Düzenlilik aksiyomu - Axiom of regularity

Gelen matematik , düzenli aksiyomu (aynı zamanda vakıf aksiyomu ) bir aksiyomu Zermelo-Fraenkel dizi teori durumları her o boş olmayan grubu A bir eleman içeren ayrık gelen A . In Birinci derece mantık , aksiyomu okur:

${\displaystyle \forall x\,(x\neq \varnothing \rightarrow \var y(y\in x\ \land y\cap x=\varnothing )).}$

Düzenlilik aksiyomu ile eşleştirme aksiyomu, hiçbir kümenin kendisinin bir öğesi olmadığını ve bir _i+1'in tüm i için bir _i'nin öğesi olacağı şekilde sonsuz bir dizi ( a _n ) olmadığını ima eder . İle bağımlı seçim belitinin (zayıflatılmış bir hali olan bir seçim aksiyomu ), bu sonuç, ters çevrilebilir: böyle bir sonsuz diziler varsa, o zaman düzenli aksiyomu geçerlidir. Dolayısıyla, bu bağlamda, düzenlilik aksiyomu, aşağı doğru sonsuz üyelik zincirlerinin olmadığı cümlesine eşdeğerdir.

Aksiyom, von Neumann (1925) tarafından tanıtıldı ; Zermelo (1930) tarafından çağdaş ders kitaplarında bulunana daha yakın bir formülasyonda benimsenmiştir . Küme teorisine dayalı matematik dallarındaki hemen hemen tüm sonuçlar, düzenliliğin yokluğunda bile geçerlidir; bkz. Kunen'in (1980) 3. bölümü . Ancak düzenlilik, ordinallerin bazı özelliklerinin kanıtlanmasını kolaylaştırır; ve tümevarımın yalnızca iyi düzenlenmiş kümeler üzerinde değil, aynı zamanda sözlükbilimsel sıralama gibi sağlam temelli ilişkisel yapılar olan uygun sınıflar üzerinde yapılmasına izin verir .${\displaystyle \{(n,\alpha )\mid n\in \omega \land \alpha {\text{ bir sıra sayısıdır }}\}\,.}$

Zermelo-Fraenkel küme teorisinin diğer aksiyomları göz önüne alındığında, düzenlilik aksiyomu, tümevarım aksiyomuna eşdeğerdir . Tümevarım aksiyomu , iki aksiyomun eşdeğer olmadığı sezgici teorilerde ( dışlanan orta yasasını kabul etmeyenler) düzenlilik aksiyomu yerine kullanılma eğilimindedir .

Düzenlilik aksiyomunu göz ardı etmenin yanı sıra, standart olmayan küme teorileri gerçekten de kendilerinin öğesi olan kümelerin varlığını varsaymışlardır.

Düzenliliğin temel etkileri

Hiçbir küme kendi başına bir eleman değildir

A bir küme olsun ve düzenlilik aksiyomunu, eşleştirme aksiyomunun bir kümesi olan { A }' ya uygulayın . { A }'nın { A }' dan ayrık bir elemanı olması gerektiğini görüyoruz . {Tek elemanının yana A } olan bir , bu olmalıdır bir göre {ayrık olan A }. Dolayısıyla, A ∈ A'ya sahip olamayız ( disjoint tanımına göre ). ${\displaystyle A\cap \{A\}=\varnothing }$

Sonsuz azalan küme dizisi yoktur

Bir olduğu, aksine, varsayalım fonksiyonu , f ile, doğal sayılar ile f ( n + 1) bir elemanı f ( n her biri için) n . Tanımla S = { f ( n :) n , çeşitlerini doğal sayısı} f bir grubu olduğu görülebilir, değiştirme aksiyomu şeması . İçin düzenli belitini uygulanması S , izin B unsuru olarak S arasından ayrık olan S . S'nin tanımına göre , bazı k doğal sayıları için B , f ( k ) olmalıdır . Bununla birlikte, f ( k ) öğesinin, aynı zamanda S öğesinin bir öğesi olan f ( k +1) öğesini içerdiği verilmiştir . Böylece ön ( k + 1) olmak üzere, kesişme ve f ( k ) ve S . Bu onların ayrık kümeler olduğu gerçeğiyle çelişir. Varsayımımız bir çelişkiye yol açtığından, böyle bir fonksiyon olmamalıdır, f .

Kendini içeren bir kümenin yokluğu, dizinin sonsuz ve sabit olduğu özel bir durum olarak görülebilir.

