Ayrık birlik - Disjoint union

In matematik , bir ayrık birleşimin (veya ayrımcılığa uğrayan birliğin bir ailenin) kümelerinin kümesidir bir ile injective fonksiyonun her haline A , bu enjeksiyonların görüntüleri oluşturacak şekilde bölümü arasında A (olduğunu, her eleman A'ya ait tam olarak bu görüntülerden biri). Bir ikili ayrık kümeler ailesinin ayrık birleşimi onların birliğidir . Açısından kategori teorisi , ayrık birliktir heap ait setleri kategorisinde . Ayrık birlik böylece tanımlanır${\displaystyle (A_{i}\iki nokta üst üste i\ben I)}$${\displaystyle A=\bigsqcup _{i\in I}A_{i},}$${\displaystyle A_{i}}$kadar bir eşleşme.

Ayrık birlik oluşturmak için standart bir yol tanımlamak için A grubu olarak , sipariş çiftlerinin ( x , i ) bu şekilde ve injektif fonksiyonları tarafından${\displaystyle x\in A_{i},}$${\displaystyle A_{i}\to A}$${\displaystyle x\mapsto (x,i).}$

Örnek

kümeleri düşünün ve . İlişkili kümeleri oluşturarak küme elemanlarını küme kökenine göre indeksleyebiliriz. ${\displaystyle A_{0}=\{5,6,7\}}$${\displaystyle A_{1}=\{5,6\}}$

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}A_{0}^{*}&=\{(5,0),(6,0),(7,0)\}\\A_{1}^{*} &=\{(5,1),(6,1)\},\end{hizalı}}}$

burada her çiftteki ikinci öğe, başlangıç ​​kümesinin alt indisiyle eşleşir (örneğin, in , in in indisiyle eşleşir , vb.). Ayrık birleşim daha sonra aşağıdaki gibi hesaplanabilir: ${\görüntüleme stili 0}$${\görüntüleme stili (5,0)}$${\ Displaystyle A_{0}}$${\displaystyle A_{0}\sqcup A_{1}}$

${\displaystyle A_{0}\sqcup A_{1}=A_{0}^{*}\cup A_{1}^{*}=\{(5,0),(6,0),(7, 0),(5,1),(6,1)\}.}$

Teori tanımını ayarla

Resmen let bir olmak setlerinin ailesi tarafından dizine ayrık birleşimin bu ailenin seti edilir ${\displaystyle \sol\{A_{i}:i\ben\sağ\}}$${\görüntüleme stili I.}$

${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}\sol\{(x,i):x\in A_{i}\sağ\}.}$

Ayrık birleşimin öğeleri sıralı çiftlerdir Burada öğenin hangisinden geldiğini gösteren yardımcı bir dizin görevi görür . ${\görüntüleme stili (x,i).}$${\görüntüleme stili ben}$${\displaystyle A_{i}}$${\görüntüleme stili x}$

Kümelerin her biri, kümeye kanonik olarak izomorfiktir. ${\displaystyle A_{i}}$

${\displaystyle A_{i}^{*}=\sol\{(x,i):x\in A_{i}\sağ\}.}$

Bu izomorfizm aracılığıyla , bunun ayrık birliğe kanonik olarak gömülü olduğu düşünülebilir . İçin setler ve ayrık olan setler bile ve değillerdir. ${\displaystyle A_{i}}$${\görüntüleme stili i\neq j,}$${\ Displaystyle A_{i}^{*}}$${\ Displaystyle A_{j}^{*}}$${\displaystyle A_{i}}$${\ Displaystyle A_{j}}$

Her Aşırı durumda bazı sabit küme eşittir her biri için ayrık birleşimine olan Kartezyen ürün arasında ve : ${\displaystyle A_{i}}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili ben\ben,}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili I}$

${\displaystyle \bigsqcup _{i\in I}A_{i}=A\times I.}$

Biri bazen gösterimi görebilir

${\displaystyle \sum _{i\in I}A_{i}}$

bir küme ailesinin ayrık birleşimi için veya iki kümenin ayrık birleşiminin gösterimi için. Bu gösterim gerçeği düşündüren olması gerekiyordu kardinalite ayrık birleşimin olduğu toplamı ailede terimlerin kardinallikleri arasında. Bunu , bir küme ailesinin Kartezyen çarpımı için gösterimle karşılaştırın . ${\görüntüleme stili A+B}$

Ayrık birliktelikler de bazen yazılı veya${\displaystyle \biguplus _{i\in I}A_{i}}$${\displaystyle \ \cdot \!\!\!\!\!\bigcup _{i\in I}A_{i}.}$

Dilinde kategori teorisi , ayrık birliktir heap içinde setlerinin kategorisinde . Bu nedenle, ilişkili evrensel özelliği karşılar . Bu aynı zamanda ayrık birleşimi olduğu anlamına gelir kategorik ikili arasında Kartezyen ürün yapımı. Daha fazla ayrıntı için ortak ürüne bakın.

Pek çok amaç için, belirli bir yardımcı indeks seçimi önemsizdir ve gösterimin kötüye kullanılmasının basitleştirilmesinde , indekslenmiş aile basitçe bir kümeler topluluğu olarak ele alınabilir. Bu durumda bir olarak adlandırılır kopya ait ve notasyonu bazen kullanılır. ${\ Displaystyle A_{i}^{*}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle {\underset {A\in C}{\,\,\bigcup \nolimits ^{*}\!}}A}$

Kategori teorisi bakış açısı

In kategori teorisi ayrık birlik olarak tanımlanmaktadır birlikte- setleri kategorisinde.

Bu nedenle, ayrık birleşim bir izomorfizme kadar tanımlanır ve yukarıdaki tanım, diğerlerinin yanı sıra yan ürünün yalnızca bir gerçekleştirmesidir. Kümeler ikili olarak ayrık olduğunda, olağan birleşme, yan ürünün bir başka gerçekleştirilmesidir. Bu, liderdeki ikinci tanımı haklı çıkarır.

Ayrık birleşimin bu kategorik yönü, neden ortak ürünü belirtmek için yerine sıklıkla kullanıldığını açıklar . ${\görüntüleme stili\coprod }$${\ Displaystyle \ bigsqcup }$

Ayrıca bakınız

• Coproduct  – Kategori-teorik yapı
• Doğrudan sınır
• Ayrık birleşim (topoloji)
• Ayrık grafik birliği
• Bir kümenin bölünmesi  – Bir kümenin öğelerini gruplandırmanın matematiksel yolları
• toplam türü
• Etiketli birleşim  – Birkaç farklı, ancak sabit tür alabilen bir değeri tutmak için kullanılan veri yapısı
• Birlik (bilgisayar bilimi)

Referanslar

• Lang, Serge (2004), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (Düzeltilmiş dördüncü baskı, gözden geçirilmiş üçüncü baskı), New York: Springer-Verlag, s. 60, ISBN 978-0-387-95385-4
• Weisstein, Eric W. "Ayrık Birlik" . Matematik Dünyası .