Matris (matematik) - Matrix (mathematics)

Bir m × n matrisi: m satır yatay ve n sütun dikeydir. Bir matrisin her bir elemanı genellikle iki alt simgeli bir değişken ile gösterilir . Örneğin, bir 2,1 ikinci satır ve matrisin ilk sütun elemanı temsil eder.

Gelen matematik , bir matris (çoğul matrisler ) a, dikdörtgen dizisi veya tablo numaraları , semboller ya da ifadeleri bir temsil etmek için kullanılan sıralar ve sütunlar halinde düzenlenmiş, matematiksel bir nesne ya da bir nesnenin bir özelliği. Örneğin,

iki satır ve üç sütunlu bir matristir; sıklıkla bir "iki ya da üç matrisi" terimi, bir "demek 2 x 3 -Matris" ya da boyutta bir matris 2 x 3 .

Daha fazla belirtim olmadan, matrisler doğrusal haritaları temsil eder ve doğrusal cebirde açık hesaplamalara izin verir . Bu nedenle, matrislerin incelenmesi lineer cebirin büyük bir bölümünü oluşturur ve soyut lineer cebirin çoğu özelliği ve işlemi matrisler cinsinden ifade edilebilir. Örneğin, matris çarpımı , doğrusal haritaların bileşimini temsil eder .

Tüm matrisler lineer cebir ile ilgili değildir. Bu, özellikle, bir, durumda grafik teorisi bölgesinin sıklığı matrisler ve bitişiklik matrisler . Bu makale lineer cebir ile ilgili matrislere odaklanmaktadır ve aksi belirtilmedikçe tüm matrisler lineer haritaları temsil eder veya bu şekilde görülebilir.

Kare matrisler , aynı sayıda satır ve sütun içeren matrisler , matris teorisinde önemli bir rol oynar. Belirli bir boyuttaki kare matrisler, değişmeli olmayan bir halkanın en yaygın örneklerinden biri olan değişmeli olmayan bir halka oluşturur. Belirleyici bir kare matrisin bir kare matrisin çalışma için temel olan matris, ilişkili bir sayıdır; örneğin, bir kare matris, ancak ve ancak sıfır olmayan bir determinantı varsa ve bir kare matrisin özdeğerleri bir polinom determinantının kökleriyse tersinirdir .

İn geometrisi , matrisler yaygın belirlenmesi ve temsil etmek için kullanılan geometrik dönüşümler , (örneğin dönüş ) ve değişiklikleri koordinat . Gelen sayısal analiz , birçok bilgisayar sorunları bir matris hesaplama bunları kısaltarak çözülür ve bu büyük boyutun matrisleri ile hesaplamak için genellikle gerektirir. Matrisler, matematiğin çoğu alanında ve çoğu bilimsel alanda, ya doğrudan ya da geometri ve sayısal analizde kullanımları yoluyla kullanılır.

Tanım

Bir matris , toplama ve çarpma gibi işlemlerin tanımlandığı dikdörtgen bir sayı dizisidir (veya diğer matematiksel nesneler) . En yaygın olarak, bir F alanı üzerindeki bir matris , her biri F'nin bir üyesi olan dikdörtgen bir skaler dizisidir . Bir gerçek matris ve karmaşık matris Girişleri sırasıyla matrisleridir reel sayılar ya da karmaşık sayılar . Daha genel giriş türleri aşağıda tartışılmaktadır . Örneğin, bu gerçek bir matristir:

Matristeki sayılar, semboller veya ifadeler, girdileri veya elemanları olarak adlandırılır . Bir matristeki girişlerin yatay ve dikey satırlarına sırasıyla satırlar ve sütunlar denir .

Boy

Bir matrisin boyutu, içerdiği satır ve sütun sayısı ile tanımlanır. Pozitif tamsayılar olduğu sürece bir matrisin (genel anlamda) sahip olabileceği satır ve sütun sayısında bir sınır yoktur. İle bir matris m satır ve n, sütun bir adlandırılır m  x N matrisi ya da m -by- n ise, matris m ve n de denir boyutları . Örneğin, yukarıdaki A matrisi 3 × 2'lik bir matristir.    

Tek satırlı matrislere satır vektörleri , tek sütunlu matrislere sütun vektörleri denir . Satır ve sütun sayıları aynı olan matrislere kare matris denir . Sonsuz sayıda satır veya sütun (veya her ikisi) olan bir matrise sonsuz matris denir . Bilgisayar cebir programları gibi bazı bağlamlarda, boş matris olarak adlandırılan, satırı veya sütunu olmayan bir matrisi düşünmek yararlıdır .

Matris boyutuna genel bakış
İsim Boy Örnek Açıklama
satır vektör 1  × n  Bazen bir vektörü temsil etmek için kullanılan tek satırlı bir matris
Kolon vektörü n  ×  1 Bazen bir vektörü temsil etmek için kullanılan tek sütunlu bir matris
Kare matris n  × n  Bazen bir vektör uzayından kendisine doğrusal bir dönüşümü temsil etmek için kullanılan, aynı sayıda satır ve sütuna sahip bir matris , örneğin yansıma , döndürme veya kesme gibi .

gösterim

Matrisler genellikle köşeli parantez veya parantez içinde yazılır :

Sembolik matris gösteriminin özellikleri, bazı geçerli eğilimlerle birlikte büyük ölçüde değişir. Matrisler, genellikle kullanılarak sembolize edilmiştir harf (örneğin harf A karşılık gelen süre, örnekler yukarıda) küçük harf iki simge indeksi (örneğin, ile birlikte, harfler , bir 11 ya da bir 1,1 ), girişleri temsil eder. Matrisleri sembolize etmek için büyük harfler kullanmaya ek olarak, birçok yazar matrisleri diğer matematiksel nesnelerden daha fazla ayırt etmek için genellikle kalın yazı tipi (italik olmayan) olan özel bir tipografik stil kullanır . Alternatif bir gösterim, kalın yazı stili olsun veya olmasın değişken adıyla çift alt çizgi kullanımını içerir ( örneğinde olduğu gibi ).

A matrisinin i. satırı ve j. sütunundaki girişe bazen matrisin i , j , ( i , j ) veya ( i , j )inci girişi olarak atıfta bulunulur ve en yaygın olarak şu şekilde gösterilir: bir i , j veya bir ij . Bu girdi için alternatif gösterimler A [ i,j ] veya A i,j . Örneğin, aşağıdaki A matrisinin (1,3) girişi 5'tir (aynı zamanda a 13 , a 1,3 , A [ 1,3 ] veya A 1,3 olarak da gösterilir ):

Bazı durumlarda, bir matris girdileri gibi bir formül ile tanımlanabilir bir i , j = f ( i , j ). Örneğin, aşağıdaki A matrisinin girişlerinin her biri, a ij = i - j formülüyle belirlenir .

Bu durumda, matrisin kendisi bazen köşeli parantez veya çift parantez içinde bu formülle tanımlanır. Örneğin, yukarıdaki matris A = [ ij ] veya A = (( ij ) olarak tanımlanır). Matris boyutu m × n ise, yukarıda belirtilen f ( i , j ) formülü herhangi bir i = 1, ..., m ve herhangi bir j = 1, ..., n için geçerlidir . Bu, ayrı olarak belirtilebilir veya bir alt simge olarak m × n kullanılarak belirtilebilir . Örneğin, yukarıdaki A matrisi 3 × 4'tür ve A = [ benj ] ( i = 1, 2, 3; j = 1, ..., 4) veya A = [ ben − şeklinde tanımlanabilir. j ] 3×4 .

Bazı programlama dilleri, bir m-n matrisini temsil etmek için çift indisli diziler (veya dizi dizileri) kullanır . Bazı programlama dilleri dizi indekslerinin numaralandırılmasına sıfırdan başlar, bu durumda bir m -by- n matrisinin girişleri 0 ≤ im − 1 ve 0 ≤ jn − 1 ile indekslenir . Bu makale, numaralandırmanın 1'den başladığı matematiksel yazımda daha yaygın olan kuralı takip eder.

Bir matristeki tüm satırlara veya sütunlara atıfta bulunmak için bazen bir yıldız işareti kullanılır. Örneğin, a i ,∗ A öğesinin i. satırını belirtir ve a ∗, j A öğesinin j . sütununu belirtir .

Grubu tüm m -by- n gerçek matrisler genellikle gösterilir veya grubu tüm m -by- n üste matrisler matrisler bu alanda veya üzerinde bir halka R , benzer şekilde ifade edilir veya Eğer m = n , söz konusu olduğunda, bu ait kare matrisleri bir boyut tekrar etmez: ya Genellikle yerine kullanılır

Temel işlemler

Harici video
video simgesi Matrisler nasıl düzenlenir, toplanır ve çarpılır - Bill Shillito , TED ED

Matrisleri değiştirmek için uygulanabilecek, matris toplama , skaler çarpma , yer değiştirme , matris çarpma , satır işlemleri ve alt matris adı verilen bir dizi temel işlem vardır .

