Aksiyom değiştirme şeması - Axiom schema of replacement

Gelen küme teorisinin , değiştirme aksiyomu şema bir olan şema ait aksiyomlardan içinde Zermelo-Fraenkel küme kuramı olduğunu iddia (ZF) görüntü herhangi kümesi herhangi tanımlanabilir altında haritalama da kümesidir. ZF'de belirli sonsuz kümelerin oluşturulması için gereklidir.

Aksiyom şeması, bir sınıfın bir küme olup olmadığının , öğelerinin sırasına değil, yalnızca sınıfın kardinalitesine bağlı olduğu fikriyle motive edilir . Bu nedenle, eğer bir sınıf bir küme olmak için "yeterince küçükse" ve o sınıftan ikinci bir sınıfa bir sürtüşme varsa, aksiyom ikinci sınıfın da bir küme olduğunu belirtir. Bununla birlikte, ZFC uygun sınıflardan değil, yalnızca kümelerden bahsettiğinden, şema yalnızca tanımlayıcı formülleriyle tanımlanan tanımlanabilir tahminler için belirtilir .

Beyan

Aksiyom değiştirme şeması: Tanımlanabilir sınıf işlevi altındaki etki alanı kümesinin görüntüsünün kendisi bir kümedir, .${\görüntüleme stili F[A]}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili F}$${\görüntüleme stili B}$

Varsayalım bir tanımlanabilen ikili olan ilişkisi (bir olabilir uygun sınıfını her set için böyle) benzersiz bir dizi var böyle tutar. Karşılık gelen tanımlanabilir bir fonksiyon vardır , burada if ve sadece if . (Muhtemelen uygun) sınıfı, öyle ki her küme için , ancak ve ancak bir with varsa , göz önünde bulundurun . under görüntüsü olarak adlandırılır ve veya ( set-builder gösterimi kullanılarak ) ile gösterilir . ${\görüntüleme stili P}$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili y}$${\görüntüleme stili P(x,y)}$${\displaystyle F_{P}}$${\displaystyle F_{P}(x)=y}$ ${\görüntüleme stili P(x,y)}$${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili y}$${\ Displaystyle y\ B}$${\ Displaystyle x\ A'da}$${\displaystyle F_{P}(x)=y}$${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili A}$${\displaystyle F_{P}}$${\displaystyle F_{P}[A]}$${\displaystyle \{F_{P}(x):x\in A\}}$

Değiştirmenin aksiyom şeması, eğer yukarıdaki gibi tanımlanabilir bir sınıf işleviyse ve herhangi bir küme ise, görüntünün de bir küme olduğunu belirtir . Bu bir küçüklük ilkesi olarak görülebilir: aksiyom, eğer bir küme olmak için yeterince küçükse, o zaman küme olmak için de yeterince küçüktür. Boyut sınırlamasının daha güçlü aksiyomu tarafından ima edilir . ${\görüntüleme stili F}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili F[A]}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili F[A]}$

Birinci mertebeden mantıkta tanımlanabilen fonksiyonlar üzerinde nicellik yapmak mümkün olmadığı için , set teorisinin dilinde her formül için şemanın bir örneği, aralarında serbest değişkenler olan ; ama ücretsiz değil . Küme teorisinin biçimsel dilinde aksiyom şeması şöyledir: ${\görüntüleme stili\phi }$${\displaystyle w_{1},\dotsc ,w_{n},A,x,y}$${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili\phi }$

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\forall A\,([\forall x\in A&\,\exists !y\,\phi (x) ,y,w_{1},\ldots ,w_{n},A)]\ \Longrightarrow \ \var B\,\forall y\,[y\in B\Leftrightarrow \var x\in A\,\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n},A)])\end{hizalı}}}$

Anlamı için bkz. benzersizlik niceleme . ${\görüntüleme stili \var !}$

Açıklık sağlamak için, değişken olmaması durumunda bu, şunları basitleştirir: ${\displaystyle w_{i}}$

${\displaystyle {\begin{hizalanmış}\tüm A\,([\tüm x\A&\'da\,\vardır !y\,\phi (x,y,A)]\ \Longrightarrow \\vardır B\,\ için tüm y\,[y\in B\Leftrightarrow \var x\in A\,\phi (x,y,A)])\end{hizalı}}}$

