Mesafe - Distance

Mesafe , nesnelerin veya noktaların ne kadar uzakta olduğunun sayısal bir ölçümüdür . Olarak fizik veya günlük kullanım, mesafe fiziksel karşılık gelebilir uzunluğu (örneğin, "iki iller fazla") diğer ölçütlere göre veya bir tahmin. A noktasından B noktasına olan mesafe bazen olarak gösterilir . Çoğu durumda, "A'dan B'ye olan mesafe", "B'den A'ya olan mesafe" ile değiştirilebilir. Gelen matematik , bir mesafe fonksiyon ya da metrik fiziksel mesafe kavramının bir genellemedir; bir uzayın öğelerinin birbirine "yakın" veya "uzak" olmasının ne anlama geldiğini açıklamanın bir yoludur. Gelen psikolojisi ve sosyal bilimler , mesafe olmayan bir sayısal ölçümüdür; Psikolojik mesafe , "zaman, mekan, sosyal mesafe ve varsayımsallık" gibi boyutlar boyunca "bir nesnenin kendinden uzaklaştırılabileceği farklı yollar" olarak tanımlanır.

Genel bakış ve tanımlar

Fiziksel mesafeler

Los Angeles ve Tokyo arasındaki havayolu rotaları yaklaşık olarak doğrudan bir büyük daire rotası (üstte) takip eder, ancak doğuya doğru giderken jet akımını (altta) kullanır. En kısa rotanın düz bir çizgi yerine bir eğri olarak göründüğünü unutmayın, çünkü bu harita bir Mercator projeksiyonu olup, tüm mesafeleri Dünya'nın gerçek küresel yüzeyiyle karşılaştırıldığında eşit olarak ölçeklendirmez.
Bir ızgarada " Manhattan mesafesi "

Fiziksel bir mesafe birkaç farklı anlama gelebilir:

  • Katedilen mesafe: Bir labirentte gezinirken katedilen mesafe gibi iki nokta arasında kat edilen belirli bir yolun uzunluğu
  • Düz hat (Öklid) mesafesi: İki nokta arasında, herhangi bir engel olmaması durumunda alınabilecek, uzayda mümkün olan en kısa yolun uzunluğu (genellikle Öklid mesafesi olarak ifade edilir )
  • Jeodezik mesafe: Dünya'nın eğrisi boyunca büyük daire mesafesi gibi bir yüzeyde kalırken iki nokta arasındaki en kısa yolun uzunluğu
  • Doğrudan yukarı fırlatılan bir top veya bir yörüngeyi tamamladığında Dünya gibi başlangıç ​​noktasına dönen belirli bir yolun uzunluğu .
Visakhapatnam yakın mesafeleri gösteren bir tahta

"Dairesel mesafe", araçlar veya mekanik dişliler tasarlarken faydalı olabilecek bir tekerleğin kat ettiği mesafedir. Tekerleğin çevresi 2 π  × yarıçaptır ve yarıçapın 1 olduğu varsayıldığında, tekerleğin her dönüşü 2 π radyan mesafesine eşdeğerdir . Mühendisliğinde ω  = 2 πƒ genellikle formülü kullanılır ve burada ƒ olan frekans .

Olağandışı mesafe tanımları, belirli fiziksel durumları modellemeye yardımcı olabilir, ancak teorik matematikte de kullanılır:

  • " Manhattan mesafesi ", bir taksinin New York şehrinin bazı bölgelerindeki sokaklar ızgarasında hedefine ulaşmak için gitmesi gereken blok sayısından (kuzey, güney, doğu veya batı yönlerinde) adlandırılan doğrusal bir mesafedir. .
  • Chebyshev mesafesi olarak resmileştirilen " satranç tahtası mesafesi", bir şahın iki kare arasında seyahat etmek için bir satranç tahtasında yapması gereken minimum hamle sayısıdır .

Kozmolojideki mesafe ölçer karmaşıklaştırmaktadır evrenin genişlemesi ve tarif edilen etkisi ile izafiyet teorisi (örneğin uzunluğu, daralma hareket eden nesnelerin).

teorik mesafeler

"Mesafe" terimi, fiziksel olmayan varlıkları belirli şekillerde ölçmek için analoji tarafından da kullanılır.

