Açık haritalama teoremi (fonksiyonel analiz) - Open mapping theorem (functional analysis)

Olarak fonksiyonel analiz , açık dönüşüm teoremi olarak da bilinen, Banach Schauder teoremi (adını Stefan Banach ve Juliusz Schauder ), eğer a bildiren bir temel sonucu sürekli lineer operatör arasında Banach boşluklar olan örten ardından bir olduğunu açık bir harita .

Klasik (Banach uzayı) formu

Banach boşluklar için açık dönüşüm teoremi  ( Rudin 1973 , teoremi 2.11)  -  ise X ve Y'nin Banach uzayları ve vardır A  : XY, bir örten sürekli lineer operatör, daha sonra bir eğer bir açık haritası (yani , U bir olduğunu açık bir grubu içinde X , sonra A ( U ) Y'de açıktır ).

Bir kanıtı kullanan Baire kategori teoremi ve tamlık hem X ve Y teoremi esastır. Her iki uzayın da normlu bir uzay olduğu varsayılırsa teoremin ifadesi artık doğru değildir , ancak X ve Y Fréchet uzayları olarak alınırsa doğrudur .

Kanıt

Diyelim ki A  : XY bir surjective sürekli lineer operatördür. Kanıtlamak için bir açık haritasıdır, o göstermek için yeterlidir bir açık haritalar birim topu içinde X'in kökenli bir mahalleye Y .

O zaman izin ver

Yana bir örten:

Ama Y Banach'tır, yani Baire'in kategori teoremine göre

.

Yani cY ve r > 0 öyle ki

.

Let vV , daha sonra

Toplama ve doğrusallığın sürekliliği ile, rv farkı aşağıdakileri karşılar:

ve yine doğrusallıkla,

burada L =2 k / r ayarladık . Tüm için izler yY ve £ değerinin> 0 , bazı vardır xX şekildedir

Bir sonraki hedefimiz VA (2 LU ) olduğunu göstermektir .

Let yV . (1) ile, || ile bir miktar x 1 vardır. x 1 || < L ve || yEksen 1 || < 1/2 . Bir diziyi ( x n ) endüktif olarak aşağıdaki gibi tanımlayın. Farz etmek:

Sonra (1) ile x n +1'i seçebiliriz, böylece:

yani (2) x n +1 için sağlanır . İzin vermek

.

(2)'deki ilk eşitsizlikten, { s n } bir Cauchy dizisidir ve X tam olduğundan, s n bir miktar xX'e yakınsar . (2) tarafından, dizi olarak n eğilimi y ve böylece Ax = y sürekliliği ile A . Ayrıca,

Bu, y'nin A (2 LU ) ' ye ait olduğunu gösterir , bu nedenle iddia edildiği gibi VA (2 LU ) . Böylece, X'teki birim topun A ( U ) görüntüsü , Y'nin V /2 L açık topunu içerir . Bu nedenle, bir ( U ) olarak kökenli bir mahalle Y ve bu kanıtı varır.

İlgili sonuçlar

Teoremi  -  Let X ve Y , Banach uzayları olsun B X ve B -Y , açık ünite topları gösterir ve izin T  : XY, bir sınırlı lineer operatör. Eğer δ > 0 ise, aşağıdaki dört ifadeden birine sahibiz (aynı δ ile )

  1. hepsi için ;
  2. ;
  3. ;
  4. Im T = Y (yani T örtüktür).

Ayrıca, eğer T surjektif ise , o zaman (1) bazı δ > 0 için geçerlidir.

Sonuçlar

Açık haritalama teoreminin birkaç önemli sonucu vardır:

  • Eğer A  : XY, a, örten Banach boşluklar arasında sürekli doğrusal operatör X ve Y , daha sonra ters operatör bir -1  : YX oluşur (buna aynı zamanda sürekli sınırlı ters teoremi ).
  • Eğer A  : XY Banach alanları arasında doğrusal bir operatördür X ve Y , her için ise sekansı ( x , n ) olarak X ile X N → 0 ve Ax Ny bu aşağıdaki y = 0 olduğunda, A süreklidir ( kapalı grafik teoremi ).

genellemeler

Yerel dışbükeyliği X  veya Y  ispat için gerekli değildir, ancak tamamlanmasının: zaman teoremi durumunda geçerliliğini korumaktadır X ve Y olan F-boşluk . Ayrıca, teorem Baire kategori teoremi ile aşağıdaki şekilde birleştirilebilir:

Teoremi  (( Rudin 1991 , teoremi 2.11))  -  Let X bir olmak F alanı ve Y, bir topolojik vektör uzayı . Eğer A  : XY , sürekli bir doğrusal operatörü daha sonra ya bir ( X ) a, yetersiz grubu içinde  Y , ya da bir ( X ) = Y . İkinci durumda, A bir açık eşlemedir ve Y de bir F uzayıdır.

Bundan başka, bu son durumda , N olan çekirdek arasında A , o zaman bir standart çarpanlara vardır , A formundaki

burada X /  N , kapalı alt uzay N tarafından X'in bölüm uzayıdır (aynı zamanda bir F-uzayıdır) . Bölüm eşleme XX /  N açıktır ve eşleme α bir bir izomorfizm ait topolojik vektör uzayı .

Açık haritalama teoremi  ()  —  Eğer A  : XY , tam bir psödometrizleştirilebilir TVS X'ten bir topolojik vektör uzayına Y'ye bir kapalı doğrusal operatörse ve aşağıdaki koşullardan en az biri karşılanırsa:

  1. Y bir Baire uzayıdır veya
  2. X, bir yerel olarak dışbükey ve Y, a, namlulu alan ,

ya bir ( X ) a, yetersiz grubu içinde  Y , ya da bir ( X ) = Y . o zaman A açık bir eşlemedir.

Sürekli haritalar için Açık dönüşüm teoremi  ()  -  Let A  : XY bir olmak sürekli lineer operatör bir tamamlanmasına daha pseudometrizable TVS X bir Haussdorf topolojik vektör uzaya Y . Eğer Im A olduğu nonmeager içinde Y ardından A  : XY bir surjective açık haritasıdır ve Y'nin tam pseudometrizable TVS olduğunu.

Açık haritalama teoremi şu şekilde de ifade edilebilir:

Teoremi  -  Let X ve Y, iki F-boşluklardan. O zaman X'in Y üzerine her sürekli doğrusal haritası bir TVS homomorfizmidir , burada u  : XY doğrusal haritası bir topolojik vektör uzayı (TVS) homomorfizmidir, eğer indüklenen harita görüntüsü üzerinde bir TVS izomorfizmiyse.

Sonuçlar

Teoremi  -  Eğer bir  : XY, bir gelen, bir devamlı doğrusal bijection olan tam Pseudometrizable topolojik vektör alan bir bir Hausdorff TVS üzerine (TVS) Baire alanı daha sonra, A  : XY, a, homeomorfizma (ve böylece TVSS bir izomorfizm) .

perdeli alanlar

Perdeli uzaylar , açık haritalama teoremi ve kapalı grafik teoreminin tutulduğu bir topolojik vektör uzayları sınıfıdır .

Ayrıca bakınız

Referanslar

bibliyografya

Bu makale , Creative Commons Atıf/Benzer Paylaşım Lisansı altında lisanslanan PlanetMath'teki Proof of open mapping teoreminin materyallerini içermektedir .