Bu nedenle , on işlevine benzeyen benzersiz bir karşılık geldiği zaman , bu yolla ulaşılan her şey 'ye benzer bir kümede toplanabilir . ${\görüntüleme stili\phi }$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili y}$${\görüntüleme stili F}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili y}$${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili F[A]}$

Uygulamalar

Sıradan matematiğin çoğu teoreminin ispatı için ikame aksiyom şeması gerekli değildir. Aslında, Zermelo küme teorisi (Z) zaten ikinci dereceden aritmetiği ve tip teorisinin çoğunu sonlu tiplerde yorumlayabilir, bu da matematiğin büyük kısmını resmileştirmek için yeterlidir. Yer değiştirme aksiyom şeması bugün küme teorisinde standart bir aksiyom olmasına rağmen, genellikle tip teorisi sistemlerinden ve topos teorisinde temel sistemlerinden çıkarılır .

Her halükarda, aksiyom şeması ZF'nin gücünü hem kanıtlayabileceği teoremler açısından - örneğin var olduğu gösterilen kümeler açısından - hem de Z'ye kıyasla ispat-teorik tutarlılık gücü açısından büyük ölçüde artırır. örnekler aşağıdadır:

• Von Neumann'dan kaynaklanan modern tanımı kullanarak, ω'den büyük herhangi bir sınır sırasının varlığını kanıtlamak , değiştirme aksiyomunu gerektirir. Sıra sayısı ω · 2 = ω + ω ilk bu sıra. Sonsuz beliti sonsuz grubu w varlığını = iddia {0, 1, 2, ...}. ω·2'yi {ω, ω + 1, ω + 2,...} dizisinin birleşimi olarak tanımlamayı umabiliriz. Ancak, bu tür sıra sınıflarının keyfi olarak kümelenmesi gerekmez - örneğin, tüm sıra sayıları sınıfı bir küme değildir. Değiştirme artık bir her bir sonlu sayıda yerine sağlar , n karşılık gelen w + ile co içinde , n , ve bu nedenle bu sınıfı, bir dizi olduğunu garanti eder. Bir açıklama olarak, ω·2'ye eşbiçimli olan iyi sıralı bir kümenin , değiştirmeye başvurmadan kolayca oluşturulabileceğine dikkat edin - sadece ω'nin iki kopyasının ayrık birleşimini alın , ikinci kopya birinciden daha büyük - ancak bu tam olarak dahil edilerek sıralanmadığından bir sıra değildir.
• Daha büyük sıralar, doğrudan değiştirmeye daha az güvenir. Örneğin, Q ₁ , ilk sayılamaz sıra sayılabilir de siparişlerin grubu bir alt kümesi olarak var -, aşağıdaki gibi yapılabilir ile ayrılması ve POWERSET (bir ilişki ile ilgili A bir alt kümesidir ve bir elemanın, böylece güç grubu Bir ilişkiler kümesi bu nedenle )'nin bir alt kümesidir . Her iyi sıralı kümeyi sıra sayısıyla değiştirin. Bu, sayılamaz olduğu gösterilebilen sayılabilir sıra sayıları ω ₁ kümesidir . İnşaat iki kez değiştirme kullanır; bir kez iyi sıralanmış her küme için bir sıra ataması sağlamak ve tekrar iyi sıralanmış kümeleri sıra sayılarıyla değiştirmek için. Bu, Hartogs sayısının sonucunun özel bir durumudur ve genel durum da benzer şekilde kanıtlanabilir.${\displaystyle P({\mathbb {N} }\times {\mathbb {N} })}$${\ Displaystyle A\time A}$ ${\ Displaystyle P(A\times A)}$${\ Displaystyle P(A\times A)}$
• Yukarıdakilerin ışığında, her iyi sıralı kümeye bir sıra atamasının varlığı da değiştirmeyi gerektirir. Benzer şekilde, her kümeye bir kardinal sayı atayan von Neumann kardinal ataması , seçim aksiyomunun yanı sıra değiştirme gerektirir .
• Yinelemeli olarak ve için olarak tanımlanan demet kümeleri için , küme , varlığının yalnızca güç kümesi, seçim ve değiştirme olmadan küme teorisinden kanıtlanamayacak kadar yüksek bir sırasına sahiptir.${\displaystyle A^{n}=A^{n-1}\times A}$${\görüntüleme stili A}$${\displaystyle \{A^{n}\orta n\in {\mathbb {N}}\}}$
• Benzer şekilde, Harvey Friedman yedek olduğunu göstermek için gerekli olduğunu gösterdi Borel kümeleri vardır belirlendi . Kanıtlanmış sonucudur Donald A. Martin 'in Borel belirlilik teoremi .
• V _ω·2 kümesi , varlığı ZF'de kanıtlanabilen bir Z modeli olduğundan , ZF ikameli Z'nin tutarlılığını kanıtlar . Ana sayı , ZF'de var olduğu gösterilebilen, ancak Z'de olmayan ilk sayıdır . Açıklama için, Gödel'in ikinci eksiklik teoreminin , bu teorilerin her birinin, teorinin kendi tutarlılığını "ifade eden" bir cümle içerdiğini, yani kanıtlanamaz olduğunu unutmayın. bu teoride, eğer o teori tutarlıysa - bu sonuç, eğer tutarlıysa, bu teorilerin hiçbirinin kendi tutarlılığını kanıtlayamayacağı iddiası olarak genellikle gevşek bir şekilde ifade edilir. ${\displaystyle \aleph _{\omega }}$