Gelen bilgisayar bilimleri , "kavramı vardır düzenlemek mesafesi iki dizeleri arasındaki". Örneğin, sadece bir harf değişen "köpek" ve "nokta" kelimeleri, üç harf farkı olan "köpek" ve "kedi" den daha yakındır. Bu fikir yazım denetleyicilerinde ve kodlama teorisinde kullanılır ve aşağıdakiler gibi birkaç farklı yolla matematiksel olarak resmileştirilir:

Matematikte, bir metrik uzay , kümenin tüm üyeleri arasındaki mesafelerin tanımlandığı bir kümedir. Bu şekilde, grafiklerin çapraz geçişi , dağılımların ve eğrilerin karşılaştırılması ve alışılmadık "uzay" tanımlarının kullanılması (örneğin bir manifold veya yansımalar kullanılması ) gibi birçok farklı "mesafe" türü hesaplanabilir . Graf teorisindeki mesafe kavramı, örneğin Erdős numarası veya Bacon sayısı ile sosyal ağları tanımlamak için kullanılmıştır -bir kişinin sırasıyla üretken matematikçi Paul Erdős ve aktör Kevin Bacon'dan uzaktaki işbirlikçi ilişkilerin sayısı .

Psikolojide, beşeri coğrafyada ve sosyal bilimlerde mesafe genellikle nesnel bir ölçü olarak değil, öznel bir deneyim olarak kuramlaştırılır.

Yönlendirilmiş mesafe ve yer değiştirmeye karşı mesafe

Yer değiştirme ile karşılaştırıldığında bir yol boyunca mesafe

Hem mesafe hem de yer değiştirme, bir nesnenin hareketini ölçer. Mesafe negatif olamaz ve asla azalmaz. Mesafe skaler bir nicelik veya bir büyüklüktür , oysa yer değiştirme hem büyüklüğü hem de yönü olan bir vektör miktarıdır . Negatif, sıfır veya pozitif olabilir. Yönlendirilmiş mesafe hareketi ölçmez; iki noktanın ayrılmasını ölçer ve pozitif, sıfır veya negatif bir vektör olabilir.

Bir taşıt tarafından kat edilen mesafe (bir tarafından kaydedilen örneğin kilometre sayacı bir nokta eğri bir yol boyunca, bir kişi, hayvan veya nesnenin) A bir nokta için B düz-hat mesafesinde ayırt edilmelidir A için B . Örneğin, her ne kadar bir tur arasında bir yolculuk sırasında kat ettiği mesafe A için B ve arka A başlangıç ve bitiş noktaları denk olarak, yer değiştirme, sıfırdır. Düz bir hat üzerinde yapılan yolculuklar dışında, genel olarak düz hat mesafesi kat edilen mesafeye eşit değildir.

Yönlendirilmiş mesafe

Yönlendirilmiş mesafeler, düz çizgiler ve eğri çizgiler boyunca belirlenebilir.

Düz çizgiler boyunca yönlendirilmiş mesafeler, bir başlangıç ​​noktası ile bir bitiş noktası arasındaki mesafeyi ve yönü veren vektörlerdir. Bir Öklid vektör uzayında bir AB doğrusu üzerindeki A noktasından B yönünde bir C noktasının yönlendirilmiş uzaklığı, eğer C AB ışını üzerine düşerse A ile C arasındaki mesafedir , ancak C üzerine düşerse bu mesafenin negatifidir. ray BA (yani, eğer aynı tarafında değil A olarak B ise). Örneğin, New York Şehri Ana Kütüphanesi bayrak direği ile Özgürlük Anıtı bayrak direği arasındaki yönlendirilmiş mesafe:

  • Başlangıç ​​noktası: kütüphane bayrak direği
  • Bir bitiş noktası: heykel bayrak direği
  • Bir yön: -38°
  • Mesafe: 8.72 km

Yönlendirilmiş mesafenin başka bir türü, belirli bir zamanda iki farklı parçacık veya nokta kütlesi arasındaki mesafedir. Örneğin, uzaklık ağırlık merkezi Earth A ve Ay ağırlık merkezi B (kesinlikle alınan hareketi anlamına gelmez A için B ) bu kategoriye girer.

Eğri bir çizgi boyunca yönlendirilmiş bir mesafe bir vektör değildir ve bir uç noktasından ideal veya gerçek bir hareketin anlamını (veya yönünü) gösteren bazı özel bilgilerle birlikte, A ve B uç noktaları tarafından tanımlanan bu eğri çizginin bir parçası ile temsil edilir . diğer tarafa doğru ayırın (şekle bakın). Örneğin, sadece iki uç noktayı A ve B olarak etiketlemek, sıralı dizi ( A , B ) varsayılırsa anlamı gösterebilir , bu da A'nın başlangıç ​​noktası olduğu anlamına gelir .

