Küme teorisi - Set theory

Küme teorisi , gayri resmi olarak nesne koleksiyonları olarak tanımlanabilen kümeleri inceleyen matematiksel mantığın dalıdır . Her türden nesne bir kümede toplanabilse de, matematiğin bir dalı olarak küme teorisi, çoğunlukla bir bütün olarak matematikle ilgili olanlarla ilgilenir .

Küme teorisinin modern çalışması , 1870'lerde Alman matematikçiler Richard Dedekind ve Georg Cantor tarafından başlatıldı . Özellikle, Georg Cantor genellikle küme teorisinin kurucusu olarak kabul edilir. Bu erken aşamada incelenen formalize olmayan sistemler, saf küme teorisi adı altında gider . Naif küme teorisi içindeki paradoksların ( Russell paradoksu , Cantor paradoksu ve Burali-Forti paradoksu gibi ) keşfedilmesinden sonra, yirminci yüzyılın başlarında çeşitli aksiyomatik sistemler önerildi, bunlardan Zermelo-Fraenkel küme teorisi ( devreli veya onsuz)seçim aksiyomu ) hala en iyi bilinen ve en çok çalışılandır.

Küme teorisi, özellikle seçim aksiyomlu Zermelo-Fraenkel küme teorisi biçiminde, matematiğin tamamı için temel bir sistem olarak yaygın olarak kullanılır. Temel rolünün yanı sıra, küme teorisi aynı zamanda matematiksel bir sonsuz teorisi geliştirmek için bir çerçeve sağlar ve bilgisayar bilimlerinde ( ilişkisel cebir teorisi gibi ), felsefede ve biçimsel anlambilimde çeşitli uygulamalara sahiptir . Temel çekiciliği, paradoksları , sonsuzluk kavramı üzerindeki etkileri ve çoklu uygulamaları ile birlikte küme teorisini mantıkçılar ve matematik filozofları için büyük bir ilgi alanı haline getirmiştir . Küme kuramı çağdaş araştırmalar yapısından uzanan konularda geniş bir dizi kapsar gerçek sayı araştırılmasına hattının tutarlılık içinde büyük kardinaller .

Tarih

Matematiksel konular tipik olarak birçok araştırmacı arasındaki etkileşimler yoluyla ortaya çıkar ve gelişir. Bununla birlikte, küme teorisi, 1874'te Georg Cantor tarafından " Tüm Gerçek Cebirsel Sayıların Koleksiyonunun Bir Özelliği Üzerine " adlı tek bir makale tarafından kuruldu .

MÖ 5. yüzyıldan beri , Batı'da Yunan matematikçi Elealı Zeno ve Doğu'da erken Hintli matematikçiler ile başlayarak , matematikçiler sonsuzluk kavramıyla mücadele ettiler . Özellikle dikkate değer olan, Bernard Bolzano'nun 19. yüzyılın ilk yarısındaki çalışmasıdır. Modern sonsuzluk anlayışı 1870-1874'te başladı ve Cantor'un gerçek analizdeki çalışmasıyla motive edildi . Cantor ve Richard Dedekind arasında 1872'de yapılan bir toplantı Cantor'un düşüncesini etkiledi ve Cantor'un 1874 tarihli makalesinde doruğa ulaştı.

Cantor'un çalışması başlangıçta zamanının matematikçilerini kutuplaştırdı. İken Karl Weierstrass ve Dedekind Cantor, desteklenen Leopold Kronecker , şimdi bir kurucusu olarak görülen matematiksel yapılandırmacılığa , vermedi. Kantorian küme teorisi, kümeler arasında bire bir yazışmalar , tamsayılardan daha fazla gerçek sayı olduğuna dair kanıtı ve "sonsuzlukların sonsuzluğu" (" Cantor'un cenneti ") gibi Kantor kavramlarının faydası nedeniyle sonunda yaygınlaştı. elde edilen güç grubu işlemi. Tarafından 1898 yılında katkıda makalesinde "Mengenlehre" yol açtı küme kuramı Bu yardımcı program Arthur Schoenflies için Klein'ın ansiklopedisi .

