Bolzano-Weierstrass teoremi - Bolzano–Weierstrass theorem

Gelen matematik , özellikle de gerçek bir analizi , Bolzano sıkıştırma teoremi adını, Bernard Bolzano ve Karl Weierstrass , sonlu boyutlu yakınsama hakkında önemli bir sonucudur Öklid alan R, ⁿ . Teoremi durumları her birinin sınırlı dizisi içinde R ^{, n} bir sahiptir yakınsak altdizisi . Eşdeğer bir formülasyon olmasıdır alt kümesi arasında R ^{, n} ise ardışık olarak kompakt bu ancak ve ancak, eğer kapalı ve sınırlı . Teorem bazen sıralı kompaktlık teoremi olarak adlandırılır .

Tarih ve önemi

Bolzano-Weierstrass teoremi, matematikçiler Bernard Bolzano ve Karl Weierstrass'ın adını almıştır . Aslında ilk olarak 1817'de Bolzano tarafından ara değer teoreminin ispatında bir lemma olarak ispatlandı . Elli yıl kadar sonra sonuç kendi başına önemli olarak tanımlandı ve Weierstrass tarafından bir kez daha kanıtlandı. O zamandan beri analizin temel bir teoremi haline geldi .

Kanıt

İlk önce (tüm gerçek sayıların kümesi) için teoremi kanıtlıyoruz, bu durumda sıralama iyi bir şekilde kullanılabilir. Gerçekten de, aşağıdaki sonuca sahibiz: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$

Lemma : Her sonsuz dizisi içinde bir sahiptir monoton altdizisi . ${\görüntüleme stili (x_{n})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$

Kanıt : Bir dizinin pozitif tamsayı değerli indeksine her için olduğunda dizinin "tepe noktası" diyelim . İlk olarak dizinin sonsuz sayıda tepe noktası olduğunu varsayalım, bu, aşağıdaki endekslere ve aşağıdaki terimlere sahip bir alt dizi olduğu anlamına gelir . Yani, sonsuz dizisi içinde olan bir monoton altdizisi sahiptir . Ama, sadece sonlu sayıda tepe vardır artık varsayalım son zirve olabilir ve yeni bir alt dizisinin ilk endeks izin ayarlanmalıdır . Sonra bir zirve değildir, çünkü son zirveden sonra gelir, bu da with ve öğesinin varlığını ima eder . Yine, son zirveden sonra gelir, dolayısıyla ile bir yer vardır . Sonsuz azalmayan alt sekansına bu işlem potansiyel tekrar edilmesi  ve böylece her sonsuz bir dizi olduğunu kanıtlayan, içinde bir monoton altdizisi sahiptir. ${\görüntüleme stili n}$${\displaystyle x_{m}<x_{n}}$${\ Displaystyle m>n}$${\displaystyle n_{1}<n_{2}<n_{3}<\dots <n_{j}<\dots }$${\displaystyle x_{n_{1}}>x_{n_{2}}>x_{n_{3}}>\dots >x_{n_{j}}>\dots }$${\görüntüleme stili (x_{n})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$${\görüntüleme stili (x_{n_{j}})}$${\görüntüleme stili N}$${\görüntüleme stili (x_{n_{j}})}$${\displaystyle n_{1}=N+1}$${\görüntüleme stili n_{1}}$${\görüntüleme stili n_{1}}$${\ Displaystyle n_{2}}$${\displaystyle n_{1}<n_{2}}$${\displaystyle x_{n_{1}}\leq x_{n_{2}}}$${\ Displaystyle n_{2}}$${\ Displaystyle n_{3}}$${\displaystyle n_{2}<n_{3}}$${\displaystyle x_{n_{2}}\leq x_{n_{3}}}$${\displaystyle x_{n_{1}}\leq x_{n_{2}}\leq x_{n_{3}}\leq \ldots }$${\görüntüleme stili (x_{n})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$

Şimdi varsayalım biri olan sınırlı dizisi içinde ; yukarıda kanıtlanan önermeye göre, yine aynı şekilde sınırlı bir monoton ardışıklık vardır . Bu izler monoton yakınsama teoremi bu altdizi yakınsak. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$

Son olarak, genel durum ( ), aşağıdaki duruma indirgenebilir : içinde sınırlı bir dizi verildiğinde , ilk koordinatların dizisi sınırlı bir gerçek dizidir, dolayısıyla yakınsak bir alt dizisine sahiptir. Daha sonra, üzerinde ikinci koordinatların birleştiği bir alt-dizi çıkarılabilir, ve sonunda orijinal diziden bir alt dizi zamanına geçene kadar - ki bu hala orijinal dizinin bir alt dizisidir - üzerinde her bir koordinat dizisinin üzerinde olduğu. yakınsar, dolayısıyla altdizinin kendisi yakınsaktır. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\görüntüleme stili n}$

alternatif kanıt

Bolzano-Weierstrass teoreminin iç içe aralıkları kullanan alternatif bir kanıtı da vardır . Sınırlı bir diziyle başlıyoruz : ${\görüntüleme stili (x_{n})}$

• 

  Çünkü sınırlanan, bu dizi, bir alt bağlanmış olan ve bir üst bağlanmış . ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N}}}$${\görüntüleme stili s}$${\görüntüleme stili S}$

• 

  İç içe geçmiş aralıklar dizisi için ilk aralık olarak alıyoruz . ${\displaystyle I_{1}=[s,S]}$

