Kompozisyon cebiri - Composition algebra

Gelen matematik bir bileşim, cebri bir aşkın bir alan K a, zorunlu olarak, birleştirici olmayan cebir üzerinde K birlikte bir ile dejenere olmayan ikinci dereceden bir şekilde N ye uyan

A'daki tüm x ve y için .

Bir kompozisyon cebiri, konjugasyon adı verilen bir involüsyon içerir : İkinci dereceden forma cebirin normu denir .

Bir bileşim cebir ( A *, K ) ya da a, bölme cebir veya bölünmüş cebir sıfır olmayan bir varlığına bağlı olarak, v içinde bir şekilde N- ( v ) olarak adlandırılan, = 0 transfer etmek . Tüm X olan olmayan bir transfer etmek için, çarpımsal ters bir x olan . Sıfır olmayan bir boş vektör olduğunda, N bir izotropik ikinci dereceden biçimdir ve "cebir bölünür".

yapı teoremi

Her unital alan üzerinde bir bileşim cebri K tekrarlanan uygulanmasıyla elde edilebilir Cayley- Dickson yapı itibaren K (eğer karakteristik arasında K farklıdır 2 ) ya da bir 2-boyutlu bir bileşim olup alt cebiri (eğer karakter ( K ) = 2 ) . Bir kompozisyon cebirinin olası boyutları 1 , 2 , 4 ve 8'dir .

  • 1 boyutlu kompozisyon cebirleri sadece char( K ) ≠ 2 olduğunda mevcuttur .
  • Boyut 1 ve 2'nin kompozisyon cebirleri değişmeli ve birleştiricidir.
  • Boyut 2 bileşimi cebir ya olan karesel alan uzantıları arasında K veya izomorfik KK .
  • 4 boyutlu kompozisyon cebirlerine kuaterniyon cebirleri denir . İlişkiseldirler ancak değişmeli değildirler.
  • 8 boyutlu kompozisyon cebirlerine oktonyon cebirleri denir . Onlar ne birleştirici ne de değişmeli.

Tutarlı terminoloji için, boyutun 1 cebiri denilen edilmiş unarion ve boyut 2 olanlar binarion .

Örnekler ve kullanım

Alan zaman K olarak alınır karmaşık sayılar ve ikinci dereceden bir şekilde Z 2 , daha sonra üzerine dört bileşim cebir C olan kendisi , BIComplex numaraları , biquaternions izomorf ( 2 x 2 kompleks matris halkası M (2,  Cı- ) ) ve karmaşık oktonyonlar olarak da adlandırılan biyoktonyonlar CO .

Matris halkası M(2,  C ) , önce Hamilton (1853) tarafından biquaternions , daha sonra izomorfik matris formunda ve özellikle Pauli cebiri olarak uzun zamandır ilgi konusu olmuştur .

Kare alma işlevi K ( X ) = x 2 ile ilgili gerçek sayı alanı ilkel bileşim cebir oluşturur. K alanı gerçek sayılar R olarak alındığında , o zaman sadece altı tane başka gerçek bileşim cebiri vardır. İki, dört ve sekiz boyutta hem bölme cebiri hem de "bölünmüş cebir" vardır:

binarions: karesel formu ile karmaşık sayılar x 2 + y 2 ve bölünmüş karmaşık sayılar karesel formu x 2 - y 2 ,
kuaterniyonlar ve bölünmüş kuaterniyonlar ,
oktonyonlar ve bölünmüş oktonyonlar .

Her kompozisyon cebiri, N normu ve bir polarizasyon kimliği ile oluşturulmuş bir ilişkili çift doğrusal biçim B( x,y )'ye sahiptir :

Tarih

Kareler toplamlarının bileşimi, birkaç erken yazar tarafından not edildi. Diophantus , şimdi Brahmagupta-Fibonacci özdeşliği olarak adlandırılan iki karenin toplamını içeren özdeşliğin farkındaydı ve bu özdeşlik , çarpıldığında Öklidyen karmaşık sayı normlarının bir özelliği olarak da eklemlenmiştir. Leonhard Euler 1748'de dört kare özdeşliğini tartıştı ve bu WR Hamilton'ı dört boyutlu kuaterniyon cebirini oluşturmaya yönlendirdi . 1848'de , bikompleks sayılara ilk ışık veren tessarinler tanımlandı.

Yaklaşık 1818 Danimarkalı bilim adamı Ferdinand Degen, Degen'in sekiz karelik kimliğini sergiledi ve bu, daha sonra octonion cebirinin öğelerinin normlarıyla bağlantılıydı :

Tarihsel olarak, ilk ilişkisel olmayan cebir, Cayley sayıları ... kompozisyona izin veren ikinci dereceden formların sayı-teorik problemi bağlamında ortaya çıktı… bu sayı-teorik soru, belirli cebirsel sistemlerle, kompozisyon cebirleriyle ilgili bir soruya dönüştürülebilir. ..

1919'da Leonard Dickson , Hurwitz probleminin çalışmasını o tarihe kadar yapılan çabaların bir incelemesiyle ve Cayley sayılarını elde etmek için kuaterniyonları ikiye katlama yöntemini sergileyerek ilerletti . Yeni bir sanal birim e tanıttı ve kuaterniyonlar q ve Q için bir Cayley sayısı q + Q e yazıyor . Kuaterniyon eşleniği q ' ile ifade edilerek, iki Cayley sayısının çarpımı şudur:

Bir Cayley sayısının konjugatıdır q - Q E , ve karesel bir şeklidir q '+ QQ ' da konjugat ile çarpımından elde edilen. Katlama yöntemi, Cayley-Dickson yapısı olarak adlandırıldı .

1923'te pozitif belirli formlara sahip gerçek cebirlerin durumu , Hurwitz teoremi (kompozisyon cebirleri) tarafından sınırlandırıldı .

1931'de Max Zorn , bölünmüş oktonyonlar oluşturmak için Dickson yapısında çarpma kuralına bir gama (γ) ekledi . Adrian Albert ayrıca 1942'de Dickson ikiye katlamanın kare alma işlevine sahip herhangi bir alana uygulanabileceğini gösterdiğinde gamayı kullandı . Nathan Jacobson , 1958'de kompozisyon cebirlerinin otomorfizmlerini tanımladı .

R ve C üzerindeki klasik kompozisyon cebirleri , birim cebirlerdir . Bileşim cebir olmayan bir çarpımsal kimlik (HP Petersson bulunmuştur Petersson'ın cebir ) ve Susumu Okubo ( Okubo cebir ) ve diğerleri.

Ayrıca bakınız

Referanslar

daha fazla okuma