Toplama, skaler çarpma ve aktarma

Matrisler üzerinde gerçekleştirilen işlemler
Operasyon Tanım Örnek
Ek Toplam A + B , iki m -by- n matrisleri bir ve B entrywise hesaplanır:
( A + B ) ben , j = A ben , j + B ben , j , burada 1 ≤ benm ve 1 ≤ jn .

Skaler çarpım Ürün C bir bir sayısı c (aynı zamanda adı verilen sayısal bir dilinde soyut cebir ) ve bir matris A her giriş çarpılarak hesaplanır A ile c :
( c A ) ben , j = c · A ben , j .

Bu işleme skaler çarpma denir , ancak "skaler çarpım" bazen " iç çarpım " ile eşanlamlı olarak kullanıldığından, karışıklığı önlemek için sonucu "skaler çarpım" olarak adlandırılmaz .

aktarma Devrik bir bölgesinin m -by- N matrisi A'nın olan n -by- m matrisi bir T (aynı zamanda belirtilen bir tr veya t A ) tam tersi sütunları ve mengene satırları döndürülmesiyle oluşturulmaktadır:
( A T ) i , j = bir j , i .

Sayıların tanıdık özellikleri, matrislerin bu işlemlerine kadar uzanır: örneğin, toplama değişmelidir , yani matris toplamı, toplamların sırasına bağlı değildir: A  + B = B + A . Devir, ( c A ) T = c ( A T ) ve ( A + B ) T = A T + B T ile ifade edildiği gibi toplama ve skaler çarpma ile uyumludur . Son olarak, ( A T ) T = A .              

matris çarpımı

A ve B matrislerinin AB matris ürününün şematik gösterimi .

İki matrisin çarpımı ancak ve ancak sol matrisin sütun sayısı sağ matrisin satır sayısıyla aynıysa tanımlanır. Eğer bir bir olan m -by- N matrisi ve B bir bir n -by- p daha sonra, matris matris ürün AB olduğu m -by- s Girişleri tarafından verilen matris nokta ürünün karşılık gelen sırasının A ve karşılık gelen B sütunu :

burada 1 ≤ im ve 1 ≤ jp . Örneğin üründe altı çizili 2340 girişi (2 × 1000) + (3 × 100) + (4 × 10) = 2340 olarak hesaplanır :

Matris çarpımı ( AB ) C = A ( BC ) ( ilişkilendirme ) ve ( A + B ) C = AC + BC ve C ( A + B ) = CA + CB ( sol ve sağ dağılım ) kurallarını her zaman karşılar matrislerin boyutu, çeşitli ürünler tanımlanacak şekildedir. AB ürünü , BA tanımlanmadan, yani A ve B sırasıyla m -by- n ve n -by- k matrisleri ve mk ise tanımlanabilir . Her iki ürün de tanımlanmış olsa bile, genellikle eşit olmaları gerekmez, yani:

ABBA ,

Başka bir deyişle, matris çarpımı, çarpımı faktörlerin sırasından bağımsız olan (rasyonel, gerçek veya karmaşık) sayıların aksine , değişmeli değildir . Birbiriyle değişmeyen iki matris örneği:

buna karşılık

Az önce açıklanan sıradan matris çarpımının yanı sıra, Hadamard çarpımı ve Kronecker çarpımı gibi çarpma biçimleri olarak kabul edilebilecek matrisler üzerinde daha az kullanılan diğer işlemler de mevcuttur . Sylvester denklemi gibi matris denklemlerinin çözümünde ortaya çıkarlar .

Satır işlemleri

Üç tür satır işlemi vardır:

  1. satır ekleme, yani diğerine satır ekleme.
  2. bir satırın tüm girişlerini sıfır olmayan bir sabitle çarpan satır çarpması;
  3. bir matrisin iki satırını değiştiren satır değiştirme;

Bu işlemler, doğrusal denklemleri çözme ve matris terslerini bulma dahil olmak üzere çeşitli şekillerde kullanılır .

alt matris

Bir submatrix bir matris sıraları ve / veya sütunlardan herhangi bir koleksiyonu silinmesi ile elde edilir. Örneğin, aşağıdaki 3'e 4 matristen, satır 3 ve sütun 2'yi kaldırarak 2'ye 3'lük bir alt matris oluşturabiliriz:

Küçükler ve bir matrisin kofaktörler hesaplanmasıyla bulunan belirleyici belirli submatrices arasında.

Bir ana submatrix belirli satır ve sütun çıkarılarak elde edilen bir kare submatrix olup. Tanım yazardan yazara değişir. Bazı yazarlara göre, bir ana alt matris, kalan satır indeksleri kümesinin kalan sütun indeksleri kümesiyle aynı olduğu bir alt matristir. Diğer yazarlar, bir ana alt matrisi , bazı k sayıları için ilk k satır ve sütunun kalanlar olduğu bir alt matris olarak tanımlar ; bu tür alt matris aynı zamanda önde gelen ana alt matris olarak da adlandırılır .

Doğrusal denklemler

Matrisler, çoklu doğrusal denklemleri, yani doğrusal denklem sistemlerini kompakt bir şekilde yazmak ve bunlarla çalışmak için kullanılabilir. Örneğin, A bir m -by- n matrisiyse, x , n değişken x 1 , x 2 , ..., x n'den oluşan bir sütun vektörü (yani, n ×1-matris) belirtir ve b bir m'dir. ×1 sütun vektörü, ardından matris denklemi

lineer denklem sistemine eşdeğerdir

Matrisleri kullanarak, bu, tüm denklemleri ayrı ayrı yazarak mümkün olandan daha kompakt bir şekilde çözülebilir. Eğer n = m ve denklemler olan bağımsız , o zaman bu yazı ile yapılabilir

burada A -1 olan ters matris arasında A . Eğer bir hayır tersi var, çözümler-varsa-çıkarabileceğiniz kullanılarak bulunabilir genelleştirilmiş ters .

Doğrusal dönüşümler

2'ye 2'lik bir matrisle temsil edilen vektörler, paralelkenara dönüştürülmüş birim karenin kenarlarına karşılık gelir.

Matrisler ve matris çarpımı , lineer haritalar olarak da bilinen lineer dönüşümlerle ilgili temel özelliklerini ortaya çıkarır . Gerçek m -by- N matrisi bir lineer transformasyon sebebiyet verir R nR m eşleme her vektör X içinde R , n (matris) Ürüne Ax bir vektördür, R, m . Bunun aksine, her bir doğrusal dönüşüm f : R ' , nR m, benzersiz doğar m -by- N matrisi A'nın : açık, ( i , j ) -Giriş bir A olduğu I inci koordinatı f ( e j , burada) e j = (0, ..., 0,1,0, ..., 0) olduğu birim vektör içinde 1 ile j inci başka pozisyonu ve 0. Matris bir doğrusal harita belirttiği ifade edilmektedir f ve bir adlandırılan transformasyon matrisi arasında f .

Örneğin, 2×2 matrisi

birim karenin (0, 0) , ( a , b ) , ( a + c , b + d ) ve ( c , d ) ' de köşeleri olan bir paralelkenara dönüşümü olarak görülebilir . Sağda gösterilen paralelkenar, A'nın sütun vektörlerinin her biri ile ve sırayla çarpılmasıyla elde edilir . Bu vektörler birim karenin köşelerini tanımlar.

Bununla ilişkili doğrusal haritaları ile 2 x 2 gerçek matrisler birkaç Aşağıdaki tabloda, R 2 . Mavi orijinal, yeşil ızgaraya ve şekillere eşlenir. Başlangıç ​​noktası (0,0) siyah bir nokta ile işaretlenmiştir.

m = 1.25
ile
yatay kesme .
Dikey eksenden yansıma r = 3/2
ile
sıkıştırma eşlemesi

3/2 faktörü ile ölçekleme
Rotasyon
ile π / 6 = 30 °
Dikey Kesme m=1.25.svg Haritayı çevir.svg Sıkıştır r=1,5.svg 1.5.svg ile ölçeklendirme 6.svg üzerinden pi ile döndürme

Altında 1 1'e karşılık matrisler ve lineer haritalar, matris çarpımı karşılık arasındaki bileşim , eğer a: haritaları k -by- m matris B bir doğrusal harita temsil g : R, m,R k , bileşim grf isimli beri BA tarafından temsil edilen

( gf )( x ) = g ( f ( x )) = g ( Ax ) = B ( Ax ) = ( BA ) x .

Son eşitlik, matris çarpımının yukarıda bahsedilen ilişkiselliğinden kaynaklanmaktadır.