• 

  Sonra ortadan eşit büyüklükte iki alt aralığa böldük. ${\görüntüleme stili I_{1}}$

• 

  Her dizinin sonsuz sayıda üyesi olduğundan, sonsuz sayıda üyesi içeren bu alt aralıklardan (en az) biri olmalıdır . Bu alt aralığı , iç içe geçmiş aralıklar dizisinin ikinci aralığı olarak alıyoruz . ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N}}}$${\ Displaystyle I_{2}}$

• 

  Sonra tekrar ortasından eşit büyüklükte iki alt aralığa böldük. ${\ Displaystyle I_{2}}$

• 

  Yine, bu alt aralıklardan biri sonsuz sayıda üye içerir . Bu alt aralığı, iç içe geçmiş aralıklar dizisinin üçüncü alt aralığı olarak alıyoruz . ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N}}}$${\görüntüleme stili I_{3}}$

• 

  Bu işleme sonsuz defa devam ediyoruz. Böylece bir dizi iç içe aralık elde ederiz.

Her adımda bir aralığın uzunluğunu yarıya indirdiğimiz için, aralığın uzunluğunun sınırı sıfırdır. Ayrıca, her I _n'nin kapalı ve sınırlı bir aralık olduğunu belirten iç içe aralıklar teoremi ile ,

ben _n = [bir _n , _bn ]

ile birlikte

bir _n ≤ _bn

o zaman yuvalama varsayımı altında, I _n'nin kesişimi boş değildir. Böylece her aralıkta olan bir sayı vardır . Şimdi bunun bir birikim noktası olduğunu gösteriyoruz . ${\görüntüleme stili x}$${\ Displaystyle I_{n}}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili (x_{n})}$

Bir mahalle atın ait . Aralıkların uzunluğu sıfıra yakınsadığı için, alt kümesi olan bir aralık vardır . Çünkü yapısı gereği sonsuz sayıda üye içerir ve , ayrıca sonsuz sayıda üye içerir . Bu da bunun bir birikim noktası olduğunu kanıtlıyor . Böylece, yakınsayan bir alt dizisi vardır . ${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili I_{N}}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili I_{N}}$${\görüntüleme stili (x_{n})}$${\displaystyle I_{N}\subseteq U}$${\görüntüleme stili U}$${\görüntüleme stili (x_{n})}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili (x_{n})}$${\görüntüleme stili (x_{n})}$${\görüntüleme stili x}$

Öklid uzaylarında sıralı kompaktlık

Varsayalım bir bir alt kümesi , R ^{, n} , her sekansı, başka bir özelliği ile A bir elemanına birleşen bir alt dizisi vardır , A . Daha sonra bir başka şekilde bir sekans söz konusu değildir, bağlanmaları gerekmektedir x _m de A ile || x _m || ≥ m   herkes için m , sonra her altdizi yakınsak değildir bu nedenle sınırsız ve olduğunu. Ayrıca, bir bir noninterior noktası arasından, çünkü kapalı olmalıdır x tamamlayıcısına içinde A , bir an oluşturabilir A -valued sekansı birleşen için X . Dolayısıyla alt-gruplar bir bölgesinin R ^n, her sekansı için A bir elemanına yakınsayan içinde bir sonuç olan , A - yani olan alt-gruplar ardışık kompakt olarak alt uzay topolojisi  - tam kapalı ve sınırlı alt kümeleridir.

Teoremi Bu form, özellikle benzetme açık hale Heine Borel teoremi bir alt ileri sürerken, R ^{, n} ise kompakt kapalı ve sınırlanan, ancak ve ancak. Aslında, genel topoloji bize metriklenebilir bir uzayın ancak ve ancak sıralı olarak kompakt olması durumunda kompakt olduğunu söyler , böylece Bolzano-Weierstrass ve Heine-Borel teoremleri esasen aynıdır.

Ekonomiye uygulama

İktisatta, varlığının kanıtları genellikle Bolzano-Weierstrass teoreminin varyasyonlarını gerektiren farklı önemli denge kavramları vardır. Bir örnek, bir Pareto etkin tahsisin varlığıdır . Bir tahsis, bir ekonomideki ajanlar için bir tüketim demetleri matrisidir ve hiçbir ajanın durumunu kötüleştirecek ve en az bir ajanın durumunu daha iyi hale getirecek hiçbir değişiklik yapılamazsa, bir dağıtım Pareto etkindir (burada tahsis matrisinin satırları olmalıdır) tercih ilişkisine göre sıralanabilir ). Bolzano-Weierstrass teoremi, tahsisler kümesi kompakt ve boş değilse , sistemin Pareto etkin bir tahsise sahip olduğunu kanıtlamaya izin verir .

Ayrıca bakınız

• Sıralı kompakt uzay
• Heine-Borel teoremi
• Gerçek sayıların tamlığı
• Ekeland'ın varyasyon ilkesi

Notlar

Referanslar

• Bartle, Robert G. ; Sherbert, Donald R. (2000). Gerçek Analize Giriş (3. baskı). New York: J. Wiley.
• Fitzpatrick, Patrick M. (2006). Gelişmiş Matematik (2. baskı). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. ISBN'si 0-534-37603-7.

Dış bağlantılar

• "Bolzano-Weierstrass teoremi" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
• Bolzano-Weierstrass teoreminin bir kanıtı
• PlanetMath: Bolzano-Weierstrass Teoreminin kanıtı
• Bolzano-Weierstrass Rap