çarpım işlevi - Multiplicative function

Gelen sayı teorisi , bir çarpım fonksiyonu bir bir aritmetik fonksiyonu f ( n pozitif bir) tamsayı , n özelliği o f (1) = 1 ve

$${\görüntüleme stili f(ab)=f(a)f(b)}$$

Aritmetik fonksiyonu f ( n ) olduğu söylenir tamamen çarpımsal (ya da tamamen çarpımsal ise) f (1) = 1 ve f ( ab ) = f ( a ) f ( b ) tutan tüm pozitif tam bir ve b zaman dahi, onlar asal değil.

Örnekler

Formüllerin yazılmasını kolaylaştırmak için bazı çarpımsal işlevler tanımlanmıştır:

• 1( n ): 1( n ) = 1 (tamamen çarpımsal) ile tanımlanan sabit fonksiyon
• Id( n ): Id( n ) = n (tamamen çarpımsal) ile tanımlanan kimlik işlevi
• Id _k ( n ): herhangi bir karmaşık sayı k için Id _k ( n ) = n ^{k ile} tanımlanan güç fonksiyonları (tamamen çarpımsal). Özel durumlar olarak sahip olduğumuz
  • Kimlik ₀ ( n ) = 1( n ) ve
  • Kimlik ₁ ( n ) = Kimlik ( n ).
• ε ( n ): ile tanımlanan fonksiyon ε ( n ) = 1 , n = 1, 0, aksi halde, Kimi zaman için çarpım birimi Dirichlet kıvrım ya da sadece ünitesi fonksiyonuna (tamamen çarpımsal). Bazen u ( n ) olarak yazılır ama μ ( n ) ile karıştırılmamalıdır .
• 1 _C ( n ), belirli C kümeleri için C ⊂ Z kümesinin gösterge işlevi . Gösterge fonksiyonu 1 _{° C} ( n- grubu tam olarak ne zaman) çarpımsal olan Cı herhangi göreceli asal sayıların aşağıdaki özelliğine sahip bir ve b : Ürün ab olan C numaraları, ancak ve ancak bir ve b hem de kendileri C . Bu takdirde böyledir C kareler, küpler, ya setidir k -inci güçler veya eğer C kümesidir kare içermeyen sayılar.

Çarpımsal işlevlerin diğer örnekleri, sayı teorisinde önemli birçok işlevi içerir, örneğin:

• gcd ( n , k ) büyük ortak bölen ve n ve k bir fonksiyonu olarak, n , k, sabit bir tamsayıdır.
• ${\görüntüleme stili \varphi (n)}$: Euler'in totient işlevi , pozitif tam sayıları n'ye eşit (ancak daha büyük değil) sayma${\görüntüleme stili \varphi }$
• μ ( n ): Möbiüs fonksiyonu , parite (-1 da +1, tek için) asal faktörlerin sayısı kare içermeyen sayı; n karesiz değilse 0
• σ _k ( n ): böleni fonksiyonu , toplamıdır k tüm pozitif bölenler inci güçler n ( k herhangi biri olabilir karmaşık sayı ). Sahip olduğumuz özel durumlar
  • σ ₀ ( n ) = D ( n ), pozitif sayısı bölenler arasında n ,
  • σ ₁ ( n ) = σ ( n ) 'nin tüm pozitif bölenler toplamı n .
• a ( n ): n düzeyindeki izomorfik olmayan değişmeli grupların sayısı .
• λ ( n ): Liouville fonksiyonu , λ ( n ) = (−1) ^{Ω( n )} burada Ω( n ) n'yi bölen (çoklukla sayılır) toplam asal sayıdır . (tamamen çarpımsal).
• γ ( n ), γ ( n ) = (−1) ^{ω (n) ile tanımlanır} , burada toplama işlevi ω ( n ) n'yi bölen farklı asal sayıların sayısıdır .
• τ ( n ): Ramanujan tau fonksiyonu .
• Tüm Dirichlet karakterleri tamamen çarpımsal işlevlerdir. Örneğin
  • ( N / p ), Legendre sembolü bir fonksiyonu olarak kabul n s sabit olan asal sayı .

Çarpımsal olmayan bir fonksiyona örnek, aritmetik fonksiyon r ₂ ( n ) - iki tamsayının karelerinin toplamı olarak n'nin temsil sayısı , pozitif , negatif veya sıfır , burada yol sayısını sayarken, siparişe izin verilir. Örneğin:

ve dolayısıyla r ₂ (1) = 4 ≠ 1. Bu, fonksiyonun çarpımsal olmadığını gösterir. Ancak, r ₂ ( n )/4 çarpımsaldır.

In Tamsayı Dizilerin On-Line Ansiklopedisi , çarpımsal fonksiyonun değerlerinin dizileri anahtar kelime "mult" var.

Çarpımsal olmayan işlevlerin diğer bazı örnekleri için aritmetik işleve bakın .

Özellikler

Çarpımsal bir işlev, aritmetiğin temel teoreminin bir sonucu olarak, asal sayıların kuvvetlerindeki değerleriyle tamamen belirlenir . Dolayısıyla, n , farklı asal sayıların kuvvetlerinin bir ürünü ise, diyelim ki n = p ^a q ^b ..., o zaman f ( n ) = f ( p ^a ) f ( q ^b ) ...