Diğer aksiyom şemalarıyla ilişkisi

Toplamak

Toplamanın aksiyom şeması: Tanımlanabilir sınıf işlevi altındaki etki alanı kümesinin görüntüsü bir kümenin içine düşer .${\görüntüleme stili f[A]}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili f}$${\görüntüleme stili B}$

Koleksiyonun aksiyomu şema yakından ilişkili ve sık sık değiştirilmesi aksiyomu şeması ile karıştırılır. ZF aksiyomlarının geri kalanında, ikame aksiyom şemasına eşdeğerdir. Güç kümesi aksiyomu veya ZF'nin yapıcı karşılığı olmadığında toplama aksiyomu, değiştirme aksiyomundan daha güçlüdür, ancak dışlanan orta yasası olmayan IZF çerçevesinde daha zayıftır .

Değiştirme, bir fonksiyonun görüntüsünün bir küme olduğunu söylemek için okunabilirken, koleksiyon, ilişkilerin görüntüleri hakkında konuşur ve ardından yalnızca ilişkinin görüntüsünün bazı üst sınıflarının bir küme olduğunu söyler . Başka bir deyişle, elde edilen kümenin minimallik gereksinimi yoktur, yani bu varyant aynı zamanda üzerinde benzersizlik gereksiniminden de yoksundur . Yani, tarafından tanımlanan ilişkinin bir işlev olması gerekmez - bazıları in ' de birçok 'ye karşılık gelebilir . Bu durumda, varlığı iddia edilen görüntü kümesi , yalnızca bir tane içereceğinin garantisi olmaksızın, orijinal kümedeki her biri için en az bir tane içermelidir. ${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili\phi }$${\görüntüleme stili\phi }$${\ Displaystyle x\ A'da}$${\görüntüleme stili y}$${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili y}$${\görüntüleme stili x}$

Diyelim ki serbest değişkenler arasında ; ama ne ücretsiz ne de . O zaman aksiyom şeması: ${\görüntüleme stili\phi }$${\displaystyle w_{1},\dotsc ,w_{n},x,y}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili\phi }$

${\displaystyle \forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,[(\forall x\,\exists \,y\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n}) ))\Rightarrow \tüm A\,\B\'de\,\tüm x\A\'da\,\y\B\'de var,\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n}) ]}$

Aksiyom şeması bazen , yüklem üzerinde önceden kısıtlama olmaksızın ( free içinde meydana gelmemesi dışında ) belirtilir : ${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili\phi }$${\görüntüleme stili\phi }$

${\displaystyle \forall w_{1},\ldots ,w_{n}\,\forall A\,\exists B\,\forall x\in A\,[\exists y\phi (x,y,w_{ 1},\ldots ,w_{n})\Rightarrow \y\in B\,\phi (x,y,w_{1},\ldots ,w_{n})]}$

Bu durumda, elemanlar olabilir de o kadar başka kümelerine ilişkili değildir . Ancak, belirtildiği gibi aksiyomu şema gerektirir bir eleman ise, bir en az bir kümesi ile ilişkili olan , böylece görüntü grubu , en az bir tür içerir . Ortaya çıkan aksiyom şeması, sınırlılık aksiyom şeması olarak da adlandırılır . ${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili\phi }$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili y}$${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili y}$

