Ayrık uzay - Discrete space
Olarak topoloji , bir ayrık alanı , bir özellikle basit bir örnek topolojik alan noktaları oluşturan bir ettiği ya da benzer yapıda, kesikli sekansı da vardır, yani izole edilmiş bir anlamda birbirinden. Ayrık topoloji, bir küme üzerinde verilebilecek en iyi topolojidir. Ayrık topolojide her alt küme açıktır , böylece özellikle her tekli alt küme ayrık topolojide açık bir kümedir .
Tanımlar
Bir set verilir :
- Ayrık topolojisi ile , her izin tanımlanır alt kümesi içinde olduğu açık (ve bu nedenle de kapalı ), ve a, ayrık topolojik alan kendi ayrı topoloji ile donatılmış ise;
- Ayrık homojenlik üzerinde her izin tanımlanır üst kümesini diagonal olarak bir olmak muhit ve a, kesikli düzgün boşluk kendi ayrı tekdüzelik ile donatılmış ise.
- Ayrık metrik ile tanımlanır
- Bir dizi olan ayrı bir de ölçüm alanı için, her için ise, bazı vardır (bağlı ), öyle ki tüm ; böyle bir küme izole noktalardan oluşur . Bir dizi olan muntazam ayrı olarak metrik alanı için, mevcutsa, bu şekilde ayrı bir iki , .
Bir metrik uzayın , herhangi biri için ya da olacak şekilde bir paketleme yarıçapı varsa, düzgün ayrık olduğu söylenir . Bir metrik uzayın altında yatan topoloji, metrik tekdüze ayrık olmadan ayrık olabilir: örneğin, kümedeki olağan metrik .
Ayrık bir uzayın mutlaka tekdüze ayrık olmadığının kanıtı
|
---|
Gerçek sayılardaki olağan metriği kullanarak bu kümeyi düşünelim . O zaman, ayrı bir uzaydır, çünkü her nokta için onu aralıkla çevreleyebiliriz , burada . Kavşak bu nedenle önemsiz bir şekilde singleton . İki açık kümenin kesişimi açık olduğundan ve tekiller açık olduğundan, bu ayrık bir uzaydır. Ancak, tek tip ayrık olamaz. , Nedenini görmek bir vardır varsayalım için böyle durumlarda . Bu noktada en azından iki noktası olduğunu göstermek için yeterli ve de daha yakın birbirine vardır . Bitişik noktalar arasındaki uzaklık ve olduğu için , bu eşitsizliği sağlayan bir bulmamız gerekiyor : Her zaman belirli bir gerçek sayıdan daha büyük bir sayı olduğundan, her zaman içinde herhangi bir pozitiften daha yakın olan en az iki nokta olacağı sonucu çıkar , bu nedenle tekdüze ayrık değildir. |
Özellikler
Ayrık bir metrik uzayın altında yatan tek biçimlilik, ayrık tekdüzeliktir ve ayrı bir tekdüze uzayın altında yatan topoloji, ayrık topolojidir. Böylece, farklı ayrık uzay kavramları birbiriyle uyumludur. Öte yandan, ayrık olmayan tek biçimli veya metrik uzayın temel topolojisi ayrık olabilir; bir örnek metrik uzaydır (metrik gerçek çizgiden miras alınır ve tarafından verilir ). Bu ayrık metrik değildir; Ayrıca, bu alan değildir tam ve muntazam bir alan olarak bu nedenle ayrı ayrı değil. Bununla birlikte, bir topolojik uzay olarak ayrıktır. Bunun topolojik olarak ayrık olduğunu , ancak tekdüze ayrık veya metrik olarak ayrık olmadığını söylüyoruz .
Bunlara ek olarak:
- Topolojik boyut ayrı bir alan, 0 eşittir.
- Bir topolojik uzay, yalnızca tekilleri açıksa ve ancak herhangi bir birikim noktası içermiyorsa ve ancak bu durumda ayrıktır .
- Singletonlar , ayrık topoloji için bir temel oluşturur.
- Düzgün bir uzay , ancak ve ancak köşegen bir çevre ise ayrıktır .
- Her ayrık topolojik uzay, ayırma aksiyomlarının her birini karşılar ; özellikle, her ayrık uzay Hausdorff'tur , yani ayrılmıştır.
- Bir ayrık alandır kompakt ancak ve ancak öyle sonlu .
- Her ayrık düzgün veya metrik uzay tamamlanmıştır .
- Yukarıdaki iki olgu birleştirildiğinde, her ayrık tek biçimli veya metrik uzay, ancak ve ancak sonluysa tamamen sınırlıdır .
- Her ayrık metrik uzay sınırlıdır .
- Her ayrık uzay ilk sayılabilirdir ; ayrıca ancak ve ancak sayılabilirse ikinci sayılabilir .
- Her ayrık alan tamamen bağlantısızdır .
- Her boş olmayan ayrık alan ikinci kategoridir .
- Aynı olan herhangi bir iki ayn alanlarda cardinality olan homeomorphic .
- Her ayrık uzay ölçülebilirdir (ayrık ölçü ile).
- Sonlu bir uzay, yalnızca ayrık ise ölçülebilirdir.
- Eğer bir topolojik uzay ise ve ayrık topolojiyi taşıyan bir küme ise, (izdüşüm haritası istenen kaplamadır) ile eşit olarak kaplanır.
- Alt uzay topolojisi ile tamsayı bir bölme odası olarak gerçek hattı ayrık topolojisidir.
- Ayrık bir uzay ancak ve ancak sayılabilirse ayrılabilir.
