Tychonoff teoremi - Tychonoff's theorem

Tychonoff'un adını taşıyan diğer teoremler için bkz. Tychonoff teoremi (anlam ayrımı) .

In matematik , Tychonoff teoremi herhangi koleksiyon ürünü belirtiyor kompakt topolojik uzaylarda açısından kompakt ürün topoloji . Teorem, adını 1930'da kapalı birim aralığının güçleri için ilk kez kanıtlayan ve 1935'te tam teoremi ve kanıtının aşağıdakilerle aynı olduğunu belirten Andrey Nikolayevich Tikhonov'dan (soyadı bazen Tychonoff olarak yazılır ) almıştır . özel durum. Bilinen en eski yayınlanmış kanıt, Eduard Čech'in 1937 tarihli bir makalesinde yer almaktadır .

Tychonoff teoremi genellikle genel topolojide ( Urysohn lemması ile birlikte ) belki de en önemli sonuç olarak kabul edilir . Teorem, bulanık kümelere dayalı topolojik uzaylar için de geçerlidir .

topolojik tanımlar

Teorem, önemli ölçüde, kompaktlığın ve çarpım topolojisinin kesin tanımlarına bağlıdır ; aslında, Tychonoff'un 1935 tarihli makalesi, ürün topolojisini ilk kez tanımlamaktadır. Tersine, öneminin bir kısmı, bu belirli tanımların en faydalı (yani en iyi huylu) tanım olduğuna dair güven vermektir.

Aslında, Heine-Borel kompaktlık tanımı -bir uzayın açık kümeler tarafından her örtülmesinin sonlu bir alt örtülmeyi kabul ettiği- nispeten yenidir. 19. yüzyılda ve 20. yüzyılın başlarında daha popüler olan Bolzano-Weierstrass kriteri, her dizinin yakınsak bir alt diziyi kabul ettiği ve şimdi sıralı kompaktlık olarak adlandırılan kriterdi . Bu koşullar ölçülebilir uzaylar için eşdeğerdir , ancak hiçbiri tüm topolojik uzaylar sınıfında diğerini ima etmez.

İki ardışık olarak kompakt uzayın çarpımının ardışık olarak kompakt olduğunu kanıtlamak neredeyse önemsizdir - birinci bileşen için bir alt diziye ve ardından ikinci bileşen için bir alt diziye geçilir. Sadece biraz daha ayrıntılı bir "köşegenleştirme" argümanı, sıralı olarak kompakt uzayların sayılabilir bir ürününün sıralı kompaktlığını kurar. Bununla birlikte, kapalı birim aralığının birçok kopyasının (olağan topolojisiyle birlikte) sürekliliğin ürünü, Tychonoff teoremi tarafından kompakt olmasına rağmen, ürün topolojisine göre sıralı olarak kompakt olamıyor (örneğin, bkz. Wilansky 1970 , s. 134). .

Bu kritik başarısızlık: eğer X, a, tamamen normal Hausdorff alanı , doğal bir gömme olduğu X içine [0,1] C ( X , [0,1]) , burada Cı- ( X , [0,1]) X'ten [0,1]'e kadar olan sürekli haritalar kümesidir . [0,1] C ( X ,[0,1]) ' nin kompaktlığı, bu nedenle, her tamamen düzenli Hausdorff uzayının bir kompakt Hausdorff uzayına gömüldüğünü (veya "sıkıştırılabildiğini" gösterir.) Bu yapı Stone–Čech kompaktlaştırmasıdır. . Tersine, kompakt Hausdorff uzaylarının tüm alt uzayları tamamen düzenli Hausdorff'tur, bu nedenle bu, tamamen düzenli Hausdorff uzaylarını sıkıştırılabilenler olarak karakterize eder. Bu tür uzaylara şimdi Tychonoff uzayları denir .