Yer değiştirme

Yer değiştirme (yukarıya bakın), mekanikte tanımlanan özel bir yönlendirilmiş mesafe türüdür . Yönlendirilmiş bir mesafe, A ve B'den düz bir çizgi boyunca (minimum mesafe) mesafe olduğunda ve A ve B , aynı parçacık tarafından zamanın iki farklı anında işgal edilen konumlar olduğunda, yer değiştirme olarak adlandırılır . Bu , parçacığın hareketini ifade eder . Bir parçacığın kat ettiği mesafe, yalnızca parçacık düz bir yol boyunca hareket ettiğinde eşitlik meydana gelecek şekilde, yer değiştirmesinden daima daha büyük veya ona eşit olmalıdır.

Matematik

Geometri

Olarak analitik geometri , bir Öklid mesafe iki nokta arasında xy düzlemi mesafesi aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir. ( x 1 , y 1 ) ile ( x 2 , y 2 ) arasındaki uzaklık şu şekilde verilir:

Benzer şekilde, üç uzayda ( x 1 , y 1 , z 1 ) ve ( x 2 , y 2 , z 2 ) verilen noktalar arasındaki uzaklık:

Bu formüller, bir bacağı diğerinin hipotenüsünde olan bir dik üçgen oluşturularak (diğer bacak 1. üçgeni içeren düzleme dik olacak şekilde ) ve Pisagor teoremi uygulanarak kolayca elde edilir . Bu uzaklık formülü , yay uzunluğu formülüne de genişletilebilir . Diğer formüllerle birlikte diğer uzaklıklar Öklidyen olmayan geometride kullanılır .

Öklid uzayında uzaklık

Gelen Öklid alan R ' , n , iki nokta arasındaki mesafe genellikle verilir Öklid mesafe (2-norm mesafe). Diğer normlara dayanan diğer mesafeler bazen bunun yerine kullanılır.

Bir nokta için ( x 1 , x 2 , ..., x , n ve bir ucu () y 1 , y 2 , ..., Y , n ,) Minkowsky mesafe emri p ( p -norm mesafesi ) gibi tanımlanmıştır; :

1-norm mesafe
2-norm mesafe
p -norm mesafesi
sonsuzluk normu mesafesi

p bir tamsayı olmak zorunda değildir, ancak 1'den küçük olamaz, çünkü aksi halde üçgen eşitsizliği geçerli değildir.

2-norm mesafesi, Pisagor teoreminin ikiden fazla koordinata genelleştirilmesi olan Öklid mesafesidir . İki nokta arasındaki mesafe bir cetvelle ölçülseydi elde edilecek olan şey budur : "sezgisel" mesafe fikri.

1-norm mesafeye daha renkli bir şekilde taksi normu veya Manhattan mesafesi denir , çünkü bir arabanın kare bloklar halinde düzenlenmiş bir şehirde (tek yönlü sokaklar yoksa) gideceği mesafedir.

Sonsuzluk normu mesafesine Chebyshev mesafesi de denir . 2B'de, kralların bir satranç tahtasındaki iki kare arasında seyahat etmek için ihtiyaç duyduğu minimum hamle sayısıdır .

P -norm nadiren değerleri için kullanılan p , 1, 2, ve sonsuzluk dışında, ama bakın süper elips .

Fiziksel uzayda Öklid mesafesi bir bakıma en doğal olanıdır, çünkü bu durumda rijit bir cismin uzunluğu dönme ile değişmez .

Mesafenin değişken formülasyonu

Uzayda ( ve ) iki nokta arasındaki Öklid uzaklığı , uzaklığın bir integralin minimum değeri olduğu değişken bir biçimde yazılabilir :

İşte iki nokta arasındaki yörünge (yol). (D) integralinin değeri bu yörüngenin uzunluğunu temsil eder. Mesafe, bu integralin minimum değeridir ve optimal yörünge nerede olduğunda elde edilir . Bilinen Öklid durumunda (yukarıdaki integral) bu optimal yörünge basitçe düz bir çizgidir. İki nokta arasındaki en kısa yolun düz bir çizgi olduğu iyi bilinir. Düz çizgiler , yukarıdaki fonksiyonel için Euler-Lagrange denklemlerini çözerek resmi olarak elde edilebilir . Gelen Öklid dışı alan doğası ile temsil edilir manifold (kavisli boşluklar) metrik tensör integrali sahiptir modifiye edilmesi , burada Einstein Toplam kongre kullanılmıştır.