Bir matris seviye A maksimum sayısı lineer bağımsız lineer bağımsız sütun vektörleri maksimum sayıda aynı matrisin, satır vektörleri. Eşdeğer bir o boyut ait resmin tarafından temsil doğrusal haritanın A . Rank sıfırlılık teoremi boyutu belirten kernel bir matris artı değerde matrisinin sütun sayısı eşittir.

Kare matris

Bir kare matris satır ve sütun aynı sayıda bir matrisidir. Bir n- by- n matrisi, n mertebesinde bir kare matris olarak bilinir . Aynı sıradaki herhangi iki kare matris toplanabilir ve çarpılabilir. Girişleri bir ii formu ana çapını bir kare matrisin. Matrisin sol üst köşesinden sağ alt köşesine uzanan hayali çizgi üzerinde bulunurlar.

Ana türler

İsim n = 3 ile örnek
Diyagonal matris
Alt üçgen matris
Üst üçgen matris

Köşegen ve üçgen matris

A'nın ana köşegenin altındaki tüm girdileri sıfırsa, A'ya üst üçgen matris denir . Benzer şekilde, A'nın ana köşegenin üzerindeki tüm girdileri sıfırsa, A'ya alt üçgen matris denir . Ana köşegen dışındaki tüm girişler sıfırsa, A'ya köşegen matris denir .

kimlik matrisi

Birim matris I , n boyutu N olan n -by- n tüm elemanları matris , ana diyagonal , 1 'e eşit olan ve tüm diğer elemanları, örneğin, 0 eşittir

n mertebesinde bir kare matris ve ayrıca özel bir köşegen matris türüdür . Birlik matrisi olarak adlandırılır, çünkü onunla çarpma bir matrisi değiştirmeden bırakır:

AI n = I m A = A herhangi bir m -by- n matris A için .

Bir kimlik matrisinin bir sıfırdan farklı skalar çoklu bir adlandırılır skalar matris. Matris girişleri bir alandan geliyorsa, skaler matrisler, matris çarpımı altında, alanın sıfır olmayan elemanlarının çarpımsal grubuna izomorf olan bir grup oluşturur.

Simetrik veya çarpık simetrik matris

Bir kare matris bir onun devrik, eşittir , A = A , T , a, simetrik bir matris . Bunun yerine, bir onun devriğin, negatifine eşittir A = - bir T , sonra da bir a, eğri-simetrik bir matris . Karmaşık matrisler olarak, simetri genellikle kavramı ile değiştirilir Hermitsel matrisler , tatmin bir * = A yıldız veya, yıldız belirtmektedir eşlenik devrik , bir devrik olan matriksin karmaşık eşlenik arasında A .

Tarafından spektral teoremi , gerçek simetrik matrisler ve karmaşık Hermitian matrisler bir sahiptir eigenbasis ; yani, her vektör, özvektörlerin lineer bir kombinasyonu olarak ifade edilebilir . Her iki durumda da tüm özdeğerler gerçektir. Bu teorem, sonsuz sayıda satır ve sütun içeren matrislerle ilgili sonsuz boyutlu durumlara genelleştirilebilir, aşağıya bakınız .

Ters çevrilebilir matris ve tersi

Bir kare matris bir adlandırılır tersi ya da tekil olmayan bir matris mevcutsa B şekildedir

AB = BA = Ben n ,

burada I n , ana köşegeninde 1'ler ve başka yerde 0'lar bulunan n × n birim matrisidir . Eğer oda varsa, bu benzersiz ve adı ters matris arasında A ile gösterilen A -1 .

kesin matris

pozitif tanımlı matris belirsiz matris
S ( x , y ) = 1/4 x 2 + y 2 S ( x , y ) =1/4 x 2 − 1/4 y 2
Yarı eksen etiketli koordinat sisteminde elips.svg
Nokta, öyle ki S ( x , y ) = 1
( Elips ).
Hiperbol2 SVG.svg
Nokta, öyle ki S ( x , y ) = 1
( hiperbol ).

Bir simetrik gerçek matris A , ilişkili ikinci dereceden form ise pozitif tanımlı olarak adlandırılır.

f ( x ) = x T A  x

Her sıfır olmayan bir vektör için pozitif bir değere sahip X içinde R , n . f ( x ) yalnızca negatif değerler verirse , A negatif tanımlı olur ; Eğer f negatif ve pozitif değerlere üretirler yapar sonra bir olan belirsiz . İkinci dereceden f formu yalnızca negatif olmayan değerler (pozitif veya sıfır) veriyorsa , simetrik matris pozitif-yarı kesin (veya yalnızca pozitif olmayan değerler ise, o zaman negatif-yarı kesin) olarak adlandırılır; dolayısıyla matris tam olarak ne pozitif-yarı-belirli ne de negatif-yarı-belirsiz olduğunda belirsizdir.

Simetrik bir matris, ancak ve ancak tüm özdeğerleri pozitifse pozitif tanımlı, yani matris pozitif-yarı tanımlı ve ters çevrilebilirse. Sağdaki tablo 2'ye 2 matrisler için iki olasılık gösterir.

Girdi olarak iki farklı vektöre izin vermek, bunun yerine A ile ilişkili çift doğrusal formu verir :

B bir ( x , y ) = x T Ay .

Karmaşık matrisler durumunda, simetrik matris , ikinci dereceden biçim , çift doğrusal biçim ve devrik x T ile sırasıyla Hermit matrisi , Hermit biçimi , seskuilineer biçim ve eşlenik devrik x H ile değiştirilen aynı terminoloji ve sonuç geçerlidir .

ortogonal matris

Bir ortogonal matris a, kare matris ile gerçek sütunlar ve satırlar girdileri ortogonal birim vektörleri (olup, ortonormal vektörler). Aynı şekilde, bir matris bir onun eğer ortogonal devrik onun eşittir ters :

hangi içerir

burada ben n , n boyutunun birim matrisidir .

Bir ortogonal matris A mutlaka ters çevrilebilir (ters A -1 = A T ile ), üniter ( A -1 = A * ) ve normaldir ( A * A = AA * ). Belirleyici herhangi bir ortogonal matris ya olup + 1 ya da -1 . Bir ortogonal matris ile bir ortogonal matris belirleyici + 1. Bir şekilde lineer transformasyon , belirleyici her ortogonal matris +1 saf olan dönme , yani, dönüştürme, transforme edilmiş yapının oryantasyonunu muhafaza yansıma olmadan ise, her ortogonal matris ile belirleyici -1 ters döner yönlendirme, yani a olan bir bileşimdir saf yansıma ve (muhtemelen boş) bir dönüş. Birim matrislerin determinantı 1 vardır ve sıfır açısıyla saf dönüşlerdir.

Karmaşık bir ortogonal matris analog a, üniter bir matris .

Ana işlemler

İz

İz , tr ( bir kare matris) A diagonal girişlerin toplamıdır. Matris çarpımı yukarıda bahsedildiği gibi değişmeli olmasa da , iki matrisin çarpımının izi, faktörlerin sırasından bağımsızdır:

tr( AB ) = tr( BA ).

Bu, matris çarpımının tanımından hemen sonra:

İkiden fazla matrisin çarpımının izinin matrislerin döngüsel permütasyonlarından bağımsız olduğu sonucu çıkar , ancak bu genel olarak keyfi permütasyonlar için geçerli değildir (örneğin, genel olarak tr( ABC ) ≠ tr( BAC ). Ayrıca, bir matrisin izi, devriğininkine eşittir, yani,

tr( A ) = tr( A T ) .

determinant

A lineer transformasyon R 2 , belirtilen matris tarafından verilen. Sağdaki yeşil paralelkenarın alanı 1 olduğundan, bu matrisin determinantı -1'dir, ancak harita , vektörlerin saat yönünün tersine yönünü saat yönüne çevirdiğinden, oryantasyonu tersine çevirir .

Belirleyici bir kare matris A (gösterilen det ( A |) veya A |) matrisin bazı özellikleri kodlayan bir sayıdır. Bir matris, ancak ve ancak determinantı sıfır değilse , tersine çevrilebilir . Bu mutlak değer (bölgeyi eşit R 2 ya da (hacim) , R 3 belirleyici ancak ve ancak olumlu: karşılık gelen doğrusal harita yönelimine onun işareti karşılık gelirken, birim kare (ya da küp) görüntüsünün) yön korunursa.

2'ye 2 matrislerin determinantı şu şekilde verilir:

3'e 3 matrislerin determinantı 6 terim içerir ( Sarrus kuralı ). Daha uzun Leibniz formülü, bu iki formülü tüm boyutlara genelleştirir.

Kare matrislerin çarpımının determinantı, determinantlarının çarpımına eşittir:

det( AB ) = det( A ) · det( B ).