Küme teorisindeki bir sonraki heyecan dalgası, Kantorian küme teorisinin bazı yorumlarının çatışkılar veya paradokslar olarak adlandırılan çeşitli çelişkilere yol açtığı keşfedildiğinde 1900 civarında geldi . Bertrand Russell ve Ernst Zermelo bağımsız olarak, şimdi Russell paradoksu olarak adlandırılan en basit ve en iyi bilinen paradoksu buldular: "kendilerinin üyesi olmayan tüm kümeler kümesini" düşünün, bu bir çelişkiye yol açar, çünkü bu bir çelişkiye yol açar, çünkü bu bir çelişki değil, kendisinin bir üyesi olmalıdır. kendisinin üyesi. 1899'da Cantor, " Bütün kümelerin kümesinin kardinal sayısı nedir ?" sorusunu kendisi sormuş ve ilgili bir paradoks elde etmiştir. Russell, paradoksunu 1903'te The Principles of Mathematics adlı kitabında kıta matematiği üzerine yaptığı incelemede bir tema olarak kullandı . Russell, küme terimi yerine , daha sonra daha teknik olarak kullanılan Sınıf terimini kullandı.

1906'da, terim kümesi , Cambridge University Press tarafından yayınlanan karı koca William Henry Young ve Grace Chisholm Young'ın Theory of Points of Points adlı kitabında yer aldı .

Küme teorisinin momentumu, paradokslar hakkındaki tartışmanın terk edilmesine yol açmadığı kadardı. 1908'de Zermelo'nun çalışması ve 1922'de Abraham Fraenkel ve Thoralf Skolem'in çalışması, küme teorisi için en yaygın kullanılan aksiyom kümesi haline gelen ZFC aksiyomları kümesiyle sonuçlandı . Henri Lebesgue gibi analistlerin çalışmaları , o zamandan beri modern matematiğin dokusuna dokunan küme teorisinin büyük matematiksel faydasını gösterdi. Bazı bölgelerde-gibi her ne kadar ayarlayın teori, yaygın olarak, temel sistem olarak kullanılır cebirsel geometri ve cebirsel topolojisi - Kategori teorisi tercih edilen bir temel olduğu düşünülmektedir.

Temel kavramlar ve gösterim

Küme teorisi, bir o nesnesi ile bir A kümesi arasındaki temel bir ikili ilişki ile başlar . Eğer o a, elemanı (ya da elemanı arasında) A , gösterim o ∈ A kullanılır. Bir küme, virgülle ayrılmış öğelerin listelenmesiyle veya öğelerinin karakterize edici özelliğiyle, parantez { } içinde tanımlanır. Kümeler nesne olduğu için üyelik ilişkisi kümeleri de ilişkilendirebilir.

İki küme arasında türetilmiş bir ikili ilişki, küme dahil etme olarak da adlandırılan alt küme ilişkisidir . Grubu tüm üyeleri ise A , aynı zamanda resim üyeleridir B , daha sonra bir bir olan bir alt kümesi içinde B ile gösterilen bir ⊆ B . Örneğin, {1, 2} , {1, 2, 3 } öğesinin bir alt kümesidir ve {2} da öyledir, ancak {1, 4} değildir. Bu tanımdan da anlaşılacağı gibi, bir küme kendisinin bir alt kümesidir. Bu olasılığın uygun olmadığı veya reddedilmesinin mantıklı olduğu durumlar için uygun altküme terimi tanımlanır. Bir bir denir düzgün alt kümesini bir B ancak ve ancak bir alt kümesidir B , ancak A için eşit değildir B . Ayrıca 1, 2 ve 3 {1, 2, 3} kümesinin üyeleridir (öğeleri) , ancak alt kümeleri değildir; ve sırayla, {1} gibi alt kümeler {1, 2, 3} kümesinin üyeleri değildir .

Tıpkı aritmetik özellikleri ikili operasyonlar üzerinde sayılar , kümeler kuramı setleri üzerinde ikili işlemleri bulunmaktadır. Aşağıdakiler bunların kısmi bir listesidir:

