Açık haritalama teoremi (fonksiyonel analiz) - Open mapping theorem (functional analysis)
Olarak fonksiyonel analiz , açık dönüşüm teoremi olarak da bilinen, Banach Schauder teoremi (adını Stefan Banach ve Juliusz Schauder ), eğer a bildiren bir temel sonucu sürekli lineer operatör arasında Banach boşluklar olan örten ardından bir olduğunu açık bir harita .
Klasik (Banach uzayı) formu
Banach boşluklar için açık dönüşüm teoremi ( Rudin 1973 , teoremi 2.11) - ise X ve Y'nin Banach uzayları ve vardır A : X → Y, bir örten sürekli lineer operatör, daha sonra bir eğer bir açık haritası (yani , U bir olduğunu açık bir grubu içinde X , sonra A ( U ) Y'de açıktır ).
Bir kanıtı kullanan Baire kategori teoremi ve tamlık hem X ve Y teoremi esastır. Her iki uzayın da normlu bir uzay olduğu varsayılırsa teoremin ifadesi artık doğru değildir , ancak X ve Y Fréchet uzayları olarak alınırsa doğrudur .
Kanıt
|
---|
Diyelim ki A : X → Y bir surjective sürekli lineer operatördür. Kanıtlamak için bir açık haritasıdır, o göstermek için yeterlidir bir açık haritalar birim topu içinde X'in kökenli bir mahalleye Y . O zaman izin ver Yana bir örten: Ama Y Banach'tır, yani Baire'in kategori teoremine göre
Yani c ∈ Y ve r > 0 öyle ki
Let v ∈ V , daha sonra Toplama ve doğrusallığın sürekliliği ile, rv farkı aşağıdakileri karşılar: ve yine doğrusallıkla, burada L =2 k / r ayarladık . Tüm için izler y ∈ Y ve £ değerinin> 0 , bazı vardır x ∈ X şekildedir Bir sonraki hedefimiz V ⊆ A (2 LU ) olduğunu göstermektir . Let y ∈ V . (1) ile, || ile bir miktar x 1 vardır. x 1 || < L ve || y − Eksen 1 || < 1/2 . Bir diziyi ( x n ) endüktif olarak aşağıdaki gibi tanımlayın. Farz etmek: Sonra (1) ile x n +1'i seçebiliriz, böylece: yani (2) x n +1 için sağlanır . İzin vermek
(2)'deki ilk eşitsizlikten, { s n } bir Cauchy dizisidir ve X tam olduğundan, s n bir miktar x ∈ X'e yakınsar . (2) tarafından, dizi olarak n eğilimi y ve böylece Ax = y sürekliliği ile A . Ayrıca, Bu, y'nin A (2 LU ) ' ye ait olduğunu gösterir , bu nedenle iddia edildiği gibi V ⊆ A (2 LU ) . Böylece, X'teki birim topun A ( U ) görüntüsü , Y'nin V /2 L açık topunu içerir . Bu nedenle, bir ( U ) olarak kökenli bir mahalle Y ve bu kanıtı varır. |
İlgili sonuçlar
Teoremi - Let X ve Y , Banach uzayları olsun B X ve B -Y , açık ünite topları gösterir ve izin T : X → Y, bir sınırlı lineer operatör. Eğer δ > 0 ise, aşağıdaki dört ifadeden birine sahibiz (aynı δ ile )
- hepsi için ;
- ;
- ;
- Im T = Y (yani T örtüktür).
Ayrıca, eğer T surjektif ise , o zaman (1) bazı δ > 0 için geçerlidir.
Sonuçlar
Açık haritalama teoreminin birkaç önemli sonucu vardır:
- Eğer A : X → Y, a, örten Banach boşluklar arasında sürekli doğrusal operatör X ve Y , daha sonra ters operatör bir -1 : Y → X oluşur (buna aynı zamanda sürekli sınırlı ters teoremi ).