Herhangi bir satırın katını başka bir satıra veya herhangi bir sütunun katını başka bir sütuna eklemek determinantı değiştirmez. İki satırı veya iki sütunu değiştirmek, determinantı -1 ile çarparak etkiler. Bu işlemleri kullanarak, herhangi bir matris bir alt (veya üst) üçgen matrise dönüştürülebilir ve bu tür matrisler için determinant, ana köşegen üzerindeki girişlerin çarpımına eşittir; bu, herhangi bir matrisin determinantını hesaplamak için bir yöntem sağlar. Son olarak, Laplace açılımı determinantı minörler , yani daha küçük matrislerin determinantları cinsinden ifade eder . Bu genişletme, determinantların özyinelemeli bir tanımı için kullanılabilir (başlangıç ​​durumu olarak, benzersiz girişi olan 1'e 1 matrisin determinantı veya hatta 1 olan 0'a 0 matrisin determinantı alınır). , Leibniz formülüne eşdeğer olduğu görülebilir. Belirleyiciler, iki ilgili kare matrisin determinantlarının bölünmesinin sistem değişkenlerinin her birinin değerine eşit olduğu Cramer kuralı kullanılarak doğrusal sistemleri çözmek için kullanılabilir .

Özdeğerler ve özvektörler

Bir λ sayısı ve sıfır olmayan bir vektör v tatmin edici

Bir denir özdeğer bir özvektör arasında A , sırasıyla. λ sayısı bir n × n -matris A'nın bir özdeğeridir, ancak ve ancak ve ancak A −λ I n tersinir değilse, bu şuna eşdeğerdir :

Polinom p bir , bir in belirsiz X belirleyici det değerlendirilmesi ile verilen ( X- ı , n - A ) olarak adlandırılır karakteristik polinomu ve A . Bu bir olan mghorta polinom ait derecesi n . Bu nedenle polinom denklemi p A (λ)  =  0, en fazla n farklı çözüme, yani matrisin özdeğerlerine sahiptir. A'nın girdileri gerçek olsa bile karmaşık olabilirler . Göre Cayley- Hamilton teoremi , s A ( A ) = 0 , olduğu, kendine özgü bir polinom verim içine matrisin kendisinin ikame sonucu sıfır matrisi .

hesaplama yönleri

Matris hesaplamaları genellikle farklı tekniklerle yapılabilmektedir. Birçok problem hem doğrudan algoritmalar hem de yinelemeli yaklaşımlarla çözülebilir. Örneğin, bir kare matrisin özvektörleri, n sonsuza eğilim gösterdiğinde bir özvektöre yaklaşan x n vektörlerinin bir dizisini bularak elde edilebilir .

Her bir spesifik problem için en uygun algoritmayı seçmek için, mevcut tüm algoritmaların hem etkinliğini hem de kesinliğini belirlemek önemlidir. Bu konuları inceleyen alana sayısal lineer cebir denir . Diğer sayısal durumlarda olduğu gibi, iki ana yön, algoritmaların karmaşıklığı ve sayısal kararlılıklarıdır .

Bir algoritmanın karmaşıklığını belirlemek, örneğin matrislerin çarpımı gibi bazı algoritmaları gerçekleştirmek için skalerlerin toplanması ve çarpımı gibi kaç temel işlemin gerekli olduğuna dair üst sınırların veya tahminlerin bulunması anlamına gelir . İki matris ürün hesaplanması n -by- n ihtiyaçları yukarıda verilen tanım kullanılarak matrisler , n 3 herhangi biri için bu yana, çarpma n 2 ürünü girişleri, n, çarpmalar gereklidir. Strassen Algoritması bu "naif" algoritmasını geride; sadece n 2.807 çarpmaya ihtiyacı var . İyileştirilmiş bir yaklaşım, bilgi işlem cihazlarının belirli özelliklerini de içerir.

Pek çok pratik durumda, ilgili matrisler hakkında ek bilgiler bilinmektedir. Önemli bir durum seyrek matrislerdir , yani girdilerinin çoğu sıfır olan matrislerdir. Örneğin, eşlenik gradyan yöntemi gibi seyrek matrisler A için doğrusal sistemleri Ax = b çözmek için özel olarak uyarlanmış algoritmalar vardır .

Girdi değerlerindeki küçük sapmalar sonuçta büyük sapmalara yol açmıyorsa, bir algoritma kabaca sayısal olarak kararlıdır. Örneğin, Laplace genişleme ile bir matrisin tersini hesaplamak (alevlenme ( A ) belirtir adjugate matrisi arasında A )

A -1 = adj( A ) / det( A )

matrisin determinantı çok küçükse, önemli yuvarlama hatalarına yol açabilir. Bir matris normu yakalamak için kullanılabilir makinesi gibi bir matrisin tersini işlem lineer cebirsel problemlerin.

Çoğu bilgisayar programlama dili dizileri destekler ancak matrisler için yerleşik komutlarla tasarlanmamıştır. Bunun yerine, mevcut harici kütüphaneler, şu anda kullanılan neredeyse tüm programlama dillerinde diziler üzerinde matris işlemleri sağlar. Matris manipülasyonu, bilgisayarların en eski sayısal uygulamaları arasındaydı. Orijinal Dartmouth BASIC , 1964'teki ikinci baskı uygulamasından itibaren diziler üzerinde matris aritmetiği için yerleşik komutlara sahipti . 1970'lerin başlarında, HP 9830 gibi bazı mühendislik masaüstü bilgisayarlarında , matrisler için BASIC komutları eklemek için ROM kartuşları vardı . APL gibi bazı bilgisayar dilleri matrisleri işlemek için tasarlanmıştır ve matrislerle hesaplamaya yardımcı olmak için çeşitli matematik programları kullanılabilir.

Ayrışma

Matrisleri daha kolay erişilebilir bir forma dönüştürmek için birkaç yöntem vardır. Genellikle matris ayrıştırma veya matris çarpanlara ayırma teknikleri olarak adlandırılırlar . Tüm bu tekniklerin ilgi alanı, söz konusu matrislerin determinant, rank veya ters gibi belirli özelliklerini korumalarıdır, böylece bu miktarlar dönüşüm uygulandıktan sonra hesaplanabilir veya belirli matris işlemlerinin algoritmik olarak daha kolay gerçekleştirilmesi daha kolaydır. bazı matris türleri için

LU ayrıştırma düşük (bir sonucu olarak faktör matrisler L ) ve bir üst üçgen matrisler ( U ). Bu ayrıştırma hesaplandıktan sonra, doğrusal sistemler ileri ve geri ikame adı verilen basit bir teknikle daha verimli bir şekilde çözülebilir . Benzer şekilde, üçgen matrislerin tersini hesaplamak algoritmik olarak daha kolaydır. Gauss eleme benzer bir algoritma; herhangi bir matrisi satır basamak formuna dönüştürür . Her iki yöntem de, matrisi , satırlara veya sütunlara izin vermeye ve bir satırın katlarını başka bir satıra eklemeye karşılık gelen uygun temel matrislerle çarparak ilerler . Tekil değer ayrışımı bir matris ifade A ürünü olarak UDV * , u ve V olan yekpare matrisler ve D bir köşegenel matristir.

Jordan normal formunda bir matris örneği. Gri bloklara Jordan blokları denir.

Eigendecomposition veya köşegenleştirilmesi ifade A ürünü olarak Vdv -1 , D bir köşegenel matristir ve V , uygun bir tersinir bir matristir. Eğer bir bu formda yazılabilir, denir köşegenleştirilemez . Daha genel olarak, ve matrislere uygulanabilir, Ürdün ayrışma dönüşümleri bir matris Ürdün normal formda olan tek sıfır olmayan girişleri özdeğerler λ olan matrisler demek, 1 X için , n ve A , ana diyagonal ve muhtemelen girişleri yerleştirilen için eşit biri sağda gösterildiği gibi ana diyagonalin hemen üstünde. Eigendecomposition göz önüne alındığında, N inci gücünü A (olup, n, kat tekrarlanan matris çarpım) üzerinden hesaplanabilir

A n = ( VDV -1 ) n = VDV -1 VDV -1 ... VDV -1 = VD n V -1

ve bir köşegen matrisin gücü, köşegen girişlerinin karşılık gelen güçleri alınarak hesaplanabilir; bu, bunun yerine A için üstelleştirme yapmaktan çok daha kolaydır . Bu, lineer diferansiyel denklemlerin , matris logaritmalarının ve matrislerin kareköklerinin çözümünde sıklıkla ortaya çıkan bir ihtiyaç olan matris üstel e A'yı hesaplamak için kullanılabilir . Sayısal olarak kötü koşullu durumlardan kaçınmak için Schur ayrıştırması gibi başka algoritmalar kullanılabilir.