Bu argümanın yalnızca tanımlanamayan sınıfların aksine kümeler olarak temsil edilebilen f işlevleri için geçerli olduğuna dikkat edin . Kalıtımsal olarak sonlu setleri , V _ω , düzenlilik aksiyomu (ve diğer tüm belitleri tatmin ZFC dışında sonsuz aksiyomu ). Yani bir formlarda önemsiz olmayan bir eğer UltraPower V _w , o zaman da düzenlilik belitini tatmin edecektir. Ortaya çıkan model , o modeldeki doğal sayıların tanımını karşılayan, ancak gerçekten doğal sayılar olmayan, standart olmayan doğal sayılar adı verilen öğeleri içerecektir. Herhangi bir gerçek doğal sayıdan "daha büyük" olan sahte doğal sayılardır. Bu model, sonsuz azalan eleman dizileri içerecektir. Örneğin, n'nin standart olmayan bir doğal sayı olduğunu varsayalım , o zaman ve , vb. Herhangi bir gerçek doğal sayı için k , . Bu, sonsuz bir azalan öğe dizisidir. Ancak bu dizi modelde tanımlanamaz ve dolayısıyla bir küme değildir. Dolayısıyla düzenliliğe aykırılık kanıtlanamaz. ${\görüntüleme stili (n-1)\n} içinde$${\görüntüleme stili (n-2)\in (n-1)}$${\görüntüleme stili (nk-1)\in (nk)}$

Sıralı çiftin daha basit küme-teorik tanımı

Düzenlilik aksiyomu, sıralı çifti ( a , b ) { a ,{ a , b }} olarak tanımlamayı sağlar ; özellikler için sıralı çifte bakın . Bu tanım, kurallı Kuratowski tanımından ( a , b ) = {{ a },{ a , b }} bir çift kaşlı ayracı ortadan kaldırır .

Her kümenin bir sıra sıralaması vardır

Bu aslında von Neumann'ın aksiyomlaştırmasındaki aksiyomun orijinal biçimiydi.

x'in herhangi bir küme olduğunu varsayalım . { x }' in geçişli kapanışı t olsun . Sıralanmamış kümelerden oluşan t'nin alt kümesi u olsun . Eğer u boşsa, x sıralanır ve işimiz biter. Aksi takdirde, karşı düzenlilik belitini uygulamak u bir öğe almak için w arasında u dan ayrık olan u . Yana ağırlık içinde u , a Unranked olup. w , geçişli kapanma tanımına göre t'nin bir alt kümesidir . Yana w gelen ayrık olan u , her eleman w sıralanır. w öğelerinin sıralarını birleştirmek için değiştirme ve birlik aksiyomlarını uygulayarak, w için zekâ için bir sıra sıralaması elde ederiz . Bu, w'nin sıralanmamış olduğu sonucuyla çelişir . Öyleyse, u'nun boş olmadığı varsayımı yanlış olmalı ve x'in sıralaması olmalıdır. ${\displaystyle \textstyle \operatöradı {rütbe} (w)=\cup \{\operatöradı {rütbe} (z)+1\mid z\in w\}}$

Her iki küme için sadece biri diğerinin elemanı olabilir.

Let X ve Y olmak setleri. Sonra düzenlilik aksiyomunu { X , Y } kümesine (eşleştirme aksiyomunda var olan) uygulayın. { X , Y } öğesinin ondan ayrık olması gerektiğini görüyoruz . Ya olmalıdır X veya Y . O halde ayrık tanımına göre, ya Y'nin X'in bir elemanı olmaması ya da tam tersi olması gerekir.

Bağımlı seçim aksiyomu ve sonsuz azalan küme dizisi olmaması düzenliliği ima eder

Boş olmayan S kümesi , düzenlilik aksiyomunun bir karşı örneği olsun; olduğu, ve her eleman S ile boş olmayan bir arakesite S . Bir ikili ilişki tanımlayan R üzerinde S ile varsayımı ile bir bütündür. Bu nedenle, olarak, bir seçim aksiyomu göre, bir dizi (vardır bir _N olarak) S tatmin edici bir _n- Ra _{, n + 1} için tüm n de N . Bu sonsuz bir azalan zincir olduğu için bir çelişkiye varırız ve bu nedenle böyle bir S yoktur. ${\displaystyle aRb:\Leftrightarrow b\in S\cap a}$

Düzenlilik ve ZF(C) aksiyomlarının geri kalanı

Düzenliliğin, Skolem (1923) ve von Neumann (1929) tarafından ZF'nin geri kalanıyla nispeten tutarlı olduğu gösterilmiştir , yani düzenlilik olmadan ZF tutarlıysa, o zaman ZF (düzenli) de tutarlıdır. Modern gösterimdeki kanıtı için örneğin bkz. Vaught (2001 , §10.1).

