Von Neumann düzenli halka - Von Neumann regular ring

Gelen matematik , bir von Neumann, normal masa a, halka R, her eleman için bu, örneğin (1 ile birleştirici, zorunlu değişmeli olan) a içinde R bir vardır x olarak R ile bir = axa . x'i a öğesinin "zayıf tersi" olarak düşünebiliriz ; genel olarak x , a tarafından benzersiz bir şekilde belirlenmez . Von Neumann düzenli halkalar da adlandırılır kesinlikle düz halkaları , bu halkalar, her sol olması ile karakterize edilir, çünkü R, Modül olan düz .

Von Neumann düzenli halkaları, von Neumann  ( 1936 ) tarafından von Neumann cebirleri ve sürekli geometri çalışması sırasında "düzenli halkalar" adı altında tanıtıldı . Von Neumann düzenli halkaları , değişmeli cebirin alakasız düzenli halkaları ve düzenli yerel halkaları ile karıştırılmamalıdır .

Bir eleman , bir bir halkanın denir Von Neumann Esas parça bir mevcutsa x öyle ki bir = axa . İdeal bir (Von Neumann) olarak adlandırılır normal yere her eleman için ise a olarak bir element vardır x de böyle bir = AXA . ${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$

Örnekler

Her alan (ve her çarpık alan ) von Neumann düzenlidir: a ≠ 0 için x = a ^{-1 alabiliriz} . Bir integral alanı , ancak ve ancak bir alan ise, von Neumann düzenlidir. Von Neumann düzenli halkalarının her doğrudan ürünü yine von Neumann düzenlidir.

Von Neumann düzenli halkaların örneklerinden başka önemli sınıfı M yüzük vardır _n ( K arasında) n -by- n kare matris bazı tarla gelen girişlerle K . Eğer R bir seviye arasında bir ∈ M _n ( K ) , Gauss eliminasyon verir tersinir matrisler , U ve V şekildedir

${\displaystyle A=U{\başlangıç{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}}V}$

(burada I _r , r -by- r özdeşlik matrisidir ). X = V ⁻¹ U ^{−1 olarak} ayarlarsak , o zaman

${\displaystyle AXA=U{\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}}V=U{ \begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}}V=A.}$

Daha genel olarak, herhangi bir von Neumann düzenli halkası üzerindeki nxn matris halkası yine von Neumann düzenlidir.

Eğer V a, vektör uzayı bir alan (ya da üzerinde eğri alanı ) K , daha sonra endormorphism halka sonu _K ( V ) bile, von Neumann, düzenli V sonlu boyutlu değildir.

Sonlu bir von Neumann cebirinin bağlı operatörlerinin halkası , von Neumann düzenlidir.

Bir Boole halka ki burada her eleman tatmin bir halka olan bir ² = Bir . Her Boolean halkası von Neumann düzenlidir.

Gerçekler

Aşağıdaki ifadeler R halkası için eşdeğerdir :

• R , von Neumann düzenlidir
• her ana sol ideal , idempotent bir öğe tarafından üretilir
• Sonlu olarak oluşturulmuş her sol ideal, bir idempotent tarafından üretilir.
• her baş sol İdeal bir olan doğrudan summand sol ait R Modül R
• Her sonlu üretilmiş sol İdeal sol doğrudan summand olan R Modül R
• Her sonlu üretilmiş alt modülü a yansıtmalı sol R Modül P doğrudan bir toplam kısmı olan P
• her sol R modülü düzdür : bu aynı zamanda R'nin kesinlikle düz olması veya R'nin zayıf boyut 0'a sahip olması olarak da bilinir .
• sol R modüllerinin her kısa kesin dizisi saf kesindir

Sağ modüller için karşılık gelen ifadeler ayrıca R'nin von Neumann düzenli olmasına eşdeğerdir .

Değişmeli bir von Neumann düzenli halkasında, her x elemanı için , xyx = x ve yxy = y olacak şekilde benzersiz bir y elemanı vardır, dolayısıyla x'in "zayıf tersini" seçmenin kanonik bir yolu vardır . Aşağıdaki ifadeler değişmeli R halkası için eşdeğerdir :

• R , von Neumann düzenlidir
• R , Krull boyutu 0'a sahiptir ve azaltılmıştır
• Her lokalizasyon ait R bir de maksimal ideali bir alandır
• R ' "zayıf tersleri" alma altında kapalı alanların bir ürünün bir alt halka olan x ∈ R (benzersiz eleman Y bu şekilde XYX = X ve YXY = y ).
• R bir V halkasıdır .

