Normal operatör - Normal operator

Gelen matematik , özellikle fonksiyonel analiz , bir normal bir operatör bir kompleks üzerindeki Hilbert uzayı H a, sürekli bir doğrusal operatör , N  : H → H olduğu yolculukları onun ile hermisyen eşlenik N * olduğu,: NN * = N * N .

Normal operatörler önemlidir çünkü spektral teorem onlar için geçerlidir. Normal operatörlerin sınıfı iyi anlaşılmıştır. Normal operatörlere örnekler:

• üniter operatörler : N* = N ^-1
• Hermit operatörleri (yani, kendine eş operatörler): N* = N
• Skew-Hermitian operatörleri: N* = − N
• pozitif operatörler : bazı M için N = MM* (böylece N kendine eştir).

Bir normal matris Hilbert alan normal bir operatörün matris ifadesidir Cı ⁿ .

Özellikleri

Normal operatörler, spektral teorem ile karakterize edilir . Bir kompakt normal operatör (özellikle, sonlu boyutlu bir lineer uzayda normal bir operatör), üniter olarak köşegenleştirilebilir .

Let sınırlı bir operatör olmak. Aşağıdakiler eşdeğerdir. ${\görüntüleme stili T}$

• ${\görüntüleme stili T}$ normaldir.
• ${\görüntüleme stili T^{*}}$ normaldir.
• ${\displaystyle \|Tx\|=\|T^{*}x\|}$hepsi için (kullanın ).${\görüntüleme stili x}$${\displaystyle \|Tx\|^{2}=\langle T^{*}Tx,x\rangle =\langle TT^{*}x,x\rangle =\|T^{*}x\|^ {2}}$
• İşe gidip gelmenin kendine bağlı ve kendine zıt kısımları . Yani, ile birlikte yazılırsa ve sonra${\görüntüleme stili T}$${\görüntüleme stili T}$${\displaystyle T=T_{1}+iT_{2}}$${\displaystyle T_{1}:={\frac {T+T^{*}}{2}}}$${\displaystyle i\,T_{2}:={\frac {TT^{*}}{2}},}$${\displaystyle T_{1}T_{2}=T_{2}T_{1}.}$

Eğer normal bir operatör, sonra ve aynı çekirdek ve aynı aralığı vardır. Sonuç olarak, aralığı ancak ve ancak injektif ise yoğundur . Başka bir deyişle, normal bir operatörün çekirdeği, aralığının ortogonal tümleyenidir. Operatör çekirdeği izler o ile çakışır herhangi Every normal operatörünün özdeğer böylece orijinal olup genelleştirilmiş. Normal bir operatörün bir özdeğeridir karmaşık eşlenik, ancak ve ancak bir özdeğeridir farklı özdeğerler tekabül eden normal operatör özvektörler ortogonaldir ve normal operatör kendi Aygen her ortogonal tamamlayıcı stabilize eder. Bu, olağan spektral teoremi ima eder: sonlu boyutlu bir uzaydaki her normal operatör, üniter bir operatör tarafından köşegenleştirilebilir. İzdüşüm değerli ölçüler olarak ifade edilen spektral teoremin sonsuz boyutlu bir versiyonu da vardır . Normal bir operatörün artık spektrumu boştur. ${\görüntüleme stili N}$${\görüntüleme stili N}$${\görüntüleme stili N^{*}}$${\görüntüleme stili N}$${\görüntüleme stili N}$${\görüntüleme stili N^{k}}$${\görüntüleme stili N}$${\görüntüleme stili k.}$${\ Displaystyle \ lambda }$${\görüntüleme stili N}$${\displaystyle {\üzerine çizgi {\lambda }}}$${\görüntüleme stili N^{*}.}$

İşe gidip gelen normal operatörlerin çarpımı yine normaldir; bu önemsizdir, ancak doğrudan Fuglede'nin (Putnam tarafından genelleştirilmiş bir biçimde) belirten teoreminin sonucudur :

if ve normal operatörlerdir ve if , o zaman olacak şekilde sınırlı bir lineer operatördür .${\displaystyle N_{1}}$${\ Displaystyle N_{2}}$${\görüntüleme stili A}$${\displaystyle N_{1}A=AN_{2},}$${\displaystyle N_{1}^{*}A=AN_{2}^{*}}$

Normal bir operatörün operatör normu, sayısal yarıçapına ve spektral yarıçapına eşittir .

Normal bir operatör, Aluthge dönüşümüyle çakışır .

Sonlu boyutlu durumda özellikler

Bir normal operatör ise , T , bir ilgili sonlu boyutlu ya da kompleks Hilbert alanı (iç ürün alanı) , H , bir alt uzay stabilize V , o zaman da ortogonal tamamlayıcı stabilize V ^⊥ . (Bu ifade, T'nin kendine bitişik olduğu durumda önemsizdir .)