Soyut cebirsel yönler ve genellemeler

Matrisler farklı şekillerde genelleştirilebilir. Soyut cebir, daha genel alanlarda ve hatta halkalarda girişleri olan matrisleri kullanırken , doğrusal cebir, doğrusal haritalar kavramındaki matrislerin özelliklerini kodlar. Sonsuz sayıda sütun ve satır içeren matrisleri düşünmek mümkündür. Başka bir uzantı, matrisler dikdörtgen veya iki boyutlu sayı dizileri iken, genellikle sayı dizileri olarak gerçekleştirilebilen vektörlerin aksine, daha yüksek boyutlu sayı dizileri olarak görülebilen tensörlerdir . Belirli gereksinimlere tabi olan matrisler, matris grupları olarak bilinen gruplar oluşturma eğilimindedir . Benzer bir şekilde, belirli koşullar altında matrisler oluşturan halkalar olarak bilinen matris halkaları . Matrislerin ürünün genel değişmeli olarak olmasa da henüz belli matrisler oluşturan alanları olarak bilinen matris alanları .

Daha genel girişleri olan matrisler

Bu makale, girdileri gerçek veya karmaşık sayılar olan matrislere odaklanmaktadır. Bununla birlikte, matrisler, gerçek veya karmaşık sayılardan çok daha genel giriş türleri ile düşünülebilir. Genelleme bir birinci aşama olarak, bir alan olduğu, bir dizi ek , çıkarma , çarpma ve bölme işlemleri tanımlanmış ve iyi huylu olan, yerine kullanılabilir R ya da C , örneğin rasyonel sayı veya sonlu cisimler . Örneğin, kodlama teorisi , sonlu alanlar üzerinde matrislerden yararlanır. Her yerde özdeğerler olarak kabul edilir, bu bir polinom kökleri gibi, sadece matrisin girdileri daha büyük bir alanda bulunabilir; örneğin, gerçek girdileri olan bir matris durumunda karmaşık olabilirler. Bir matrisin girişlerini daha büyük bir alanın öğeleri olarak yeniden yorumlama olasılığı (örneğin, gerçek bir matrisi, girişlerinin tümü gerçek olan karmaşık bir matris olarak görmek), daha sonra her bir kare matrisin tam bir özdeğer kümesine sahip olduğunu düşünmeye izin verir. Alternatif olarak , başlangıçtan itibaren yalnızca C gibi cebirsel olarak kapalı bir alanda girişleri olan matrisler düşünülebilir .

Daha genel olarak, R halkasında girişleri olan matrisler matematikte yaygın olarak kullanılır. Halkalar, bir bölme işleminin var olması gerekmediği için alanlardan daha genel bir kavramdır. Matrislerin aynı toplama ve çarpma işlemleri bu ayarı da kapsar. Kümesi M ( n , R ' ) (aynı zamanda E belirtilen n her kare (R)) n- -by- N üzerinden matrisler R bir halka adlandırılan matriks halka izomorf, Endomorfizma halkasının sol ve R - modül R n . Halka ise R, bir değişmeli olduğu, onun çarpma sonra, E değişmeli ( n , R ' ) bir yekpare nonkomutatif olan (eğer n = 1) , birleştirici cebri fazla R' . Belirleyici değişmeli bir halka üzerinde kare matrislerin R hala kullanılarak tanımlanabilir Leibniz formül ; Böyle bir matrisin ters ise ve bunun belirleyici olması halinde ters çevrilebilir içinde R bir alanın üzerine durumu generalising, F , her sıfırdan farklı eleman ters çevrilebilir olduğu,. Üzerinde Matrisler superrings denir supermatrices .

Matrislerin tüm girişleri her zaman aynı halkada  – hatta herhangi bir halkada bile bulunmaz . Özel ancak yaygın bir durum, girdileri matris olan matrisler olarak kabul edilebilecek blok matrislerdir. Girişlerin kare matris olması ve dolayısıyla herhangi bir halkanın üyesi olması gerekmez ; ancak boyutları belirli uyumluluk koşullarını sağlamalıdır.

Doğrusal haritalarla ilişki

Doğrusal haritalar R nR m , yukarıda açıklandığı gibi m -by- n matrislerine eşdeğerdir . Daha genel olarak, herhangi bir doğrusal harita f : VG sonlu arasında boyutlu vektör uzayı bir matris ile tarif edilebilir A = ( a ij seçtikten sonra,) bazları v 1 , ..., v , n ve V ve W , 1 ,. .., w m arasında w (böylece , n boyutudur V ve m, boyutudur w ) olduğu gibi olan,

Diğer bir deyişle, kolon j ve A görüntüsünü ifade v j baz vektörler cinsinden ağırlık i arasında W ; dolayısıyla bu ilişki A matrisinin girişlerini benzersiz bir şekilde belirler . Matris, bazların seçimine bağlıdır: farklı baz seçimleri, farklı ancak eşdeğer matrislere yol açar . Yukarıdaki somut kavramların çoğu bu ışıkta yeniden yorumlanabilir, örneğin, devrik matris A T , ikili tabanlara göre A tarafından verilen doğrusal haritanın devrikliğini tanımlar .

Bu özellikler, daha doğal yeniden ifade edilebilirler: kategori bir alan girişler ile tüm matrislerin bileşim olarak çoğalması ile eşdeğer sonlu boyutlu kategorisine vektör uzayı , bu alan üzerinde ve lineer haritalar.

Daha genel olarak, ayar m x N matrisi temsil etmek için kullanılabilir R serbest modüller arasındaki eşler -linear R, m ve R n isteğe bağlı bir halka, R birliği ile. Zaman , n  = m Bu haritaların bileşim mümkündür ve bu yol açan matris halkası arasında n x n temsil matrislerin Endomorfizma halkası arasında R n .  

Matris grupları

Bir grup , bir ikili işlemle birlikte bir dizi nesneden oluşan matematiksel bir yapıdır , yani belirli gereksinimlere tabi olarak herhangi iki nesneyi üçüncü bir işlemle birleştiren bir işlem. Nesnelerin matris olduğu ve grup işleminin matris çarpımı olduğu bir gruba matris grubu denir . Bir grup her elemanın tersinir olması gerektiğinden, en genel matris grupları, genel lineer gruplar olarak adlandırılan, belirli bir boyuttaki tüm tersinir matrislerin gruplarıdır .

Matris ürünleri ve tersleri altında korunan matrislerin herhangi bir özelliği, başka matris gruplarını tanımlamak için kullanılabilir. Örneğin, belirli bir büyüklüğe ve 1 determinantına sahip matrisler , özel lineer grup olarak adlandırılan genel lineer gruplarının bir alt grubunu (yani, içinde bulunan daha küçük bir grup) oluşturur . Koşul tarafından belirlenen ortogonal matrisler

M , T K = I ,

formu dik bir grup . Her ortogonal matrisin determinantı 1 veya -1 vardır. Determinant 1 olan ortogonal matrisler, özel ortogonal grup adı verilen bir alt grup oluşturur .

Her sonlu grup olduğu izomorfik bir göz önünde görülebileceği gibi, bir matris grubuna düzenli temsil arasında simetrik bir grup . Genel gruplar, karşılaştırmalı olarak iyi anlaşılan matris grupları kullanılarak temsil teorisi aracılığıyla incelenebilir .

sonsuz matrisler

Ayrıca sonsuz sayıda satır ve/veya sütun içeren matrisleri düşünmek, sonsuz nesneler olmalarına rağmen, bu tür matrisler açıkça yazılamasa bile mümkündür. Önemli olan tek şey, küme indeksleme satırlarındaki her öğe ve küme indeksleme sütunlarındaki her öğe için iyi tanımlanmış bir giriş olmasıdır (bu indeks kümelerinin, doğal sayıların alt kümeleri olması bile gerekmez). Toplama, çıkarma, skaler çarpma ve yer değiştirme gibi temel işlemler hala sorunsuz bir şekilde tanımlanabilir; ancak matris çarpımı, sonuçtaki girdileri tanımlamak için sonsuz toplamlar içerebilir ve bunlar genel olarak tanımlanmamıştır.

Eğer R birliğe sahip herhangi bir halkaysa, o zaman bir sağ R modülü olarak endomorfizm halkası , girişleri ile indekslenen ve sütunlarının her biri yalnızca sonlu sayıda sıfır olmayan giriş içeren sütun sonlu matrislerinin halkasına eşbiçimlidir . Bir sol R modülü olarak kabul edilen M'nin endomorfizmleri, benzer bir nesne ile sonuçlanır , satırlarının her biri yalnızca sonlu sayıda sıfır olmayan girişe sahip olan satır sonlu matrisleri .