• A ∪ B ile gösterilen A ve B kümelerinin birliği , A veya B veya her ikisininüyesi olan tüm nesnelerin kümesidir. Örneğin, birlik {1, 2, 3} ve {2, 3, 4} dizi {1, 2, 3, 4} .
• Kesişme setinin bir ve B ile gösterilen bir ∩ B , her iki üyesi olan tüm nesnelerin kümesidir A ve B . Örneğin, kesişme {1, 2, 3} ve {2, 3, 4} dizi {2, 3} .
• Ayar fark arasında U ve A belirtilen, U \ A , tüm üyelerinin dizi U üyesi olmayan A . Grubu farkı {1, 2, 3} \ {2, 3, 4} olan {1} , tersine ise, resim farkı {2, 3, 4} \ {1, 2, 3} olan {4} . Ne zaman bir bir alt kümesi U , küme farkı u \ bir de denir tamamlayıcı bir A bölgesindeki U . Seçimi Bu durumda, U bağlamdan açıktır, gösterim A ^c bazen yerine kullanılan U \ A , özellikle U bir olan evrensel kümesi çalışmalarında olduğu gibi Venn diyagramları .
• Simetrik bir fark setleri A ve B ile gösterilen bir △ B veya A ⊖ B , bir tam olarak bir üyesi olan tüm nesnelerin kümesidir bir ve B (ancak her ikisi de, her bir durum içinde yer alan unsurlar). Örneğin, {1, 2, 3} ve {2, 3, 4} kümeleri için simetrik fark kümesi {1, 4} şeklindedir . Birleşim ve kesişimin küme farkıdır, ( A ∪ B ) \ ( A ∩ B ) veya ( A \ B ) ∪ ( B \ A ) .
• Kartezyen ürün bir A ve B gösterilen, bir x B , üyeleri tüm mümkündür dizi sıralı çiftleri ( a , b ) , bir üyesi olan , A ve B bir üyesidir B . Örneğin, {1, 2} ve {kırmızı, beyaz}' ın Kartezyen çarpımı {(1, kırmızı), (1, beyaz), (2, kırmızı), (2, beyaz)}'dır.
• Bir A kümesinin kuvvet kümesi olarakgösterilen, üyeleri A'nın tüm olası alt kümeleri olan kümedir. Örneğin, {1, 2}' ninkuvvet kümesi { {}, {1}, {2}, {1, 2} } şeklindedir .${\görüntüleme stili {\matematiksel {P}}(A)}$

Merkezi öneme sahip bazı temel kümeler, doğal sayılar kümesi, gerçek sayılar kümesi ve boş kümedir - hiçbir öğe içermeyen benzersiz küme. Boş seti de zaman zaman denir boş seti bu isim belirsiz ve çeşitli yorumlara yol olsa.

Bazı ontoloji

Bir kümenin tüm üyeleri kümeyse, üyelerinin tüm üyeleri kümeyse vb. saf kümedir . Örneğin, yalnızca boş kümeyi içeren {{}} kümesi boş olmayan bir saf kümedir. Modern küme teorisinde, dikkati von Neumann saf kümeler evrenine sınırlamak yaygındır ve aksiyomatik küme teorisinin birçok sistemi yalnızca saf kümeleri aksiyomatize etmek için tasarlanmıştır. Bu kısıtlamanın birçok teknik avantajı vardır ve esasen tüm matematiksel kavramlar saf kümelerle modellenebildiğinden, çok az genellik kaybedilir. Von Neumann evrenindeki kümeler , üyelerinin, üye üyelerinin vb. iç içe ne kadar derine yerleştirildiğine bağlı olarak kümülatif bir hiyerarşi halinde düzenlenir . Bu hiyerarşideki her kümeye ( transfinit özyineleme ile ) sıralaması olarak bilinen bir sıra sayısı atanır . Saf bir kümenin rankı, elemanlarının herhangi birinin rankından kesinlikle daha büyük olan en küçük sıra olarak tanımlanır. Grubu Örneğin, boş grubu, seviye 0 atanır {{}} her bir sıra için sadece boş grubu atanan rank 1. ihtiva eden , dizi en az bir sırada tüm saf setinden oluşur olarak tanımlanır . Von Neumann evreninin tamamı gösterilir  . ${\görüntüleme stili \alfa }$${\görüntüleme stili X}$${\görüntüleme stili \alfa }$${\displaystyle V_{\alfa }}$${\görüntüleme stili \alfa }$${\görüntüleme stili V}$

Resmileştirilmiş küme teorisi

İlköğretim küme teorisi gayri resmi ve sezgisel olarak incelenebilir ve bu nedenle ilkokullarda Venn diyagramları kullanılarak öğretilebilir . Sezgisel yaklaşım, herhangi bir belirli tanımlayıcı koşulu sağlayan tüm nesnelerin sınıfından bir kümenin oluşturulabileceğini zımnen varsayar. Bu varsayım, en basit ve en iyi bilinenleri Russell paradoksu ve Burali-Forti paradoksu olan paradokslara yol açar . Aksiyomatik küme teorisi , başlangıçta bu tür paradokslardan küme teorisini kurtarmak için tasarlandı.