- Eğer A : X → Y Banach alanları arasında doğrusal bir operatördür X ve Y , her için ise sekansı ( x , n ) olarak X ile X N → 0 ve Ax N → y bu aşağıdaki y = 0 olduğunda, A süreklidir ( kapalı grafik teoremi ).
genellemeler
Yerel dışbükeyliği X veya Y ispat için gerekli değildir, ancak tamamlanmasının: zaman teoremi durumunda geçerliliğini korumaktadır X ve Y olan F-boşluk . Ayrıca, teorem Baire kategori teoremi ile aşağıdaki şekilde birleştirilebilir:
Teoremi (( Rudin 1991 , teoremi 2.11)) - Let X bir olmak F alanı ve Y, bir topolojik vektör uzayı . Eğer A : X → Y , sürekli bir doğrusal operatörü daha sonra ya bir ( X ) a, yetersiz grubu içinde Y , ya da bir ( X ) = Y . İkinci durumda, A bir açık eşlemedir ve Y de bir F uzayıdır.
Bundan başka, bu son durumda , N olan çekirdek arasında A , o zaman bir standart çarpanlara vardır , A formundaki
burada X / N , kapalı alt uzay N tarafından X'in bölüm uzayıdır (aynı zamanda bir F-uzayıdır) . Bölüm eşleme X → X / N açıktır ve eşleme α bir bir izomorfizm ait topolojik vektör uzayı .
Açık haritalama teoremi () — Eğer A : X → Y , tam bir psödometrizleştirilebilir TVS X'ten bir topolojik vektör uzayına Y'ye bir kapalı doğrusal operatörse ve aşağıdaki koşullardan en az biri karşılanırsa:
- Y bir Baire uzayıdır veya
- X, bir yerel olarak dışbükey ve Y, a, namlulu alan ,
ya bir ( X ) a, yetersiz grubu içinde Y , ya da bir ( X ) = Y . o zaman A açık bir eşlemedir.
Sürekli haritalar için Açık dönüşüm teoremi () - Let A : X → Y bir olmak sürekli lineer operatör bir tamamlanmasına daha pseudometrizable TVS X bir Haussdorf topolojik vektör uzaya Y . Eğer Im A olduğu nonmeager içinde Y ardından A : X → Y bir surjective açık haritasıdır ve Y'nin tam pseudometrizable TVS olduğunu.
Açık haritalama teoremi şu şekilde de ifade edilebilir:
Teoremi - Let X ve Y, iki F-boşluklardan. O zaman X'in Y üzerine her sürekli doğrusal haritası bir TVS homomorfizmidir , burada u : X → Y doğrusal haritası bir topolojik vektör uzayı (TVS) homomorfizmidir, eğer indüklenen harita görüntüsü üzerinde bir TVS izomorfizmiyse.
Sonuçlar
Teoremi - Eğer bir : X → Y, bir gelen, bir devamlı doğrusal bijection olan tam Pseudometrizable topolojik vektör alan bir bir Hausdorff TVS üzerine (TVS) Baire alanı daha sonra, A : X → Y, a, homeomorfizma (ve böylece TVSS bir izomorfizm) .
perdeli alanlar
Perdeli uzaylar , açık haritalama teoremi ve kapalı grafik teoreminin tutulduğu bir topolojik vektör uzayları sınıfıdır .
Ayrıca bakınız
- Neredeyse açık doğrusal harita
- Sınırlı ters teorem
- Kapalı grafik – Ürün alanında kapalı bir haritanın grafiği
- Kapalı çizge teoremi – Sürekliliği grafiklerle ilişkilendiren teorem
- Kapalı çizge teoremi (fonksiyonel analiz) – Sürekliliği çıkarmak için teoremler
- Açık haritalama teoremi (karmaşık analiz)
- Fréchet uzaylarının surjection'u – surjectivity karakterizasyonu
- Ursescu teoremi – Kapalı grafiğin genelleştirilmesi, açık haritalama ve düzgün sınırlılık teoremi
- Perdeli alan – Açık haritalama ve kapalı grafik teoremlerinin tutulduğu alanlar
Referanslar
bibliyografya
- Adasch, Norbert; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). Topolojik Vektör Uzayları: Dışbükeylik Koşulları Olmadan Teori . Matematik Ders Notları. 639 . Berlin New York: Springer-Verlag . ISBN'si 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003 .