Kanıt. Let p _V üzerine dikey projeksiyonu V . Daha sonra üzerine dik izdüşüm V ^⊥ olan 1 _H - p _V . T'nin V'yi stabilize etmesi gerçeği ( 1 _H − P _V ) TP _V = 0 veya TP _V = P _V TP _{V olarak ifade edilebilir} . Amaç, P _V T ( 1 _H − P _V ) = 0 olduğunu göstermektir.

Let X = p _V T ( 1 _H - p _V ). ( A , B ) ↦ tr( AB* ) H'nin endomorfizm uzayında bir iç çarpım olduğundan, tr( XX* ) = 0 olduğunu göstermek yeterlidir.

${\displaystyle XX^{*}=P_{V}T({\boldsymbol {1}}_{H}-P_{V})^{2}T^{*}P_{V}=P_{V} T({\boldsymbol {1}}_{H}-P_{V})T^{*}P_{V}=P_{V}TT^{*}P_{V}-P_{V}TP_{V }T^{*}P_{V}}$.

Şimdi, izin ve ortogonal izdüşümlerin özelliklerini kullanarak :

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\operatöradı {tr} (XX^{*})&=\operatöradı {tr} \left(P_{V}TT^{*}P_{V}-P_{V}TP_) {V}T^{*}P_{V}\sağ)\\&=\operatöradı {tr} (P_{V}TT^{*}P_{V})-\operatöradı {tr} (P_{V} TP_{V}T^{*}P_{V})\\&=\operatöradı {tr} (P_{V}^{2}TT^{*})-\operatöradı {tr} (P_{V}^ {2}TP_{V}T^{*})\\&=\operatöradı {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatöradı {tr} (P_{V}TP_{V}T^ {*})\\&=\operatöradı {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatöradı {tr} (TP_{V}T^{*})&&{\text{hipotezi kullanarak }}T{\text{ stabilize eder }}V\\&=\operatöradı {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatöradı {tr} (P_{V}T^{*}T)\ \&=\operatöradı {tr} (P_{V}(TT^{*}-T^{*}T))\\&=0.\end{hizalı}}}$

Aynı argüman , tr( AB* ) tarafından uygun şekilde yorumlanan Hilbert-Schmidt iç çarpımının kullanıldığı sonsuz boyutlu Hilbert uzaylarındaki kompakt normal operatörler için de geçerlidir . Ancak, sınırlı normal operatörler için kararlı bir alt uzayın ortogonal tümleyeni kararlı olmayabilir. Hilbert uzayı genel olarak normal bir operatörün özvektörleri tarafından kapsanamaz. Örneğin, normal olan ancak hiçbir özdeğeri olmayan iki taraflı kaymayı (veya iki taraflı kaymayı) göz önünde bulundurun . ${\displaystyle \el ^{2}}$

Hardy uzayına etki eden bir kaymanın değişmez alt uzayları, Beurling teoremi ile karakterize edilir .

Cebirlerin Normal Elemanları

Normal operatörler kavramı, kapsayıcı bir cebire genelleştirir:

xx* = x*x ise, bir dahil edici cebirin x elemanının normal olduğu söylenir .

Kendinden birleşik ve üniter unsurlar normaldir.

En önemli durum, böyle bir cebirin C*-cebri olması durumudur .

Sınırsız normal operatörler

Normal operatörlerin tanımı, doğal olarak bazı sınırsız operatör sınıflarına genellenir. Açıkça, kapalı bir operatör N , aşağıdaki durumlarda normal olduğu söylenir:

${\displaystyle N^{*}N=NN^{*}.}$

Burada, eşlenik varlığı N * etki alanı gerektirir N yoğun olacak ve eşitliği alanı olduğu iddiasını içeren N * N bunun eşittir NN * mutlaka genel olarak böyle değildir.

Eşdeğer normal operatörler tam olarak

${\displaystyle \|Nx\|=\|N^{*}x\|\qquad }$

ile

${\displaystyle {\mathcal {D}}(N)={\mathcal {D}}(N^{*}).}$

Spektral teorem, sınırsız (normal) operatörler için hala geçerlidir. Kanıtlar, sınırlı (normal) operatörlere indirgenerek çalışır.

genelleme

Normal operatörler teorisinin başarısı, değişebilirlik gereksinimini zayıflatarak birkaç genelleme girişimine yol açtı. Normal operatörleri içeren operatör sınıfları (dahil edilme sırasına göre)

• yarı normal operatörler
• normal altı operatörler
• hiponormal operatörler
• paranormal operatörler
• normaloidler

Notlar

Referanslar