En çok çalışılan aksiyomatik küme teorisi sistemleri, tüm kümelerin kümülatif bir hiyerarşi oluşturduğunu ima eder . Bu tür sistemler, ontolojisi şunlardan oluşan iki çeşittir :

• Tek başına ayarlar . Bu, en yaygın aksiyomatik grubu teorisi içerir Z ermelo- F raenkel grubu teori ile Aksiyomu Cı hoice (ZFC). ZFC parçaları şunları içerir:
  • Zermelo grubu teorisi yerini değiştirme aksiyomu şemasını o ile ayrılması ;
  • Genel küme teorisi , Zermelo küme teorisinin Peano aksiyomları ve sonlu kümeler için yeterli küçük bir parçası ;
  • Sonsuzluk, güç kümesi ve seçim aksiyomlarını atlayan ve ayırma ve değiştirme aksiyom şemalarını zayıflatan Kripke-Platek küme teorisi .
• Kümeler ve uygun sınıflar . Bunlar, yalnızca kümeler hakkında teoremler için ZFC ile aynı güce sahip olan Von Neumann-Bernays-Gödel küme teorisini ve her ikisi de ZFC'den daha güçlü olan Morse-Kelley küme teorisini ve Tarski-Grothendieck küme teorisini içerir.

Yukarıdaki sistemler izin için değiştirilebilir urelements , o setleri üyesi olmaları ancak kendileri belirler ve herhangi üyelerini yok değildir edebilirsiniz nesneleri.

Yeni Vakıflar sistemleri NFU (izin urelements ) ve NF (onları eksik) kümülatif hiyerarşiye dayalı değildir. NF ve NFU, her kümenin bir tamamlayıcıya sahip olduğu bir "her şeyin kümesi"ni içerir. Bu sistemlerde öğeler önemlidir, çünkü NF, ancak NFU değil , seçim aksiyomunun tutmadığı kümeler üretir .

CST, CZF ve IZF gibi yapıcı küme teorisi sistemleri, küme aksiyomlarını klasik mantık yerine sezgisel olarak yerleştirir . Yine de diğer sistemler klasik mantığı kabul eder, ancak standart olmayan bir üyelik ilişkisine sahiptir. Bunlar , üyelik ilişkisini içeren bir atom formülünün değerinin sadece Doğru veya Yanlış olmadığı kaba küme teorisi ve bulanık küme teorisini içerir . Boole değerli modeller arasında ZFC ilgili tabidir.

1977'de Edward Nelson tarafından ZFC'nin iç küme teorisi adı verilen bir zenginleştirilmesi önerildi .

Uygulamalar

Birçok matematiksel kavram, yalnızca kümelenmiş teorik kavramlar kullanılarak tam olarak tanımlanabilir. Örneğin, grafikler , manifoldlar , halkalar , vektör uzayları ve ilişkisel cebirler gibi çeşitli matematiksel yapıların tümü, çeşitli (aksiyomatik) özellikleri sağlayan kümeler olarak tanımlanabilir. Denklik ve sıra ilişkileri matematikte her yerde bulunur ve matematiksel ilişkiler teorisi küme teorisinde tanımlanabilir.

Küme teorisi aynı zamanda matematiğin çoğu için umut verici bir temel sistemdir. Principia Mathematica'nın ilk cildinin yayınlanmasından bu yana, matematiksel teoremlerin çoğunun (hatta hepsinin) küme teorisi için uygun şekilde tasarlanmış bir aksiyom seti kullanılarak, birinci veya ikinci dereceden mantık kullanılarak birçok tanımla desteklenerek türetilebileceği iddia edildi. . Örneğin, doğal ve gerçek sayıların özellikleri, her sayı sistemi , alanı sonsuz bir küme olan uygun bir denklik ilişkisi altında bir dizi denklik sınıfı ile tanımlanabileceğinden, küme teorisi içinde türetilebilir .

