Eşleştirme aksiyomu - Axiom of pairing

Gelen aksiyomatik küme kuramı ve dallarına mantık , matematik ve bilgisayar bilimleri kullanmak, eşleştirme beliti biridir aksiyomlarından ait Zermelo-Fraenkel küme kuramı . Zermelo (1908) tarafından temel kümeler aksiyomunun özel bir durumu olarak tanıtıldı .

Resmi açıklama

Gelen resmi dili Zermelo-Fraenkel aksiyomların, aksiyomu okur:

${\displaystyle \forall A\,\forall B\,\exists C\,\forall D\,[D\in C\iff (D=A\lor D=B)]}$

Kelimelerle:

Herhangi bir verilen nesnenin bir ve herhangi bir nesne B , yoktur bir dizi Cı , herhangi bir nesne verilir bu tür D , D bir üyesidir C , ancak ve ancak, eğer D olan eşit için A veya D eşittir B .

Veya daha basit bir deyişle:

İki nesne verildiğinde, üyeleri tam olarak verilen iki nesne olan bir küme vardır.

Sonuçlar

Belirtildiği gibi, aksiyomun söylediği, A ve B iki nesnesi verildiğinde , üyeleri tam olarak A ve B olan bir C kümesi bulabileceğimizdir .

Bu C kümesinin benzersiz olduğunu göstermek için genişleme aksiyomunu kullanabiliriz . Biz set diyoruz Cı çifti arasında A ve B , ve bunu {belirtmek A , B }. Böylece aksiyomun özü şudur:

Herhangi iki nesnenin bir çifti vardır.

Grubu { A , A } {kısaltılır bir denilen} tekil içeren A . Bir singleton'un bir çiftin özel bir durumu olduğunu unutmayın. A tek oluşturmak için mümkün olan örneğin sonsuz azalan zincirlerinin olmayan varlığını göstermek için, gerekli olduğu gelen düzenlilik Axiom . ${\görüntüleme stili x=\{x\}}$

Eşleştirme aksiyomu, sıralı çiftlerin tanımlanmasına da izin verir . Herhangi bir nesne ve için , sıralı çift aşağıdakilerle tanımlanır: ${\görüntüleme stili bir}$${\görüntüleme stili b}$

${\displaystyle (a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}.\,}$

Bu tanımın koşulu karşıladığını unutmayın.

${\displaystyle (a,b)=(c,d)\iff a=c\land b=d.}$

Sıralı n- tuple'lar özyinelemeli olarak aşağıdaki gibi tanımlanabilir:

${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})=((a_{1},\ldots ,a_{n-1}),a_{n}).\!}$

alternatifler

Bağımsızlık

Eşleştirme beliti genellikle tartışılmaz olarak kabul edilir ve bu da sadece herhangi yaklaşık eşdeğer bir görünür aksiyomlaştırılması küme kuramı. Bununla birlikte, Zermelo-Fraenkel küme teorisinin standart formülasyonunda, eşleştirme aksiyomu , iki veya daha fazla elemanlı herhangi bir kümeye uygulanan değiştirme aksiyom şemasından çıkar ve bu nedenle bazen ihmal edilir. Gibi iki eleman, böyle bir takımının varlığı, {{}, {{}}} gelen ya da çıkarılabilir boş küme aksiyomu ve güç grubu aksiyomu veya gelen sonsuz aksiyomu .

Bazı daha güçlü ZFC aksiyomlarının yokluğunda, eşleştirme aksiyomu kayıpsız olarak daha zayıf biçimlerde sunulabilir.

daha zayıf

Ayırma aksiyom şemasının standart biçimlerinin varlığında, eşleştirme aksiyomunu daha zayıf versiyonuyla değiştirebiliriz:

${\displaystyle \forall A\forall B\C\forall D var((D=A\lor D=B)\Rightarrow D\C'de)}$.

Bu zayıf eşleştirme aksiyomu, verilen herhangi bir nesnenin ve bir kümenin üyesi olduğunu ima eder . Ayırma aksiyom şemasını kullanarak, üyeleri tam olarak ve olan kümeyi oluşturabiliriz . ${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili B}$${\görüntüleme stili C}$${\görüntüleme stili A}$${\görüntüleme stili B}$

Boş küme aksiyomunun varlığında eşleştirme aksiyomunu ima eden başka bir aksiyom şudur:

${\displaystyle \forall A\,\forall B\,\exists C\,\forall D\,[D\in C\iff (D\in A\lor D=B)]}$.