- Banach, Stefan (1932). Théorie des Opérations Lineaires [ Lineer İşlemler Teorisi ] (PDF) . Monografie Matematyczne (Fransızca). 1 . Warszawa: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl 0005.20901 . Arşivlenmiş orijinal (PDF) 2014-01-11 tarihinde . 2020-07-11 alındı .
- Berberyan, Sterling K. (1974). Fonksiyonel Analiz ve Operatör Teorisi Dersleri . Matematikte Lisansüstü Metinler. 15 . New York: Springer. ISBN'si 978-0-387-90081-0. OCLC 878109401 .
- Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Sur, vectoriels topologiques'den kaçınır [ Topolojik Vektör Uzayları: Chapters 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Éléments de matematik . 2 . Eggleston, HG tarafından tercüme edilmiştir; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN'si 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190 .
- Conway, John (1990). Fonksiyonel analizde bir ders . Matematikte Lisansüstü Metinler . 96 (2. baskı). New York: Springer-Verlag . ISBN'si 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908 .
- Dieudonné, Jean (1970), Analiz Üzerine İnceleme, Cilt II , Academic Press
- Edwards, Robert E. (1995). Fonksiyonel Analiz: Teori ve Uygulamalar . New York: Dover Yayınları. ISBN'si 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138 .
- Grothendieck, Alexander (1973). Topolojik Vektör Uzayları . Çeviren: Chaljub, Orlando. New York: Gordon ve Breach Science Publishers. ISBN'si 978-0-677-30020-7. OCLC 886098 .
- Jarchow, Hans (1981). Yerel dışbükey uzaylar . Stuttgart: BG Teubner. ISBN'si 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342 .
- Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Topolojik Vektör Uzayları I . Grundlehren der matematikçi Wissenschaften. 159 . Garling, DJH New York tarafından çevrildi: Springer Science & Business Media. ISBN'si 978-3-642-64988-2. MR 0248498 . OCLC 840293704 .
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Topolojik Vektör Uzayları . Saf ve uygulamalı matematik (İkinci baskı). Boca Raton, FL: CRC Basın. ISBN'si 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Topolojik Vektör Uzayları . Matematikte Cambridge Yolları . 53 . Cambridge İngiltere: Cambridge University Press . ISBN'si 978-0-521-29882-7. OCLC 589250 .
- Rudin, Walter (1973). Fonksiyonel Analiz . Saf ve Uygulamalı Matematikte Uluslararası Seriler. 25 (İlk baskı). New York, NY: McGraw-Hill Bilim/Mühendislik/Matematik . ISBN'si 9780070542259.
- Rudin, Walter (1991). Fonksiyonel Analiz . Saf ve Uygulamalı Matematikte Uluslararası Seriler. 8 (İkinci baskı). New York, NY: McGraw-Hill Bilim/Mühendislik/Matematik . ISBN'si 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topolojik Vektör Uzayları . GTM . 8 (İkinci baskı). New York, NY: Springer New York Baskı Springer. ISBN'si 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Swartz, Charles (1992). Fonksiyonel Analize giriş . New York: M. Dekker. ISBN'si 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067 .
- Treves, François (2006) [1967]. Topolojik Vektör Uzayları, Dağılımlar ve Çekirdekler . Mineola, NY: Dover Yayınları. ISBN'si 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
- Wilansky, Albert (2013). Topolojik Vektör Uzaylarında Modern Yöntemler . Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .
Bu makale , Creative Commons Atıf/Benzer Paylaşım Lisansı altında lisanslanan PlanetMath'teki Proof of open mapping teoreminin materyallerini içermektedir .