Ayrıca, aşağıdakiler eşdeğerdir: değişmeli bir A halkası için

• R = A / nil( A ) von Neumann düzenlidir.
• Tayfı ait A (de Hausdorff olan Zariski topoloji ).
• İnşa edilebilir topolojisi ve Zariski topolojisi Spek ( A ) denk.

Yukarıdaki örnekte yaygınlaştırılması, varsayalım S bir halka ve M bir olduğu S her şekilde Modül alt modülü arasında M doğrudan bir toplam kısmı olan M (örneğin, modüller M olarak adlandırılır yarı basit ). O zaman endomorfizm halkası End _S ( M ) von Neumann düzenlidir. Özellikle, her yarı basit halka von Neumann düzenlidir. Aslında, yarıbasit halkalar tam olarak Noetherian von Neumann düzenli halkalarıdır.

Her von Neumann düzenli halkasında Jacobson kökü {0} vardır ve bu nedenle yarı- ilkeldir ("Jacobson yarı-basit" olarak da adlandırılır).

Genellemeler ve uzmanlıklar

Von Neumann düzenli halkalarının özel türleri, birim düzenli halkaları ve güçlü von Neumann düzenli halkalarını ve sıra halkalarını içerir .

Halka R, olarak adlandırılan birim, düzenli her için ise a içinde R , orada bir birimdir u içinde R , öyle ki , bir = AUA . Her yarı basit halka birim düzenlidir ve birim düzenli halkalar doğrudan sonlu halkalardır . Sıradan bir von Neumann düzenli halkasının doğrudan sonlu olması gerekmez.

Bir halka R denir düzenli kuvvetle von Neumann her için ise a içinde R , bazı yoktur x in R ile bir = ların gelişmesini arttırdığı . Durum sol-sağ simetriktir. Kuvvetle von Neumann düzenli halkaları birim düzenlidir. Her kuvvetle von Neumann düzenli halka olan subdirect ürün arasında bölünme halkaları . Bir anlamda, bu, alanların alt-doğrultu ürünleri olan değişmeli von Neumann düzenli halkalarının özelliklerini daha yakından taklit eder. Elbette değişmeli halkalar için, von Neumann düzenli ve güçlü von Neumann düzenli eşdeğerdir. Genel olarak, aşağıdakiler bir R halkası için eşdeğerdir :

• R kuvvetle von Neumann düzenlidir
• R , von Neumann düzenli ve indirgenmiş
• R von Neumann düzenli ve her İdempotent R ise merkezi
• R'nin her asal sol ideali, merkezi bir idempotent tarafından üretilir.

Von Neumann düzenli halkalarının genellemeleri arasında π- düzenli halkalar , sol/sağ yarı kalıtsal halkalar , sol/sağ tekil olmayan halkalar ve yarı ilkel halkalar bulunur .

Ayrıca bakınız

• Normal yarı grup
• zayıf ters

Notlar

Referanslar

• Kaplansky, Irving (1972), Alanlar ve halkalar , Chicago matematik dersleri (İkinci baskı), University of Chicago Press, ISBN 0-226-42451-0, Zbl  1001.16500
• LA Skornyakov (2001) [1994], "Düzenli halka (von Neumann anlamında)" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press

daha fazla okuma

• Goodearl, KR (1991), von Neumann düzenli halkalar (2 ed.), Malabar, FL: Robert E. Krieger Publishing Co. Inc., s. xviii+412, ISBN 0-89464-632-X, MR  1150975 , Zbl  0749.16001
• von Neumann, John (1936), "Normal Halkalarda", Proc. Natl. Acad. bilim ABD , 22 (12): 707–712, doi : 10.1073/pnas.22.12.707 , JFM  62.1103.03 , PMC  1076849 , PMID  16577757 , Zbl  0015.38802
• von Neumann, John (1960), Sürekli geometriler , Princeton University Press , Zbl  0171.28003