Doğrusal haritaları tanımlamak için sonsuz matrisler kullanılıyorsa, aşağıdaki nedenden dolayı, yalnızca sütunlarının tümü sonlu sayıda sıfırdan farklı girişe sahip olan matrisler kullanılabilir. Bir A matrisinin doğrusal bir haritayı tanımlaması için f : VW , her iki uzay için de taban seçilmiş olmalıdır; hatırlama uzayda her vektör, bir (sütun) vektörü olarak yazılır, böylece, esas vektörlerin kombinasyonu doğrusal bir (sonlu) halinde benzersiz yazılabilir bu tanım bu araçlarının v ait katsayıları , sadece sonlu sayıda girişleri v i , sıfır olmayan bulunmaktadır. Şimdi A'nın sütunları , görüntüleri W temelinde V'nin bireysel temel vektörlerinin f ile tanımlar; bu, yalnızca bu sütunların yalnızca sonlu sayıda sıfırdan farklı girişi varsa anlamlıdır. Sıraları üzerinde herhangi bir kısıtlama yoktur A Ancak: Ürün içinde A · v sadece sonlu sayıda sıfırdan farklı katsayıları vardır v o ürünlerin sonsuz toplamı olarak verilir bırakılsa bile girişlerin her biri, sadece sonlu içerir böylece katılan, birçok sıfır olmayan terim ve bu nedenle iyi tanımlanmıştır. Ayrıca, bu, A'nın sütunlarının, etkin bir şekilde yalnızca sonlu sayıda çoğunu içeren doğrusal bir kombinasyonunu oluşturmaya tekabül eder, bu nedenle sonuç, bu sütunların her biri yaptığı için yalnızca sonlu sayıda sıfırdan farklı girdiye sahiptir. Verilen tipteki iki matrisin ürünleri iyi tanımlanmıştır (sütun indeksi ve satır indeks setlerinin eşleşmesi şartıyla), aynı tiptedir ve doğrusal haritaların bileşimine karşılık gelir.  

Eğer R, a, normlu bir halka, satır ve sütun sonluluğu sonra durum rahat olabilir. Norm uygulandığında , sonlu toplamlar yerine kesinlikle yakınsak seriler kullanılabilir. Örneğin, sütun toplamları mutlak yakınsak diziler olan matrisler bir halka oluşturur. Benzer şekilde, satır toplamları mutlak yakınsak seri olan matrisler de bir halka oluşturur.

Sonsuz matrisler, yakınsama ve süreklilik sorularının ortaya çıktığı Hilbert uzaylarındaki operatörleri tanımlamak için de kullanılabilir ve bu da yine uygulanması gereken belirli kısıtlamalarla sonuçlanır. Bununla birlikte, matrislerin açık bakış açısı konuyu karartmaya meyillidir ve bunun yerine soyut ve daha güçlü fonksiyonel analiz araçları kullanılabilir.

Boş matris

Bir boş matris satır ve sütunların sayısının (veya her ikisi) sıfır olduğu bir matrisidir. Boş matrisler, sıfır vektör uzayını içeren haritalarla uğraşmaya yardımcı olur . Örneğin, A 3'e 0 matris ve B 0'a 3 matris ise, AB , 3 boyutlu bir uzay V'den kendisine sıfır haritasına karşılık gelen 3'e 3 sıfır matrisidir , ise BA 0-ile-0 matrisidir. Boş matrisler için ortak bir gösterim yoktur, ancak çoğu bilgisayar cebir sistemi , onlarla oluşturmaya ve hesaplamaya izin verir. 0'a 0 matrisinin determinantı, determinant için Leibniz formülünde meydana gelen boş çarpım ile ilgili olarak 1'dir. determinant  1, genellikle determinantların karakterizasyonunun bir parçası olarak kullanılan bir gerçektir.

Uygulamalar

Matrislerin hem matematikte hem de diğer bilimlerde çok sayıda uygulaması vardır. Bazıları yalnızca bir matristeki bir dizi sayının kompakt temsilinden yararlanır. Örneğin, oyun teorisi ve ekonomisinde , getiri matrisi , oyuncuların belirli bir (sonlu) alternatifler kümesinden hangisini seçtiğine bağlı olarak iki oyuncunun getirisini kodlar. Metin madenciliği ve otomatik eş anlamlılar derlemesi, çeşitli belgelerdeki belirli kelimelerin sıklığını izlemek için tf-idf gibi belge terim matrislerini kullanır .

Karmaşık sayılar, belirli gerçek 2'ye 2 matrislerle temsil edilebilir.

karmaşık sayıların ve matrislerin toplanması ve çarpımı altında birbirine karşılık gelir. Örneğin, 2'ye 2 döndürme matrisleri , yukarıdaki gibi karmaşık bir mutlak değer 1 sayısıyla çarpmayı temsil eder . Benzer bir yorum, genel olarak kuaterniyonlar ve Clifford cebirleri için mümkündür .

Hill şifresi gibi erken şifreleme teknikleri de matrisler kullandı. Bununla birlikte, matrislerin doğrusal doğası nedeniyle, bu kodların kırılması nispeten kolaydır. Bilgisayar grafikleri , hem nesneleri temsil etmek hem de teorik bir kamera gözlemine karşılık gelen üç boyutlu bir nesneyi iki boyutlu bir ekrana yansıtmak gibi görevleri gerçekleştirmek için afin rotasyon matrislerini kullanarak nesnelerin dönüşümlerini hesaplamak için matrisleri kullanır . Bir polinom halkası üzerindeki matrisler , kontrol teorisi çalışmasında önemlidir .

Kimya , özellikle moleküler bağlanma ve spektroskopiyi tartışmak için kuantum teorisinin kullanılmasından bu yana, matrisleri çeşitli şekillerde kullanır . Örnek olarak üst üste binme matrisi ve Fock matris çözümünde kullanılan Roothaan denklemleri elde etmek için moleküler orbitaller arasında Hartree-Fock yöntemi .

Grafik teorisi

Bitişik matrisli bir yönsüz grafik:

Komşuluk matrisi a sonlu grafik temel fikridir grafik teorisi . Grafiğin hangi köşelerinin bir kenarla bağlandığını kaydeder. Yalnızca iki farklı değer (sırasıyla 1 ve 0, örneğin "evet" ve "hayır" anlamına gelir) içeren matrislere mantıksal matrisler denir . Mesafesi (ya da maliyet) matris kenarlarının mesafeler hakkında bilgi içerir. Bu kavramlar, köprülerle bağlanan web sitelerine veya yollar vb. ile bağlanan şehirlere uygulanabilir ; bu durumda (bağlantı ağı aşırı yoğun olmadığı sürece), matrisler seyrek olma eğilimindedir , yani, sıfırdan farklı birkaç giriş içerir. Bu nedenle, ağ teorisinde özel olarak uyarlanmış matris algoritmaları kullanılabilir .

Analiz ve geometri

Hessian matris a türevlenebilir fonksiyonu ƒ : R, NR oluşur ikinci türevleri arasında ƒ olan koordinat yönünde çeşitli göre,

En eyer alanına ( x  =  0, y  =  fonksiyonu (kırmızı) 0) f ( x - y =) x 2 - y 2 Hessian matris olup belirsiz .   

Bu fonksiyon, yerel büyüme davranışı ile ilgili bilgi kodlar verilen kritik nokta X  =  ( x 1 ,  ..., x , n ), ilk olarak bir nokta, kısmi türev arasında ƒ ortadan, fonksiyon bir sahiptir yerel minimum Hessian matrisi pozitif tanımlı ise . Kuadratik programlama küresel minima ya da yakından matrisleri bağlı olanlar ile ilgili ikinci dereceden fonksiyonların maximum bulmak için kullanılabilir (bkz yukarıdaki ).  

Sıklıkla geometrik durumlarda kullanılan diğer bir matristir Jacobi matris türevlenebilir harita ve f : R ' , nR m . Eğer f 1 , ..., m m bileşenlerinin anlamında olabildikleri f , daha sonra Jacobi matris olarak tanımlanmaktadır

Eğer , n > m Jacobi matrisin sıralaması maksimal değer ancak ve eğer m , f göre, bu noktada yerel olarak tersinirdir kapalı fonksiyon teoremi .

Kısmi diferansiyel denklemler , denklemin en yüksek mertebeden diferansiyel operatörlerinin katsayı matrisi dikkate alınarak sınıflandırılabilir. İçin eliptik kısmi diferansiyel denklemler , bu matris, söz konusu denklemin olası çözümlerin grubu üzerinde belirleyici etkiye sahip olan, belirli bir pozitiftir.

Sonlu eleman yöntemi kısmi diferansiyel denklemlerinin çözümü için önemli bir sayısal yöntem olup, yaygın olarak kompleks fiziksel sistemlerin simüle uygulanan. Parçaların yeterince ince bir ızgara ile ilgili olarak seçildiği ve daha sonra bir matris denklemi olarak yeniden oluşturulabileceği parçalı doğrusal fonksiyonlarla bir denklemin çözümünü yaklaşık olarak yapmaya çalışır.

