den en az birindeyse , A ∪ B ∪ C'nin bir öğesidir .

Bir sonlu birlik sonlu kümeler sayıda birliktir; ifade, birleşim kümesinin sonlu bir küme olduğu anlamına gelmez .

keyfi sendikalar

En genel kavram, bazen sonsuz birleşim olarak adlandırılan keyfi bir kümeler koleksiyonunun birleşimidir . Eğer M bir dizi ya da sınıf , elemanları takımları, o zaman X bir birlik bir elemanıdır , M , ancak ve ancak orada en az bir eleman bir ve M bu şekilde X bir elemanıdır A . Sembollerde:

x\in \bigcup \mathbf {M} \iff \var A\in \mathbf {M} ,\ x\A'da.

Bu fikir önceki bölümleri kapsar—örneğin, A ∪ B ∪ C { A , B , C } koleksiyonunun birleşimidir . Ayrıca, M boş koleksiyon ise, M'nin birleşimi boş kümedir.

gösterimler

Genel kavramın gösterimi önemli ölçüde değişebilir. Sonlu bir küme birleşimi için genellikle veya yazılır . Keyfi sendikalar için çeşitli ortak gösterimler dahil , ve . Bu gösterimlerin sonuncusu, I'in bir dizin kümesi ve her için bir küme olduğu koleksiyonun birleşimine atıfta bulunur . I indeks kümesinin doğal sayılar kümesi olması durumunda, serideki sonsuz toplamlarınkine benzer olan gösterim kullanılır . $S_{1},S_{2},S_{3},\dots ,S_{n}$ $S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}\cup \dots \cup S_{n}$ $\bigcup _{i=1}^{n}S_{i}$ $\bigcup \mathbf {M}$ $\bigcup _{A\in \mathbf {M}}A$ $\bigcup _{i\in I}A_{i}$ $\sol\{A_{i}:i\ben\sağ\}$ $A_{i}$ ${\görüntüleme stili ben\ben}$ $\bigcup _{i=1}^{\infty}A_{i}$