Ayrılma

Ayrılık aksiyomu şeması , ZFC diğer aksiyomdur şema, değiştirme aksiyomu şema ve ima ettiği boş setin aksiyomuna . Ayırma aksiyom şemasının şunları içerdiğini hatırlayın:

${\displaystyle \forall A\,\exists B\,\forall C\,(C\in B\Leftrightarrow [C\in A\land \theta (C)])}$

serbest olmayan küme teorisinin dilindeki her formül için . ${\görüntüleme stili \teta}$${\görüntüleme stili B}$

Kanıt aşağıdaki gibidir. Bahsetmeyen bir formül ve bir küme ile başlayın . Bir eleman ise ve tatmin sonra resim ayırma beliti şemasının, ilgili bir örneği tarafından arzu edilen boş kümesidir. Aksi takdirde, sabit bir seçim de böyle tutar. Bir sınıf işlevi tanımlayın herhangi bir element, öyle ki , eğer tutan ve eğer yanlıştır. O zaman under imgesi , yani küme vardır (yer değiştirme aksiyomuyla) ve tam olarak ayırma aksiyomu için gereken kümedir. ${\görüntüleme stili \teta (C)}$${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili \teta (E)}$${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili E}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili \teta (E)}$${\görüntüleme stili F}$${\görüntüleme stili D}$${\görüntüleme stili F(D)=D}$${\görüntüleme stili \teta (D)}$${\görüntüleme stili F(D)=E}$${\görüntüleme stili \teta (D)}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili F}$${\displaystyle B=F''A:=\{F(x):x\in A\}=A\cap \{x:\theta (x)\}}$${\görüntüleme stili B}$

Bu sonuç, ZFC'yi tek bir sonsuz aksiyom şemasıyla aksiyomlaştırmanın mümkün olduğunu göstermektedir. Böyle en az bir sonsuz şema gerekli olduğundan (ZFC sonlu olarak aksiyomlaştırılamaz), bu, eğer istenirse, ikame aksiyom şemasının ZFC'deki tek sonsuz aksiyom şeması olarak kalabileceğini gösterir. Ayırma aksiyom şeması bağımsız olmadığından, bazen Zermelo-Fraenkel aksiyomlarının çağdaş ifadelerinden çıkarılır.

Bununla birlikte, tarihsel düşünceler nedeniyle ve küme teorisinin alternatif aksiyomizasyonlarıyla karşılaştırma için ZFC'nin parçalarında kullanım için ayırma hala önemlidir. Değiştirme aksiyomunu içermeyen bir küme teorisi formülasyonu, modellerinin yeterince zengin bir küme koleksiyonu içermesini sağlamak için muhtemelen bir tür ayırma aksiyomunu içerecektir. Küme teorisi modellerinin incelenmesinde , von Neumann'ın hiyerarşisindeki modeller gibi, ZFC modellerini değiştirmeden düşünmek bazen yararlıdır . ${\displaystyle V_{\delta }}$

Yukarıdaki ispat , eğer boş değilse , o zaman bir eleman içermesi gerektiğini varsaymak için dışlanmış orta yasasını kullanır (sezgisel mantıkta, bir eleman içermiyorsa bir küme "boş"tur ve "boş olmayan" bunun biçimsel olumsuzlamasıdır. "bir öğe içeriyor"dan daha zayıf olan). Ayrılma aksiyomu, sezgisel küme teorisine dahil edilmiştir . ${\görüntüleme stili A}$

Tarih

Yer değiştirme aksiyom şeması, Ernst Zermelo'nun 1908 küme teorisi aksiyomlaştırmasının ( Z ) parçası değildi. Cantor'un yayınlanmamış eserlerinde buna gayri resmi bir yaklaşım vardı ve Mirimanoff'ta (1917) gayri resmi olarak tekrar ortaya çıktı .

Abraham Fraenkel, 1939 ve 1949 arasında

Thoralf Skolem, 1930'larda

Abraham Fraenkel tarafından 1922'de yayımlanması , modern küme teorisini Zermelo- Fraenkel küme teorisini ( ZFC ) yapan şeydir . Aksiyom bağımsız olarak aynı yıl içinde Thoralf Skolem tarafından keşfedildi ve açıklandı (ve 1923'te yayınlandı). Zermelo, Fraenkel'in aksiyomunu 1930'da yayınladığı ve yeni bir aksiyom olarak von Neumann'ın temel aksiyomunu da içeren gözden geçirilmiş sistemine dahil etti . Bugün kullandığımız aksiyom listesinin Skolem'in ilk dereceli versiyonu olmasına rağmen, her bir aksiyom daha önce Zermelo veya Fraenkel tarafından geliştirildiği için genellikle kredi almaz. “Zermelo-Fraenkel küme teorisi” ifadesi ilk olarak 1928'de von Neumann tarafından basılı olarak kullanıldı.

