Baire kategori teoremi - Baire category theorem

Baire teoremi (MKC) içerisinde önemli bir sonucudur genel topoloji ve işlevsel analiz . Teoremin, her biri bir topolojik uzayın Baire uzayı olması için yeterli koşulları sağlayan iki formu vardır ( sayılabilir sayıda yoğun açık kümenin kesişiminin hala yoğun olduğu bir topolojik uzay ).

Baire kategori teoreminin versiyonları ilk olarak sırasıyla 1897 ve 1899'da Osgood ve Baire tarafından bağımsız olarak kanıtlanmıştır . Bu teorem, her tam metrik uzayın bir Baire uzayı olduğunu söyler .

Beyan

Bir Baire uzay özelliğe sahip bir topolojik uzay olduğunu her biri için sayılabilen toplanması açık yoğun kümeleri ( U n )∞
n =1, onların kesişimi yoğundur.

Yerel olarak kompakt olmayan tam metrik uzaylar ( aşağıda tanımlanan metriğe sahip irrasyonel sayılar ; ayrıca, sonsuz boyutlu herhangi bir Banach uzayı ) ve yerel olarak kompakt olmayan yerel olarak kompakt Hausdorff uzayları olduğundan, bu ifadelerin hiçbiri doğrudan diğerini ima etmez. ölçülebilir (örneğin, önemsiz olmayan kompakt Hausdorff uzaylarının sayılamayan herhangi bir ürünü böyledir; ayrıca, fonksiyonel analizde kullanılan birkaç fonksiyon uzayı; sayılamayan Fort uzayı ). Bkz Steen ve Seebach aşağıda referanslarda.

  • ( BCT3 ) İçi boş olmayan boş olmayan bir tam metrik uzay veya boş olmayan iç mekana sahip alt kümelerinden herhangi biri, yoğun olmayan kümelerin sayılabilir birleşimi değildir .

Bu formülasyon BCT1'e eşdeğerdir ve bazen uygulamalarda daha kullanışlıdır. Ayrıca: boş olmayan bir tam metrik uzay kapalı kümelerin sayılabilir birleşimi ise, bu kapalı kümelerden birinin içi boş değildir .

seçim aksiyomu İlişkisi

BCT1'in keyfi tam metrik uzaylar için ispatı, bir tür seçim aksiyomu gerektirir ; ve aslında BCT1 üzerinde eşdeğerdir ZF için bağımlı seçim belitinin , seçim belitinin zayıf bir forma.

Tam metrik uzayın da ayrılabilir olduğu varsayıldığı Baire kategori teoreminin sınırlı bir formu, ek seçim ilkesi olmadan ZF'de kanıtlanabilir. Bu kısıtlı form özellikle gerçek çizgi , Baire uzayı ω ω , Cantor uzayı 2 ω ve L 2 (ℝ n ) gibi ayrılabilir bir Hilbert uzayı için geçerlidir .

kullanır

BCT1 , açık haritalama teoremini , kapalı grafik teoremini ve düzgün sınırlılık ilkesini kanıtlamak için fonksiyonel analizde kullanılır .

BCT1 herhangi her tam metrik alan bu da göstermektedir izole noktaları olan sayılamaz . (Eğer X, herhangi bir izole edilmiş noktaları olan sayılabilir tam metrik alanı, daha sonra her biri tekil { x de} X olan yoğun hiçbir ve böylece X ait birinci kategoriye kendi içinde.) Özellikle, bu her grubu kanıtlamaktadır gerçek sayılar olduğu sayılamaz.

BCT1 , aşağıdakilerin her birinin bir Baire uzayı olduğunu gösterir:

  • Uzay ℝ ait gerçek sayılar
  • Akıl numaraları ile tanımlanan boyutlar ile, d ( x , y ) = 1/n + 1, burada n , x ve y'nin devam eden kesir açılımlarının farklı olduğu ilk indekstir (bu tam bir metrik uzaydır)
  • Cantor kümesi

By BCT2 , her sonlu boyutlu Hausdorff manifoldu o yerel kompakt ve Haussdorf olduğundan, bir Baire alandır. Bu, uzun hat gibi parakompakt olmayan (dolayısıyla ölçülemeyen) manifoldlar için bile böyledir .