Çarpımsal fonksiyonların bu özelliği, aşağıdaki n = 144 = 2 ⁴ · 3 ² örneklerinde olduğu gibi, hesaplama ihtiyacını önemli ölçüde azaltır :

Benzer şekilde, elimizde:

$${\displaystyle \varphi (144)=\varphi (2^{4})\,\varphi (3^{2})=8\cdot 6=48}$$

Genel olarak, eğer f ( n ) bir çarpımsal fonksiyon ise ve a , b herhangi iki pozitif tam sayı ise, o zaman

Her tamamen çarpımsal fonksiyon olduğu homomorfizması ait Monoidler ve tamamen asal sayılar onun kısıtlaması tarafından belirlenir.

evrişim

Eğer f ve g iki çarpımsal fonksiyon ise, yeni bir çarpımsal fonksiyon f * g tanımlanır , f ve g'nin Dirichlet evrişimi şu şekilde tanımlanır :

$${\displaystyle (f\,*\,g)(n)=\sum _{d|n}f(d)\,g\left({\frac {n}{d}}\sağ)}$$

${\görüntüleme stili \varphi }$

Id = * 1 = σ * μ${\görüntüleme stili \varphi }$

Dirichlet evrişimi genel aritmetik fonksiyonlar için tanımlanabilir ve bir halka yapısı olan Dirichlet halkası verir .

Dirichlet konvolusyon iki Çarpımsal fonksiyonlarının tekrar çarpımsal olduğunu. Bu gerçeğin bir kanıtı, görece asal için aşağıdaki genişleme ile verilmektedir : ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} ^{+}}$

$${\displaystyle {\begin{hizalı}(f\ast g)(ab)&=\sum _{d|ab}f(d)g\left({\frac {ab}{d}}\sağ)\ \&=\sum _{d_{1}|a}\sum _{d_{2}|b}f(d_{1}d_{2})g\left({\frac {ab}{d_{1 }d_{2}}}\sağ)\\&=\sum _{d_{1}|a}f(d_{1})g\left({\frac {a}{d_{1}}}\ sağ)\times \sum _{d_{2}|b}f(d_{2})g\left({\frac {b}{d_{2}}}\sağ)\\&=(f\ast g)(a)\cdot (f\ast g)(b).\end{hizalı}}}$$

Bazı çarpımsal fonksiyonlar için Dirichlet serisi

• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta(lar)}}}$
• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta(lar)} }}$
• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {d(n)^{2}}{n^{s}}}={\frac {\zeta(lar)^{4}}{\ zeta (2s)}}}$
• ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta(lar)^{2}}{ \zeta (2s)}}}$

Dirichlet serisi ile ilgili makalede daha fazla örnek gösterilmiştir .

F _q [ X ] üzerinde çarpımsal fonksiyon

Let bir = F _q [ X ] , üzerinde polinom halka sonlu alanı ile q elemanları. A bir olan temel ideal alanı ve dolayısıyla A bir olan tek çarpanlama .

Bir kompleks değerli fonksiyonu ile ilgili A olarak adlandırılır çarpımsal ise her ön ve g olan göreceli asal . ${\ Displaystyle \ lambda }$${\displaystyle \lambda (fg)=\lambda (f)\lambda (g)}$

F _q [ X ] içinde Zeta işlevi ve Dirichlet serisi

Let h bir polinom aritmetik fonksiyonu (fazla mghorta polinomların setinde, yani bir fonksiyon A ). Karşılık gelen Dirichlet serisi şu şekilde tanımlanır:

$${\displaystyle D_{h}(s)=\sum _{f{\text{ monik}}}h(f)|f|^{-s},}$$

nereye seti eğer ve aksi. ${\ Displaystyle g\in A,}$${\displaystyle |g|=q^{\deg(g)}}$${\ Displaystyle g\neq 0,}$${\görüntüleme stili |g|=0}$

Polinom zeta fonksiyonu daha sonra

$${\displaystyle \zeta _{A}(lar)=\sum _{f{\text{ monik}}}|f|^{-s}.}$$

Duruma benzer olarak , N , çarpımsal fonksiyonu her Dirichlet serisi h ürün gösterimi (Euler ürün) var

$${\displaystyle D_{h}(s)=\prod _{P}\left(\sum _{n\mathop {=} 0}^{\infty }h(P^{n})|P|^{ -sn}\sağ),}$$

burada çarpım tüm monik indirgenemez polinomlar P üzerinde çalışır . Örneğin, zeta fonksiyonunun çarpım gösterimi tamsayılar gibidir:

$${\displaystyle \zeta _{A}(s)=\prod _{P}(1-|P|^{-s})^{-1}.}$$

Klasik aksine zeta fonksiyonu , basit bir rasyonel fonksiyonudur: ${\ Displaystyle \ zeta _ {A}(lar)}$

$${\displaystyle \zeta _{A}(s)=\sum _{f}|f|^{-s}=\sum _{n}\sum _{\deg(f)=n}q^{- sn}=\sum _{n}(q^{n-sn})=(1-q^{1-s})^{-1}.}$$

Benzer şekilde, eğer f ve g iki polinom aritmetik fonksiyon ise, f  *  g , f ve g'nin Dirichlet evrişimi şu şekilde tanımlanır :

$${\displaystyle {\begin{hizalanmış}(f*g)(m)&=\sum _{d\mid m}f(d)g\left({\frac {m}{d}}\sağ)\ \&=\sum _{ab=m}f(a)g(b),\end{hizalı}}}$$

toplamı üzerinden burada tüm mghorta bölenler d ait  m , veya eşdeğer her çifti (üzerinde bir , B ürünü olan mghorta polinomlar) m . Kimlik hala geçerli. ${\displaystyle D_{h}D_{g}=D_{h*g}}$

Ayrıca bakınız

• Euler ürünü
• çan serisi
• Lambert serisi

Referanslar

• Bkz. Apostol, Tom M. (1976), Analitik sayılar teorisine giriş , Matematikte Lisans Metinleri, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN , 2. bölüm  978-0-387-90163-3, MR  0434929 , Zbl  0335.10001

Dış bağlantılar

• gezegen matematik