Uygulamalar

Tychonoff teoremi, diğer birçok matematiksel teoremi kanıtlamak için kullanılmıştır. Bu gibi bazı boşlukların kompakt ilgili teoremleri içerir Banach Alaoglu teoremi birim topun zayıf-* kompakt üzerinde ikili alan a normlu vektör uzayı ve Arzela-Ascoli teoremi fonksiyonlarının dizileri karakterize olan her sekans içinde düzgün yakınsak bir altdiziye sahiptir . Ayrıca , her minimal k- kromatik grafiğin sonlu olduğunu belirten De Bruijn-Erdős teoremi ve hücresel otomatların topolojik bir karakterizasyonunu sağlayan Curtis-Hedlund-Lyndon teoremi gibi kompaktlıkla daha az ilgili ifadeleri de içerirler .

Genel bir kural olarak, girdi olarak oldukça genel bir nesneyi (genellikle cebirsel veya topolojik-cebirsel nitelikte) alan ve kompakt bir uzay çıktısı veren herhangi bir yapı Tychonoff'u kullanır: örneğin, maksimal ideallerin Gelfand uzayı . bir değişmeli C* cebiri , bir Boole cebirinin maksimal ideallerinin Stone uzayı ve bir değişmeli Banach halkasının Berkovich spektrumu .

Tychonoff teoreminin ispatları

1) Tychonoff'un 1930'daki kanıtı, tam bir birikim noktası kavramını kullandı .

2) Teorem, Alexander alt-taban teoreminin hızlı bir sonucudur .

Daha modern kanıtlar, aşağıdaki düşünceler tarafından motive edilmiştir: alt dizilerin yakınsaması yoluyla kompaktlığa yaklaşım, sayılabilir indeks kümeleri durumunda basit ve şeffaf bir kanıta yol açar. Bununla birlikte, dizileri kullanan bir topolojik uzayda yakınsama yaklaşımı, uzay ilk sayılabilirlik aksiyomunu (ölçülebilir uzayların yaptığı gibi) karşıladığında yeterlidir, ancak genellikle başka türlü değildir. Bununla birlikte, her biri en az iki noktalı, sayılamayan çok sayıda metriklenebilir uzayın çarpımı, ilk sayılabilir olamaz. Bu nedenle, rastgele uzaylarda uygun bir yakınsama kavramının, ürünlerin kompaktlığını çıkarmak için kolayca uygulanabilecek, metriklenebilir uzaylarda sıralı kompaktlığı genelleyen bir kompaktlık kriterine yol açacağını ummak doğaldır. Bu durum ortaya çıktı.

3) Henri Cartan'a bağlı olarak ve 1937'de Bourbaki tarafından geliştirilen filtreler aracılığıyla yakınsama teorisi şu kritere yol açar: ultrafiltre lemması varsayıldığında , bir uzay ancak ve ancak uzaydaki her bir ultrafiltre yakınsadığında kompakttır . Bu elde ile ispat kolaylaşır: Herhangi bir projeksiyon haritasının altındaki ürün uzayındaki bir ultrafiltrenin (tarafından oluşturulan filtre) görüntüsü, faktör uzayı üzerindeki bir ultrafiltredir, bu nedenle en az bir x i'ye yakınsar . Bu durumda orijinal ultrafiltrenin x  = ( x i ) değerine yakınsadığı gösterilir . Munkres ders kitabında açıkça herhangi bir filtre-teorik dil veya ön bilgi kullanmayan Cartan-Bourbaki kanıtının yeniden işlenmesini sunar.

4) Benzer şekilde, Kelley'nin evrensel ağ kavramıyla desteklenen ağlar aracılığıyla Moore-Smith yakınsama teorisi, ancak ve ancak uzaydaki her bir evrensel ağ yakınsadığında bir uzayın kompakt olduğu kriterine yol açar. Bu kriter, Tychonoff teoreminin bir ispatına (Kelley, 1950) yol açar; bu, kelimesi kelimesine, Cartan/Bourbaki'nin filtreleri kullanan ispatıyla aynıdır, "ultrafiltre tabanı" için "evrensel ağ"ın tekrar tekrar ikame edilmesi dışında.