Matematiksel analiz , topoloji , soyut cebir ve ayrık matematik için bir temel olarak küme teorisi aynı şekilde tartışmasızdır; matematikçiler (prensipte) bu alanlardaki teoremlerin küme teorisinin ilgili tanımlarından ve aksiyomlarından türetilebileceğini kabul ederler. Bununla birlikte, küme teorisinden karmaşık matematiksel teoremlerin birkaç tam türevinin resmi olarak doğrulanmış olduğu kalır, çünkü bu tür biçimsel türevler genellikle matematikçilerin yaygın olarak mevcut olan doğal dil kanıtlarından çok daha uzundur. Bir doğrulama projesi olan Metamath , ZFC küme teorisi, birinci dereceden mantık ve önerme mantığından başlayarak 12.000'den fazla teoremin insan tarafından yazılmış, bilgisayar tarafından doğrulanmış türevlerini içerir .

çalışma alanları

Küme teorisi, birbiriyle ilişkili birçok alt alana sahip, matematikte önemli bir araştırma alanıdır.

kombinatoryal küme teorisi

Kombinatoryal küme teorisi , sonlu kombinatoriklerin sonsuz kümelere genişletilmesiyle ilgilidir . Bu, kardinal aritmetik çalışmasını ve Ramsey teoreminin Erdős–Rado teoremi gibi uzantılarının çalışmasını içerir . Çift açılımlı küme teorisi (DEST) , Andrzej Kisielewicz tarafından önerilen, kümeler evreni üzerinde iki ayrı üyelik ilişkisinden oluşan bir aksiyomatik küme teorisidir .

Tanımlayıcı küme teorisi

Tanımlayıcı küme teorisi , gerçek çizginin alt kümelerinin ve daha genel olarak Polonya uzaylarının alt kümelerinin incelenmesidir . Bu çalışma ile başlar pointclasses içinde Borel hiyerarşi ve bu şekilde daha karmaşık hiyerarşileri araştırılmasına uzanır yansıtmalı hiyerarşi ve Wadge hiyerarşi . Borel kümelerinin birçok özelliği ZFC'de oluşturulabilir, ancak bu özelliklerin daha karmaşık kümeler için geçerli olduğunu kanıtlamak, belirlilik ve büyük kardinallerle ilgili ek aksiyomlar gerektirir.

Etkili tanımlayıcı küme teorisi alanı, küme teorisi ile özyineleme teorisi arasındadır . Bu çalışma içerir lightface pointclasses ve yakından ilişkilidir hyperarithmetical teori . Çoğu durumda, klasik tanımlayıcı küme teorisinin sonuçlarının etkili versiyonları vardır; bazı durumlarda, önce etkili versiyonun kanıtlanması ve ardından daha geniş çapta uygulanabilir hale getirilmesi için genişletilmesi ("görecelileştirilmesi") yoluyla yeni sonuçlar elde edilir.

Yakın tarihli bir araştırma alanı Borel denklik bağıntıları ve daha karmaşık tanımlanabilir denklik bağıntıları ile ilgilidir . Bu, matematiğin birçok alanındaki değişmezlerin incelenmesi için önemli uygulamalara sahiptir .

Bulanık küme teorisi

Cantor'un tanımladığı ve Zermelo ve Fraenkel'in aksiyomlaştırdığı küme teorisinde , bir nesne ya bir kümenin üyesidir ya da değildir. Gelen ve bulanık teori bu durum ile gevşetildi Lotfi A. Zadeh bir amacı vardır, böylece üyelik derecesinin bir dizi, örneğin 0 ile 1 arasında bir sayı, "uzun boylu insanlar" grubu bir kişinin üyelik derecesi basit bir evet veya hayır yanıtından daha esnektir ve 0,75 gibi gerçek bir sayı olabilir.

İç model teorisi

Zermelo-Fraenkel küme teorisinin (ZF) bir iç modeli , tüm sıra sayıları içeren ve ZF'nin tüm aksiyomlarını karşılayan geçişli bir sınıftır . Kanonik örnek, Gödel tarafından geliştirilen inşa edilebilir evren L'dir . İç modellerin incelenmesinin ilgi çekici olmasının bir nedeni, tutarlılık sonuçlarını kanıtlamak için kullanılabilmesidir. Örneğin, bir ZF modelinin V süreklilik hipotezini mi yoksa seçim aksiyomunu mu karşıladığından bağımsız olarak , orijinal modelin içinde oluşturulan iç model L'nin hem genelleştirilmiş süreklilik hipotezini hem de seçim aksiyomunu karşılayacağı gösterilebilir. Dolayısıyla, ZF'nin tutarlı olduğu varsayımı (en az bir modeli vardır), ZF'nin bu iki ilkeyle birlikte tutarlı olduğu anlamına gelir.