Olasılık teorisi ve istatistik

İki farklı Markov zinciri. Grafik, "2" durumundaki parçacıkların (toplam 1000) sayısını göstermektedir. Her iki sınır değeri de (kırmızı) ve (siyah) ile verilen geçiş matrislerinden belirlenebilir .

Stokastik matrisler , satırları olasılık vektörleri olan , yani girdileri negatif olmayan ve toplamı bir olan kare matrislerdir . Stokastik matrisler, sonlu sayıda durum içeren Markov zincirlerini tanımlamak için kullanılır . Stokastik matrisin bir satırı, şu anda satıra karşılık gelen durumdaki bazı parçacıkların bir sonraki konumu için olasılık dağılımını verir. Markov zinciri benzeri soğurma durumlarının özellikleri , yani herhangi bir parçacığın sonunda ulaştığı durumları, geçiş matrislerinin özvektörlerinden okunabilir.

İstatistikler ayrıca matrisleri birçok farklı biçimde kullanır. Tanımlayıcı istatistikler , genellikle veri matrisleri olarak temsil edilebilen ve daha sonra boyutluluk azaltma tekniklerine tabi tutulabilen veri kümelerini tanımlamakla ilgilidir . Kovaryans matrisi karşılıklı kodlayan varyans bazılarının rastgele değişken . Matrisleri kullanan başka bir teknik, doğrusal bir fonksiyonla sonlu bir çiftler kümesine ( x 1 , y 1 ), ( x 2 , y 2 ), ..., ( x N , y N ) yaklaşan bir yöntem olan doğrusal en küçük karelerdir.

y beneksen ben + b , ben = 1, ..., N

matrislerin tekil değer ayrıştırması ile ilgili matrisler cinsinden formüle edilebilir .

Rastgele matrisler , girdileri rastgele sayılar olan ve matris normal dağılımı gibi uygun olasılık dağılımlarına tabi olan matrislerdir . Olasılık teorisi ötesinde, onlar arasında değişen alanlarda uygulanır sayılar teorisi için fiziği .

Fizikte simetriler ve dönüşümler

Lineer dönüşümler ve ilişkili simetriler modern fizikte önemli bir rol oynar. Örneğin, temel parçacıklar olarak kuantum alan teorisi temsilleri olarak sınıflandırılır Lorentz grubu hareketi altında, daha spesifik olarak İzafiyetin ve sıkma grubu . Pauli matrislerini ve daha genel gama matrislerini içeren somut temsiller , spinör gibi davranan fermiyonların fiziksel tanımının ayrılmaz bir parçasıdır . En hafif üç kuark için , SU(3) özel üniter grubunu içeren bir grup teorik temsili vardır ; Fizikçiler hesaplamaları için Gell-Mann matrisleri olarak bilinen ve güçlü nükleer etkileşimlerin modern tanımının, kuantum renk dinamiğinin temelini oluşturan SU(3) ayar grubu için de kullanılan uygun bir matris temsilini kullanırlar . Cabibbo Kobayashi-Maskawa matris da, önemli olan temel kuark durumları gerçeğini ifade zayıf etkileşimlerin ile aynı değildir, ancak lineer spesifik ve ayrı parçacıklar tanımlayan temel kuark durumları ile ilgili kütleleri .

Kuantum durumlarının doğrusal kombinasyonları

Kuantum mekaniğinin ilk modeli ( Heisenberg , 1925), kuantum durumları üzerinde hareket eden sonsuz boyutlu matrislerle teorinin operatörlerini temsil ediyordu. Bu aynı zamanda matris mekaniği olarak da adlandırılır . Belirli bir örnek, temel, "saf" özdurumların doğrusal bir kombinasyonu olarak bir kuantum sisteminin "karışık" durumunu karakterize eden yoğunluk matrisidir .

Başka bir matris, deneysel parçacık fiziğinin temel taşını oluşturan saçılma deneylerini tanımlamak için anahtar bir araç olarak hizmet eder: Etkileşmeyen parçacıkların birbirine doğru yöneldiği ve küçük bir etkileşim bölgesinde çarpıştığı parçacık hızlandırıcılarında meydana gelen çarpışma reaksiyonları , Sonuç olarak etkileşmeyen parçacıklar kümesi, giden parçacık durumlarının skaler ürünü ve gelen parçacık durumlarının doğrusal bir kombinasyonu olarak tanımlanabilir. Doğrusal kombinasyon, parçacıklar arasındaki olası etkileşimler hakkındaki tüm bilgileri kodlayan S matrisi olarak bilinen bir matris tarafından verilir .

Normal modlar

Fizikte matrislerin genel bir uygulaması, lineer olarak eşleşmiş harmonik sistemlerin tanımıdır. Bu tür sistemlerin hareket denklemleri , kinetik terimi vermek için genelleştirilmiş bir hızı çarpan bir kütle matrisi ve etkileşimleri karakterize etmek için bir yer değiştirme vektörünü çarpan bir kuvvet matrisi ile matris biçiminde tanımlanabilir . Çözüm elde etmenin en iyi yolu , matris denklemini köşegenleştirerek sistemin özvektörlerini , normal modlarını belirlemektir . Moleküllerin iç dinamikleri söz konusu olduğunda bunun gibi teknikler çok önemlidir : karşılıklı olarak bağlı bileşen atomlarından oluşan sistemlerin iç titreşimleri. Ayrıca mekanik titreşimleri ve elektrik devrelerindeki salınımları tanımlamak için de gereklidirler.

geometrik optik

Geometrik optik , daha fazla matris uygulamaları sağlar. Bu yaklaşım teorisinde ışığın dalga doğası ihmal edilir. Sonuç, ışık ışınlarının gerçekten de geometrik ışınlar olduğu bir modeldir . Işık ışınlarının optik elemanlar tarafından sapması küçükse, belirli bir ışık ışını üzerindeki bir merceğin veya yansıtıcı elemanın etkisi, iki bileşenli bir vektörün, ışın transfer matrisi analizi adı verilen ikiye iki matris ile çarpımı olarak ifade edilebilir : vektörün bileşenleri, ışık ışınının eğimi ve optik eksene olan uzaklığıdır, matris ise optik elemanın özelliklerini kodlar. Aslında, iki tür matris vardır, yani. bir mercek yüzeyindeki kırılmayı tanımlayan bir kırılma matrisi ve başka bir kırılma matrisinin uygulandığı referans düzleminin bir sonraki kırılma yüzeyine çevrilmesini tanımlayan bir çeviri matrisi . Lenslerin ve/veya yansıtıcı elemanların bir kombinasyonundan oluşan optik sistem, bileşenlerin matrislerinin çarpımından elde edilen matris tarafından basitçe tanımlanır.

Elektronik

Elektronikte geleneksel ağ analizi ve düğüm analizi , bir matris ile tanımlanabilen bir doğrusal denklem sistemine yol açar.

Birçok elektronik bileşenin davranışı matrisler kullanılarak tanımlanabilir. Let bir bileşenin giriş voltajı olan bir 2-boyutlu bir vektör olabilir v 1 ve giriş akımı i 1 unsurlar gibi ve izin B bir 2-boyutlu bir bileşenin, çıkış geriliminin bir vektör V 2 ve çıktı akımın i 2 unsurlar gibi. Daha sonra elektronik bileşenin davranışı B = H · A ile tanımlanabilir , burada H bir empedans elemanı ( h 12 ), bir kabul elemanı ( h 21 ) ve iki boyutsuz eleman ( h 11 ve ) içeren 2 x 2'lik bir matristir. h 22 ). Bir devreyi hesaplamak artık matrisleri çarpmaya indirgeniyor.

Tarih

Matrisler, lineer denklemlerin çözümünde uzun bir uygulama geçmişine sahiptir, ancak 1800'lere kadar diziler olarak biliniyorlardı. 10. ve 2. yüzyıllarda yazılmış olan Matematik Sanatı Üzerine Dokuz Bölüm adlı Çince metin , determinant kavramı da dahil olmak üzere eşzamanlı denklemleri çözmek için dizi yöntemlerinin kullanımının ilk örneğidir . 1545'te İtalyan matematikçi Gerolamo Cardano , Ars Magna'yı yayınlayarak yöntemi Avrupa'ya tanıttı . Japon matematikçi Seki Hollandalı matematikçi 1683 yılında eşzamanlı denklemleri çözmek için aynı dizi yöntemleri kullanılır Witt Jan de onun 1659 kitabı dizileri kullanarak dönüşümleri temsil Eğrilerin Elements (1659). 1700 ve 1710 yılları arasında Gottfried Wilhelm Leibniz , bilgi veya çözümleri kaydetmek için dizilerin kullanımını duyurdu ve 50'den fazla farklı dizi sistemiyle deneyler yaptı. Cramer , kuralını 1750'de sundu .

