Aksiyom şeması - Axiom schema

Gelen matematiksel mantık , bir aksiyomu şema (çoğul: aksiyomu schemata ya aksiyomu şemaları ) kavramını genelleştirir aksiyomuna .

Resmi tanımlama

Temel prensip, şema olan formül içinde üstdil bir bölgesinin belitsel sistemi , bir ya da daha fazla olan, şematik değişkenler görünür. Dilbilimsel yapılar olan bu değişkenler, belirli koşulları karşılamak için gerekli olabilecek veya olmayabilecek, sistemin herhangi bir terimi veya alt formülü anlamına gelir. Genellikle, bu tür koşullar belirli değişkenlerin serbest olmasını veya belirli değişkenlerin alt formülde veya terimde görünmemesini gerektirir.

Sonlu aksiyomatizasyon

Bir şematik değişkenin yerine eklenebilecek olası alt formüllerin veya terimlerin sayısının sayıca sonsuz olduğu göz önüne alındığında , bir aksiyom şeması , sayılabilecek şekilde sonsuz sayıda aksiyomu temsil eder. Bu küme genellikle özyinelemeli olarak tanımlanabilir . Şemalar olmadan aksiyomatize edilebilen bir teorinin sonlu olarak aksiyomlaştırıldığı söylenir . Sonlu olarak aksiyomatize edilebilen teoriler, tümdengelimli çalışma için daha az pratik olsalar bile, metamatik olarak biraz daha zarif olarak görülüyor.

Örnekler

Aksiyom şemalarının iyi bilinen iki örneği şunlardır:

• Doğal sayıların aritmetiği için Peano'nun aksiyomlarının bir parçası olan tümevarım şeması ;
• küme teorisinin standart ZFC aksiyomatizasyonunun bir parçası olan değiştirme aksiyom şeması .

Czesław Ryll-Nardzewski , Peano aritmetiğinin sonlu olarak aksiyomatize edilemeyeceğini kanıtladı ve Richard Montague , ZFC'nin sonlu olarak aksiyomatize edilemeyeceğini kanıtladı. Dolayısıyla, aksiyom şemaları bu teorilerden çıkarılamaz. Bu aynı zamanda matematik, felsefe, dilbilim vb. Alanlardaki diğer birkaç aksiyomatik teori için de geçerlidir.

Sonlu aksiyomatize edilmiş teoriler

ZFC'nin tüm teoremleri aynı zamanda von Neumann-Bernays-Gödel küme teorisinin teoremleridir , ancak ikincisi sonlu olarak aksiyomatize edilebilir. Yeni Temeller küme teorisi kesin olarak aksiyomatize edilebilir, ancak yalnızca bir miktar zarafet kaybı ile.

Üst düzey mantıkta

Birinci dereceden mantıktaki şematik değişkenler genellikle ikinci dereceden mantıkta önemsiz bir şekilde elimine edilebilir , çünkü şematik bir değişken genellikle teorinin bireyleri üzerindeki herhangi bir özellik veya ilişki için bir yer tutucudur . Yukarıda bahsedilen İndüksiyon ve Değiştirme şemalarında durum budur . Daha yüksek sıralı mantık, niceliklendirilmiş değişkenlerin tüm olası özellikler veya ilişkiler üzerinde değişmesine izin verir.

Ayrıca bakınız

• Tahmine dayalı ayırmanın aksiyom şeması
• Aksiyom değiştirme şeması
• Aksiyom şartname şeması

Notlar

Referanslar

• Corcoran, John (2006), "Schemata: The Concept of Schema in the History of Logic", Bulletin of Symbolic Logic , 12 : 219–240 .
• Corcoran, John (2016). "Şema" . Gelen Zalta, Edward N. (ed.). Stanford Felsefe Ansiklopedisi .
• Mendelson Elliott (1997), Matematiksel Mantığa Giriş (4. baskı), Chapman & Hall, ISBN   0-412-80830-7 .
• Montague, Richard (1961), "Semantik Kapanış ve Sonlu Olmayan Aksiyomatize Edilebilirlik I", Samuel R. Buss (ed.), Sonsuz Yöntemler: Matematiğin Temelleri Üzerine Sempozyum Bildirileri , Pergamon Press, s. 45-69 .
• Potter, Michael (2004), Set Teorisi ve Felsefesi , Oxford University Press, ISBN   9780199269730 .
• Ryll-Nardzewski, Czesław (1952), "Temel aritmetikte tümevarım aksiyomunun rolü" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 39 : 239–263 .