Daha yüksek boyutlu nesnelere genelleme

İki nesne arasındaki Öklid mesafesi, nesnelerin artık nokta olmadığı, ancak uzay eğrileri gibi daha yüksek boyutlu manifoldlar olduğu duruma genelleştirilebilir , bu nedenle iki nokta arasındaki mesafeden bahsetmeye ek olarak, iki nokta arasındaki mesafe kavramlarını tartışabiliriz. Teller. Ele alınan yeni nesneler genişletilmiş nesneler (artık noktalar değil) olduğundan, genişletilemezlik, eğrilik kısıtlamaları ve kesişmemeyi zorunlu kılan yerel olmayan etkileşimler gibi ek kavramlar mesafe kavramının merkezinde yer alır. İki manifold arasındaki mesafe, iki manifold arasındaki bir dönüşümü temsil eden genelleştirilmiş uzaklık fonksiyonelinin minimize edilmesinden elde edilen skaler niceliktir :

Yukarıdaki çift katlı integral, iki polimer yapısı arasındaki fonksiyonel genelleştirilmiş uzaklıktır. uzaysal bir parametredir ve sözde zamandır. Bu , zamandaki polimer/sicim konformasyonunun olduğu ve ip uzunluğu boyunca ile parametreleştirildiği anlamına gelir . Benzer şekilde konformasyondan tüm dize dönüşümü sırasında dizesi sonsuz segmentinin yörüngesini konformasyonuna . Kofaktörlü terim bir Lagrange çarpanıdır ve rolü, dönüşüm sırasında polimerin uzunluğunun aynı kalmasını sağlamaktır. Eğer iki ayrı polimer uzamaz ise, o zaman aralarındaki minimum mesafe dönüşümü artık bir Öklid metriği üzerinde bile tamamen düz çizgi hareketini içermez. Protein katlanması sorununa bu tür genelleştirilmiş mesafenin potansiyel bir uygulaması vardır .

Bu genelleştirilmiş uzaklık benzerdir Nambu-Goto eylem içinde sicim teorisi 3-uzayda Öklid mesafesi klasik relativistik dize için minimize uzay-zaman mesafeye inequivalent çünkü ancak kesin bir uyuşma yoktur.

cebirsel mesafe

Bu, bilgisayarla görmede sıklıkla kullanılan ve en küçük kareler tahmini ile en aza indirilebilen bir ölçüdür . [1] [2] Denklem tarafından verilen eğriler veya yüzeyler için ( homojen koordinatlardaki bir konik gibi ), noktadan eğriye olan cebirsel mesafe basitçe . Doğrusal olmayan en küçük kareler gibi daha doğru yöntemlerle eğri tahminlerini iyileştirmek için geometrik uzaklık için bir "ilk tahmin" işlevi görebilir .

Genel metrik

Gelen matematik , özellikle geometrisi , bir uzaklık fonksiyonu , belirli bir ilgili dizi M a, fonksiyon d : M × MR , R ' grubunu ifade eder gerçek sayılar ' e tatmin eden aşağıdaki koşullar:

  • d ( x , y ) ≥ 0 ve d ( x , y ) = 0 ancak ve ancak x = y ise . (Mesafe iki farklı nokta arasında pozitiftir ve bir noktadan kendisine tam olarak sıfırdır.)
  • Bu ise , simetrik : d ( x , y ) = D ( y , x ) . ( x ve y arasındaki mesafe her iki yönde de aynıdır.)
  • Bu tatmin üçgen eşitsizliği : d ( x , z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ) . (İki nokta arasındaki mesafe, herhangi bir yoldaki en kısa mesafedir). Böyle bir mesafe fonksiyonu metrik olarak bilinir . Küme ile birlikte bir metrik uzay oluşturur .

Örneğin, iki gerçek sayı x ve y arasındaki uzaklığın genel tanımı şöyledir: d ( x , y ) = | x - y | . Bu tanım, yukarıdaki üç koşulu karşılar ve gerçek hattın standart topolojisine karşılık gelir . Ancak belirli bir kümedeki mesafe tanımsal bir seçimdir. Başka bir olası seçenek de şunları tanımlamaktır: x = y ise d ( x , y ) = 0 , aksi halde 1'dir. Bu aynı zamanda bir metriği tanımlar, ancak tamamen farklı bir topoloji verir, " ayrık topoloji "; bu tanımla sayılar keyfi olarak yakın olamaz.