İç modellerin çalışma çalışmalarında yaygındır belirlilik ve büyük kardinaller böyle seçme aksiyomu çelişen belirli olmasıyla aksiyomuna olarak aksiyomlarını özellikle dikkate alınarak,. Sabit bir küme teorisi modeli seçim aksiyomunu karşılasa bile, bir iç modelin seçim aksiyomunu karşılamaması mümkündür. Örneğin, yeterince büyük kardinallerin varlığı, belirlilik aksiyomunu karşılayan (ve dolayısıyla seçim aksiyomunu karşılamayan) bir iç modelin var olduğunu ima eder.

büyük kardinaller

Bir büyük kardinal ekstra özelliğe sahip bir kardinal sayıdır. Erişilemeyen kardinaller , ölçülebilir kardinaller ve çok daha fazlası dahil olmak üzere bu tür birçok özellik incelenmiştir . Bu özellikler, tipik olarak, Zermelo–Fraenkel küme teorisinde kanıtlanamayan belirtilen özelliğe sahip bir kardinal varlığı ile, kardinal sayısının çok büyük olması gerektiğini ima eder .

kararlılık

Kararlılık , uygun varsayımlar altında, belirli iki oyunculu mükemmel bilgi oyunlarının, bir oyuncunun kazanma stratejisine sahip olması gerektiği anlamında baştan belirlendiği gerçeğini ifade eder. Daha geniş bir oyun sınıfının belirlendiği varsayımı genellikle daha geniş bir küme sınıfının topolojik bir özelliğe sahip olacağını ima ettiğinden, bu stratejilerin varlığının tanımlayıcı küme teorisinde önemli sonuçları vardır. Belirlilik beliti (AD), çalışmanın önemli bir amacı; Seçim aksiyomu ile uyumsuz olmasına rağmen, AD, gerçek çizginin tüm alt kümelerinin iyi davrandığını (özellikle ölçülebilir ve mükemmel küme özelliği ile) ima eder. AD, Wadge derecelerinin zarif bir yapıya sahip olduğunu kanıtlamak için kullanılabilir .

zorlamak

Paul Cohen yöntemini icat zorlayarak bir aranırken modelin içinde ZFC hangi süreklilik hipotezi başarısız veya hangi ZF bir model tercih aksiyomu başarısız olur. Zorlama, yapı ve orijinal model tarafından belirlenen (yani "zorlanmış") özelliklere sahip daha büyük bir model oluşturmak için belirli bir küme teorisi modeline ek kümeler ekler. Örneğin, Cohen'in yapısı , orijinal modelin ana sayılarından herhangi birini değiştirmeden doğal sayıların ek alt kümelerini birleştirir . Zorlama, aynı zamanda, göreceli tutarlılığı sonlu yöntemlerle kanıtlamak için kullanılan iki yöntemden biridir , diğer yöntem Boolean değerli modellerdir .

kardinal değişmezler

Bir kardinal değişmez , bir kardinal sayı ile ölçülen gerçek çizginin bir özelliğidir. Örneğin, iyi çalışılmış bir değişmez, birleşimi gerçek çizginin tamamı olan yetersiz gerçek kümeleri koleksiyonunun en küçük kardinalitesidir . Bunlar, küme teorisinin herhangi iki izomorfik modelinin her değişmez için aynı kardinali vermesi gerektiği anlamında değişmezlerdir. Birçok temel değişmez incelenmiştir ve aralarındaki ilişkiler genellikle karmaşıktır ve küme teorisinin aksiyomlarıyla ilişkilidir.

Küme-teorik topoloji

Küme teorik topoloji , doğası gereği küme teorisi olan veya çözümleri için gelişmiş küme teorisi yöntemleri gerektiren genel topoloji sorularını inceler . Bu teoremlerin çoğu ZFC'den bağımsızdır ve ispatları için daha güçlü aksiyomlar gerektirir. Ünlü bir problem, yoğun araştırmaların konusu olan genel topolojide bir soru olan normal Moore uzay sorusudur . Normal Moore uzay sorusunun cevabının sonunda ZFC'den bağımsız olduğu kanıtlandı.

