Bağımlı seçim aksiyomu - Axiom of dependent choice

Gelen matematik , olarak, bir seçim aksiyomu ile gösterilen, , zayıf bir şeklidir seçim belitinin ( hala en geliştirmek için yeterlidir) gerçek analiz . Paul Bernays tarafından , analiz geliştirmek için hangi küme-teorik aksiyomların gerekli olduğunu araştıran 1942 tarihli bir makalede tanıtıldı . ${\ Displaystyle {\mathsf {DC}}}$ ${\mathsf {AC}}$

Resmi açıklama

Bir homojen ikili ilişki üzerinde denir tamamı her için ise bazı vardır böyle doğrudur. ${\görüntüleme stili R}$ ${\görüntüleme stili X}$ $a\in X,$ $b\in X$ ${\görüntüleme stili a\,R~b}$

Bağımlı seçim aksiyomu şu şekilde ifade edilebilir: Boş olmayan her küme ve üzerindeki her tam ikili ilişki için öyle bir dizi vardır ki: ${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili R}$ ${\görüntüleme stili X,}$ $(x_{n})_{n\in \mathbb {N}}$ ${\görüntüleme stili X}$

x_{n}\,R~x_{n+1}

hepsi için

n\in \mathbb {N} .

Grubu ise , yukarıda tüm kümesi ile sınırlandırılmıştır gerçek sayılar , daha sonra elde edilen aksiyomu ile gösterilir ${\görüntüleme stili X}$ ${\ Displaystyle {\mathsf {DC}}_{\mathbb {R}}.}$

Kullanmak

Böyle bir aksiyom olmadan bile, herhangi biri için , böyle bir dizinin ilk terimlerini oluşturmak için sıradan matematiksel tümevarım kullanılabilir . Bağımlı seçim aksiyomu, bu şekilde bir bütün (sayılabilir sonsuz) dizi oluşturabileceğimizi söyler. ${\görüntüleme stili n}$ ${\görüntüleme stili n}$

Aksiyom , eğer her adımda bir seçim yapmak gerekiyorsa ve bu seçimlerden bazıları önceki seçimlerden bağımsız olarak yapılamıyorsa , sayılabilir uzunluktaki transfinit yinelemeyle oluşturulmuş bir dizinin varlığını göstermek için gerekli olanın parçasıdır . ${\ Displaystyle {\mathsf {DC}}}$ ${\mathsf {AC}}$

eşdeğer ifadeler

Aşırı Zermelo-Fraenkel küme teorisine , eşdeğerdir Baire kategori teoremi tam metrik uzaylar için. ${\mathsf {ZF}}$ ${\ Displaystyle {\mathsf {DC}}}$

Ayrıca üzerinde eşdeğerdir için Löwenheim-Skolem teoremi . ${\mathsf {ZF}}$

${\ Displaystyle {\mathsf {DC}}}$ eşdeğer üzerinde de her raporumu budanmış ağaç ile seviyelerde bir sahiptir dalı ( aşağıda geçirmez ). ${\mathsf {ZF}}$ ${\görüntüleme stili\omega }$

Ayrıca, Zorn'un lemmasının zayıflatılmış biçimine eşdeğerdir ; özellikle , her iyi sıralı zincirin sonlu ve sınırlı olduğu herhangi bir kısmi düzenin bir maksimal elemana sahip olması gerektiği ifadesine eşdeğerdir. ${\ Displaystyle {\mathsf {DC}}}$ ${\ Displaystyle {\mathsf {DC}}}$