BCT , birkaç karmaşık değişken teorisinde temel bir sonuç olan Hartogs teoremini kanıtlamak için kullanılır .

BCT3 , bir Banach uzayının sayılabilir sonsuz boyuta sahip olamayacağını kanıtlamak için kullanılır .

Kanıt

Aşağıdaki, tam bir psödometrik uzayın bir Baire uzayı olduğunun standart bir kanıtıdır .

U n , açık yoğun alt kümelerin sayılabilir bir koleksiyonu olsun . ∩ U n kesişiminin yoğun olduğunu göstermek istiyoruz . Bir altküme, ancak ve ancak boş olmayan her açık altküme onu keserse yoğundur. Böylece, kesişimin yoğun olduğunu göstermek için , X'teki herhangi bir boş olmayan açık W kümesinin , tüm U n ile ortak bir x noktasına sahip olduğunu göstermek yeterlidir . Yana U 1 yoğun olduğu, W kesiştiği u 1 ; bu nedenle, öyle bir x 1 ve 0 < r 1 < 1 noktası vardır:

B ( x 1 , r 1 ) ⊆ W  ∩ U 1 

burada B( x , r ) ve B ( x , r ) yarıçapı r olan x merkezli, sırasıyla açık ve kapalı bir top anlamına gelir . Her U n yoğun olduğundan, bir x n ve 0 < r n < dizi çifti bulmak için özyinelemeli olarak devam edebiliriz.1/n öyle ki:

B ( x n , r n ) ⊆ B( x n −1 , r n −1 ) ∩ U n  .

(Bu adım, seçim aksiyomuna ve açık kümelerin sonlu bir kesişiminin açık olduğu ve dolayısıyla içinde x n merkezli bir açık top bulunabileceği gerçeğine dayanır .) x n ∈ B( x m , r m ) olduğunda n > m , o sahip x n olduğu Cauchy ve dolayısıyla x , n bir sınırı yakınsak x bütünlüğü ile. Herhangi bir n için , kapalılığa göre, x ∈ B ( x n , r n ) .

Bu nedenle, X ∈ W ve X ∈ u , n tüm n .

Teoremin Choquet oyununu kullanarak ispatı için M. Baker'ın alternatif bir ispatı var .

Ayrıca bakınız

alıntılar

Referanslar

  • Baire, R. (1899). "Sür les fonctions de değişkenler réelles" . Anne. Di Mat . 3 : 1–123.
  • Baker, Matt (7 Temmuz 2014). "Gerçek Sayılar ve Sonsuz Oyunlar, Bölüm II: Choquet oyunu ve Baire Kategori Teoremi" . Matt Baker'ın Matematik Blogu .
  • Blair, Charles E. (1977). "Baire kategori teoremi, bağımlı seçimler ilkesini ima eder". Boğa. Acad. Polon. bilim Ser. bilim Matematik. Astron. Fizik . 25 (10): 933-934.
  • Gamelin, Theodore W .; Greene, Robert Everist . Topolojiye Giriş (2. baskı). Dover.
  • Levy, Azriel (2002) [İlk yayın 1979]. Temel Küme Teorisi (Yeniden basılmış ed.). Dover. ISBN'si 0-486-42079-5.
  • Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topolojik Vektör Uzayları . Saf ve uygulamalı matematik (İkinci baskı). Boca Raton, FL: CRC Basın. ISBN'si 978-158488866-6. OCLC  144216834 .
  • Schechter, Eric (1997). Analiz El Kitabı ve Temelleri . Akademik Basın. ISBN'si 0-12-622760-8.
  • Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr (1978). Topolojide Karşı Örnekler . New York: Springer-Verlag.Dover Publications, New York, 1995 tarafından yeniden basılmıştır. ISBN  0-486-68735-X (Dover baskısı).
  • Tao, T. (1 Şubat 2009). "245B, Not 9: Baire kategori teoremi ve Banach uzayı sonuçları" .
  • Haworth, RC; McCoy, RA (1977), Baire Spaces , Warszawa: Instytut Matematyczny Polskiej Akademi Nauk

Dış bağlantılar