Kuram teorisine itirazlar

Küme teorisinin başlangıcından itibaren, bazı matematikçiler matematiğin temeli olarak buna itiraz ettiler . Kronecker'in küme teorisinin ilk yıllarında dile getirdiği küme teorisine en yaygın itiraz , matematiğin hesaplama ile gevşek bir şekilde ilişkili olduğu şeklindeki yapılandırmacı görüşten başlar . Bu görüş kabul edilirse, o zaman hem naif hem de aksiyomatik küme teorisinde sonsuz kümelerin ele alınması, matematik yöntemlerine ve prensipte bile hesaplanamayan nesnelere giriş yapar. Matematik için ikame bir temel olarak yapılandırmacılığın uygulanabilirliği, Errett Bishop'un etkili kitabı Foundations of Constructive Analysis tarafından büyük ölçüde artırıldı .

Farklı bir itiraz ortaya koyduğu Poincaré'nin aksiyomu şemalarını kullanarak bu tanımlama setleri tarifname ve yerine , hem de güç grubu aksiyomu , tanıtır impredicativity , bir tür dairesellik matematiksel nesnelerin tanımları içine. Tahmini temelli matematiğin kapsamı, yaygın olarak kabul edilen Zermelo-Fraenkel teorisinden daha az olsa da, yapıcı matematiğinkinden çok daha büyüktür, Solomon Feferman'ın dediği noktaya kadar , "bilimsel olarak uygulanabilir tüm analizler [tahmin kullanılarak geliştirilebilir. yöntemler]".

Ludwig Wittgenstein , matematiksel platonizm çağrışımları nedeniyle küme teorisini felsefi olarak kınadı . Hayali sembolizmin "saçmalığı" üzerine kurulduğu için "küme teorisi yanlıştır", "zararlı deyimler" içerir ve "tüm sayılar" hakkında konuşmanın anlamsız olduğunu yazdı. Wittgenstein, matematiği algoritmik insan tümdengelimiyle tanımladı; matematik için güvenli bir temele duyulan ihtiyaç ona anlamsız geliyordu. Dahası, insan çabası zorunlu olarak sonlu olduğundan, Wittgenstein'ın felsefesi radikal yapılandırmacılık ve sonluculuğa ontolojik bir bağlılık gerektiriyordu . Wittgenstein'a göre, sonsuz alanlar üzerinde niceleme yapan herhangi bir ifadeyi ve dolayısıyla neredeyse tüm modern küme teorilerini içeren meta-matematiksel ifadeler matematik değildir. Birkaç modern filozof , Matematiğin Temelleri Üzerine Düşünceler'deki muhteşem bir gaftan sonra Wittgenstein'ın görüşlerini benimsemiştir : Wittgenstein , yalnızca özeti okuduktan sonra Gödel'in eksiklik teoremlerini çürütmeye çalıştı . Yorumcular olarak Kreisel , Bernays'ın , Dummett ve Goodstein tüm sivri dışarı onun eleştirilerin pek dolu kağıt için geçerli değildi. Ancak son zamanlarda Crispin Wright gibi filozoflar Wittgenstein'ın argümanlarını düzeltmeye başladılar.

Kategori teorisyenleri , geleneksel aksiyomatik küme teorisine bir alternatif olarak topos teorisini önerdiler . Topos teorisi, yapılandırmacılık , sonlu küme teorisi ve hesaplanabilir küme teorisi gibi bu teoriye çeşitli alternatifleri yorumlayabilir . Topoi ayrıca ZF'den bağımsız seçimin zorlanması ve tartışılması için doğal bir ortam sağlar ve ayrıca anlamsız topoloji ve Taş uzaylar için çerçeve sağlar .

Aktif bir araştırma alanı, tek değerli temeller ve onunla ilgili homotopi tipi teoridir . Homotopi tipi teorisi içinde, bir küme , daha yüksek endüktif tiplerin tümevarımsal ve özyinelemeli özelliklerinden kaynaklanan kümelerin evrensel özelliklerine sahip bir homotopi 0-tipi olarak kabul edilebilir . Seçim aksiyomu ve hariç tutulan ortanın yasası gibi ilkeler , küme teorisindeki klasik formülasyona karşılık gelen bir tarzda veya belki de tip teorisine özgü farklı yollardan oluşan bir spektrumda formüle edilebilir. Bu ilkelerin bazılarının diğer ilkelerin bir sonucu olduğu kanıtlanabilir. Bu aksiyomatik ilkelerin formülasyonlarının çeşitliliği, çeşitli matematiksel sonuçlar elde etmek için gereken formülasyonların ayrıntılı bir analizine izin verir.