ω seviyeli her budanmış ağacın bir dalı olduğunun kanıtı $\,{\mathsf {DC}}\iff$
${\ Displaystyle (\,\Longleftarrow \,)}$ üzerinde tam bir ikili ilişki olsun . Strateji bir ağaç tanımlamaktır ilgili olan komşu elemanlar tatmin sonlu dizilerin içinden sonra bir kolu olan komşu elemanlar yerine sonsuz bir dizisidir tanımlayarak Başlangıç durumunda için yana tüm olan, bir budanmış ağaçtır seviyeleri. Böylece, bir şubesi bulunan herkes için, Yani ima hangi nedenle doğrudur. ${\görüntüleme stili R}$ ${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili T}$ ${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili R.}$ ${\görüntüleme stili T}$ ${\görüntüleme stili R.}$ $\langle x_{0},\dots ,x_{n}\rangle \in T$ $x_{k}R\,x_{k+1}$ $0\leq k<n.$ ${\görüntüleme stili R}$ ${\görüntüleme stili T}$ ${\görüntüleme stili\omega }$ ${\görüntüleme stili T}$ $\langle x_{0},\dots ,x_{n},\dots \rangle .$ $n\geq 0\!:$ $\langle x_{0},\dots ,x_{n},x_{n+1}\rangle \in T,$ $x_{n}R\,x_{n+1}.$ ${\ Displaystyle {\mathsf {DC}}}$ ${\görüntüleme stili (\,\Longrightarrow \,)}$ Seviyeleri ile budanmış bir ağaç olsun . Strateji, bir ikili ilişki tanımlamaktır üzerinde olacak şekilde bir dizi üreten burada ve a, kesin artan işlevi. O halde sonsuz dizi bir daldır. (Bu kanıt yalnızca bu kanıtlaması gereken tanımlayarak Başlat) eğer bir ilk dizisi olan ve yana olan budanmış bir ağaçtır seviyeleri, tüm olduğunu. Bu nedenle, öyle sonsuz bir dizi olduğunu ima eder, öyle ki Şimdi bazıları için O Zamanın son öğesi olsun Çünkü tüm dizi ait olduğu için çünkü bu bir başlangıç alt dizisidir veya bir Dolayısıyladır, bir daldır. ${\görüntüleme stili T}$ ${\görüntüleme stili X}$ ${\görüntüleme stili\omega }$ ${\görüntüleme stili R}$ ${\görüntüleme stili T}$ ${\ Displaystyle {\mathsf {DC}}}$ $t_{n}=\langle x_{0},\dots ,x_{f(n)}\rangle$ $t_{n}R\,t_{n+1}$ ${\görüntüleme stili f(n)}$ $\langle x_{0},\dots ,x_{k},\dots \rangle$ ${\görüntüleme stili f(n)=m+n.}$ ${\görüntüleme stili u\,R\,v}$ ${\görüntüleme stili u}$ $v,\operatöradı {uzunluk} (u)>0,\,$ $\operatöradı {uzunluk} (v)=$ $\operatöradı {uzunluk} (u)+1.$ ${\görüntüleme stili T}$ ${\görüntüleme stili\omega }$ ${\görüntüleme stili R}$ ${\ Displaystyle {\mathsf {DC}}}$ ${\görüntüleme stili t_{n}}$ $t_{n}\,R\,t_{n+1}.$ $t_{0}=\langle x_{0},\dots ,x_{m}\rangle$ ${\görüntüleme stili m\geq 0.}$ $x_{m+n}$ ${\görüntüleme stili t_{n}.}$ $t_{n}=\langle x_{0},\dots ,x_{m},\dots ,x_{m+n}\rangle .$ ${\görüntüleme stili k\geq 0,}$ $\langle x_{0},\dots ,x_{k}\rangle$ ${\görüntüleme stili T}$ $t_{0}\,(k\leq m)$ $t_{n}\,(k\geq m).$ $\langle x_{0},\dots ,x_{k},\dots \rangle$

Diğer aksiyomlarla ilişkisi

full'den farklı olarak , ölçülemeyen bir reel sayılar kümesi olduğunu veya Baire özelliği veya mükemmel küme özelliği olmayan bir reel sayılar kümesi olduğunu kanıtlamak (verilen ) için yetersizdir . Bunun nedeni şu Solovay modeli karşılar ve bu modelde reel sayılar her seti, Lebesgue ölçülebilir olan Baire özelliğine sahiptir ve mükemmel set özelliğine sahiptir. ${\mathsf {AC}}$ ${\ Displaystyle {\mathsf {DC}}}$ ${\mathsf {ZF}}$ ${\mathsf {ZF}}+{\mathsf {DC}}$

Bağımlı seçim aksiyomu, sayılabilir seçim aksiyomunu ima eder ve kesinlikle daha güçlüdür.

Notlar

Referanslar

Jech, Thomas (2003). Küme Teorisi (Üçüncü Binyıl ed.). Springer-Verlag . ISBN'si 3-540-44085-2. OCLC 174929965 . Zbl 1007.03002 .

Languages

In other projects