Düzenlilik aksiyomunun , tutarlı oldukları varsayılarak, ZF(C)'nin diğer aksiyomlarından bağımsız olduğu da gösterildi . Sonuç, 1954'e kadar bir kanıt yayınlamamasına rağmen, 1941'de Paul Bernays tarafından açıklandı . Kanıt, diğer bağımsızlık kanıtları için kullanılan Rieger-Bernays permütasyon modellerini (veya yöntemini) içerir (ve bu modellerin çalışmasına yol açar) . temelli olmayan sistemler ( Rathjen 2004 , s. 193 ve Forster 2003 , s. 210–212).

Düzenlilik ve Russell paradoksu

Naif küme teorisi ( sınırsız anlama aksiyom şeması ve genişleme aksiyomu ) Russell paradoksu nedeniyle tutarsızdır . Kümelerin ilk formalizasyonlarında, matematikçiler ve mantıkçılar, anlama aksiyom şemasını çok daha zayıf ayırma aksiyom şemasıyla değiştirerek bu çelişkiden kaçındılar . Bununla birlikte, tek başına bu adım, kişiyi çok zayıf kabul edilen küme teorilerine götürür. Böylece anlama gücünün bir kısmı, özel anlama durumları olarak kabul edilebilecek ZF küme teorisinin diğer varlık aksiyomları (eşleştirme, birleşme, güç kümesi, yer değiştirme ve sonsuzluk) aracılığıyla geri eklenmiştir. Şimdiye kadar, bu aksiyomlar herhangi bir çelişkiye yol açmıyor gibi görünüyor. Daha sonra, bazı istenmeyen özelliklere sahip modelleri hariç tutmak için seçim aksiyomu ve düzenlilik aksiyomu eklendi. Bu iki aksiyomun nispeten tutarlı olduğu bilinmektedir.

Ayırma aksiyom şemasının varlığında, Russell'ın paradoksu , tüm kümelerin bir kümesinin olmadığının bir kanıtı haline gelir . Eşleştirme aksiyomu ile birlikte düzenlilik aksiyomu da böyle bir evrensel kümeyi yasaklar. Bununla birlikte, Russell'ın paradoksu, herhangi bir ek aksiyom olmadan, yalnızca ayırma aksiyom şemasını kullanan "tüm kümelerin kümesi" olmadığının bir kanıtını verir. Özellikle, düzenlilik aksiyomu olmayan ZF, böyle bir evrensel kümeyi zaten yasaklamaktadır.

Bir teori, bir aksiyom veya aksiyom eklenerek genişletilirse, orijinal teorinin herhangi (muhtemelen istenmeyen) sonuçları, genişletilmiş teorinin sonuçları olarak kalır. Özellikle, düzenlilik içermeyen ZF, ZF'yi elde etmek için düzenlilik ekleyerek genişletilirse, orijinal teoriden kaynaklanan herhangi bir çelişki (Russell'ın paradoksu gibi) genişletilmiş teoride hala devam edecektir.

Quine atomlarının varlığı ( x  = { x } formül denklemini sağlayan , yani tek elementleri kendilerine sahip olan kümeler ), düzenlilik aksiyomunun ZFC'den çıkarılmasıyla elde edilen teori ile tutarlıdır. Temeli sağlam olmayan çeşitli küme teorileri , Quine atomları gibi "güvenli" dairesel kümelere Russell paradoksu aracılığıyla tutarsız hale gelmeden izin verir.

Düzenlilik, kümülatif hiyerarşi ve türler

ZF'de von Neumann evreni olarak adlandırılan sınıfın tüm kümelerin sınıfına eşit olduğu kanıtlanabilir . Bu ifade, düzenlilik aksiyomuna bile eşdeğerdir (eğer ZF'de bu aksiyom çıkarılarak çalışırsak). Düzenlilik aksiyomunu karşılamayan herhangi bir modelden, onu karşılayan bir model sadece . ${\displaystyle \bigcup _{\alpha }V_{\alpha }}$${\displaystyle \bigcup _{\alpha }V_{\alpha }}$

Herbert Enderton  ( 1977 , s. 206) "Rütbe fikri, Russell'ın tip kavramının soyundan gelmektedir" diye yazmıştır . İle ZF karşılaştırılması tip teorisi , Alasdair Urquhart aslında düzenlilik aksiyomu ise en azından onun içine inşa örtük tipi yapıya sahip olarak görülebilir rağmen o "Zermelo sistem, herhangi açıkça yazılan değişkenleri içeren değil gösteriminin avantaja sahiptir yazdı Bu örtük tiplemenin ayrıntıları [Zermelo 1930] 'da ve yine George Boolos'un [Boolos 1971] iyi bilinen bir makalesinde açıklanmıştır ."