Zermelo ve Fraenkel 1921'de yoğun bir şekilde mektuplaştılar; yer değiştirme aksiyomu bu değiş tokuşun ana konusuydu. Fraenkel, Mart 1921'de Zermelo ile yazışmaya başladı. Ancak 6 Mayıs 1921 tarihli mektuptan önceki mektupları kayıp. Zermelo ilk olarak 9 Mayıs 1921 tarihli Fraenkel'e verdiği yanıtta sistemindeki bir boşluğu kabul etti. 10 Temmuz 1921'de Fraenkel, aksiyomunu keyfi değiştirmelere izin verdiğini açıklayan bir makaleyi (1922'de yayınlandı) tamamladı ve yayına sundu: "Eğer M ise bir küme ve M'nin her bir elemanı [bir küme veya bir öğe] ile değiştirilir, ardından M yeniden bir kümeye dönüşür" (parantez içinde tamamlama ve Ebbinghaus tarafından çeviri). Fraenkel'in 1922 tarihli yayını, yararlı argümanları için Zermelo'ya teşekkür etti. Bu yayından önce, Fraenkel yeni aksiyomunu 22 Eylül 1921'de Jena'da düzenlenen Alman Matematik Derneği toplantısında kamuoyuna duyurdu . Zermelo bu toplantıda hazır bulundu; Fraenkel'in konuşmasını izleyen tartışmada, değiştirme aksiyomunu genel anlamda kabul etti, ancak kapsamıyla ilgili çekincelerini dile getirdi.

Thoralf Skolem, Zermelo'nun sistemindeki boşluğu keşfettiğini (Fraenkel'in bulduğu aynı boşluk) 6 Temmuz 1922'de Helsinki'de düzenlenen 5. İskandinav Matematikçileri Kongresi'nde yaptığı bir konuşmada kamuoyuna duyurdu ; Bu Kongresi 1923 Skolem yayınlanmış birinci dereceden tanımlanabilir değiştirmeleri açısından bir çözüm sunulmuştur: "olsun U belirli çiftleri (geçerli olduğu bir kesin bir önerme bir , b alan olarak) B , daha kabul söz konusu her a , U doğru olacak şekilde en fazla bir b vardır . O zaman, a , bir M _a kümesinin öğeleri üzerinde bir aralık olarak , b , bir M _b kümesinin tüm öğeleri üzerinde _aralıktır ." Aynı yıl, Fraenkel, Skolem'in makalesinin bir incelemesini yazdı; burada Fraenkel, Skolem'in düşüncelerinin kendisininkine karşılık geldiğini belirtti.

Zermelo, Skolem'in ikame aksiyom şeması formülasyonunu asla kabul etmedi. Bir noktada Skolem'in yaklaşımını “yoksulların küme teorisi” olarak adlandırdı. Zermelo, büyük kardinallere izin verecek bir sistem öngördü . Ayrıca , Skolem'in birinci dereceden aksiyomatizasyonundan çıkan sayılabilir küme teorisi modellerinin felsefi çıkarımlarına şiddetle karşı çıktı . Heinz-Dieter Ebbinghaus tarafından yazılan Zermelo biyografisine göre , Zermelo'nun Skolem'in yaklaşımını onaylamaması, Zermelo'nun küme teorisi ve mantığındaki gelişmeler üzerindeki etkisinin sona erdiğini gösteriyor.

Referanslar

• Ebbinghaus, Heinz-Dieter (2007), Ernst Zermelo: Yaşamına ve İşine Bir Yaklaşım , Springer Science & Business Media, ISBN 978-3-540-49553-6.
• Halmos, Paul R. (1974) [1960], Naif Küme Teorisi , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90092-6.
• Jech, Thomas (2003), Küme Teorisi: Üçüncü Binyıl Baskısı, Gözden Geçirilmiş ve Genişletilmiş , Springer, ISBN 3-540-44085-2.
• Kunen, Kenneth (1980), Küme Teorisi: Bağımsızlık Kanıtlarına Giriş , Elsevier, ISBN 0-444-86839-9.