5) Ağları kullanan ancak evrensel ağları kullanmayan bir kanıt 1992'de Paul Chernoff tarafından verildi.

Tychonoff teoremi ve seçim aksiyomu

Yukarıdaki ispatların tümü, bir şekilde seçim aksiyomunu (AC) kullanır. Örneğin, üçüncü kanıt, her filtrenin bir ultrafiltrede (yani, bir maksimal filtre) içerdiğini kullanır ve bu, Zorn'un lemması çağrılarak görülür . Zorn'un lemması, her ağın evrensel bir alt ağa sahip olduğu Kelley teoremini kanıtlamak için de kullanılır. Aslında AC bu kullanımları esastır: 1950 yılında Kelley Tychonoff teoremi tercih belitini ima kanıtladı ZF . AC'nin bir formülasyonunun, boş olmayan kümeler ailesinin Kartezyen çarpımının boş olmaması olduğuna dikkat edin; ancak boş küme kesinlikle kompakt olduğundan, ispat bu kadar basit hatlar boyunca ilerleyemez. Böylece Tychonoff'un teoremi, AC'ye eşdeğer olmak üzere diğer birkaç temel teoremle (örneğin her vektör uzayının bir temeli vardır) birleşir .

Öte yandan, her filtrenin bir ultrafiltrede bulunduğu ifadesi AC anlamına gelmez. Aslında, bunun, Zermelo-Fraenkel küme teorisi (ZF) aksiyomları ile seçim aksiyomu tarafından desteklenen ZF teorisi arasında iyi bilinen bir ara nokta olan Boolean asal ideal teoremine (BPI) eşdeğer olduğunu görmek zor değildir . (ZFC). Tychnoff'un ikinci kanıtına ilk bakış, kanıtın yukarıdakilere aykırı olarak (BPI) 'den fazlasını kullanmadığını düşündürebilir. Ancak, her yakınsak filtrenin benzersiz bir limitinin olduğu uzaylar tam olarak Hausdorff uzaylarıdır. Genel olarak, indeks kümesinin her elemanı için, öngörülen ultrafiltre tabanının boş olmayan limit kümesinin bir elemanını seçmeliyiz ve tabii ki bu, AC'yi kullanır. Bununla birlikte, kompakt Hausdorff uzaylarının çarpımının kompaktlığının (BPI) kullanılarak kanıtlanabileceğini de gösterir ve aslında tersi de geçerlidir. Çeşitli kısıtlı uzay sınıfları için Tychonoff teoreminin gücünü incelemek, küme-teorik topolojide aktif bir alandır .

Tychonoff teoreminin anlamsız topolojideki analoğu, herhangi bir seçim aksiyomu biçimini gerektirmez.

Tychonoff teoreminden seçim aksiyomunun kanıtı

Tychonoff teoreminin genel versiyonunda seçim aksiyomunu ima ettiğini kanıtlamak için, boş olmayan kümelerin her sonsuz kartezyen ürününün boş olmadığını saptadık. İspatın en zor kısmı doğru topolojiyi sunmaktır. Doğru topoloji, ortaya çıktığı gibi, küçük bir bükülme ile kofinite topolojidir . Bu topoloji verilen her kümenin otomatik olarak kompakt bir uzay haline geldiği ortaya çıkıyor. Bu gerçeğe sahip olduğumuzda, Tychonoff teoremi uygulanabilir; sonra kompaktlığın sonlu kesişim özelliği (FIP) tanımını kullanırız. Kanıtın kendisi ( JL Kelley nedeniyle ) aşağıdaki gibidir:

{Let A i için, boş olmayan kümeler içeren indisli aile olmak} i arasında değişen I (burada ben keyfi bir indeksleme kümesidir). Bu kümelerin kartezyen çarpımının boş olmadığını göstermek istiyoruz. Şimdi, her i için , X i'yi , i'nin kendisinin üzerinde durduğu indeksle A i olarak alın ( gerekirse ayrık birleşimi kullanarak indeksleri yeniden adlandırarak, i'nin A i'nin bir üyesi olmadığını varsayabiliriz , bu yüzden basitçe X i = alın bir ben ∪ { ben }).