Bunun yerine kullanımıyla standart olandan farklıdır . A için {} ve B için x kullanarak , C için { x } elde ederiz. Sonra A için { x } ve B için y kullanın, C için { x,y } elde edin. Kişi bu şekilde herhangi bir sonlu oluşturmak için devam edebilir. Ayarlamak. Ve bu , birleşim aksiyomunu kullanmadan tüm kalıtsal olarak sonlu kümeleri oluşturmak için kullanılabilir . ${\ Displaystyle D\ A'da}$${\görüntüleme stili D=A}$

Daha güçlü

Birlikte ile boş setin aksiyomuna ve birliğin aksiyomunun , eşleştirme beliti şu şemaya genelleştirilebilir:

${\displaystyle \forall A_{1}\,\ldots \,\forall A_{n}\,\exists C\,\forall D\,[D\in C\iff (D=A_{1}\lor \ cdots \lor D=A_{n})]}$

yani:

A ₁ ila A _n arasında herhangi bir sonlu sayıda nesne verildiğinde , üyeleri tam olarak A ₁ ila A _n olan bir C kümesi vardır .

Bu C kümesi , genişleme aksiyomu tarafından yine benzersizdir ve { A ₁ ,..., A _n } ile gösterilir.

Elbette, elimizde söz konusu nesnelerin ait olduğu bir (sonlu) kümeye sahip olmadan, kesin olarak sınırlı sayıda nesneden söz edemeyiz . Böylece, bu tek deyimi yerine bir değil şema her biri için ayrı ifadesiyle, doğal sayı n .

• Durumda , n = 1 ile eşleştirme belitidir A = A ₁ ve B = A ₁ .
• Durumda , n = 2 ile eşleştirme belitidir A = A ₁ ve B = A ₂ .
• n > 2 durumları , eşleştirme aksiyomu ve birleşim aksiyomu birden çok kez kullanılarak kanıtlanabilir .

Örneğin, n = 3 durumunu kanıtlamak için , { A ₁ , A ₂ } çiftini , tekli { A ₃ } ve ardından {{ A ₁ , A ₂ } çiftini üretmek için eşleştirme aksiyomunu üç kez kullanın. ,{ A ₃ }}. Birlik aksiyomu sonra, istenen sonucu, {üreten bir ₁ , A ₂ , A ₃ }. Bu durumu boş küme aksiyomu olarak yorumlarsak, bu şemayı n = 0 içerecek şekilde genişletebiliriz .

Böylece, bu , boş küme ve eşleştirme aksiyomlarının yerine bir aksiyom şeması olarak kullanılabilir . Ancak normalde, boş küme ve eşleştirme aksiyomları ayrı ayrı kullanılır ve ardından bunu bir teorem şeması olarak kanıtlar . Bunu bir aksiyom şeması olarak benimsemenin , diğer durumlar için hala gerekli olan union aksiyomunun yerini almayacağına dikkat edin .

Referanslar

• Paul Halmos , Naif küme teorisi . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Springer-Verlag, New York, 1974 tarafından yeniden basılmıştır. ISBN  0-387-90092-6 (Springer-Verlag baskısı).
• Jech, Thomas, 2003. Küme Teorisi: Üçüncü Binyıl Baskısı, Gözden Geçirilmiş ve Genişletilmiş . Springer. ISBN  3-540-44085-2 .
• Kunen, Kenneth, 1980. Küme Teorisi: Bağımsızlık Kanıtlarına Giriş . Elsevier. ISBN  0-444-86839-9 .
• Zermelo, Ernst (1908), "Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I" , Mathematische Annalen , 65 (2): 261–281, doi : 10.1007/bf01449999. İngilizce çeviri: Heijenoort, Jean van (1967), "İncelemeler temelleri küme teorisi", Frege'den Gödel'e : Matematiksel Mantıkta Bir Kaynak Kitap, 1879-1931 , Bilimler Tarihinde Kaynak Kitaplar, Harvard Üniv. Basın, s. 199–215, ISBN 978-0-674-32449-7.