Kümeler arasındaki ve bir nokta ile bir küme arasındaki mesafeler

d ( AB ) >  d ( AC ) +  d ( CB )

Nesneler arasında çeşitli mesafe tanımları mümkündür. Örneğin, gök cisimleri arasında yüzeyden yüzeye mesafe ile merkezden merkeze mesafeyi karıştırmamak gerekir. Alçak bir dünya yörüngesinde olduğu gibi, birincisi ikincisinden çok daha azsa, birincisi alıntılanma eğilimindedir (yükseklik), aksi takdirde, örneğin Dünya-Ay mesafesi için, ikincisi.

Belirli bir metrik uzayın iki boş olmayan alt kümesi arasındaki mesafe için iki yaygın tanım vardır :

  • İki boş olmayan küme arasındaki uzaklığın bir versiyonu , kelimenin günlük anlamı olan, ilgili noktalarından herhangi ikisi arasındaki mesafelerin en azıdır .
Bu simetrik bir premetriktir . Bir kısmı birbirine değen veya örtüşen kümeler koleksiyonunda, "ayırıcı" değildir, çünkü iki farklı ancak birbirine dokunan veya örtüşen küme arasındaki mesafe sıfırdır. Ayrıca hemimetrik değildir yani özel durumlar dışında üçgen eşitsizliği geçerli değildir. Bu nedenle, yalnızca özel durumlarda bu mesafe, kümelerin bir koleksiyonunu bir metrik uzay yapar .
  • Hausdorff mesafesi iki değer, bir olma büyük sup noktalar arasındaki mesafenin, diğer kümesi üzerinde uzanan bir ikinci nokta için, infimum arasında, bir fazla dizi arasındaki bir nokta için, ve diğer değer aynı şekilde olmak tanımlanmış ancak iki kümenin rolleri değiştirilmiştir. Bu mesafe , bir metrik uzayın boş olmayan kompakt alt kümeleri kümesini bir metrik uzay yapar .

Bir nokta ve bir dizi arasındaki mesafe noktasında ve kümedeki arasındaki mesafelerin infimum olup. Bu, yalnızca bu noktayı içeren kümeden diğer kümeye kadar olan kümeler arasındaki mesafenin yukarıdaki ilk tanımına göre mesafeye karşılık gelir.

Buna göre, Hausdorff mesafesinin tanımı basitleştirilebilir: bir küme üzerinde değişen bir nokta için, nokta ile küme arasındaki mesafenin ve diğer değerin biri en yüksek olan iki değerden daha büyük olanıdır. aynı şekilde tanımlanmış, ancak iki kümenin rolleri değiştirilmiştir.

Grafik teorisi

Olarak grafik teorisi mesafesi iki köşe arasındaki en kısa uzunluğu yolu bu noktalar arasında.

istatistiksel mesafeler

Gelen istatistik ve bilgi geometri , birçok türü vardır istatistiki mesafeler , özellikle farklılıkların , özellikle Bregman farklılaşmaları ve f -divergences . Bunlar, "iki olasılık dağılımı arasındaki fark" kavramlarının çoğunu içerir ve genelleştirir ve istatistiksel manifoldlar olarak geometrik olarak çalışılmalarına izin verir . En temel, en küçük karelerin temelini oluşturan kare Öklid mesafesidir ; bu en temel Bregman ayrışmasıdır. En önemli bilgi teorisi olan nispi entropi ( Kullback-Leibler diverjans bir benzer çalışma sağlar), maksimum olabilirlik tahmin geometrik; bu en temel f -ıraksamadır ve aynı zamanda bir Bregman diverjansıdır (ve her ikisi de olan tek sapmadır). Bregman sapmalarına karşılık gelen istatistiksel manifoldlar , ilgili geometride düz manifoldlardır ve Pisagor teoreminin bir analoğunun (geleneksel olarak kare Öklid mesafesi için doğrudur) optimizasyon teorisi ile çıkarımda doğrusal ters problemler için kullanılmasına izin verir .

Diğer önemli istatistiksel mesafeler Mahalanobis mesafesini , enerji mesafesini ve diğerlerini içerir.

Diğer matematiksel "mesafeler"

  • Canberra mesafesi - bilgisayar bilimlerinde kullanılan Manhattan mesafesinin ağırlıklı bir versiyonu

psikolojide

Psikolojik mesafe, "zaman, mekan, sosyal mesafe ve varsayımsallık" gibi boyutlar boyunca "bir nesnenin kendinden uzaklaştırılabileceği farklı yollar" olarak tanımlanmaktadır. Psikolojik mesafe ile düşünmenin soyut veya somut olduğu boyut arasındaki ilişki , karar verme için bir çerçeve olan kurgusal düzey teorisinde tanımlanır .

Ayrıca bakınız

Kütüphane Desteği

Referanslar

bibliyografya