Hausdorff maksimal ilkesi - Hausdorff maximal principle

In matematik , Hausdorff maksimal prensibi alternatif ve daha önceki formüldür Zorn'un lemmasının tarafından kanıtlanmıştır Felix Hausdorff 1914 yılında (: 168 Moore 1982). Kısmen sıralı herhangi bir kümede , tümüyle sıralı her alt kümenin , en fazla, tamamen sıralı bir alt kümede bulunduğunu belirtir .

Hausdorff maksimal ilkesi, ZF üzerinden seçim aksiyomuna eşdeğer birçok önermeden biridir (seçim aksiyomu olmadan Zermelo – Fraenkel küme teorisi ). Prensip ayrıca Hausdorff maksimumluk teoremi veya Kuratowski lemması olarak da adlandırılır (Kelley 1955: 33).

Beyan

Hausdorff maksimal ilkesi, herhangi bir kısmen sıralı kümede , her bir tamamen sıralı alt kümenin maksimum tamamen sıralı bir alt kümede (herhangi bir şekilde büyütüldüğünde tamamen sıralı kalmayan tamamen sıralı bir alt küme) bulunduğunu belirtir. Genel olarak, belirli bir tamamen sıralı alt kümeyi içeren çok sayıda tamamen sıralı alt küme olabilir.

Hausdorff maksimal ilkesinin eşdeğer bir biçimi, her kısmen sıralı kümede maksimum tamamen sıralı bir alt kümenin var olmasıdır. Bu ifadenin orijinal formdan kaynaklandığını kanıtlamak için A , kısmen sıralı bir küme olsun. Daha sonra bir tamamen sıralı bir alt kümesi olup , A dolayısıyla maksimal tamamen ihtiva eden alt kümesi sipariş vardır, özellikle bu nedenle de, bir maksimum toplam sipariş alt içerir. Ters yön için, A'nın kısmen sıralı bir küme ve T , A'nın tamamen sıralı bir alt kümesi olsun . Sonra ${\ displaystyle \ varnothing}$${\ displaystyle \ varnothing}$

${\ displaystyle \ {S \ mid T \ subseteq S \ subseteq A {\ mbox {ve S tamamen sıralı}} \}}$

küme dahil etme tarafından kısmen sıralanır , bu nedenle maksimum tamamen sıralı bir alt küme P içerir . Daha sonra set istenen özellikleri karşılar. ${\ displaystyle \ subseteq}$${\ displaystyle M = \ bigcup P}$

Hausdorff maksimal ilkesinin Zorn'un lemmasına eşdeğer olduğunun kanıtı bu kanıta çok benzer.

Örnekler

ÖRNEK 1. Eğer A kümelerinin herhangi koleksiyon, ilişki bir olan "uygun bir alt kümesidir" sıkı kısmi sipariş üzerine A . A'nın düzlemdeki tüm dairesel bölgelerin (dairelerin iç kısımları) toplamı olduğunu varsayalım . A'nın bir maksimal tamamen sıralı alt koleksiyonu , başlangıç ​​noktasında merkezlere sahip tüm dairesel bölgelerden oluşur. Diğer bir maksimum tamamen sıralı alt koleksiyon, başlangıçta sağdan y eksenine teğet dairelerle sınırlanan tüm dairesel bölgelerden oluşur.

ÖRNEK 2. (x ₀ , y ₀ ) ve (x ₁ , y ₁ ), ℝ ² düzleminin iki noktasıysa, (x ₀ , y ₀ ) <(x ₁ , y ₁ ) tanımlayın

y ₀ = y ₁ ve x ₀ <x _{1 ise} . Bu, iki noktanın yalnızca aynı yatay çizgi üzerinde olmaları durumunda karşılaştırılabildiği ℝ ^2'lik kısmi bir sıralamadır . En büyük tamamen sıralı kümeler, ℝ ^2'deki yatay çizgilerdir .

Referanslar

• John Kelley (1955), Genel topoloji , Von Nostrand.
• Gregory Moore (1982), Zermelo'nun seçim aksiyomu , Springer.
• James Munkres (2000), Topoloji , Pearson.