Dana Scott  ( 1974 ) daha da ileri gitti ve şunları iddia etti:

Gerçek şu ki, paradokslardan kaçınmanın tek bir tatmin edici yolu vardır: yani, tipler teorisinin bir biçiminin kullanılması . Hem Russell'ın hem de Zermelo'nun sezgilerinin temelinde bu vardı. Aslında Zermelo'nun teorisine bakmanın en iyi yolu Russell'ın teorisinin basitleştirilmesi ve genişletilmesidir. ( Elbette Russell'ın basit tip teorisini kastediyoruz .) Basitleştirme, tipleri kümülatif yapmaktı . Böylece türlerin karıştırılması daha kolay olur ve can sıkıcı tekrarlardan kaçınılır. Sonraki türlerin öncekileri biriktirmesine izin verildiğinde , türleri sonlu-ötesine genişletmeyi kolayca hayal edebiliriz - tam olarak ne kadar ileri gitmek istediğimizi mutlaka açık bırakmalıyız. Şimdi Russell, tiplerini notasyonunda açık hale getirdi ve Zermelo onları örtük bıraktı . [orijinal vurgu]

Aynı makalede Scott, kümülatif hiyerarşinin doğal özelliklerine dayanan bir aksiyomatik sistemin, düzenlilik de dahil olmak üzere ZF'ye eşdeğer olduğunu göstermektedir.

Tarih

Bir kümenin sağlam temelli olması ve sıralaması kavramının her ikisi de Dmitry Mirimanoff ( 1917 ) cf. Lévy (2002 , s. 68) ve Hallett (1996 , §4.4, özellikle s. 186, 188). Mirimanoff kümesi denilen x her inen zincir halinde: "normal" ( "ordinaire" Fransızca) x ∋ x ₁ ∋ x ₂ ∋ ... isimli sonlu. Ancak Mirimanoff, düzenlilik (ve sağlam temelli olma) kavramını tüm kümeler tarafından gözlemlenecek bir aksiyom olarak görmedi; daha sonraki makalelerde Mirimanoff, şimdilerde temelsiz kümeler olarak adlandırılan şeyleri de araştırdı (Mirimanoff'un terminolojisinde "olağanüstü").

Skolem (1923) ve von Neumann (1925) , sağlam temelli olmayan kümelerin gereksiz olduğuna işaret etti ( van Heijenoort'un çevirisinde s. 404'te ) ve aynı yayında von Neumann, dışlayan bir aksiyom (s. 412) verir. bazıları, ancak tümü değil, sağlam temelli olmayan kümeler. Daha sonraki bir yayında, von Neumann (1928) aşağıdaki aksiyomu verdi (modern gösterimde A. Rieger tarafından verilmiştir):

${\displaystyle \forall x\,(x\neq \emptyset \rightarrow \var y\in x\,(y\cap x=\emptyset ))}$.

Üretenlerin varlığında düzenlilik

Urelements , küme olmayan ancak kümelerin öğeleri olabilen nesnelerdir. ZF küme teorisinde hiçbir eleman yoktur, ancak ZFA gibi bazı diğer küme teorilerinde vardır. Bu teorilerde, düzenlilik aksiyomu değiştirilmelidir. " " ifadesinin boş olmayan ve bir urelement olmayan bir ifadeyle değiştirilmesi gerekiyor. Uygun bir yedek bildiren olan X bir yerleşim . ${\displaystyle x\neq \emptyset }$${\görüntüleme stili x}$${\görüntüleme stili (\y var)[y\in x]}$