Şimdi kartezyen çarpımı tanımlayın

Doğal projeksiyon ile birlikte eşler π i bir üyesini aldığı X onun için i inci terim.

Her vermek X i olan açık kümeler arasında co-sonlu altkümeleridir topoloji X i , ayrıca boş grubu (co-sonlu topolojisi) ve tekil { i }. Bu, X i'yi kompakt yapar ve Tychonoff teoremine göre X de kompakttır (ürün topolojisinde). Projeksiyon haritaları süreklidir; Tüm bir I ' ler tamamlayıcıları olan, kapalı tekil açık set { I } işareti X i . Yani ters görüntüler π i -1 ( A i ) X'in kapalı altkümeleridir . şunu not ediyoruz

ve bu ters görüntülerin boş olmadığını ve FIP'ye sahip olduğunu kanıtlayın. Let i 1 , ..., i N indisler ve sonlu bir koleksiyon olmasını I . O zaman sonlu ürün A i 1 × ... × A i N boş değildir (burada yalnızca sonlu sayıda seçenek vardır, dolayısıyla AC gerekli değildir); sadece N- tuple'lardan oluşur . Let bir = ( a 1 , ..., bir N ) bu tür bir olmak N -tuple. Biz uzatmak bir atın: Bütün endeks setine bir işleve f tarafından tanımlanan f ( j ) = bir k ise j = i k ve f ( j ) = j aksi. Her alana ekstra noktanın eklenmesi önemlidir burada adımdır o tanımlamak için bize izin verir için, f ve her şey dışarıdan için N inşaat tarafından, (biz zaten seçebilir seçimler olmadan kesin bir şekilde -tuple, j den X j ). π i k ( f ) = a k açıkça her A i k'nin bir öğesidir, böylece f her ters görüntüde olur; bu yüzden elimizde

FIP'in kompaktlık tanımına göre, I üzerindeki tüm kesişim boş olmamalıdır ve ispat tamamlanmıştır.

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

  • Chernoff, Paul R. (1992), "Tychonoff teoreminin ağlar aracılığıyla basit bir kanıtı", American Mathematical Monthly , 99 (10): 932–934, doi : 10.2307/2324485 , JSTOR  2324485.
  • Johnstone, Peter T. (1982), Stone Spaces , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 3 , New York: Cambridge University Press, ISBN 0-521-23893-5.
  • Johnstone, Peter T. (1981), "Tychonoff'un seçim aksiyomu olmadan teoremi", Fundamenta Mathematicae , 113 : 21–35, doi : 10.4064/fm-113-1-21-35.
  • Kelley, John L. (1950), "Topolojide yakınsama", Duke Mathematical Journal , 17 (3): 277–283, doi : 10.1215/S0012-7094-50-01726-1.
  • Kelley, John L. (1950), "Tychonoff çarpım teoremi, seçim aksiyomunu ima eder", Fundamenta Mathematicae , 37 : 75–76, doi : 10.4064/fm-37-1-75-76.
  • Munkres, James R. (2000). Topoloji (İkinci baskı). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN'si 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260 .
  • Tychonoff, Andrey N. (1930), "Über die topologische Erweiterung von Räumen", Mathematische Annalen (Almanca), 102 (1): 544–561, doi : 10.1007/BF01782364.
  • Wilansky, A. (1970), Analiz için Topoloji , Ginn and Company
  • Willard, Stephen (2004) [1970]. Genel Topoloji . Matematik Üzerine Dover Kitapları (İlk baskı). Mineola, NY : Dover Yayınları . ISBN'si 978-0-486-43479-7. OCLC  115240 .
  • Wright, David G. (1994), "Tychonoff teoremi.", Proc. Amer. Matematik. Soc. , 120 (3): 985–987, doi : 10.1090/s0002-9939-1994-1170549-2.

Dış bağlantılar