(Türetilmiş "karnında" Latince, "Matris" terimi Mater -Anne) tarafından ortaya konmuştur James Joseph Sylvester birkaç belirleyicileri bugün denilen sebebiyet veren bir nesne olarak bir matris anlaşılan 1850 yılında, küçükleri demek ki, belirleyicileri sütunları ve satırları kaldırarak orijinal olandan türetilen daha küçük matrisler. 1851 tarihli bir makalesinde Sylvester şöyle açıklıyor:

Daha önceki makalelerimde bir "Matris"i, ortak bir ebeveynin rahminden farklı belirleyici sistemlerin türetilebileceği dikdörtgen bir terimler dizisi olarak tanımlamıştım.

Arthur Cayley , daha önce yapıldığı gibi araştırılmakta olan katsayıların döndürülmüş versiyonları olmayan matrisleri kullanarak geometrik dönüşümler üzerine bir inceleme yayınladı. Bunun yerine, toplama, çıkarma, çarpma ve bölme gibi işlemleri bu matrislerin dönüşümleri olarak tanımladı ve doğru tutulan ilişkisel ve dağıtım özelliklerini gösterdi. Cayley, matris çarpımının değişmeli olmayan özelliğini ve ayrıca matris toplamanın değişmeli özelliğini araştırdı ve gösterdi. Erken matris teorisi, dizilerin kullanımını neredeyse yalnızca belirleyicilerle sınırlamıştı ve Arthur Cayley'in soyut matris işlemleri devrim niteliğindeydi. Denklem sistemlerinden bağımsız bir matris kavramı önermede etkiliydi. 1858'de Cayley , Cayley-Hamilton teoremini önerdiği ve gösterdiği matris teorisi üzerine A anısını yayınladı .

İngiliz matematikçi Cuthbert Edmund Cullis 1913'te matrisler için, modern köşeli parantez kullanan ilk ve o, aynı anda gösterim ilk önemli kullanımı göstermiştir A = [ a i , j, bir matris temsil etmek] bir I , J belirtir i th satır ve j th sütun.

Belirleyicilerin modern çalışması çeşitli kaynaklardan türetilmiştir. Sayı-teorik sorunlar yol Gauss katsayıları ilişkilendirmek kare biçimleri gibi olduğu, ifadeler x 2 + xy 2 - y 2 , ve doğrusal haritalar üç boyutta matrislere. Eisenstein ayrıca modern deyimle, sözler de dahil olmak üzere, bu kavramları geliştirildi matris ürünleri olan sigara değişmeli . Cauchy bir matris belirleyicisi tanımı olarak kullanılarak faktörler açısından genel ifadeler kanıtlamak için ilk A = [ a i , j ] Aşağıdaki: yetkileri yerine bir j k göre bir jk olarak polinom

,

burada Π , belirtilen terimlerin çarpımını belirtir. 1829'da simetrik matrislerin özdeğerlerinin gerçek olduğunu da gösterdi . Jacobi adı Görüşürüz "işlevsel belirleyicilerin" incelenmiştir Jacobi belirleyicileri tarafından Sylvester-ki, yerel (veya en geometrik dönüşümleri tarif için kullanılabilir sonsuz , bakınız) seviyesi üstünde ; Kronecker'in sitesindeki Determinanten der Theorie die über Vorlesungen ve Weierstrass'ın Zur Determinantentheorie , hem birinci hem de tedavi edilen belirleyiciler, 1903 yılında yayınlanan aksiyom bu Cauchy'nin bahsedilen formül yaklaşımları önceki daha fazla beton aksine,. Bu noktada, belirleyiciler sağlam bir şekilde kuruldu.

Birçok teorem ilk olarak yalnızca küçük matrisler için oluşturulmuştur, örneğin, Cayley-Hamilton teoremi , yukarıda belirtilen anıda Cayley tarafından 2 × 2 matrisler için ve Hamilton tarafından 4 × 4 matrisler için kanıtlanmıştır . Frobenius , bilineer formlar üzerinde çalışarak teoremi tüm boyutlara genelleştirdi (1898). Ayrıca 19. yüzyılın sonunda, Gauss-Jordan eliminasyonu (şimdi adı verilen özel bir durum genelleme Gauss eliminasyon ) tarafından kurulmuştur Ürdün . 20. yüzyılın başlarında, matrisler, kısmen önceki yüzyılın hiper karmaşık sayı sistemlerinin sınıflandırılmasında kullanılmalarından dolayı lineer cebirde merkezi bir rol kazandı .

Heisenberg , Born ve Jordan tarafından matris mekaniğinin başlaması, sonsuz sayıda satır ve sütun içeren matrislerin incelenmesine yol açtı. Daha sonra, von Neumann , Hilbert uzayları üzerindeki lineer operatörler gibi işlevsel analitik kavramları daha da geliştirerek kuantum mekaniğinin matematiksel formülasyonunu gerçekleştirdi ; bunlar, çok kabaca konuşursak, Öklid uzayına karşılık gelir , ancak sonsuz sayıda bağımsız yöne sahiptir .

Matematikte "matris" kelimesinin diğer tarihsel kullanımları

Kelime, tarihsel öneme sahip en az iki yazar tarafından alışılmadık şekillerde kullanılmıştır.

Bertrand Russell ve Alfred North Whitehead , Principia Mathematica'larında (1910–1913) "matris" kelimesini indirgenebilirlik aksiyomları bağlamında kullanırlar . Bu aksiyomu, herhangi bir işlevi arka arkaya daha düşük türden birine indirgemek için bir araç olarak önerdiler, böylece "altta" (0 ​​sıra) işlevin uzantısıyla aynı olması sağlandı :

"Ne kadar değişkenli olursa olsun, herhangi bir görünür değişken içermeyen herhangi bir fonksiyona matris adını verelim . O zaman, matris dışındaki herhangi bir olası fonksiyon, genelleme yoluyla, yani önermeyi göz önünde bulundurarak bir matristen türetilir. söz konusu işlevin tüm olası değerlerle veya argümanlardan birinin bazı değerleriyle, diğer argüman veya argümanların belirsiz kalmasıyla doğru olduğunu".

Örneğin, bir işlev Φ ( x, y iki değişkenin) X ve Y bir indirgenebilir toplama örneğin, tek bir değişken fonksiyonları y "bireyler" mümkün olan tüm değerleri için "dikkate" fonksiyonu ile, a x değişkeninin yerine ben koydum . Ve sonra, tek değişkenli y , yani ∀a i : Φ( a i , y ), sonuçta ortaya çıkan işlev koleksiyonu, tüm olası değerler için işlevi "göz önünde bulundurarak" bir değerler "matrisine" indirgenebilir. y değişkeni yerine " b i değiştirilen bireyler" :

∀b j ∀a ben : Φ( bir ben , b j ).

Alfred Tarski , 1946 tarihli Mantığa Giriş'inde "matris" kelimesini matematiksel mantıkta kullanıldığı şekliyle doğruluk tablosu kavramıyla eşanlamlı olarak kullanmıştır.

Ayrıca bakınız

Notlar

Referanslar

Fizik referansları

  • Bohm, Arno (2001), Kuantum Mekaniği: Temeller ve Uygulamalar , Springer, ISBN 0-387-95330-2
  • Burgess, Cliff; Moore, Guy (2007), Standart Model. Bir Primer , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-86036-9
  • Günther, Robert D. (1990), Modern Optik , John Wiley, ISBN 0-471-60538-7
  • Itzykson, Claude; Zuber, Jean-Bernard (1980), Kuantum Alan Teorisi , McGraw–Hill, ISBN 0-07-032071-3
  • Riley, Kenneth F.; Hobson, Michael P.; Bence, Stephen J. (1997), Fizik ve mühendislik için matematiksel yöntemler , Cambridge University Press, ISBN 0-521-55506-X
  • Schiff, Leonard I. (1968), Kuantum Mekaniği (3. baskı), McGraw-Hill
  • Weinberg, Steven (1995), Alanların Kuantum Teorisi. Cilt I: Vakıflar , Cambridge University Press, ISBN 0-521-5001-7
  • Wherrett, Brian S. (1987), Atomlar, Moleküller ve Katılar için Grup Teorisi , Prentice–Hall International, ISBN 0-13-365461-3
  • Zabrodin, Anton; Brezin, Edouard; Kazakov, Vladimir; Serban, Didina; Wiegmann, Paul (2006), Fizikte Rastgele Matrislerin Uygulamaları (NATO Science Series II: Matematik, Fizik ve Kimya) , Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag , ISBN 978-1-4020-4530-1

Tarihsel referanslar

daha fazla okuma

Dış bağlantılar