Matematik eğitiminde küme teorisi

Küme teorisi, modern matematiğin temeli olarak popülerlik kazandıkça , matematik eğitiminde erken küme teorisinin temellerini tanıtma fikri için destek olmuştur .

1960'larda ABD'de, Yeni Matematik deneyi, diğer soyut kavramların yanı sıra temel küme teorisini ilkokul öğrencilerine öğretmeyi amaçladı , ancak çok eleştiriyle karşılandı. Avrupa okullarındaki matematik müfredatı bu eğilimi takip etti ve şu anda konuyu tüm sınıflarda farklı seviyelerde içeriyor. Venn diyagramları yaygın temel set-teorik ilişkileri açıklamak için kullanılır ilkokul (olsa bile öğrenciler John Venn aslen değerlendirmek için prosedürün bir parçası olarak geliştirilen geçerliliğini ait çıkarımları içinde dönemli mantığı ).

Küme teorisi, öğrencilere bilgisayar programlamayı öğrenirken faydalı olabilecek mantıksal operatörleri (NOT, AND, OR) ve semantik veya kural tanımını (teknik olarak yoğun tanım ) (örn. " A " harfi ile başlayan aylar) tanıtmak için kullanılır. çünkü boole mantığı çeşitli programlama dillerinde kullanılıyor . Aynı şekilde, setler ve gibi diğer koleksiyon benzeri nesneler, MULTISETS ve listeleri , ortak olan veri türleri içinde bilgisayar bilimi ve programlama .

Buna ek olarak, matematik öğretiminde farklı sayı türlerinden ( N , Z , R , ...) bahsederken ve bir matematiksel işlevi bir kümeden ( alan ) diğerine bir ilişki olarak tanımlarken kümelere yaygın olarak başvurulur. ayarlayın ( aralık ).

Ayrıca bakınız

• Küme teorisi sözlüğü
• Sınıf (küme teorisi)
• küme teorisi konularının listesi
• İlişkisel model  – küme teorisinden ödünç alır

Notlar

Referanslar

daha fazla okuma

• Devlin, Keith (1993), Setlerin Sevinci (2. baskı), Springer Verlag, ISBN 0-387-94094-4
• Ferreirós, Jose (2007), Düşünce Labirenti: Küme teorisinin tarihi ve modern matematikteki rolü , Basel: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-8349-7
• Johnson, Philip (1972), Küme Teorisinin Tarihi , Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-154-6
• Kunen, Kenneth (1980), Küme Teorisi: Bağımsızlık Kanıtlarına Giriş , Kuzey Hollanda, ISBN 0-444-85401-0
• Potter, Michael (2004), Küme Teorisi ve Felsefesi: Eleştirel Bir Giriş , Oxford University Press
• Tiles, Mary (2004), Küme Teorisinin Felsefesi: Cantor'un Cennetine Tarihsel Bir Giriş , Dover Yayınları , ISBN 978-0-486-43520-6
• Smullyan, Raymond M .; Fitting, Melvin (2010), Küme Teorisi ve Süreklilik Problemi , Dover Publications , ISBN 978-0-486-47484-7
• Monk, J. Donald (1969), Küme Teorisine Giriş , McGraw-Hill Book Company, ISBN 978-0898740066

Dış bağlantılar

• Daniel Cunningham, İnternet Ansiklopedisi Felsefesinde Küme Teorisi makalesi .
• Jose Ferreiros, [Stanford Felsefe Ansiklopedisi]' ndeki Küme Teorisinin Erken Gelişimi makalesi .
• Foreman, Matthew , Akihiro Kanamori , ed. Küme Teorisi El Kitabı. 3 cilt, 2010. Her bölüm küme teorisindeki çağdaş araştırmaların bazı yönlerini inceler. Devlin'e (1993) bakınız, yerleşik temel küme teorisini kapsamaz.
• "Aksiyomatik küme teorisi" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
• "Küme teorisi" , Matematik Ansiklopedisi , EMS Press , 2001 [1994]
• Schoenflies, Arthur (1898). Mengenlehre içinde Klein'ın ansiklopedi .
• Kitaplığınızdaki ve diğer kitaplıklardaki küme teorisi hakkında çevrimiçi kitaplar ve kitaplık kaynakları
• Rudin, Walter B. (6 Nisan 1990). "Küme Teorisi: Bir Analizin Yavrusu" . Matematikte Marden Dersi . Wisconsin-Milwaukee Üniversitesi – YouTube üzerinden .