- Ayrık olan herhangi bir topolojik alt uzayı (her zamanki Öklid topolojisiyle birlikte ) zorunlu olarak sayılabilirdir .
Ayrık bir topolojik uzaydan başka bir topolojik uzaya giden herhangi bir fonksiyon süreklidir ve ayrık bir düzgün uzaydan başka bir düzgün uzaya giden herhangi bir fonksiyon düzgün süreklidir . Kendisine, ayrık alanı ise serbest set olarak kategori topolojik boşluklar ve sürekli dönüşümler ya da tek alanları ve muntazam sürekli dönüşümler kategorisinde. Bu gerçekler, ayrı yapıların genellikle kümelerde serbest olduğu çok daha geniş bir olgunun örnekleridir.
Metrik uzaylarda işler daha karmaşıktır, çünkü morfizmler için neyin seçildiğine bağlı olarak birkaç metrik uzay kategorisi vardır . Morfizmlerin tümü düzgün sürekli haritalar veya tüm sürekli haritalar olduğunda ayrık metrik uzay kesinlikle serbesttir, ancak bu metrik yapı hakkında ilginç bir şey söylemez , yalnızca düzgün veya topolojik yapı hakkında ilginç bir şey söylemez . Metrik yapıyla daha ilgili kategoriler, morfizmleri Lipschitz sürekli haritaları veya kısa haritalarla sınırlandırarak bulunabilir ; ancak, bu kategorilerde serbest nesneler yoktur (birden fazla öğede). Ancak, ayrık metrik uzay sınırlı metrik uzaylar ve Lipschitz sürekli haritalar kategorisinde serbest, 1 ile sınırlı metrik uzaylar ve kısa haritalar kategorisinde serbesttir. Yani, ayrık bir metrik uzaydan başka bir sınırlı metrik uzaya giden herhangi bir fonksiyon Lipschitz süreklidir ve ayrık bir metrik uzaydan 1 ile sınırlandırılmış başka bir metrik uzaya giden herhangi bir fonksiyon kısadır.
Diğer yöne gidersek, topolojik uzaydan ayrık uzaya bir fonksiyon , ancak ve ancak içindeki her noktanın üzerinde sabit olan bir komşuluğa sahip olması anlamında yerel olarak sabitse süreklidir.
Her ultrasüzgeç boş olmayan bir sette bir topoloji ile ilişkili olabilir üzerinde o mülkle her boş olmayan alt kümesi uygun ait olduğu ya bir açık alt kümesi ya da başka bir kapalı alt kümesi , ama asla ikisi. Farklı bir şekilde söylenecek olursa , her alt küme açık veya kapalıdır, ancak (ayrık topolojinin aksine) hem açık hem de kapalı olan tek alt kümeler (yani clopen ) ve . Buna karşılık, her alt kümesi ayrık topolojide açık ve kapalıdır.
kullanır
Ayrı bir yapı, genellikle başka bir doğal topoloji, tek biçimlilik veya metrik taşımayan bir kümede "varsayılan yapı" olarak kullanılır; ayrı yapılar, belirli varsayımları test etmek için genellikle "aşırı" örnekler olarak kullanılabilir. Örneğin, herhangi bir grup , topolojik gruplarla ilgili teoremlerin tüm gruplar için geçerli olduğunu ima eden ayrık topoloji verilerek topolojik bir grup olarak kabul edilebilir . Aslında analistler, cebirciler tarafından incelenen sıradan, topolojik olmayan gruplara " ayrık gruplar " olarak atıfta bulunabilirler . Bazı durumlarda bu, örneğin Pontryagin dualitesi ile kombinasyon halinde faydalı bir şekilde uygulanabilir . 0 boyutlu bir manifold (veya türevlenebilir veya analitik manifold), ayrı bir topolojik uzaydan başka bir şey değildir. Bu nedenle herhangi bir ayrık grubu 0 boyutlu bir Lie grubu olarak görebiliriz .
Bir ürün arasında sayılabilir sonsuz ayrık alanı kopya doğal sayılar olduğu homeomorphic aralarına mantıksız numaraları verilen homeomorfizma ile, sürekli fraksiyon genişleme. {0,1} ayrık uzayının sayılabilir sonsuz kopyalarının bir çarpımı , Cantor kümesine homeomorfiktir ; ve aslında , ürün üzerinde ürün tekdüzeliğini kullanırsak, Cantor kümesine eşit olarak homeomorfiktir . Böyle bir homeomorfizm, sayıların üçlü gösterimi kullanılarak verilir . (Bkz. Cantor uzayı .)
Gelen matematik temelleri , çalışma kompaktlığı {0,1} ürünlerinin özelliklerine topolojik yaklaşıma merkezi ultrasüzgeç prensip zayıf bir şeklidir, seçim .
ayrık boşluklar
Bazı açılardan, ayrık topoloji tersidir önemsiz topoloji (diğer adıyla indiscrete topoloji mümkün olduğunca az açık setleri (sadece vardır), boş bir set ve uzay kendisi). Ayrık topolojisi, ilk ya da serbest olduğu durumda, bölünmemiş topolojisi son veya cofree : her fonksiyonu ile ilgili bir topolojik alanı için bir bölünmemiş alanı, vb süreklidir
Ayrıca bakınız
Referanslar
- Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1978). Topolojide Karşı Örnekler (2. baskı). Berlin, New York: Springer-Verlag . ISBN'si 3-540-90312-7. MR 0507446 . Zbl 0386.54001 .
- Wilansky, Albert (17 Ekim 2008) [1970]. Analiz için Topoloji . Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-46903-4. OCLC 227923899 .