Ayrıca bakınız

• Temeli sağlam olmayan küme teorisi
• Scott'ın hilesi
• Epsilon-indüksiyon

Referanslar

Kaynaklar

• Bernays, Paul Isaac (1941), "Bir aksiyomatik küme teorisi sistemi. Bölüm II", The Journal of Symbolic Logic , 6 (1): 1–17, doi : 10.2307/2267281 , JSTOR  2267281
• Bernays, Paul Isaac (1954), "Bir aksiyomatik küme teorisi sistemi. Bölüm VII" (PDF) , The Journal of Symbolic Logic , 19 (2): 81–96, doi : 10.2307/2268864 , JSTOR  2268864
• Boolos, George (1971), "yinelemeli küme kavramı", Journal of Philosophy , 68 (8): 215–231, doi : 10.2307/2025204 , JSTOR  2025204Boolos, George (1998), Logic, Logic and Logic , Harvard University Press, s. 13–29'da yeniden basılmıştır .
• Enderton, Herbert B. (1977), Küme Teorisinin Elemanları , Academic Press
• Forster, T. (2003), Mantık, tümevarım ve kümeler , Cambridge University Press
• Halbeisen, Lorenz J. (2012), Kombinatoryal Küme Teorisi: Zorlamaya Nazik Bir Girişle , Springer
• Hallett, Michael (1996) [ilk yayınlanmış 1984], Cantorian küme teorisi ve boyut sınırlaması , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853283-5
• Jech, Thomas (2003), Küme Teorisi: Üçüncü Binyıl Baskısı, Gözden Geçirilmiş ve Genişletilmiş , Springer, ISBN 978-3-540-44085-7
• Kunen, Kenneth (1980), Küme Teorisi: Bağımsızlık Kanıtlarına Giriş , Elsevier, ISBN 978-0-444-86839-8
• Lévy, Azriel (2002) [ilk olarak 1979'da yayınlandı], Temel küme teorisi , Mineola, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-42079-0
• Mirimanoff, D. (1917), "Les antinomies de Russell et de Burali-Forti et le probleme fondamental de la theorie des ensembles", L'Enseignement Mathématique , 19 : 37–52
• Rathjen, M. (2004), "Öngörülebilirlik, Döngüsellik ve Anti-Temel" (PDF) , Link, Godehard (ed.), Russell'ın Yüz Yıl Paradoksu: Matematik, Mantık, Felsefe , Walter de Gruyter, ISBN 978-3-11-019968-0
• Rieger, Adam (2011), "Paradox, ZF, and the Axiom of Foundation" (PDF) , DeVidi, David'de; Hallett, Michael; Clark, Peter (ed.), Mantık, Matematik, Felsefe, Vintage Coşkular. John L. Bell Onuruna Denemeler. , The Western Ontario Series in Philosophy of Science, 75 , s. 171–187, CiteSeerX  10.1.1.100.9052 , doi : 10.1007/978-94-007-0214-1_9 , ISBN 978-94-007-0213-4
• Riegger, L. (1957), "Gödel'in aksiyomatik küme teorisine bir katkı" (PDF) , Çekoslovak Matematik Dergisi , 7 (3): 323–357, doi : 10.21136/CMJ.1957.100254
• Sangiorgi, Davide (2011), Sangiorgi, Davide'de "Bisimülasyon ve eş-tümevarımın kökenleri"; Rutten, Jan (ed.), Bisimulation and Coinduction'da İleri Konular , Cambridge University Press
• Scott, Dana Stewart (1974), "Aksiyomatik küme teorisi", Aksiyomatik küme teorisi. Sempozyum Tutanakları Cilt 13, Kısım II , s. 207–214
• Skolem, Thoralf (1923), Aksiyomlaştırılmış küme teorisiİçinde yayımlanmaktadır Gödel için Frege itibaren Stefan Bauer-Mengelberg, s. 291-301 İngilizce çeviri van Heijenoort 1967.
• Urquhart, Alasdair (2003), "Türlerin Teorisi", içinde Griffin, Nicholas (ed.), The Cambridge Companion to Bertrand Russell , Cambridge University Press
• Vaught, Robert L. (2001), Küme Teorisi: Bir Giriş (2. baskı), Springer, ISBN 978-0-8176-4256-3
• von Neumann, John (1925), "Axiomatiserung der Mengenlehre", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 154 : 219–240; van Heijenoort'ta çeviri , Jean (1967), Frege'den Gödel'e : Matematiksel Mantıkta Bir Kaynak Kitap, 1879–1931 , s. 393–413
• von Neumann, John (1928), "Über die Definition durch transfinite Induktion und verwandte Fragen der allgemeinen Mengenlehre", Mathematische Annalen , 99 : 373–391, doi : 10.1007/BF01459102 , S2CID  120784562
• von Neumann, John (1929), "Uber eine Widerspruchfreiheitsfrage in der axiomatischen Mengenlehre", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 1929 (160): 227–241, doi : 10.1515/crll.1929.160.227 , S2CID  199545822
• Zermelo, Ernst (1930), "Über Grenzzahlen und Mengenbereiche. Neue Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre." (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 16 : 29–47, doi : 10.4064/fm-16-1-29-47; çeviri Ewald, DB, ed. (1996), Kant'tan Hilbert'e: Matematiğin Temellerinde Bir Kaynak Kitap Cilt. 2 , Clarendon Press, s. 1219–33

Dış bağlantılar

• Vakıf aksiyomu de PlanetMath .
• nLab üzerinde yerleşik küme ve temel aksiyomu